1、24.1 圆的有关性质第二十四章 圆24.1.2 垂直于弦的直径问题1：将圆形纸片对折，重复几次，你有什么发现？直观认识圆是轴对称图形，任意一条直径所在直线都是圆的对称轴.推理论证问题2：你能证明圆是个轴对称图形吗？你能证明圆是个轴对称图形吗？OADCAAE若若AE=AE , AACD则则A与与A关于直线关于直线CD成轴对称成轴对称CDOAADEC连接OA，OA在OAA中，OA=OA OAA是等腰三角形。又 CDAA， AE=EA（三线合一）推理论证A是 O上除C,D外的任意一点,过A点作直径CD的垂线, 交 O于A，垂足为E。AE与EA有什么数量关系？即即CD是AA的垂直平分线。A，A两点关
2、于直线两点关于直线CD对称对称也就是说对于圆上任意一点A，在圆上都有关于直线CD的对称点A，因此O关于直线CD对称。OAADEC圆是轴对称图形，任意一条直径所在直线都是圆的对称轴.问题3：根据圆的轴对称性，你能得到哪些相等的量?圆的轴对称性问题4：你能用文字语言归纳你的发现吗?例1： 如图，AB是 O的一条弦的一条弦， OCAB于E,连连接接OA。OABEC若若AB= =6cm,OE=4cm,求求OA的长度的长度.若若 O的半径为的半径为10cm, CE=4cm,求求AB的长度的长度.练习1： 如图如图，AB是是 O的一条弦的一条弦， OCAB于于EOABEC解： OC=10cm,CE=4cm
3、AE=8cm，在在RtOEA中中 OE=6cm。 OCAB于E，AB=2AE=16cm.OABECd：弦心距2222ard d+h=r h：弓形高圆心到弦的距离圆心到弦的距离如图，弦a，弦心距d，弓形高h，半径r之间有以下关系：从圆心向弦做垂线，垂线被弦和弧所截的线段长归纳总结变式1：如图， O的弦AB4cm ，直径CDAB于M，CM5cm，求半径OC的长.OAACDM解：连接OA，设OA=xcm，则OM=(5-x)cm,根据勾股定理，得解得 x=2.9，即半径OC的长为2.9cm.x2=22+(5-x)2，AM=BM=2cm， CDAB于M，OABECd：弦心距2222ard h-d=r h
4、：弓形高如图，弦a，弦心距d，弓形高h，半径r之间有以下关系：归纳总结垂径定理的几个基本图形：ABOCDEABOEDABO EDABOE归纳总结连接AO,AO,则AO=AO,AO=AO ，AE=AECDAA.问题5：垂直于弦的直径平分弦，那么 平分弦的直径垂直于弦 这个命题成立吗？已知：结论：CD为直径，E是AA的中点 AACD AC=AC ， AD=ADOAAECOABCD 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的弧.特别说明：圆的两条直径是互相平分的.垂径定理垂径定理的推论的推论例2：赵州桥是我国隋代建造的石拱桥，距今约有1400年的历史，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶。它的主桥
5、拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为37m，拱高（弧的中点到弦的距离）为7.23m，求赵州桥主桥拱的半径（结果保留小数点后一位）。解：如图，用AB表示主桥拱，设AB所在圆的圆心为O，半径为R.经过圆心O作弦AB的垂线OC垂足为D，与弧AB交于点C，连接连接OA，由垂径定理可得由垂径定理可得，D是AB的中点，C是弧AB的中点，CD就是拱高.由题设可知由题设可知AB=37m，CD=7.23m.解得R27.3（m）. .即主桥拱半径约为27.3m.=18.52+(R-7.23)2 AD= AB=18.5m，OD=OC-CD=R-7.23.222OAADODQ，在在RtOAD中中 DCOAB练习2
6、：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点。你认为AC和BD有什么数量关系？为什么？证明：过过O作作OEAB，垂足为，垂足为E， 则AEBE，CEDE. AECEBEDE 即 ACBD.ACDBOE注意：解决有关弦的问题，常过圆心作弦的弦心距，或作垂直于弦的直径，它是一种常用辅助线的添法练习3：已知： O中弦ABCD,求证：ACBD.MCDABON证明：作直径作直径MNAB.ABCD，MNCD.则AMBM，CMDM（垂直弦的直径平分弦所对的弧） AMCMBMDMACBD练习4：如图，在 O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，ODAB于D，OEAC于E，求证四边形AD
7、OE是正方形DOABCE证明：证明：四边形四边形ADOE为矩形，为矩形，又又AC=AB AE=AD 四边形四边形ADOE为正方形为正方形.垂径定理推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的弧垂径定理：垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧添加辅助线连半径，作弦心距构造Rt利用勾股定理计算或建立方程.基本图形及变 式 图 形课堂小结课堂小结圆的轴对称性OAAECD问题6：今天这节课你学习了什么?拓展提升：如图， O的直径为10，弦AB=8,P为AB上的一个动点，那么OP长的取值范围 .3cmOP5cmBAOP 在圆中有关弦长a,半径r, 弦心距d（圆心到弦的距离），弓形高h的计算题时，常常通过连半径或作弦心距构造直角三角形，利用垂径定理和勾股定理求解.涉及垂径定理时辅助线的添加方法弦a，弦心距d，弓形高h，半径r之间有以下关系：弓形中重要数量关系ABC DOhrd2222ard d+h=r OABC归纳总结OAADEC连接OA，OAAA关于直线CD对称 CD垂直平分AA OA=OA A 在 O上推理论证CD是 O的一条直径， A是 O上除C,D外的任意一点， 以CD为对称轴作A的对称点A，连接AA，交CD于E点。 A在 O上吗?也就是说对于圆上任意一点A，它关于直线CD的对称点A也在 O 上，因此O关于直线CD对称。
