1、钢筋混凝土的有限元分析（梁柱单元）1.平截面假定仍然成立；2.结构变形是微小的，建立平衡方程时采用结构原 来的几何尺寸，不考虑几何非线性；3.忽略剪切变形的影响；4.对静定结构，结构破坏以混凝土达到其极限压应变为标准；对超静定结构，结构破坏以产生足够多的塑性铰使结构成为可变体系。输入原始数据启动建立单元刚度矩阵建立总刚度矩阵建立荷载列矩阵解方程式，求未知位移求各杆截面弯矩新控制位移值是否稳定？计算结束条件是否满足？打印停机修改单元刚度矩阵是否否是PiPP线性梁柱单元刚度矩阵线性梁柱单元刚度矩阵单元内的位移描述单元内的位移描述 有限元的基本思想是利用外力在位移上作的功与内力在变形上作的功相等这一
2、恒等方程来求解基本未知量杆端位移。为了得到内力在变形上作的功，需将单元内部任一点的内力、单元的应变单元的应变- -位移关系：几何方程位移关系：几何方程 几何矩阵物理方程物理方程 单元平衡方程及刚度矩阵自由度释放后的单元刚度矩阵附加约束条件的单元刚度矩阵附加约束条件的单元刚度矩阵含刚臂的单元刚度矩阵含刚臂的单元刚度矩阵 简化刚度矩阵法简化刚度矩阵法1.1.不考虑二次矩不考虑二次矩 简化刚度法就是对每根杆件单元的刚度给与一定的模型。如图6.5所示。当杆端塑性铰出现以前，杆件的截面港督为常数，当弯矩到达屈服弯矩My时，刚度则下降进入另一常数。 为了计算方便，图6.5刚度模型可以用双分量的模型来表示。
3、所谓双分量模型，就是假想每一杆件由两个平行的杆组成，一根是理想弹塑性铰(当杆端弯矩超出屈服弯矩My时，在该杆端出现塑性铰)，另一根是弹性杆。如图6.6的弯矩-曲率图形所示，杆件的刚度k由刚度分量k1和弹塑性刚度分量k2相加而成，即k=k1+k2 取图6.7所示的一根杆来推导一下其刚度矩阵，图中弯矩及位移均用增量来表示。 iiiiiijjjjjj12iiiiiijjjjjj(6.2)MMKp Kq KKKQQ 杆单元弯矩、剪力和转角、位移之间的关系 1222266426624661212661212ellkllKKlllllllll 22222220000330333303330eiyjllkK
4、KllllllliMq MMi（1）当 端出现塑性铰，即、时，相应的弹塑性杆 端就成为铰接。这时，单元刚度矩阵为 22222223330000033303330eiyjjMq MMjllkKKlllllll（2）当 端出现塑性铰，即、时，相应的弹塑性杆 端就成为铰接。这时，单元刚度矩阵为2220iyjjjMq MKMq M（3）当 端出现塑性铰，即、时，单元刚 度矩阵为2. 2. 考虑二次矩考虑二次矩 由于框架结构相对来说受力变形较大，在轴力N的作用下，将引起杆内弯矩的变化和位移的增长。在方程(6.1)中考虑二次矩的影响，需增加一个几何刚度矩阵：式中，N为几何总刚度矩阵 KNP （6.7） 实
5、际刚度法实际刚度法 在以上所述的简化刚度法中，将塑性铰出现之前的整个单元按一个弹性刚度取值，塑性铰假定出现在杆端，用统一的模型化的 关系计算杆单元刚度矩阵。然而，实际结构中，塑性铰不一定都出现在杆端，一些梁的塑性铰会产生在三分之一跨的集中荷载作用部位。 为了得到不同受力变形情况下的杆单元刚度矩阵及相对精确的框架结构计算分析结果，可采用实际刚度法来求杆单元的刚度，实际刚度法是按框架的钢筋混凝土杆单元各截面的实际刚度出发，推导杆单元刚度矩阵。 iii11iiiiii10(6.12)10,nnkiiikkjknxkM MMxxxdxMB xBBxAAMxBvMxBNMBi 如右图所示，杆单元 沿杆长
6、划分成相等的 个微段，微段长度为。设杆 端横向位移为，弯矩沿杆长线性分布如右下图。设任意微段的弯矩为=,为待定系数。由边界条件，得： 式中 为微段刚度，可由截面的关系确定。设刚度矩阵和等效荷载列阵110ii11i(6.13)0(6.14)nniiinniiiAxSxAxB 1111iiiii0i11ii(6S.14)nnnnjiiiiiiiinnikiiikxxxxxcxcxBBBBSc ASc Accl cAxxM MvdxcxyAjvxABB111212= = =；= - (6.15由可知 轴为 的形心轴， 对 截面取矩：又由边界条件=1， 得)= 211ii22i11i11nniiyyi
7、inniyiiiyyxxxxcIIBBxxIx ABMxII2ii 式中由式(6.16) =-=-0=1 (6.1 6)=；= ，得 2226516535135552555,11iiyyyyycckxc MkjxcIIKKckkkkIlII 杆 端：，则刚度系数；杆 端：，则刚度系数；相应的，=；，。11ii1i1nniinillnEanEanEKlaKKKKaN 1144144111i 设 为杆各微段的实际面积，在杆端加单位力 =1，杆端位移为： 则杆元的轴向刚度为 =1= (6.19) 1121121111 21122221 2220000111100110000001111001100e
8、nniiiiyyyyyyyynniiiiyyyyyyyynEnEllaaccIIIIcccc cIAIIAIKnEnEllaaccIIIIcc cccIAIIAI采用简化采用简化 关系曲线进行框架关系曲线进行框架全过程分析全过程分析 采用荷载增量法对框架结构全过程分析可求得 曲线的下降段，但在计算单元刚度时，由于部分截面进入负刚度或刚度为零，局部杆端软化，未进入负刚度杆端则开始卸载，求单元刚度系数的式(6.20)不再适用，需采用试算方法求单位位移所对应的固端力作为刚度系数。可见，其求解步骤非常复杂。即便是杆端在进入负刚度以前，求各杆段的刚度Bi也需要占用很大的计算量。 若对 关系进行简化，并忽
9、略下降段，采用增量法即荷载控制，则框架结构全过程分析将大大简化，且计算结果与试验也能较好吻合。pNMMccycycuyuyMBMMBMMBM0000000.851.ttccccf JNJMyA yME JfAJyccM (6.49) 式中 混凝土极限抗拉强度 换算截面积 换算截面惯性矩 (6.50) 混凝土开裂的弯矩和曲率NccM换算界面形心到受拉边缘的距离 考虑混凝土截面受拉区弹塑性的系数，对于矩形截面，可近 似取为1.75 当截面尺寸、混凝土强度等级及配筋确定后，每给定一个值，即可由式(6.49)和式(6.50)求得和。6.172.yyM当受拉钢筋达到屈服时，假定截面的应变及应力分布如图所
10、示受拉钢筋屈服时的弯矩和曲率ysfExy此时受拉钢筋的应变为。如果假设受压区高度为 ，则得(6.51)(6.52)(6.53)yysycynciihasxaxDbdxbx (6.54)(6.55)(6.56)-(6.(6.51) (57.)6 57)ssssysnciiicsssysNDE Af AMDbxdxbxxMME Ax af A hxaN hyxczy = + 根据公式+ ，每给yyxMNNMyy定一个 值更可得到、及相应的 。在框架分析中，通常是已知截面的 而要求计算相应的、。其计算步骤与5.3中的求有轴力作用下的弯矩、曲率相似。 ucu6.190.773.cyyxfM当混凝土受压
11、边缘达到极限应变=0.004时，就认为截面达到破坏状态，截面的应变分布如图所示。混凝土受压应力图形近似地采用矩形，矩形应力图的高度取为0.85 ，矩形应力图的换算应力值。 混凝土受压边缘达到极限应变 时的弯矩和曲率suuu0.85(6.58)(6.59)0.004(6.60)0.004=xcysssssxxbxf AANxNxMaEx 由截面上的平衡及变形条件可得 由上三式每给定一个 值，便可接的相应 的 及，进而可求得和 sysyuu(6.58) (6.59)(6.60()6.61)1(6.62(6.58)(6.59)(6.61)(6.62)2ucssMbxhxaA haaNfxyfMa 值
12、得注意的是：如公式、和解得的，则应取直接由公式和 求 ，再按 式和式求和5()uueueueuuuMMMMMM 式中 和为截面破坏时的弯矩和曲率 为截面破坏时曲率的弹性部分 和可根据截面破坏时的平衡及变形条件求得 下图00.85(6.64)0.0041(6.65)(6.66)sscysssxxhExNbxf AAx 由 以上三式，给定轴力，便可解得 ，而 0000.004(6.676.686.6)(6.68)2(6.3690.85euucysuecxhxhxxMbxhf A haN yaME J 在式()中 当时，应取。 式()中的为截面破坏时曲率的弹性部分 ，可取为) 大小偏心受压破坏的分界
13、处，称为界限破坏，其破坏特征是受拉钢筋达到屈服时，压区混凝土也被压碎。jj0.004(6.70)0.0040(6.55).004(6.71)syyscujsjjfExNNhaxxjj 此时，受拉钢筋应变为，混凝土受压边缘应变=0.04；则相应的受压高度 及曲率为:利用公式可算得界限破坏时的轴力 。界限破坏时 的轴力 也近似按下式求得 0.85MN (6.72 )jcysysjjjNbxf AxxNNNMNfNNMA 式中 在分析框架时，当某一级荷载作 用下截面的、 求得后如，则按大偏心受压情况计算关系，确定截面刚度；如，则按小偏心受压情况计算关系，确定 截面刚度；n几何非线性n材料非线性n边界非线性n小应变n大应变221122uxuuvxyxn塑性n非线性弹性n粘弹性n粘塑性n断裂n损伤n徐变n接触非线性n每个非线性有限元问题，都包含两类非线性方程（组）的计算n单元刚度矩阵n整体刚度矩阵单元刚度矩阵整体刚度矩阵一般计算过程非线性方程组的解法显式求解法欧拉折线法(Forward Euler Method)计算步骤（对于单元刚度矩阵）计算步骤（对于整体刚度矩阵）修正的欧拉折线法(Mid-point Method)单元刚度矩阵整体刚度矩阵隐式方程割线刚度法评述负刚度带来的主要问题虚拟弹簧法
