1、1偏微分方程教程第三章 特征理论与方程的分类22 二阶方程的分类二阶方程的分类 【知识点提示知识点提示】 二阶方程的特征和分类,化方程为标准型。【重、难点提示重、难点提示】 辨别方程的类型并化为标准型 。【教学目的教学目的】 主要介绍二阶方程的特征和分类,并将一般方程化为标准型。初步了解如何辨别椭圆型偏微分方程，双曲型偏微分方程和抛物型偏微分方程。 。 .3我们先考虑两个自变量的线性偏微分方程 其中 和 都是 的已知函数, 且在 平面上的某区域 内具有二阶连续偏导数. 假设在 内的每一点处, 2xxxyyyxyaubucudueugufa b cdegxya b cfxoy 现在利用特征的性质
2、对方程(2.1)进行分类. 我们知道特征概念仅与方程的最高阶导数项有关, 即与其二阶导数项的系数有关, 换句话说, 方程(2.1)的特征概念仅与它的主部有关都不同时为零.(2.1)4在讨论二阶偏微分方程的分类过程中, 常包含有化方程为标准形式的问题, 这种通过变换使方程得到简化是研究偏微分方程常用的手段,也就是说在我们研究一个方程的求解问题时, 先运用自变量变换或函数变换将方程的形式尽量化简, 使其具有典型性. 00()P xy设在点 的邻域内, 这时(2.1)的特征方程可写为dybdybdxadxa（2.2）其中2bac 通常称为方程(2.1)的判别式，作自变量变换 5则方程(2.1)变为如
3、下形式:222222uuuABCF ()()x yx y (2.3) (2.4)在自变量变换(2.3)下,方程(2.1)的判别式 与(2.4)的判别式2BAC 之间有如下关系:2J (2.5)其中 表示变换(2.3)的Jacobi行列式:J6xyxyJ事实上, 由复合函数的微分法, 我们有 uuuxxxuuuyyy22222222222222uuuuuuxxx xxxx 722222222uuuuuux yx yx yy xx yx yx y 22222222222222uuuuuuyyyyyyy 代入方程(2.1),得 222222uuuABCF 8 其中 22()2xxyyAabc ()(
4、)xxxyyxyyBabc22()2xxyyCabc 通过简单的计算，我们知道(2.5)成立. 注注1 1 关系式(2.5)表明在可逆自变量变换(2.3)下, 即 时，方程的判别式的符号保持不变.0J 9 注注2 2 在可逆自变量变换(2.3)下, 线性二阶偏微分方程(2.1)仍化为线性二阶偏微分方程(2.4). 事实上, 由 22322202xxyyxxxyyxyyxxyyJ ()C (),B (),A 知不同时为零利用判别式的符号在可逆自变量变换下的不变性这一性质, 我们来对方程(2.1)进行分类10定义定义3.13.1 设2 R是一个区域,00()xy(i) 若00()0 xy,则称方程
5、(2.1)在点处为双曲型双曲型00()xy偏微分方程偏微分方程, 若在内的每一点处, 方程(2.1)都是双曲型的,则称(2.1)在内为双曲型偏微分方程; (ii)若00()0 xy, 则称方程(2.1)在点00()xy处为抛物型抛物型偏微分方程偏微分方程, 若在内在内的每一点处,方程(2.1)抛物型的,则称(2.1)在内为抛物型偏微分方程;1100()0 xy00()xy(iii) 若, 则称方程(2.1)在点处为椭圆型椭圆型偏微分方程偏微分方程, 若在内的每一点处,方程(2.1)都是椭圆型的,则称(2.1)在内为椭圆型偏微分方程. 注注3 3 根据连续性，由00()xy在一点大于零或小于零可
6、推得在该点的某邻域中也是如此. 所以方程为双曲型或椭圆型的性质总是在一个区域中成立的,即若方程(2.1)在点是双曲型或椭圆型的，则它必在00()xy的某邻域内是双曲型或椭圆型的.反之，在一点等于零并不能告诉我们它在这一点的邻域中的符号.因此,我们又有： 12 定义定义3.23.2 若方程(2.1)在区域的一个子区域上为双曲型的，在的另一个子区域上为椭圆型的，则称方程(2.1)在区域 中为混合型方程混合型方程;若方程(2.1)在区域的一个子区域上为双曲型的，在的其余点(不一定构成子区域)上为抛物型的，则称方程(2.1)在区域中为退化双曲型方程退化双曲型方程; 若方程(2.1)在区域的一个子区域上
7、为椭圆型的，在的其余点(不一定构成子区域)上为抛物型的，则称方程(2.1)在区域中为退化椭圆型方程退化椭圆型方程.13 由(2.5)我们知道, 在可逆自变量变换(2.3)下, 方程的类型保持不变, 即可逆自变量变换(2.3)将双曲型偏微分方程(抛物型偏微分方程, 椭圆型偏微分方程）仍变为双曲型偏微分方程(抛物型偏微分方程,椭圆型偏微分方程). 因此, 为了求解方程(2.1), 我们常常需要找一个可逆的自变量变换, 将方程(2.1)化成简单形式, 即标准型标准型. . 下面我们分别给出双曲型、 抛物型和椭圆型偏微分方程的标准型.14 为了简便起见, 我们不妨假设方程(2.1)的系数都是常数, 即
8、 2()xxxyyyxyaubucudueuguf x y(2.6)其中都是常数, 由于判别式a b c d e g 2bac 0 是常数,所以方程(2.6)在区域中所有点处都是同一类型的. (i)当时, 其特征线是两族不同的实曲线1122()()x yyxcx yyxc其中12bbaa 且12c c 为任意常数.1512()()x yyxx yyx()uDuEuGu F (2.8)D E G利用这两族实特征线, 作可逆自变量变换( (2.7) )这时方程(2.6)变成其中 都是常数. .我们称这一形式为双曲型方程的第一标准型双曲型方程的第一标准型. . 若再引入新的自变量变换xy16 111
9、1()xxy yxyuuDuEuGuF x y(2.9)111DEG012ba()bax yyxc()()bax yyxx yy2222()uD uE uG uF 22DE2G则方程(2.8)又可化成其中都是常数.我们称这一形式为双曲型方程的第二标准型双曲型方程的第二标准型. (ii)当时,此时,方程(2.6)只有一族特征线,为了获得一个可逆的自变量变换，只要取即可.这样方程(2.6)就可化成(2.10)其中和都是常数.方程(2.10)称为抛物型方程的标准型抛物型方程的标准型.17即可得到可逆自变量变换 0 12ii aba 11()()22i2byxaacbxa (iii) 当 时,这时没有
10、实的特征曲线, 变换(2.7)中且.为了不涉及复变数, 我们试图通过(2.7)找一个实的变换,为此令183333()uuD uE uG uF 33D E3G以上关于方程的分类及将方程化成标准型的问题, 虽然我们只对二阶线性常系数方程作了比较详细的讨论, 但对变系数方程(2.1)同样是成立的. 这里要特别指出的是, 对变系数方程来说, 它的类型与点的位置有关, 即可能在区域的某一部分点为这种类型而在另一部分点上为另一种类型. 应用变换(2.11)就可把方程(2.6)化成(见本节的习题5, 6)(2.12)其中和都是常数.我们称方程(2.12)为椭圆型方程的标准型椭圆型方程的标准型. 190y y
11、x xuy uy 0y 0y x例如特里谷来(Tricomi)方程 (2.13)就是如此, 其判别式,对于它是双曲型的; 对于它是椭圆型的; 而在轴上它又是抛物型的. 下面我们将Tricomi方程(2.13)化成标准型. 情形1:当0y 时, 方程(2.13)的特征方程为 11dydydxdxyy 203322123232xycxyc106uuu33223232xyxy12cc所以在上半平面内, 两族特征线为其中 为任意常数, 这时利用变换就可把方程(2.13)化成双曲型第一标准型21就可把方程(2.13)化成标准型例例1 1 判断下面方程的类型并把它化成标准型 情形2 当0y 322()3x
12、y103uuu 时,作变换4520 xxxyyyxyuuuuu 222904bac 114d yd yd xd x解解: :因为判别式,故方程为双曲型的,它的特征方程为求得特征线是124xyxcyc12c c其中为任意常数. 作变换4yxxy23若再作变换 方程就可化成双曲型第二标准型 st1180339ssttstuuuu 可将方程化成双曲型第一标准型18039uu24方程就可化成双曲型第二标准型 st1180339ssttstuuuu 时由特征方程给出两条复特征线 0 xxxyyyxuuuu 2304bac 121313()()2222yi xcyi xc若再作变换例例2 2 判断下面方程的类型并将它化成标准型:解解:由于判别式, 故方程为椭圆型的,这25于是方程就可化成标准型 1322yxx 22033uuuu2220 xxxyyyx uxyuy u 222220bacx yx yd yyd xx为了不涉及复变数, 我们引入实变换例例3 3 判断下面方程的类型并将它化成标准型解解: :由于判别式 ,所以方程处处都为抛物型的. 这时特征方程为26因此作变换 就可把原方程化成标准型 yyx20u 在 即 时, 我们有 0y 00u 可以看出特征线为一族直线ycx
