1、 前面介绍的几种稳定性判据，都是基于系统的前面介绍的几种稳定性判据，都是基于系统的状态方程、微分方程、传递函数等参数模型。工程状态方程、微分方程、传递函数等参数模型。工程上采用系统的上采用系统的频率特性频率特性等实验数据来分析、设计系等实验数据来分析、设计系统。统。1932年，美国年，美国Bell实验室的奈奎斯特提出了这样实验室的奈奎斯特提出了这样一种方法。这种方法是一种方法。这种方法是以系统的开环幅相频率特性以系统的开环幅相频率特性曲线判别系统的稳定性曲线判别系统的稳定性，称为，称为奈奎斯特稳定判据奈奎斯特稳定判据。 奈奎斯特稳定判据的数学基础是复变函数理论奈奎斯特稳定判据的数学基础是复变函
2、数理论中的幅角原理，或称为映射定理。中的幅角原理，或称为映射定理。 4.4.1 幅角原理幅角原理 设为一单值复变函数，其零极点图如图设为一单值复变函数，其零极点图如图4.5(a)所示。在所示。在S平面上取一封闭曲线，记为平面上取一封闭曲线，记为 ，要求，要求 不通过不通过F(s)的任一极点和零点。设的任一极点和零点。设 包围了包围了F(s)的的Z个零点个零点和和P个极点个极点。记。记 在在F平面上的映射为平面上的映射为 ，因为，因为F(s)为一单值复变函数，所以，为一单值复变函数，所以， 是惟一的，也是是惟一的，也是一个封闭曲线，如图一个封闭曲线，如图4.5(b)所示。所示。ssssFFss)
3、(sFF001s2s3s)(1sF)(2sF)(3sF(a)(b)图4.5 从S平面到F平面的映射关系 幅角原理幅角原理：若若 包围了包围了F(s)的的Z个零点和个零点和P个个极点，当极点，当s顺时针沿顺时针沿 取值时，取值时， 绕绕F平面的平面的原点的圈数原点的圈数N为：为： N=Z-P (4.67) 其中其中 的参考方向为顺时针方向的参考方向为顺时针方向, ,即当即当 顺顺时针绕时针绕F F平面的原点平面的原点|N|N|圈时，圈时， N0;N0;当当 逆时针绕平面的原点逆时针绕平面的原点|N|圈时，圈时，N1时，时， , ， ， ，系统是系统是稳定稳定的。的。 当当k1时，时， , ， ，
4、系，系统是统是不稳定不稳定的，有的，有两个闭环极点在右半两个闭环极点在右半S平面平面。 当当k=0时，奈氏曲线穿越点，系统是时，奈氏曲线穿越点，系统是临界稳定临界稳定的。的。 00180 01N2N1NNN011 PNZ1N0N1NNN211 PNZ 上面讨论的都是假设上面讨论的都是假设G(s)与与H(s)没有零、没有零、极点对消极点对消的情况。由于奈奎斯特稳定判据是基的情况。由于奈奎斯特稳定判据是基于系统的开环传递函数来分析系统稳定性的，于系统的开环传递函数来分析系统稳定性的，所以，当所以，当G(s)与与H(s)存在零、极点对消存在零、极点对消时，如时，如果直接应用奈氏判据分析系统的稳定性，
5、可能果直接应用奈氏判据分析系统的稳定性，可能会得到错误的结果。下面用一个例子说明会得到错误的结果。下面用一个例子说明G(s)与与H(s)有零、极点对消时的处理方法。有零、极点对消时的处理方法。 例例4.28 控制系统如图控制系统如图4.13所示，用奈氏所示，用奈氏判据判别系统稳定性。判据判别系统稳定性。 解解 在该系统中，系统的开环传递函数为在该系统中，系统的开环传递函数为:21ss)(sR)(sC)1)(1(1ss图 4.13 开 环 传 递 函 数 存 在 零 极 点 对 消) 2)(1(121) 1)(1(1)()(sssssssHsG 由奈氏稳定判据或者其它判据，很容易判别该由奈氏稳定
6、判据或者其它判据，很容易判别该系统是稳定的。但实际上，系统的闭环传递函系统是稳定的。但实际上，系统的闭环传递函数为数为: 可见，系统在右半可见，系统在右半S平面的闭环极点，一部分平面的闭环极点，一部分由开环传递函数由开环传递函数 决定，另一部分决定，另一部分是对消掉的不稳定的开环极点是对消掉的不稳定的开环极点s=1，所以，系，所以，系统统有有1个不稳定的闭环极点个不稳定的闭环极点。 1)2)(1)(1(221) 1)(1(11) 1)(1(1)(sssssssssss)2)(1(1)()(sssHsGl l 因此，当G(s)与H(s)存在零、极点对消时,先根据开环传递函数,用奈氏稳定判据得到在
7、右半S平面的闭环极点数 ,然后再加上对消掉的不稳定的开环极点数 ，就得到系统在右半S平面的闭环极点的总数 。l1Z2Z21ZZZ 前面介绍的稳定判据是分析系统是否稳定，称为前面介绍的稳定判据是分析系统是否稳定，称为绝对稳定绝对稳定性性分析。对于实际的控制系统，不仅要求稳定，而且要求具有一分析。对于实际的控制系统，不仅要求稳定，而且要求具有一定的稳定裕度。确定系统的稳定裕度，称为定的稳定裕度。确定系统的稳定裕度，称为相对稳定性相对稳定性分析。分析。在奈氏图上，不仅可以分析系统的绝对稳定性，即判别系统是否在奈氏图上，不仅可以分析系统的绝对稳定性，即判别系统是否稳定，而且能分析系统的相对稳定性，即确
8、定系统的稳定裕度。稳定，而且能分析系统的相对稳定性，即确定系统的稳定裕度。 如何度量系统的稳定程度？由奈氏判据可知，位于临界点附如何度量系统的稳定程度？由奈氏判据可知，位于临界点附近的开环幅相曲线即奈氏曲线，对系统的稳定性影响最大。奈氏近的开环幅相曲线即奈氏曲线，对系统的稳定性影响最大。奈氏曲线越是接近临界点曲线越是接近临界点(-1,j0)，系统的稳定程度越差。因此，可以，系统的稳定程度越差。因此，可以将奈氏曲线与临界点的距离，作为相对稳定性的度量。通常用相将奈氏曲线与临界点的距离，作为相对稳定性的度量。通常用相角裕度角裕度 和幅值裕度和幅值裕度 或或 两个值，度量奈氏曲线与临界点两个值，度量
9、奈氏曲线与临界点的距离。的距离。gKh 下面首先定义下面首先定义相位穿越频率相位穿越频率和和增益穿越增益穿越频率频率。 使开环频率特性的相角为使开环频率特性的相角为 的频率，称为相的频率，称为相位穿越频率位穿越频率 ，即，即 (4.74) 使开环频率特性的幅值为使开环频率特性的幅值为1，或者为，或者为0db的频率，的频率，称为增益穿越频率或者截止频率称为增益穿越频率或者截止频率 ，即，即 (4.75)0180g0180)()(ggjHjGc1)()(ccjHjG 相角裕度相角裕度 和和幅值裕度幅值裕度 或或 定义如下。定义如下。 (4.77) (4.78) 或者或者 (4.79) 相角裕度相角
10、裕度 和幅值裕度和幅值裕度 的几何意义如图的几何意义如图4.14所示。所示。gKh)()(1800ccjHjG)()(1gggjHjGK)()(lg20lg20gggjHjGKhgK 对于对于最小相位系统最小相位系统，相角裕度，相角裕度 和幅值裕度和幅值裕度 的的符符号 是 一 致号 是 一 致 的 。 当的 。 当 ， ， 系 统， 系 统 稳 定稳 定 ；当当 ， ，系统，系统不稳定不稳定。但对于。但对于非最小相位系非最小相位系统统，相角裕度，相角裕度 和幅值裕度和幅值裕度 的的符号可能是不一致符号可能是不一致的。相角裕度和幅值裕度的符号一般是没有太大意义的。相角裕度和幅值裕度的符号一般是
11、没有太大意义的的,不能用来判别系统稳定性不能用来判别系统稳定性. 稳定系统稳定系统 和和 表示了表示了系统稳定的程度，它们的值越大，系统越稳定。对于系统稳定的程度，它们的值越大，系统越稳定。对于不稳定系统，不稳定系统， 和和 表示了系统不稳定的程度，它们表示了系统不稳定的程度，它们的值越大，系统越不稳定。的值越大，系统越不稳定。GHgK10(a)(b)图4.14 幅值裕度和相角裕度的几何意义GHgK10GHgK10(c)h00h00hhhh 例例4.29 控制系统的开环传递函数为控制系统的开环传递函数为 试分析系统的试分析系统的绝对稳定性绝对稳定性和和相对稳定性相对稳定性。 解解 由于开环传递
12、函数在由于开环传递函数在S平面的原点存在极点，平面的原点存在极点，所以选择奈氏路径如图所以选择奈氏路径如图4.6（b）所示。系统的）所示。系统的频率特性为频率特性为:)1()1()()(TsssKsHsG)1 ()1 (1)() 1() 1()()(22222TTKjTTKTjjjKjHjG 令令 ，即，即: 得奈氏曲线与实轴交点处的得奈氏曲线与实轴交点处的频率频率为为: 奈氏曲线与实轴奈氏曲线与实轴交点坐标交点坐标为为: 根据上面的分析以及对称性，可以画出系统的根据上面的分析以及对称性，可以画出系统的奈氏曲线如图奈氏曲线如图4.15所示。所示。)()(lim0jHjG23)()(lim0jH
13、jG0)()(limjHjG21)()(limjHjG0)(V012TgTg1KUg)( 奈氏路径中小半圆的映射奈氏路径中小半圆的映射：从：从 的映射点开始，的映射点开始，顺时针转过顺时针转过 ，到，到 的映射点的无穷大半径的的映射点的无穷大半径的圆弧。圆弧。 因为开环传递函数在右半因为开环传递函数在右半S平面有平面有1个极点，所以个极点，所以P=1。 当当 时，时， , , 系统是系统是稳定稳定的。的。 当当 时，时， ， ， 系统是系统是不稳定不稳定的，有的，有2个闭环极点在右半个闭环极点在右半S平面。平面。 当当 时，奈氏曲线穿越点，系统是时，奈氏曲线穿越点，系统是临界稳定临界稳定的。的
14、。 00180 01K1N2N1NNN011 PNZ1K1N0N1NNN211PNZ1K 下面分析系统的相对稳定性。由下面分析系统的相对稳定性。由 得得: 前面已经求出前面已经求出: 则则: ,111)()(2222TKjHjGccccc22222224) 1(121TKKKTcTg1KjHjGKggg1)()(1)lg(20KhTTtgjHjGcccc2100001)(18090180)()(180TTtgcc2101)(90 虽然在奈氏图上表示控制系统的相角裕度和幅值裕度是很直虽然在奈氏图上表示控制系统的相角裕度和幅值裕度是很直观的，但是因为奈氏曲线只是大概的轮廓，所以要在奈氏图上直观的，
15、但是因为奈氏曲线只是大概的轮廓，所以要在奈氏图上直接量取相角裕度和幅值裕度显然是不行的。由于奈氏图和伯德图接量取相角裕度和幅值裕度显然是不行的。由于奈氏图和伯德图有一个简单的对应关系，所以，在有一个简单的对应关系，所以，在伯德图伯德图上相角裕度和幅值裕度上相角裕度和幅值裕度如图如图4.16所示。由于伯德图是比较精确的，所以，可以在伯德图所示。由于伯德图是比较精确的，所以，可以在伯德图上量取相角裕度和幅值裕度。上量取相角裕度和幅值裕度。图 4.16 伯 德 图 上 的 幅 值 裕 度 和 相 角 裕 度c)(L0)(o180dbh00c)(L0)(o1800dbh0（ a)(b) 系统开环对数幅
16、频特性的中频段的宽度和系统开环对数幅频特性的中频段的宽度和斜率与系统的稳定性有密切的关系。根据伯德斜率与系统的稳定性有密切的关系。根据伯德定理，若系统开环对数幅频特性的中频段的斜定理，若系统开环对数幅频特性的中频段的斜率为率为-20db/dec，则系统是，则系统是稳定稳定的；若系统开环的；若系统开环对数幅频特性的中频段的斜率为对数幅频特性的中频段的斜率为-60db/dec，则，则系统是不稳定的；若系统开环对数幅频特性的系统是不稳定的；若系统开环对数幅频特性的中频段的斜率为中频段的斜率为-40db/dec，则系统，则系统可能是稳定可能是稳定的，也可能是不稳定的，也可能是不稳定的，即使稳定，其稳定裕的，即使稳定，其稳定裕度也较小。度也较小。
