1、2021年全国甲卷高考理科数学真题及答案1.设集合M=x|0x4,N=x|13x5,则MN=A. x|0x13B. x|13x4C. x|4x5D. x|0x52.为了解某地农村经济情况,对该地农户家庭年收入进行抽样调查,将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图:根据此频率分布直方图,下面结论中不正确的是A.该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6%B.该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10%C.估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元D.估计该地有一半以上的农户,其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间3.已知(1-i)2z=3+2i,则z=A
2、.-1-32iB. -1+32iC. -32+iD. -32-i4.青少年视力是社会普遍关注的问题,视力情况可借助视力表测量,通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据,五分记录法的数据L和小数记数法的数据V满足L=5+lgV。已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9,则其视力的小数记数法的数据约为(10101.259)A.1.5 B.1.2 C.0.8 D.0.65.已知F1,F2是双曲线C的两个焦点,P为C上一点,且F1PF2=60,|PF1|=3|PF2|,则C的离心率为A.72B. 132C.7D.136.在一个正方体中,过顶点A的三条棱的中点分别为E,F,G.该正方体截去三棱锥A-EF
3、G后,所得多面体的三视图中,正试图如右图所示,则相应的侧视图是A. B. C. D. 7.等比数列an的公比为q,前n项和为Sn,设甲:q0,乙:Sn是递増数列,则A.甲是乙的充分条件但不是必要条件B.甲是乙的必要条件但不是充分条件C.甲是乙的充要条件D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件8.2020年12月8日,中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86(单位:m),三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一.右图是三角高程测量法的一个示意图,现有以A,B, C三点,且A,B,C在同一水平而上的投影A,B,C满足ACB=45,ABC=60.由c点测得B点的仰角为15,曲,BB与CC
4、的差为100 :由B点测得A点的仰角为45,则A,C两点到水平面ABC的高度差AA-CC约为(31.732)A.346 B.373 C. 446 D.4739.若(0,2),tan2=cos2-sin,则tan=A.1515 B. 55 C. 53 D. 15310.将4个1和2个0随机排成一行,则2个0 不相邻的概率为A.13 B. 25 C. 23 D. 4511.已知A,B,C是半径为1的求O的球面上的三个点,且ACBC,AC=BC=1,则三棱锥O-ABC的体积为A.212 B. 312 C. 24 D. 3412.设函数f(x)的定义域为R,f(x+1)为奇函数,f(x+2)为偶函数,
5、当x1,2时,fx=ax2+b.若f0+f3=6,则f92=A.-94 B.-32 C. 74 D. 52二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.曲线y=2x-1x+2在点(-1,-3)处的切线方程为_。14.已知向量a=(3,1),b=(1,0),c=a+kb,若ac,则k=_。15.已知F1,F2为椭圆C:x216+y24=1的两个焦点,P,Q为C上关于坐标原点堆成的两点,且PQ=F1F2,则四边形PF1QF2的面积为_。16.已知函数fx=2cosx+的部分图像如图所示,则满足条件(fx-f-74)(fx-f43)0的最小正整数x为_。三、解答題:共70分。解答应写出文字说
6、明,证明过程或演算步骤。第1721题为必考题,每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题,考生根据要求作答。(一)必考题:共60分。 17.(12 分)甲、乙两台机床生产同种产品,产品按质量分为一级品和二级品,为了比较两台机床产品的质量,分别用两台机床各生产了200件产品,产品的质量情况统计如下表:(1)甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少?能否有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异? 附:K2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d) 18.(12 分)已知数列an的各项均为正数,记Sn为an的前n项和,从下面中选取两个作为条件,证明另外
7、一个成立. 数列an是等差数列:数列Sn是等差数列;a2=3a1注:若选择不同的组合分别解答,则按第一个解答计分.19.(12分)已知直三棱柱ABC-A1B1C1.中,侧面AA1B1B为正方形, AB= BC = 2, E, F分别为AC和CC1的中点,D为棱A1B1上的点,BF丄A1B1.(1) 证明:BFDE; 当为B1D何值时,面BB1C1C与面DFE所成的二面角的正弦值最小? 20.(12分)抛物线C的顶点为坐标原点O,焦点在x轴上,直线L:x = 1交C于P,Q两点, 且OP丄OQ.已知点M(2,0),且M与L相切,(1) 求C , M的方程;(2) 设A1,A2,A3,是C上的三个
8、点,直线A1 A2, A1 A3均与 M相切,判断A2A3与M的位置关系,并说明理由.21.(12 分)己知a0且a1,函数f(x)=xaax(x0),(1)当a=2时,求f(x)的单调区间;(2)若曲线y= f(x)与直线y=1有且仅有两个交点,求a的取值范围.(二)选考题:共10分,请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一题计分。22.选修4一4:坐标系与参数方程(10分)在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为=22cos.(1)将C的极坐标方程化为直角坐标方程;(2)设点A的直角坐标为(1,0),M为C上的动点,点
9、P满足AP = 2AM,写出 P的轨迹C1的参数方程,并判断C与C1是否有公共点.23.选修4一5:不等式选讲(10分)已知函数f(x)=|x-2|, g(x) =|2x + 3|-|2x-1|.(1)画出f(x)和y=g(x)的图像;(2)若f(x+a)g(x),求a的取值范围.参考答案选择:1、B2、C3、B4、C5、A6、D7、B8、B9、A10、C11、A12、D填空:13:5x-y+2=014:-10315:816:2大题:17:(1)由题意可知:甲机床生产的产品中一级品的频率是:150/200=3/4乙机床生产的产品中一级品的频率是:120/200=3/5(2)由于K2=400*1
10、50*80-50*1202270*130*200*200=4003910.2566.635所以,有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异。18:情况一:选择为条件,即数列an为等差数列,且a2=3a1证明:设等差数列an的公差为d,由题意可知,a10,d0,且a2=3a1=a1+d所以,d=2a1,所以an=a1+n-1d=(2n-1)a1所以Sn=n(a1+an)2=(n*2na1)/2=n2a1所以Sn=na1,Sn+1=(n+1)a1Sn+1-Sn=a1,为常数,所以数列Sn为等差数列。情况二:选择为条件。证明:设等差数列an的公差为d,则 d0因为Sn为等差数列,所以
11、2S2=S1+S3,即22a1+d=a1+3(a1+d)等式两边平方得:4(2a1+d)=a1+3a1+3d+23a1(a1+d)即:4a1+d=23(a12+a1d)等式两边平方:4a12-4a1d+d2=0也就是:(2a1-d)2=0,即d=2a1,所以a2=a1+d=3a1情况三:选择为条件。证明:因为Sn为等差数列,且an0,所以可设Sn=Kn+b(k0)其中k,b为常数,kn+b0对任意n属于N *成立所以:Sn=(Kn+b)2,a1=S1=(K+b)2N大于等于2时,an=Sn-Sn-1=2n-1k2+2kb又因为a2=3a1,所以3k2+2kb=3(K+b)2,解得b=0或者4k
12、+3b=0当b=o时,a1=k2,n大于等于2时,an=2n-1k2,n=1时同所以an=2n-1k2,所以数列an为等差数列。当4k+3b=0时,b=4/3k,S1=K+b=-1/3k0,舍去。综合,数列an为等差数列19:(1)直棱柱ABC-A1B1C1,侧面AA1B1B为正方形所以A1B1=B1B=AB=BC=2所以侧面BB1C1C为正方形取BC中点M,连接B1M和EM因为F为CC1重点,所以B1MBF由已知BFA1B1且A1B1B1M=B1所以BF平面A1B1M由于E为AC中点,所以EMA1B1所以EM平面A1B1M,所以BFDE(2)由(1)可知,A1B1BF,且A1B1B1B,所以
13、A1B1平面B1BCC1以B为原点,BC,BY,BB1为xyz轴建立空间直角坐标系设C(2,0,0),A(0,-2,0),B1(0,0,2)C1(2,0,2),A1(0,-2,2),E(1,-1,0),F(2,0,1),D(0,n,2)则向量EF=(1,1,1),向量FD=(-2,n,1)设向量m平面BB1C1C,则向量m=(0,1,0)向量n平面DEF,则向量n=(x,y,z)由:n*EF=0n*FD=0 得:x+y+z=0-2x+ny+z=0得:3x+1-ny=0y=3z=-x-y得:n=(n-1,3,-n-2)设平面BB1C1C与平面DEF所称角为QcosQ=|cos|=3(n+1)2+
14、9+(n-1)2=32n2+2n+14设yn=n2+n+7=(n+1/2)2+27/4所以,当n=-1/2时,cosQ最大为32*27/4=23此时sinQ 最小为13=33所以,当B1D=1/2时,sinQ最小为3320:(1)由题可得,C:y2=2px,p0,点P(1,2p),Q(1,-2p)因为OPOQ,所以1-2P=0,2P=1,所以抛物线C为:y2=xM(2,0),L:x=1且圆M与L相切,所以圆M的方程为:(x-2)2+y2=1(2)设A1(y12,y1), A2(y22,y2), A3(y32,y3)由抛物线及圆M对称性,不妨设y10若A1A2,A1A3中有一条切线斜率不存在,不
15、妨设为A1A2则:A1(3,3),A2(3,-3),设A1A3:y-3=k(x-3)即kx-y-3k+3=0因为A1A3与圆M相切,所以-k+3k2+1=1解得:k=33即KA1A3=y3-y1y32-y12=1y3+y1=1y3+3=33所以y3=0,即A3(0,0)此时,直线A2A3与A1A3关于x轴对称,所以直线A2A3与圆M相切。若A1A2,A1A3斜率均存在,则y121且,y123KA1A2=y2-y1y22-y12=1y2+y1直线A1A2:y-y1=1y2+y1(x-y12),即x-(y2+y1)y+y2y1=0同设A1A3:x-(y3+y1)y+y3y1=0,直线A2A3:x-
16、(y2+y3)y+y2y3=0因为直线A1A2,A1A3均与圆M相切,所以,(2+y2y1)21+(y1+y2)2=1(2+y3y1)21+(y1+y3)2=1,即:(2+y2y1)2=1+(y1+y2)2(2+y3y1)2=1+(y1+y3)2所以y2、y3关于y的方程:(2+yy1)2=1+(y1+y)2即(y12-1)y2+2yy1+3-y12=0的两个根所以:y2+y3=-2y1y12-1,y2y3=3-y12y12-1设M到直线A2A3距离为d则d2=(2+y3y1)21+(y1+y3)2=1所以直线A2A3与圆M相切21:(1)f(x)定义域为(0,+)因为a0且a1,所以f(x)
17、=axa-1ax-xaaxlna(ax)2,且lna0所以f(x)=axa-1-xalnaax=-xa-1lna(x-alna)ax当a=2时,f(x) =-xln2(x-2ln2)2x所以f(x)增区间为(0,2ln2),减区间为(2ln2,+)(2)题目等价于f(x)=1在(0,+)上有且只有两个解当0a1时,alna0,所以x-alna0所以f(x)0,所以f(x)=1至少有一个解,所以a1此时lna0,alna0,将f(x)定义域改为0,+)此时f(0)=0f(alna)= (alna)aaalna=(a1-1lnalna)a1=1a又y=xa(a1)在(0,+)上,所以a1-1lna
18、 lna得到(1-1lna)lnaln(lna),得到lna-1ln(lna) (*)令g(x)=x-1-lnx,x(0,+)g(x)=1-0-1/x=(x-1)/x所以g(x)g(1)=1-1-ln1=0由a1得到lna0,得到:g(lna)0所以,f(alna)1所以,a1且ae令b=a1a,又a1,所以b1则f(x)= (xa1ax)a= (xbx)a由贝努力不等式得:bx=(b12x)2=(1+(b12-1)x)21+(b12-1)x2=b12-12x2当xmaxalna,1b12-12时,bx=b12-12x2x0所以,xbx(0,1),得到f(x)(0,1)由f(x)单调性可知:f
19、(x)=1,在(0,alna)和(alna),+)上各有一解。综上,a取值范围为(1,e)(e,+)22:(1)2=22cosQ,得到:x2+y2=22x即:C:x2-22x+y2=0(2)C:(x-2)2+y2=2设P(x1,y1),则向量AP= (x1-1,y1)向量AM=12AP=(x1-12,y12)所以向量DM=向量OA+向量AM=(x1+2-12,y12)又因为M在上,所以(x1+2-12-2)2+(y12)2=2即:(x1+2-3)22+y122=2所以,C1:(x+2-3)2+y2=4C1:x=3-2+2cosQy=2sinQ,QR圆心距CC1=3-2-2=3-22半径分别为2
20、和2因为3-222-2,所以C在圆C1内部,没有公共点。23:当x-32时,2x+30,2x-10g(x)=-(2x+3)+(2x-1)=-4当-32x0,2x-10,2x-10g(x)=2x+3-(2x-1)=4(2) f(x+a)g(x)|x+a-2|g(x)|2-a+a-2|g(2-a)g(2-a)0 有图像可知2-a-12a52a+123f(12+a)g(12)a+12-24a112下证当a112时,f(x+a)g(x)当x-12,g(x)0f(x+a)当-12x12时,g(x)=4x+ax+a-12+a-12+112=5f(x+a)=|x+a-2|=x+a-2x+a-2-(4x-2)=a-3x-4112-3*12-4=0综上,a取值范围为112,+)