1、2020-2021学年重庆市渝东八校高一（下）期中数学试卷1. 若复数，则A. B. C. 1D. 【答案】A【解析】【分析】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查虚数单位i的运算性质，属于基础题利用复数代数形式的乘除运算及虚数单位i的运算性质化简求值【解答】解：故选：2. 已知向量，若，求k的值A. B. C. 或D. 1或【答案】C【解析】【分析】利用向量平行得到方程求解即可，属于基础题.本题考查了平面向量的平行时的坐标关系，熟记向量平行的性质是关键【解答】解：因为向量，所以，解得或故选：3. 在中，角A、B、C所对边分别为a、b、c，则a边为A. B. C. 9D. 6【答案】C【解析】【
2、分析】本题主要考查余弦定理，属于基础题.利用余弦定理构建关于a的一元二次方程，解该方程即可【解答】解：在中，由余弦定理，及，得，即，所以，或舍故选：4. 正方体的内切球与其外接球的体积之比为A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】本题考查正方体的内切球和外接球的体积，属于中档题.设出正方体的棱长，分别求出正方体的内切球与其外接球的半径，然后求出体积比【解答】解：设正方体的棱长为a，它的内切球半径为，体积为，它的外接球的半径为，体积为，则它的内切球的半径为，它的外接球的半径为，球的体积，故选：5. 设m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是A. 若，则B. 若，则C
3、. 若，则D. 若，则【答案】B【解析】【分析】本题考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系的判定，考查空间想象能力，利用直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，逐项判断即可【解答】解： m， n是两条不同的直线，是两个不同的平面A.若，则n与不一定垂直，故A错误；B.若，则或，又，则，故B正确；C.若，则m与n平行、相交或异面，故C错误；D.，则m与n平行或异面，故D错误故选：6. 某广场设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截去八个一样的四面体截面过棱的中点得到的如果被截正方体的棱长是20 cm，那么石凳的表面积是A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】本题考
4、查几何体的表面积的求解，属于中档题.先找到石凳的表面的构成，再求表面积.【解答】解：如图，由题意知石凳的表面由6个正方形和8个正三角形构成，每个正方形的面积为，每个正三角形的面积为，所以表面积为故选：7. 已知的外接圆圆心为O，且，则向量在向量上的投影向量为A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】本题考查平面投影向量以及运算等，属于中档题.根据题意得出为直角三角形，且一角为，从而求出向量在向量上的投影向量.【解答】解：如图所示：取BC边的中点D，连接AD，则，和D重合，是外接圆圆心，所以为直角三角形，因为，所以，所以向量与向量的夹角为，所以向量在向量上的投影向量为故选：8. 已知中，
5、则的面积为A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】本题考查三角形的解法，考查正弦定理的应用，考查运算求解能力，属于较难题由已知判断B为锐角，然后分别求解与的值，再由正弦定理求解b与c的值，代入三角形面积公式得答案【解答】解：由，得，可得B为锐角，又，则，即，解得，则，由正弦定理，得，故选：9. 若复数z满足，则A. z的实部为1B. z的虚部为C. D. 【答案】AD【解析】【分析】本题考查复数运算以及复数的模，考查复数的基本概念，共轭复数，属于中档题把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，然后逐一核对四个选项得答案【解答】解：由已知得，所以z的实部为1 ，A正确，z的虚部为
6、，B错误，则，C错误，所以，D正确.故选：10. 在正三棱锥中，底面是边长为6的正三角形，侧棱，且棱AB，BD，DC，CA的中点分别为E，F，G，H，则下列结论正确的有A. 直线平面EFGHB. 四边形EFGH是矩形C. 直线AC与底面BCD所成的角为D. 底面与侧面所成的角为【答案】ABC【解析】【分析】本题考查的知识要点：线面的夹角，面面的夹角，勾股定理和勾股定理的逆定理，线面平行的判定，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于较难题直接利用正三棱锥的关系，利用中点关系中的中位线求出线面平行，进一步利用点A在下底面的射影求出线面的夹角和面面的夹角，最后利用勾股定理的逆定理运算求出四边形E
7、FGH为矩形，最后判定A、B、C、D的结论【解答】解：如图所示：由于在正三棱锥中，底面是边长为6的正三角形，侧棱，且棱AB，BD，DC，CA的中点分别为E，F，G，H，所以，由于平面EFGH，平面EFGH，所以平面EFGH，故A正确；过点A作平面BCD，点O为平面BCD的中心，所以，所以，故直线AB与平面BCD所成的角为，解得，故C正确；延长BO交CD于点G，故点G为CD的中点，连接AG，所以，所以为斜面与底面的夹角，由于，所以，所以，故D错误；对于B：过点E作，由于，所以，所以，故，故，由于四边形EFGH为平行四边形，且，故四边形EFGH为矩形，故B正确.故选：11. 在中，D是BC边上一点
8、，下列正确的是A. B. C. 为锐角三角形D. 可能为钝角【答案】AB【解析】【分析】本题考查正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，三角形形状的判断，属于中档题利用余弦定理判断AD，利用正弦定理判断B，利用三角形中判断【解答】解：A：在中，由余弦定理得，正确；B：，在中，由正弦定理得，正确；C：，错误；D：在中，由余弦定理得，为锐角，又，为锐角，错误.故选：12. 设点M是所在平面内一点，则下列说法正确的是A. 若，则点M是的重心B. 若，则点M在线段BC的延长线上C. 若，且，则的面积是面积的D. 已知平面向量，满足，则为等腰三角形【答案】ACD【解析】【分析】本题主要考查命题真假的判断，
9、向量的线性运算以及数量积运算，考查计算能力和逻辑推理能力，属于较难题设BC的中点为D，由向量的线性运算可得，由重心的性质即可判断选项A；由向量的线性运算即可判断选项B；结合图象，由三点共线的充要条件即线性运算可得点M的位置，结合图象，及面积公式即可判断选项C；由向量的线性运算及数量积运算即可判断选项【解答】解：对于A，设BC的中点为D，若，则点M是的重心，故A正确；对于B，若，即有，即，则点M在边CB的延长线上，故B错误；对于C，若，且，由右图可得M为AN的中点，则的面积是面积的，故C正确；对于D，因为，所以，即，所以，因为，所以点M在的角平分线上，所以，所以，所以，所以为等腰三角形，故D正确
10、故选：13. 已知i为虚数单位，复数，则_.【答案】【解析】【分析】本题考查复数运算，以及模长，属于基础题.由题意则，即可求解.【解答】解：复数，所以，即故答案为：14. 在正方形ABCD中，E、F分别为BC，CD的中点，求_.【答案】【解析】【分析】本题考查向量的数量积的求法与应用，考查转化思想以及计算能力，属于中档题画出图形，过F作于G，然后转化求解向量的数量积即可【解答】解：如图，过F作于G，所以在上的投影向量为，所以故答案为：15. 在中，若，且，则的形状为_.【答案】等边三角形【解析】【分析】本题考查三角形的解法，考查三角形形状的判断，考查正弦定理及余弦定理的应用，属于中档题把由正弦
11、定理化边为角，可得或，由结合余弦定理可得从而可得的形状【解答】解：由，结合正弦定理可得，即，又A，B为三角形两内角，或，或；又，则，当，时，则为等边三角形，时，则不存在.故答案为：等边三角形16. 一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，已知这个球的体积是，那么这个三棱柱的底面边长为_ ，体积是_.【答案】【解析】【分析】本题考查了球的体积，柱体体积公式的应用，关键是求底面边长，属于较难题由球的体积可以求出半径，从而得棱柱的高，由球与正三棱柱的三个侧面相切，得球的半径和棱柱底面正三角形边长的关系，求出边长，进一步求出底面正三角形的面积，得出棱柱的体积【解答】解：设球的半径为R，由球的体
12、积公式，得，则正三棱柱的高设正三棱柱的底面边长为a，则其内切圆的半径为：，该正三棱柱的体积为：故答案为：；17. 已知复数，求，及；在复平面上，复数、分别对应的点为A、B，求A、B两点间的距离【答案】解：，又，由题意得，复数、分别对应的点为A、B，则所以点A、B之间的距离为：【解析】本题考查复数的运算，复数的模长，考查复数的几何意义，两点间距离公式，属于中档题.由题意根据复数的四则运算即可得到，进一步得到，即可求解.复数、分别对应的点为A、B，则，根据两点间距离公式即可求解.18. 已知是同一平面内的三个向量，其中若，求；若，且与垂直，求与的夹角【答案】解：，；，且与垂直，且，【解析】本题考查
13、向量垂直的充要条件，向量数量积的运算，向量夹角的余弦公式，考查了计算能力，属于中档题可求出向量的坐标，然后即可得出的值；根据与垂直即可得出，进行数量积的运算即可求出的值，然后根据向量夹角的余弦公式即可求出的值，从而可得出的值19. 某养殖基地养殖了一群牛，围在四边形的护栏ABCD内不考虑宽度，知，现在计划以AD为一边种植一片三角形的草地，为这群牛提供粮草，求AD间的护栏的长度，求所种植草坪的最大面积.【答案】解：如图，连接AC，在中，根据余弦定理得，则，且，；在中，根据余弦定理，当且仅当时取等号，所种植草坪的最大面积为【解析】本题考查余弦定理和勾股定理，基本不等式的运用，三角形的面积公式，考查
14、运算求解能力，属于较难题可连接AC，在中，根据余弦定理即可求出，然后可得出，从而根据勾股定理可求出；在中，根据余弦定理和基本不等式可得出，从而得出，然后根据三角形的面积公式即可求出面积的最大值20. 在正方体，对角线AC交BD于K，对角线交平面于在正方形内，以CD为直径的半圆弧上任意取一点求证：平面；平面平面【答案】证明：设交平面于点N，连接AN，因为，平面，平面，可得平面，同理由，可得平面，又，所以平面平面，因为OK是平面与平面的交线，所以，又平面，平面，所以平面；证明：因为M在以CD为直径的半圆弧上，所以，即，因为平面，平面，所以，所以平面BMC，因为平面AMD，所以平面平面【解析】本题考
15、查线面平行和面面垂直的判定，考查转化思想和推理能力，属于中档题可以由面面平行的判定定理推得平面平面，再由面面平行的性质定理可得结论；先由线面垂直的判定定理推得平面BMC，再由面面垂直的判定定理，即可得证21. 在，这两个条件中任选一个补充在下面的问题中，然后解答补充完整的题.在中，角A，B，C，的对边分别为a，b，c，已知_只需填序号，求为AC边上一点，求的面积.【答案】解：若选择，由正弦定理得，因为，所以，则C为锐角，又，所以；若选择，则，即，由正弦定理得，因为，所以得，因为，所以，所以；由题意得，中，由余弦定理得，解得，因为，所以，又，【解析】本题主要考查了正弦定理，二倍角公式，同角基本关
16、系，余弦定理及三角形面积公式的综合应用，属于基础题若选择，结合正弦定理进行化简后，利用同角平方关系可求；若选择，结合诱导公式及二倍角公式进行化简可求；由题意结合诱导公式及同角平方关系，利用三角形面积公式可求22. 如图，在三棱柱中，在底面ABC的射影为BC的中点，M为的中点求该三棱柱的表面积；求直线与平面所成角的正弦值【答案】解：取BC中点N，连接、AN、MN，因为在底面ABC的射影为BC的中点，所以平面ABC，又因为M为的中点，所以，因为，所以，取AB中点D，连接DN、，则，因为，所以，又因为DN为在平面ABC内投影，所以，所以该三棱柱的表面积为由知，所以平面，因为平面，所以平面平面，过作于P，又因为平面平面，所以平面，于是，所以直线与平面所成角的正弦值为【解析】本题考查多面体的表面积的计算，直线与平面所成的角，考查空间想象能力和计算能力，属于较难题根据表面定义求解即可；寻找直线与平面成角为，转化为解直角三角形问题即可
