1、2019 年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷） 数数 学（文史类）学（文史类） 本试卷分为第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，共 150 分，考试用时 120 分钟。第卷 1 至 2 页，第卷 3 至 5 页。 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。答卷时， 考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 祝各位考生考试顺利 第第卷卷 注意事项：注意事项： 1.每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其 他答案标号
2、。 2.本卷共 8 小题，每小题 5 分共 40 分。 参考公式：参考公式： 如果事件 A，B 互斥，那么()( )( )P ABP AP B. 圆柱的体积公式VSh，其中S表示圆柱的底面面积，h表示圆柱的高. 棱锥的体积公式 1 3 VSh，其中S表示棱锥的底面面积，h表示棱锥的高. 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 （1）设集合 1,1,2,3,5,2,3,4,|13ABCxx R，则()ACB （A）2 （B）2，3 （C）-1，2，3 （D）1，2，3，4 （2）设变量 x，y 满足约束条件 20, 20, 1, 1, xy xy x y 则目标函数4z
3、xy 的最大值为 （A）2 （B）3 （C）5 （D）6 （3）设xR，则“05x”是“|1| 1x”的 （A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 （C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件 （4）阅读下边的程序框图，运行相应的程序，输出 S 的值为 （A）5 （B）8 （C）24 （D）29 （5）已知 0.2 23 log 7,log 8,0.3abc，则 a，b，c 的大小关系为 （A）cba （B）abc （c）bca （D）cab （6） 已知抛物线 2 4yx的焦点为 F， 准线为 l.若 l 与双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的两条渐近线分别交 于点 A
4、 和点 B，且| 4|ABOF（O 为原点），则双曲线的离心率为 （A） 2 （B） 3 （C）2 （D） 5 （7）已知函数( )sin()(0,0,|)f xAxA是奇函数，且 f x的最小正周期为 ，将 yfx的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为 g x. 若2 4 g ，则 3 8 f （A）-2 （B） 2 （C） 2 （D）2 （8）已知函数 2,01 ( ) 1 ,1 xx f x x x 若关于 x 的方程 1 ( )() 4 f xxa a R恰有两个互异的实数解， 则 a 的取值范围为 （A） 5 9 , 4 4 （B） 5 9 ,
5、 4 4 （C） 5 9 ,1 4 4 （D） 5 9 ,1 4 4 绝密绝密启用前启用前 2019 年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷） 数数 学（文史类）学（文史类） 第第卷卷 注意事项：注意事项： 1.用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。 2.本卷共 12 小题，共 110 分。 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。 （9）i 是虚数单位，则 5i 1i 的值为_. （10）设xR，使不等式 2 320xx成立的 x 的取值范围为_. （11）曲线cos 2 x yx在点(0,1)处的切线方程为_. （12）已
6、知四棱锥的底面是边长为 2的正方形，侧棱长均为5.若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条 侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为_. （13）设0,0,24xyxy，则 (1)(21)xy xy 的最小值为_. （14） 在四边形ABCD中，,2 3,5,30ADBCABADA， 点 E 在线段CB的延长线上， 且AEBE，则BD AE _. 三.解答题：本大题共 6 小题，共 80 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （15）（本小题满分 13 分） 2019 年，我国施行个人所得税专项附加扣除办法，涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利 息或者住房租
7、金、赡养老人等六项专项附加扣除.某单位老、中、青员工分别有72,108,120人，现采用 分层抽样的方法，从该单位上述员工中抽取 25 人调查专项附加扣除的享受情况. （）应从老、中、青员工中分别抽取多少人？ （）抽取的 25 人中，享受至少两项专项附加扣除的员工有 6 人，分别记为, , , , , A B C D E F.享受 情况如下表，其中“”表示享受，“”表示不享受.现从这 6 人中随机抽取 2 人接受采访. 员工 项目 A B C D E F 子女教育 继续教育 大病医疗 住房贷款利息 住房租金 赡养老人 （i）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果； （ii）设 M 为事件“抽取的
8、 2 人享受的专项附加扣除至少有一项相同”，求事件 M 发生的概率. （16）（本小题满分 13 分） 在ABC中，内角, ,A B C所对的边分别为, ,a b c.已知2bca ，3 sin4 sincBaC. （）求cosB的值； （）求sin 2 6 B 的值. （17）（本小题满分 13 分） 如图，在四棱锥-P ABCD中，底面ABCD为平行四边形，PCD为等边三角形，平面PAC 平面 PCD， ,2,3PACD CDAD. （）设 G，H 分别为 PB，AC 的中点，求证：GH平面PAD； （）求证：PA 平面PCD； （）求直线 AD 与平面PAC所成角的正弦值. （18）（本
9、小题满分 13 分） 设 n a是等差数列， n b是等比数列，公比大于 0，已知 112332 3,43abba ba. （）求 n a和 n b的通项公式； （）设数列 n c满足 2 1 n n n c bn ， 为奇数 ， 为偶数，求 * 1 12222 () nn a ca ca cnN. （19）（本小题满分 14 分） 设椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 的左焦点为 F，左顶点为 A，顶点为 B.已知3| 2|OAOB（O 为原 点）. （）求椭圆的离心率； （）设经过点 F 且斜率为 3 4 的直线 l 与椭圆在 x 轴上方的交点为 P，圆 C 同时与 x 轴和直线
10、 l 相切， 圆心 C 在直线 x=4 上，且OCAP，求椭圆的方程. （20）（本小题满分 14 分 设函数( )ln(1)exf xxa x，其中aR. （）若 a0，讨论( )f x的单调性； （）若 1 0 e a， （i）证明( )f x恰有两个零点 （ii）设 0 x为( )f x的极值点， 1 x为( )f x的零点，且 10 xx，证明 01 32xx. 绝密绝密启用前启用前 2019 年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷） 数数 学（文史类）参考解答学（文史类）参考解答 一.选择题：本题考查基本知识和基本运算.每小题 5 分，满分 4
11、0 分 （1）D （2）C （3）B （4）B （5）A （6）D （7）C （8）D 二.填空题：本题考查基本知识和基本运算.每小题 5 分，满分 30 分 （9）13 （10） 2 1, 3 （11）+2 2=0xy （12） 4 （13） 9 2 （14）1 三.解答题 （15）本小题主要考查随机抽样、用列举法计算随机事件所含的基本事件数、古典概型及其概率计算公式 等基本知识，考查运用概率知识解决简单实际问题的能力，满分 13 分. 解： （1） 由已知， 老、 中、 青员工人数之比为6 : 9 : 10， 由于采用分层抽样的方法从中抽取 25 位员工， 因此应从老、中、青员工中分别抽取
12、 6 人，9 人，10 人. （） （i）从已知的 6 人中随机抽取 2 人的所有可能结果为 , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,A BA CA DA EA FB CB DB EB FCCFD FDECE F ，共 15 种. （ii）由表格知，符合题意的所有可能结果为 , , , , , , , , , , , , , , , , , ,A BA DA EA FB DBCEB FEC FD FE F，共 11 种. 所以，事件M发生的概率 11 () 15 P M . （16）本小题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和的正弦公式，二倍角
13、的正弦与余弦公式，以及正 弦定理、余弦定理等基础知识.考查运算求解能力，满分 13 分. （）解：在ABC中，由正弦定理 sinsin bc BC ，得sinsinbC cB，又由3 sin4 sincBaC， 得3 sin4 sinbCaC，即34ba.又因为2bca ，得到 4 3 ba， 2 3 ca.由余弦定理可得 222 222 416 1 99 cos 2 24 2 3 aaa acb B aa . （ ） 解 ： 由 （ ） 可 得 2 15 sin1 cos 4 BB， 从 而 15 sin22sincos 8 BBB ， 22 7 cos2cossin 8 BBB ，故 15
14、3713 57 sin 2sin2 coscos2 sin 666828216 BBB ， （17）本小题主要考查直线与平面平行、直线与平面垂直、平面与平面垂直、直线与平面所成的角等基础 知识.考查空间想象能力和推理论证能力.满分 13 分. （） 证明： 连接BD， 易知ACBDH，BHDH.又由BG=PG， 故G H P D， 又因为GH 平面 PAD，PD 平面 PAD，所以GH平面 PAD. （）证明：取棱 PC 的中点 N，连接 DN.依题意，得 DNPC，又因为平面PAC 平面 PCD，平面 PAC 平面PCDPC， 所以DN 平面PAC， 又PA平面PAC， 故D N P A.又
15、已知PACD， CDDND，所以PA 平面 PCD. （）解：连接 AN，由（）中DN 平面 PAC，可知DAN为直线AD与平面 PAC 所成的角， 因为PCD为等边三角形，CD=2 且 N 为 PC 的中点，所以3DN .又DNAN， 在AND中， 3 sin 3 DN DAN AD . 所以，直线 AD 与平面 PAC 所成角的正弦值为 3 3 . （18）本小题主要考查等差数列、等比数列的通项公式及其前项和公式等基础知识，考查数列求和的基 本方法和运算求解能力.满分 13 分. （）解：设等差数列 n a的公差为d，等比数列 n b的公比为q .依题意，得 2 332 3154 qd q
16、d ，解得 3 3 d q ，故 1 33(1)3 ,3 33 nn nn annb . 所以， n a的通项公式为3 n an， n b的通项公式为3n n b . （）解： 1 12 222nn aca ca c 135212 14 26 32nn n aaaaa ba ba ba b 123 (1) 36(6 312 318 363 ) 2 n n n nn 212 36 1 32 33nnn . 记 12 1 32 33n n Tn ， 则 231 31 32 33n n Tn ， -得， 1 2311 3 1 3 (21)33 23 3333 1 3 32 n n nnn n n T
17、nn . 所以， 1 22 1 12 222 (21)33 3633 2 n nnn n a ca ca cnTn 22 (21)369 2 n nn n N. （19）本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程、圆等基础知识.考查用代数方法研究圆锥曲 线的性质.考查运算求解能力，以及用方程思想、数形结合思想解决问题的能力，满分 14 分. （） 解： 设椭圆的半焦距为c， 由已知有32ab， 又由 222 abc， 消去b得 2 22 3 2 aac ， 解 1 2 c a . 所以，椭圆的离心率为 1 2 . n （）解：由（）知，2 ,3ac bc，故椭圆方程为 22 22 1 4
18、3 xy cc .由题意，(, 0)Fc，则直线l 的方程为 3 () 4 yxc 点 P 的坐标满足 22 22 1 43 3 () 4 xy cc yxc ， 消去y并化简， 得到 22 76130xcxc， 解得， 12 13 , 7 c xc x . 代入到l的方程，解得 12 39 , 214 yc yc .因为点P在x轴上方，所以 3 , 2 P cc .由圆心C在直线4x上，可设(4, )Ct.因为OCAP，且由（）知(2 , 0)Ac，故 3 2 42 c t cc ，解得2t .因为圆C与x轴相切，所以圆的半径为 2，又由圆C与l相切，得 2 3 (4)2 4 2 3 1 4
19、 c ，可得=2c . 所以，椭圆的方程为 22 1 1612 xy . （20）本小题主要考查导数的运算、不等式证明、运用导数研究函数的性质等基础知识和方法，考查函数 思想、化归与转化思想.考查综合分析问题和解决问题的能力.满分 14 分. （）解：由已知，( )f x的定义域为(0,)，且 2 11e ( )e(1)e x xx ax f x xaa x x 因此当 a0 时， 2 1e0 x ax，从而 ( )0f x ，所以( )f x在(0,)内单调递增. （）证明：（i）由（）知 2 1e ( ) x ax f x x .令 2 ( )1exg xax ，由 1 0 e a， 可知
20、( )g x在(0,)内单调递减，又(1)1e0ga ，且 22 1111 ln1ln1ln0ga aaaa . 故( )0g x 在(0,)内有唯一解， 从而( )0f x 在(0,)内有唯一解， 不妨设为 0 x， 则 0 1 1l nx a . 当 0 0,xx时， 0 ( ) ( )0 g xg x f x xx ，所以 ( )f x在 0 0,x内单调递增；当 0, xx时， 0 ( ) ( )0 g xg x f x xx ，所以 ( )f x在 0, x 内单调递减，因此 0 x是( )f x的唯一极值点. 令( )ln1h xxx，则当1x 时， 1 ( )10h x x ，故
21、( )h x在(1,)内单调递减，从而当1x 时， ( )(1)0h xh ，所以ln1xx.从而 ln1 111111 lnlnlnln1 elnlnln1ln0 a fah aaaaaa ， 又因为 0 (1)0f xf， 所以( )f x在 0 (,)x 内有唯零点.又( )f x在 0 0,x内有唯一零点 1， 从而， ( )f x在(1,)内恰有两个零点. （ii）由题意， 0 1 0 0 fx f x 即 1 2 0 11 e1 ln1 e x x ax xa x ，从而 10 1 1 2 0 1 lnex x x x x ，即 10 2 01 1 ln e 1 xx xx x .因为 当1x 时，ln1xx， 又 10 1xx， 故 10 2 012 0 1 1 e 1 xx xx x x ， 两边取对数， 得 10 2 0 lneln xx x ， 于是 1000 2ln21xxxx， 整理得 01 3 2xx.
