1、第五章 不定积分 本章将讨论如何寻求一个可导函数，使得它的导数等于已知函数，即微分法的逆运算，这就是积分学的基本问题之一：求不定积分。我们先给出原函数和不定积分的概念，介绍它们的性质，进而讨论求不定积分的方法。1不定积分的概念和性质2第一类换元积分法（凑微分法）3第二类换元积分法4分部积分法5几种特殊类型的不定积分第一节 不定积分的概念和性质第一节 不定积分的概念和性质4 定义定义 如果在区间 I 上，可导函数 F(x) 的导数为 f (x) ，即对于区间上的任何一点 x 都有一、原函数与不定积分的概念)()(xfxF或dxxfxdF)()(则称函数 F(x) 为 f (x) 在区间 I 上的
2、原函数。 例：（1）在区间 ( , + ) 内 ， 2()2xx 所以 x2 是 2x 在区间 ( , + ) 内的原函数；(sin )cosxx ，所以 sin x 是 cos x 的原函数。 （3） x 0 时， ， 1(ln )xx （2）所以 lnx 是 在区间 (0, + ) 内的原函数。1x第一节 不定积分的概念和性质5一、原函数与不定积分的概念 2. 原函数的结构问题：一个函数如果存在原函数，其原函数的个数有多少？这些原函数的关系如何表达？ 1. 原函数的存在问题：一个函数具备什么条件时它的原函数一定存在？ 原函数存在定理： 如果函数 f (x) 在区间 I上连续，则在区间 I
3、上存在可导函数 F(x)，使得对于区间 I 上的任何一点 x，有 ( )( )F xf x 即连续函数一定存在原函数。 第一节 不定积分的概念和性质6一、原函数与不定积分的概念 设 F(x) 为 f (x) 区间 I 上的一个原函数，则对于任意常数 C，有 ( )( )F xCf x即函数 F(x)C 也是 f (x) 的原函数。 说明：如果 f (x)有一个原函数，那么 f (x) 就有无穷多个原函数。 设 G(x) 是 f (x) 的另一个原函数，则( )( )G xf x( )( )( )( )( )( )0G xF xG xF xf xf x于是即 G(x) F(x)= C0 （C0
4、为某个常数） 原函数的结构问题：第一节 不定积分的概念和性质7 定义 在区间 I 上，f (x) 的带有任意常数项的原函数称为 f (x) 在区间 I 上的不定积分，记作一、原函数与不定积分的概念其中记号 称为积分号， f (x) 称为被积函数， f (x)dx 称为被积表达式，x 称为积分变量。 ( )f x dx 如果 ，那么)()(xfxF( )( )f x dxF xC因此，不定积分 可以表示 f (x) 的所有原函数。 ( )f x dx积分常数积分号被积函数CxFdxxf )()(被积表达式积分变量第一节 不定积分的概念和性质8一、原函数与不定积分的概念 不定积分与微分(求导)互为
5、逆运算： 注解 ( )( )f x dxf x ( )( )df x dxf x dx ( )( )Fx dxF xC ( )( )dF xF xC 由此可见微分运算（以记号 d 表示）与求不定积分的运算（简称积分运算，以记号 表示）是互逆的，记号 与 d 一起时或者抵消，或者抵消后差一常数。 先积后微，形式不变；先微后积，差个常数。第一节 不定积分的概念和性质9二、不定积分的几何意义 定义 设 F(x) 是 f (x) 的一个原函数， y = F(x) 的图形称为 f (x) 的积分曲线。 显然积分曲线不止一条，而且所有的积分曲线都可以由一条积分曲线沿 y 轴方向平移得到。 不定积分的几何意
6、义：任一条积分曲线 y = F(x) 沿着 y 轴从 到 +连续地平行移动所产生的一族积分曲线。 例5-1 设曲线通过点 (1, 2)，且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的 2 倍，求此曲线的方程。第一节 不定积分的概念和性质10二、不定积分的几何意义 解 设所求曲线方程为 y=f (x)，由题设，曲线上任一点 (x , y) 处的切线斜率为 即 f (x) 是 2x 的原函数，因为 故必存在某个常数 C，使 因为所求曲线通过点 (1, 2)，所以 C = 1。于是所求曲线方程为：( )2fxxCxxdx22Cxxf2)(12 xy 该例就是求函数 2x 的通过点 (1, 2) 的那条积分
7、曲线。第一节 不定积分的概念和性质11三、基本积分表 根据不定积分的定义，求函数 f (x) 的不定积分，只需求出它的一个原函数，再加上任意常数 C 即可。 例如：323xx323xx dxC， 所以 是 的一个原函数，因此33x2x第一节 不定积分的概念和性质12三、基本积分表 又如，当 x 0 时，所以 是 的一个原函数，因此ln x1x1ln xx1lndxxCx当 x 0） 解 例5-19 求 （其中 a 0）2211arctanxdxCaxaadxxa221axdax211Cax arcsindxaxadxxa2221111二、应用举例第二节 第一类换元积分法（凑微分法）32 例5-
8、20 求 解dxxa221dxxa2211112dxaaxaxdxxaa121dxxaa121)(121xadxaa)(121xadxaa11ln |ln |22axaxCaaCxaxaaln21（其中 a 0）二、应用举例第二节 第一类换元积分法（凑微分法）33 例5-21 求 解 在使用第一类换元积分法时，总是将被积函数分解成两个因式 与 的乘积，然后将 按微分逆运算写成 ，当被积函数的中间变量与积分变量的形式一致时，就可使用基本积分表中的结论写出积分结果。)(xf)(xdxx)()(xd2xxedxe2xxedxe1(2)2xxdeeln(2)xeC二、应用举例第二节 第一类换元积分法（
9、凑微分法）34 例5-22 求 解2 3(1 3)xdxx2 3(1 3)xdxx231(1 3)66xxdx2211(1 3)62xC 22112(1 3)Cx 二、应用举例2321(1 3)(1 3)6xdx第二节 第一类换元积分法（凑微分法）35 例5-23 求 解3cossinxdxx3cossinxdxx31(sin )sindxx3sin(sin )xdx21sin2xC 21csc2xC xdxtanxdxtandxxxcossin)(coscos1xdxln |cos|xC cotln |sin|xdxxC 例5-24 求 解类似可得二、应用举例第二节 第一类换元积分法（凑微分
10、法）36 例5-25 求 解类似可得xdxsecxdxsecsec (sectan )sectanxxxdxxx2secsec tansectanxxxdxxx1(sectan )sectandxxxxln |sectan|xxCcscln |csccot|xdxxxC二、应用举例第二节 第一类换元积分法（凑微分法）37 例5-26 求 解2211xdxx2211xdxx222111xdxxx222111xdxdxxx122221(1)(1)1xdxdxx 22 1arcsinxxC 二、应用举例第二节 第一类换元积分法（凑微分法）38 例5-27 求 解 通过上面的例子可以看到，利用第一类换
11、元积分法求不定积分需要一定的技巧，关键是要在被积表达式中凑出适用的微分因子，进而进行变量代换，这方面无一般法则可循，但熟记一些常用的凑微分公式是有帮助的。二、应用举例dxexx31dxexx3132(3)3xedx323xeC211cosdxxx211cosdxxx11cosdxx 1sinCx 例5-28 求 解32332xedxx211cosdxxx 第二节 第一类换元积分法（凑微分法）39 例5-29 求 解 例5-30 求 解二、应用举例1(12ln )dxxx1(12ln )dxxx1112lndxx x)ln21 (ln21121xdx1ln |12ln|2xCdxxx232)21
12、 (dxxxdxxx223232)21 ()21 (3231(12)(12)6xdx316(12)Cx 1122 12lndxx x3221(12)66xx dx第二节 第一类换元积分法（凑微分法）40 本节中几个例题的结果通常可以直接使用，现在把它们作为公式补充到第一节的基本积分表中。三、基本积分表的补充2211arctanxdxCaxaa 221arcsinxdxCaax cscln|csccot|xdxxxC tanln|cos|xdxxC secln|sectan|xdxxxC cotln|sin|xdxxC （14）（15）（16）（17）（18）（19）2211ln2axdxCax
13、aax （20）第二节 第一类换元积分法（凑微分法）41 例5-31 求 解 例5-32 求 解三、基本积分表的补充tan 53xdxtan 53xdx1tan 55533xdx1ln cos 553xC 2194dxx2194dxx2211(2 )23(2 )dxx12arctan63xC第三节 第二类换元积分法第三节 第二类换元积分法43一、第二类换元积分法法则 用第一类换元积分法能够求出许多不定积分，但有些不定积分例如却不能用第一类换元积分法求解。我们引入另一种积分法第二类换元积分法。 下面来介绍几种第二类换元积分法的常见形式。( )( ) ( )( )xtf x dxftt dt 定理
14、（第二类换元积分法）设函数 f (x) 连续， x = (t) 具有连续的导数 ，且 ，则有换元公式( ) t( )0tdxx24第三节 第二类换元积分法44二、无理代换 对于被积函数中含有 的不定积分，可令 ，即做变量代换 （a 0），从而把无理函数的积分化为有理函数的积分。nbax naxbtntbxa 解 令 ，即 ，去掉被积函数中的根式，此时 dx = 2tdt，于是 例5-33 求xt2xt11211dxtdttx1 121tdtt 1211dtt12211dtdtt22ln |1|ttC22ln(1)xxC11dxx第三节 第二类换元积分法45二、无理代换 解 令 ，即 ，则 dx
15、 = 2tdt，于是 例5-34 求dxxx 4tdtttdxxx2442dttt4222dttt444222224212dtt22arctan2ttC4242arctan2xxC4xt42 tx第三节 第二类换元积分法46二、无理代换 解 令 ，即 ，则 ，于是 例5-35 求31dxxx6xt6xt56dxt dt31dxxx53216t dttt361tdtt31 161tdtt 21611ttdtt 326ln |1|32ttttC 3662366ln(1)xxxxC第三节 第二类换元积分法47三、三角代换 当被积函数中含有 ， 或 时（a 0），可以利用三角函数代换，变根式积分为三角
16、有理式积分。 解 被积函数中含有 ，所以令 ， 例5-36 求21x21coscosx dxttdt22ax22ax22xa 1. 被积函数中含有 时，令22axsin22xatt 21x dx则dx = costdt，而 sin22xtt 22211 sincoscosxttt2cos tdt于是第三节 第二类换元积分法48三、三角代换再由 x = sint ，得 t = arcsinx，代回上式有 一般地，可以借助于直角三角形示意图进行变量还原，sinxat2211arcsin122xx dxxxCtxa22ax 由 ，得sinxta221cosxaat221coscoscosx dxtt
17、dttdt1(1cos2 )2t dt11sin222ttC1sin cos2tttC第三节 第二类换元积分法49三、三角代换 解 令 ， 例5-37 求222221sec( tan )atdxdtaxaatsectdt0ln |sectan |ttC20ln | 1tantan |ttC 2. 被积函数中含有 时，令22axtan22xatt 221dxax则 ，于是 tan22xatt 2secdxatdttxa22ax 20ln1xxCaa 22ln xxaC0lnCCa第三节 第二类换元积分法50三、三角代换 解 令 ， 例5-38 求22221sec tan( sec )attdxd
18、txaatasectdt0ln |sectan |ttC 3. 被积函数中含有 时，令22xasec02xatt 221dxxa则 ，于是 sec02xatt sec tandxattdt220lnxxaCaa22ln xxaCtxa22xa 0lnCCa第三节 第二类换元积分法51三、三角代换 也可以补充基本到基本积分表中。 上述两例的结果22221ln(0)dxxxaCaxa 第二类换元法主要解决被积函数含有根式的积分问题，但也要具体问题具体分析， 例如 , 等，使用凑微法更为简便。 dxx12 dxxx12 第三节 第二类换元积分法52四、倒代换 解 令 ， 例5-39 求77211(2
19、)12tdxdtx xtt 6712tdtt 7711(12 )14 12dtt 当被积函数中分母的次数较高时，可以采用倒代换，即令1xt71(2)dxx x 则 ，于是 1xt21dxdtt 7712ln14xCx 71ln |12|14tC 711ln |2|ln |142xxC 第四节 分部积分法第四节 分部积分法54一、分部积分公式 积分法中的另一个方法是分部积分法，它是乘积求导公式的逆运算。 设 u = u(x)，v = v(x) 有连续的导数，由求导公式 ，得vuvuuv )(vuuvvu)(vdxudxuvdxvu)(vduuvudv两边积分，有即 这就是分部积分公式，使用分部积
20、分公式求不定积分的方法称为分部积分法。第四节 分部积分法55一、分部积分公式 应用分部积分法首先要把被积函数 f (x) 分成两部分，一部分作为公式中的 u，另一部分作为公式中的 v，然后把积分 写成 的形式。即 恰当地选取 u 和 v 是应用该方法的关键，选取的原则一是要 v 容易求出，二是要使新的积分 比原来的积分 容易求出。 应用分部积分法时， u 及 v 的选择是有一定规律的。下面介绍分部积分法常见的适用题型，以及如何选择 u 和 v 。dxxf)(udv( )f x dxu v dxudvvduudv第四节 分部积分法56二、多项式与指数函数或三角函数乘积的积分 先来看一个具体例子。
21、 例5-40 求 解 令 u = x， v = cosx，则 v = sinx，于是xdxxcos)(sincosxxdxdxxxdxxxsinsinCxxx)cos(sinCxxxcossin21coscos2xxdxxdx)(cos2121cos22xdxxxxdxxxxsin21cos2122212vx此题中，若令 u = cosx， v = x，则 ，于是第四节 分部积分法57二、多项式与指数函数或三角函数乘积的积分 这样得到的新积分 反而比原积分 更难求了 。 例5-41 求 解 令 u = x， ，则 ，于是 因此，在应用分部积分法时，如果 u 和 v 选取不当，就得不出结果。 当
22、被积函数为多项式（幂函数）与正（余）弦或指数函数的乘积时，可以考虑应用分部积分法，此时选取多项式（幂函数）作为 u，这样可以降低多项式（幂函数）的次数。xdxx sin212xdxxcosdxxexxxxdedxxedxexexxCexexxxve xve第四节 分部积分法58二、多项式与指数函数或三角函数乘积的积分 例5-42 求 解 令 ， ，则 ，于是2(1)xxe dx21uxxve xve22(1)(1)xxxe dxxde22(1)(1)xxxee d x2(1)2xxxexe dx2(1)2()xxxxexeeC2(23)xxxeC第四节 分部积分法59三、多项式与对数函数或反三
23、角函数乘积的积分 如果被积函数是多项式与对数函数或反三角函数乘积的形式，可以考虑应用分部积分法，并把对数函数或反三角函数作为 u。 例5-43 求 解 为使容易求得，选取 u = lnx， ，则 ，于是xdxx ln22vx 331xv 32ln31lnxdxxdxx)(ln31ln3133xdxxxdxxxx2331ln31Cxxx3391ln31第四节 分部积分法60三、多项式与对数函数或反三角函数乘积的积分 例5-44 求 解 为使容易求得，选取 u = arctanx， v = 1，则 v = x，于是xdxarctan)(arctanarctanarctanxxdxxxdxdxxxx
24、x211arctan)1 (1121arctan22xdxxxCxxx|1|ln21arctan2第四节 分部积分法61三、多项式与对数函数或反三角函数乘积的积分 在应用比较熟练后，不必再把 u 和 v 明确写出来，可直接使用分部积分公式。 例5-45 求 解xdxxarctan21arctanarctan2xxdxxdxxdxxxarctan21arctan2122dxxxxx2221121arctan21dxxxx)111 (21arctan2122Cxxxx)arctan(21arctan212第四节 分部积分法62四、指数函数与三角函数乘积的积分 如果被积函数为指数函数与正（余）弦函数
25、的乘积，可任选择其一为 u，但一经选定，在后面的解题过程中要始终选择其为 u。 例5-46 求 解xdxexsin)cos(sinxdexdxexxxdxexexxcoscos)(sincosxdexexxxdxexexexxxsinsincos由于上式第三项就是所求的积分 ，把它移到等式左边，得2sin(sincos )2xxexdxexxCCxxexdxexx)cos(sin21sinxdxexsin所以第四节 分部积分法63 有时求一个不定积分，需要将换元积分法和分部积分法结合起来使用。 例5-47 求 解 先换元，令 ，则 ， ，于是xe dxxt2xt2dxtdt2xtedxetdt
26、2ttde22tttee dt22ttteeC21xexC第五节 几种特殊类型的不定积分第五节 几种特殊类型的不定积分65一、简单的有理函数的积分 定义 两个多项式的商 （m、n 为非负整数，a0 , a1，am 及 b0 , b1， ，bn 为实数，且 a0 0， b0 0）所表示的函数称为有理函数，又称为有理分式。 当 m n 时，这个有理函数为真分式；而当 m n，这个有理函数为假分式。101101( )( )mmmnnna xa xaP xQ xb xb xb422311xxx 利用多项式除法，假分式总可以化成一个多项式和一个真分式和的形式。例如：22223(1)4(1)51xxxx2
27、25321xx 因此，有理函数的不定积分主要解决真分式的不定积分问题。第五节 几种特殊类型的不定积分66一、简单的有理函数的积分 例5-48 求 解421xdxx44221 111xxdxdxxx 22111xdxx 2211x dxdxdxx31arctan3xxxC第五节 几种特殊类型的不定积分67一、简单的有理函数的积分 例5-49 求 解11xdxx12111xdxdxxx12(1)1dxdxx2ln |1|xxC 对于真分式 ，如果分母 可以因式分解为 ，且 与 没有公因子，则该真分式可以分拆成两个真分式的和：( )( )P xQ x( )Q x12( )( )Q x Q x1( )
28、Q x2( )Q x1212( )( )( )( )( )( )P xP xP xQ xQ xQ x则该真分式的不定积分可以化成简单的部分分式和的积分。第五节 几种特殊类型的不定积分68一、简单的有理函数的积分21215dxxx211215(5)(3)dxdxxxxx111853dxxx111853dxdxxx 例5-50 求 解111(5)(3)853d xd xxx1ln |5|ln |3|8xxC15ln83xCx第五节 几种特殊类型的不定积分69一、简单的有理函数的积分 例5-51 求 解2125dxxx221125(1)4dxdxxxx221(1)(1)2d xx11arctan22
29、xC 如果分母不能因式分解，则采用其他方法计算。第五节 几种特殊类型的不定积分70一、简单的有理函数的积分2125xdxxx22122525xdxdxxxxx2222111(25)2(1)225(1)2d xxd xxxx211ln |25|arctan22xxxC 例5-52 求 解2125xdxxx第五节 几种特殊类型的不定积分71一、简单的有理函数的积分21(1)dxx x2211(1)(1)xxx xx x211(1)(1)xxx xx 221111(1)1(1)dxdxx xxxx 例5-53 求 解 因为 所以21111(1)dxdxdxxxx1ln |ln |1|1xxCx211
30、(1)(1)x xx 21111(1)xxx第五节 几种特殊类型的不定积分72二、两种含有三角函数的不定积分 下面介绍含有两种比较简单的含有三角函数的不定积分。 1. 形如 （m、n 为非负整数) 的不定积分 （1）当 m、n 至少有一个是奇数时，如果 n 为奇数，用 cosx 凑微分得到以 sinx 为（中间）变量的多项式的积分；如果 m 为奇数用 sinx 凑微分得到以 cosx 为（中间）变量的多项式的积分。sincosmnxxdx21 cos2sin2xx （2）当 m、n 全是偶数时，用下面的三角公式，按“降次增角”处理。21 cos2cos2xx第五节 几种特殊类型的不定积分73二
31、、两种含有三角函数的不定积分23cossinxxdx2322cossincossin( cos )xxdxxxdx22cos1cos( cos )xx dx42coscos(cos )xx dx 例5-54 求下列不定积分： 解 （1）5311coscos53xxC4cos xdx （1） （2） 第五节 几种特殊类型的不定积分74二、两种含有三角函数的不定积分241cos2cos2xxdxdx2112cos2cos 24xx dx11cos412cos242xxdx （2）134cos2cos48xx dx1132sin2sin484xxxC第五节 几种特殊类型的不定积分 （1） （2）75
32、二、两种含有三角函数的不定积分 2. 形如 （m、n 为非负整数) 的不定积分tansecmnxxdx （1）当 n是偶数时，用 凑微分得到以 为（中间）变量的多项式的积分；2sec xtan x （2）当 m 为奇数时，用 凑微分得到以 为（中间）变量的多项式的积分。tansecxxsecx4sec xdx33tansecxxdx422secsecsecxdxxxdx2(1tan) (tan )x dx31tantan3xxC 例5-55 求下列不定积分： 解 （1）第五节 几种特殊类型的不定积分76二、两种含有三角函数的不定积分 （2）3524tansectansectan secxxdxxxxxdx24(sec1)sec(sec )xxdx64(secsec) (sec )xx dx7511secsec75xxC 介绍完这些常用的积分方法，我们还要特别指出：尽管所有初等函数在其定义区间上的原函数都存在，但其原函数不一定都是初等函数，例如：2xe dxsin xdxxlndxx41dxx等等都不是初等函数。Thank!
