1、数学参考答案 (第 1页 共 10页)2021-2022 学年第二学期福州市高二期中质量抽测数学参考答案及评分细则评分说明：1本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则。2对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度， 可视影响的程度决定后继部分的给分， 但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分。3解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。4只给整数分数。一、单项选择题：本题共一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小
2、题 5 分，共分，共 40 分分1B2A3C4A5D6B7D8B二、多项选择题：本题共二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分9BD10CD11ABD12ACD三、填空题：本大题共三、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分分，共，共 20 分分1311411150.135916732【第 8 题解析】选项 A：令0,2ab，得21e01a bba 成立，故 A 正确；选项 B： 由21e01a bba 得101ba， 得(1)(1)0ba， 若10b 且10a ，得1ab ，则31 3 12ab ；若10b 且10a ，得1ba ，则3
3、1 3 12ab ，从而32ab 不可能成立. B 错误；由21e01a bba 得11(1)e(1)eabab，令( )exf xx， 则1a与1 b可以是方程( )f xk（1(,0)ek ）的两个根.( )(1)exfxx， 由( )0fx，得1x ，( )f x在( 1,) 内单调递增， 由( )0fx， 得1x ，( )f x在(, 1) 内单调递减，得1( )( 1)ef xf .注意到lim( )0 xf x，故可绘制出( )exf xx的大致图象.根据图象，存在1a 且10b的情形，此时数学参考答案 (第 2页 共 10页)a ，1b ，得2ab，2ab 成立，故 C，D 选项
4、正确.综上所述，选择 B.【第 12 题解析】将表中的数字写成幂的形式，可发现其指数恰好构成“杨辉三角”.选项 A：该数表中第 8 行第 2 个数的指数为17C7，故第 8 行第 2 个数为72128，A正确；选项 B：根据数表1010145,22222iiiia，B 错误；选项 C：该数表中第 9 行的奇数项的指数之和为02468788888CCCCC2；偶数项的指数之和为135778888CCCC2，故第 9 行的奇数项之积等于偶数项之积，C 正确；选项 D：假设存在，由263,263,1263,2log:log:log3:4:5jjjaaa得16262C3=C4jj，62162C4=C5
5、jj，即4 62!3 62!(1)!(63)!(62)!jjjj且5 62!4 62!(62)!(1)!(61)!jjjj，化简得4363jj且54621jj，得27j ，故 D 正确.综上所述，选 ACD.【第 16 题解析】不妨设P点在第二象限，C的左、右焦点分别为12,F F.如图，由于| 2| 4ABPQc，由对称性可得|DQc，过点Q作x轴的垂线，可得垂足为C的右焦点2F.在直角三角形2QF O中222222|43QFOQOFccc，则在直角三角形21QF F中22221212| +|347QFQFFFccc.根 据 双 曲 线 的 定 义 可 知12| 2QFQFa， 即732cc
6、a，则离心率273273cea.数学参考答案 (第 3页 共 10页)四、解答题：本大题共四、解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 70 分分17. 【考查意图】本小题考查利用导数研究函数的单调性、极值、最值等基础知识；考查抽象概括能力、运算求解能力；考查化归与转化思想、数形结合思想；考查数学建模、数学抽象、直观想象、数学运算等核心素养；体现基础性.【解析】 （1） 2233xxfx，1 分由 0fx得1x 或3x ， 由 0fx得13x ，4 分所以 f x的单调递增区间为, 1 和3,， f x的单调递增区间为1,3. 6 分（2）令 0fx得1x 或3x ， 7 分由（1）可列下表x2
7、, 111,333,4 fx00 f x单调递增取极大值单调递减取极小值单调递增注：上述表格没有列出，不扣分.由于21f ，16f ， 326f ， 419f ， 9 分得 f x在区间2,4上的最大值为6，最小值为26. 10 分18. 【考查意图】本小题考查主要考查数列的通项与前n项和的关系式、等差数列的通项公式、裂项相消法求和等基础知识；考查运算求解能力；考查化归与转化思想、分类与整合思想；考查数学建模、数学抽象、数学运算等核心素养；体现基础性.【解析】 （1）当1n 时，由2412nnnSaa 得2111412aaa ，11a . 1 分当2n时，由2412nnnSaa 得211141
8、2nnnSaa ，两式相减可得2211422nnnnnaaaaa，化简得1120nnnnaaaa， 4 分由条件得10nnaa，故12nnaa， 5 分数学参考答案 (第 4页 共 10页)得数列 na是以1为首项，2为公差的等差数列， 6 分从而数列 na的通项公式为21nan. 7 分（2）由（1）得21nan，所以11111121212 2121nna annnn， 9 分得12231111111 111111232 352 2121nna aa aa ann111111123352121nn111221n21nn.12 分19. 【考查意图】本小题主要考查空间直线与直线、直线与平面的位
9、置关系，平面与平面的夹角等基础知识；考查推理论证能力、运算求解能力与空间想象能力；考查数形结合思想；考查直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养，体现基础性、综合性【解析】 （1）因为平面AED 平面BCDE，平面AED平面BCDEDE，BEDE，BE 平面BCDE，所以BE 平面AED， 2 分因为AE 平面AED，所以AEBE，3 分因为AEBD，BDBEBI，,BD BE 平面BCDE，所以AE 平面BCDE. 4 分（2）因为AE 平面BCDE，BEDE，所以,BE DE AE两两互相垂直，以E点为原点，,EB ED EA所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系.5 分得各点坐标分
10、别为：(0,0,2)A、(2,0,0)B、(2,1,0)C、(0,2,0)D， 6 分得( 2,0,2)BA ，(0,1,0)BC ，( 2,2,0)BD .7 分数学参考答案 (第 5页 共 10页)设 平 面CAB的 一 个 法 向 量 为111( ,)ux y z， 由0BA n ，0BC n ， 得111220,0,xzy令11x 得10y ，11z ，从而(1,0,1)u .8 分设 平 面ABD的 一 个 法 向 量 为222(,)vxyz， 由0BA v ，0BD v ， 得2222220,220,xzxy令21x 得21y ，21z ，从而(1,1,1)v .9 分226cos
11、,3233u vu vuv ， 11 分所以平面CAB与平面DAB夹角的余弦值为63.12 分20.【考查意图】本小题主要考查离散型随机变量的分布列、期望、推断与决策等基础知识；考查推理论证能力、运算求解能力与创新意识；考查化归与转化思想；考查数学建模、逻辑推理、数据分析等核心素养，体现综合性、应用性与创新性【解析】 ： （1）X的可能取值为0,1,2,3,4.高二 1 班答对某道题的概率1111122263， 2 分则14,3XB:，4412C0,1,2,3,433kkkP Xkk .3 分则X得分布列为X01234P168132818278811815 分数学参考答案 (第 6页 共 10
12、页)则14433E X .6 分（2）高二 1 班答对某道题的概率为1111122242pp， 8 分答错某道题的概率为11314242pp. 9 分则438014281p，解得516p ， 11 分所以p的最小值为56.12 分21.【考查意图】本小题主要考查导数的几何意义、导数的应用等基础知识；考查抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力与创新意识，考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想、数形结合思想；考查数学抽象、直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养，体现综合性、应用性与创新性【解析一】 （1） ln1fxx， 11f ， 2 分又 10f，3 分故 f x的图象在点1,0
13、处的切线方程为1yx.4 分（2）当1x，令 2ln1g xxxa x，得 10g， ln1 2gxxax ， 5 分令 ln1 2h xxax ，则 11 22axh xaxx.6 分若0a时，得 0h x，则 gx在1,上单调递增，故 11 20gxga ，所以 g x在1,上单调递增，所以 10g xg，从而2ln10 xxa x，不符合题意； 7 分若0a ，令 0h x，得12xa.（）若102a，则112a，当11,2xa时， 0h x， gx在11,2a上数学参考答案 (第 7页 共 10页)单调递增，从而 11 20gxga ，所以 g x在11,2a在单调递增，此时 10g
14、xg，不符合题意；9 分（） 若12a， 则1012a， 0h x在1,上恒成立， 所以 gx在1,上单调递减， 11 20gxga ，从而 g x在1,上单调递减，所以 10g xg，所以2ln10 xxa x恒成立.11 分综上所述，a的取值范围是1,2. 12 分【解析二】 （1）同解析一.4 分（2）由 2f xaxa得2lnxxaxa，即lnaxaxx. 5 分令 lnag xaxxx，得 10g， 2221aaxxagxaxxx.6 分当0a时，由1x得ln0 xx，22(1)0axaa x，此时 2f xaxa不恒成立；8 分当0a 时，方程20axxa的判别式21 4a .（）
15、 若21 40a， 即12a， 可得20axxa， 0gx， 得 g x在1,)上单调递增，从而 10g xg，lnaaxxx成立. 9 分（） 若21 40a， 即102a， 令 2h xaxxa（xR） ， 由于 00ha， 1210ha ，10haa，由零点存在定理得 h x在11,a内存在唯一零点0a，则当01,xa， 0h x ，即 0gx，此时可得 10g xg，与题设条件不符，舍去. 11 分综上所述，a的取值范围是1,2. 12 分数学参考答案 (第 8页 共 10页)22.【考查意图】本小题主要考查椭圆的图象和性质、直线和椭圆的位置关系等基础知识；考查推理论证能力、运算求解能
16、力；考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想；考查直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养，体现基础性、综合性与创新性【解析一】 （1）由条件得F坐标为( 2,0)，设P点坐标为00(,)xy，得220011612xy，220012(1)16xy .1 分222220000001(2)(2)12(1)416164xPFxyxxx20011(4)422xx， 3 分因为044x ，所以012462x ，得01|422PFx.4 分说明：此处如果直接套用二级结论，没有详细过程，仅给 1 分.（2）设11( ,)E x y，22(,)G xy.当直线EG的斜率不存在时，点,E G关于x轴对称，
17、12,k k互为相反数，1201kk，与条件矛盾. 5 分当直线EG的斜率存在时，设直线EG方程为ykxt，将其与椭圆方程联立，得221,1612,xyykxt消去y得222(43)84480kxktxt，则122843ktxxk，212244843tx xk.6 分由121kk得1212121214444yykxtkxtxxxx， 去 分 母 整 理 得1212(21)(44)()8160kx xktxxt ，7 分从 而222(21)(44)(84488130)3644kkttktkkt ， 去 分 母 整 理 得数学参考答案 (第 9页 共 10页)2(86)4 (46)0tktkk，即
18、(4 )(4)06ktk t，得4tk或46tk.9 分若4tk，则直线EG方程为4ykxk，即(4)yk x，可知直线EG恒过定点( 4,0)，与题设条件不符，舍去. 10 分若46tk，则直线EG方程为46kykx，即(4)6yk x，可知直线EG恒过定点( 4,6).11 分综上，可得直线EG恒过定点，定点坐标为( 4,6).12 分【解析二】 （1）由条件得F坐标为( 2,0)，设P点坐标为(4cos ,2 3sin )（为参数） ， 1 分2222(4cos2)(2 3sin )16cos16cos4 12sinPF224cos16cos162 (cos2)2|cos2|，3 分因为
19、|cos2| cos21，所以|2PF .4 分说明：此处如果直接套用二级结论，没有详细过程，仅给 1 分.（2）设11( ,)E x y，22(,)G xy.当直线EG的斜率为0在时，点,E G关于y轴对称，得2121,xx yy ，11111221111188144(4)(4)16yyyykkxxxxx，又221111612xy，则2221111168112161616yxxy ，解得16y ，得此时直线EG方程为6y . 5 分当直线EG的不为0时，设直线EG方程为xmyt，将其与椭圆方程联立，得221,1612,xyxmyt消去x得222(34)63480mymtyt，则122634m
20、tyym ，212234834ty ym.6 分数学参考答案 (第 10页 共 10页)由121kk得12121212144yyyyxxmytmyt， 去 分 母 整 理 得21212(4)(1)0(2)()(4)tmmm y yyyt， 7 分从 而2222(4)(1)3486(2)(4)34340tmtmttmmmm， 去 分 母 整 理 得2(68)24160tmtm，即(4)(64)0ttm，得4t 或64tm .9 分若4t ，则直线EG方程为4xmy，可知直线EG恒过定点( 4,0)，与题设条件不符，舍去. 10 分若64tm ，则直线EG方程为64xmym，即(6)4xm y，可知直线EG恒过定点( 4,6). 11 分综上，可得直线EG恒过定点，定点坐标为( 4,6).12 分
