1、第一节 随机样本一、总体与个体一、总体与个体二、随机样本的定义二、随机样本的定义一、总体与个体1. 总体总体试验的全部可能的观察值称为总体试验的全部可能的观察值称为总体. 在研究在研究2000名学生的名学生的年龄时年龄时, 这些学生的年龄的全这些学生的年龄的全体就构成一个总体体就构成一个总体, 每个学生每个学生的年龄就是个体的年龄就是个体. 2. 个体个体总体中的每个可能观察值称为个体总体中的每个可能观察值称为个体.实例实例13. 总体分布总体分布 在在2000名大学一年级学生的年龄中名大学一年级学生的年龄中, 年年龄指标值为龄指标值为“15”，“16”，“17”，“18”，“19”，“20”
2、 的依次有的依次有9，21，132，1207，588，43 名名, 它们在总体中所占比率依次为它们在总体中所占比率依次为实例实例3,20009,200021,2000132,20001207,2000588,200043即学生年龄的取值有一定的分布即学生年龄的取值有一定的分布. 一般地一般地, 我们所研究的总体我们所研究的总体, 即研究对象的某即研究对象的某项数量指标项数量指标 X , 其取值在客观上有一定的分布其取值在客观上有一定的分布, X是一个随机变量是一个随机变量.总体分布的定义总体分布的定义我们把数量指标取不同数值的比率叫做总体分布我们把数量指标取不同数值的比率叫做总体分布.如如实例
3、实例3中中, 总体就是数集总体就是数集 15, 16, 17, 18, 19, 20.总体分布为总体分布为200043200058820001207200013220002120009201918171615比率比率年龄年龄二、随机样本的定义1. 样本的定义样本的定义.,)(,2121简称样本简称样本随机样本随机样本的简单的简单得到的容量为得到的容量为、或总体、或总体或总体或总体为从分布函数为从分布函数则称则称随机变量随机变量、相互独立的、相互独立的是具有同一分布函数是具有同一分布函数若若的随机变量的随机变量是具有分布函数是具有分布函数设设nXFFXXXFXXXFXnn.,21个独立的观察值个
4、独立的观察值的的又称为又称为称为样本值称为样本值它们的观察值它们的观察值nXxxxn2. 简单随机抽样的定义简单随机抽样的定义获得简单随机样本的抽样方法称为简单随机抽样获得简单随机样本的抽样方法称为简单随机抽样.根据定义得根据定义得:,21的一个样本的一个样本为为若若FXXXn的联合分布函数为的联合分布函数为则则nXXX,21).(),(*121 niinxFxxxF,fX 具有概率密度具有概率密度又若又若的联合概率密度为的联合概率密度为则则nXXX,21).(),(*121 niinxfxxxf.),(,),( ,)0(2121的概率密度的概率密度求样本求样本是来自总体的样本是来自总体的样本
5、布布的指数分的指数分服从参数为服从参数为设总体设总体nnXXXXXXX 解解的概率密度为的概率密度为总体总体 X , 0, 0, 0,e)(xxxfx , 21有相同的分布有相同的分布且与且与相互独立相互独立因为因为XXXXn的概率密度为的概率密度为所以所以),( 21nXXX)(),(121 niinnxfxxxf ., 0, 0,e1其他其他ixnxnii 例例4.),(,),(, 10), 1(2121的分布律的分布律求样本求样本是来自总体的样本是来自总体的样本其中其中服从两点分布服从两点分布设总体设总体nnXXXXXXppBX 解解的分布律为的分布律为总体总体 X, 21相互独立相互独
6、立因为因为nXXXiippiXP 1)1()1, 0( i,有相同的分布有相同的分布且与且与X的分布律为的分布律为所以所以),( 21nXXX例例5,2211nnxXxXxXP 2211nnxXPxXPxXP niiniixnxpp11)1(.1 , 0,21中取值中取值在集合在集合其中其中nxxx定义定义.),(,),(,21212121个统计量个统计量称是一称是一中不含未知参数，则中不含未知参数，则的函数，若的函数，若是是的一个样本，的一个样本，是来自总体是来自总体设设nnnnXXXggXXXXXXgXXXX请注意请注意 :.),X(),(,X21212121的观察值的观察值计量计量也是统
7、也是统则则是一个样本的观察值是一个样本的观察值的一个样本的一个样本是来自总体是来自总体设设nnnnXXgxxxgxxxXXX?,),(,22321哪些不是哪些不是些是统计量些是统计量判断下列各式哪判断下列各式哪为未知为未知为已知为已知其中其中样本样本的一个的一个是来自总体是来自总体设设 NXXX,11XT ,3212XeXXT ),(313213XXXT ),max(3214XXXT ,2215 XXT).(123222126XXXT 是是不是不是例例 几个常见统计量几个常见统计量样本平均值样本平均值niiXnX11样本方差样本方差niiXXnS122)(11样本标准差样本标准差 niiXXn
8、S12)(1111,nkkiiAXn样本样本k阶原点矩阶原点矩样本样本k阶中心矩阶中心矩nikikXXnB1)(1 k=1,2,统计量的观察值统计量的观察值, 2 , 1)(11, 2 , 11;)(11)(11;111121212 kxxnbkxnxxnsxxnsxnxnikiknikikniiniinii 二、统计三大抽样分布二、统计三大抽样分布)(22n记为记为2分布分布1、定义定义: 设设 相互独立相互独立, 都服从正态分布都服从正态分布N(0,1), 则称随机变量：则称随机变量： 所服从的分布为所服从的分布为自由度为自由度为 n 的的 分布分布.12,nXXX222212nXXX22
9、分布是由正态分布派生出来的一种分布分布是由正态分布派生出来的一种分布. .2分布的密度函数为分布的密度函数为122210( )2(2)00nxnxexf xnx其中伽玛函数其中伽玛函数 通过积分通过积分10( ),0txxe tdtx )(x).(21221nnXX 则则这个性质叫这个性质叫 分布的可加性分布的可加性.2设设 且且X1,X2相互独立，相互独立， 221122(),(),XnXn性质性质1性质性质2.2)(,)(),(2222nDnEn 则则若若证明证明),1, 0( NXi因为因为, 1)()(2 iiXDXE所以所以2242)()()(iiiXEXEXD , 123 ., 2
10、, 1ni niiXEE122)( 故故 niiXE12)(,n niiXDD122)( niiXD12)(.2n )(2分布的数学期望和方差分布的数学期望和方差 23. 分分布布的的分分位位点点: : )(222)()(ndyyfnP01,对对于于给给定定的的正正数数 ， 称满足条件称满足条件22( )( )nn 的的点点为为分分布布的的上上 分分位位点点. .)(2n 220.1( )(25)34.382.n 可可通通过过查查表表求求，例例 标准正态分布的上标准正态分布的上 分位点分位点 0,1 ,XN设设若数若数 满足条件满足条件z , 01P Xz则称点则称点 为为z标准正态分布的标准
11、正态分布的上上 分位点分位点.)(x 1 zz zz 概率密度函数为：概率密度函数为： tntnnnthn212)1()2(2)1()( 定义定义: 设设XN(0,1) , Y , 且且X与与Y相互相互 独立，则称变量独立，则称变量nYXt 所服从的分布为所服从的分布为自由度为自由度为 n的的 t 分布分布.)(2n2、t 分布分布).(ntt记为记为.( )tt n分分布布又又称称为为学学生生氏氏分分布布分分布布的的-4-20240.00.10.20.30.4N(0,1)t(1)标准正态分布和标准正态分布和t(1)分布的密度图分布的密度图 分布的性质：分布的性质：t221.0.,1( ).2
12、limtnttnh te 分分布布的的密密度度函函数数关关于于对对称称当当 充充分分大大时时其其图图形形近近似似于于标标准准正正态态分分布布概概率率密密度度的的图图形形，).1 , 0(Ntn近似近似足够大时，足够大时，即当即当.)()(如图所示如图所示分位点分位点分布的上分布的上为为的点的点 ntnt)(nt )()()(ntdtthnttp2.01,t分分布布的的分分位位点点对对于于给给定定的的 ，称称满满足足条条件件)(nt )()(1ntntt 分位点的性质：分位点的性质：分布的上分布的上.1315. 2)15()(025. 0 tntt求得，例求得，例可查表可查表分位点分位点分布的上
13、分布的上 zntn)(45的值，可用正态近似的值，可用正态近似时，对于常用的时，对于常用的当当由定义可见，由定义可见，3、F分布分布121nUnVF F(n2,n1),(),(2212nVnU 定义定义: 设设 U 与与V 相互相互独立，则称随机变量独立，则称随机变量服从服从自由度为自由度为n1及及 n2 的的F分布分布，n1称为称为第一第一自由度自由度，n2称为称为第二自由度第二自由度，记作，记作21nVnUF FF(n1,n2) . 0001)()()()()()(2222221211211212121yyyyynnnnnnnnnnnn若若FF(n1,n2)， F的概率密度为的概率密度为
14、),(21nnF F分布的分位数分布的分位数称满足条件称满足条件，对于给定的对于给定的, 10 ),(2121)(),(nnFdyynnFFp.),(),(2121如图所示如图所示分位点分位点分布的上分布的上为为的点的点 nnFnnF分位点的性质：分位点的性质：分布的上分布的上 F),(1),(12211nnFnnF 0.950.05.,11(12,9)0.357(9,12)2.80FFF 分分布布的的上上 分分位位点点可可查查表表求求得得例例 定理定理222(1)(2)(1)nSn 设设X1,X2,Xn是来自正态总体是来自正态总体),(2 N的样本的样本,2SX和分别为样本均值和样本方差分别
15、为样本均值和样本方差, 则有则有2(3).XS与与独独立立2( ,)XNn (1) (1) 三、几个重要的抽样分布定理三、几个重要的抽样分布定理 定理定理 (样本均值的分布样本均值的分布) 设设X1,X2,Xn是取自正态总体是取自正态总体),(2 N的样本的样本,2SX和分别为样本均值和样本方差分别为样本均值和样本方差,则有则有) 1(ntnSX 且相互独立且相互独立分布的定义可得分布的定义可得、由定理由定理证证)1()1(,)1 , 0(t2,1222 nSnNnX22(1)(1) (1)nSXnt nn 则则 定理定理 (两总体样本均值差、样本方差比的分布两总体样本均值差、样本方差比的分布) 2212121222112212122() (2)(1)(1)112XYt nnnSnSnnnn 、 如如果果，则则221122(,)(,)XNYN 设设，YX和分别是这两个样本的分别是这两个样本的且且X与与Y独立独立,X1,X2,1nX是来自是来自X的样本的样本,是取自是取自Y的样本的样本,这两个样本的样本方差这两个样本的样本方差,则有则有2221SS 和Y1,Y2,2nY样本均值，样本均值，分别是分别是)1, 1(12122222121 nnFSS、
