1、 高三下学期数学二模试卷高三下学期数学二模试卷 一、单选题一、单选题 1已知集合，则（ ） A B C D 2若直线与圆相切，则（ ） A B2 C3 D 3函数的最小值为（ ） A3 B2 C1 D0 4“”是“”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 5已知函数是 R 上的奇函数，当时，若，是自然对数的底数，则（ ） A B C D 6我国 18 岁的滑雪运动员谷爱凌在第 24 届北京冬奥会上勇夺“两金一银”，取得了优异的成绩.在某项决赛中选手可以滑跳三次，然后取三次中最高的分数作为该选手的得分，谷爱凌为了取得佳绩，准备采用目前女运动员中最难的动作
2、进行滑跳，设每轮滑跳的成功率为 0.4，利用计算机产生 09 之间取整数值的随机数，我们用 0，1，2，3 表示滑跳成功，4，5，6，7，8，9 表示滑跳不成功，现以每 3 个随机数为一组，作为 3 轮滑跳的结果，经随机模拟产生如下 10 组随机数：813，502，659，491，275，937，740，632，845，936.由此估计谷爱凌“3 轮滑跳中至少有 1 轮成功”的概率为（ ） A0.9 B0.8 C0.7 D0.6 7在流行病学中，基本传染数是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数.一般由疾病的感染周期感染者与其他人的接触频率每次接触过程中传染
3、的概率决定，假设某种传染病的基本传染数，平均感染周期为 7 天，那么感染人数由 1（初始感染者）增加到 999 大约需要的天数为（ ） （初始感染者传染个人为第一轮传染，这个人每人再传染个人为第二轮传染参考数据：） A42 B56 C63 D70 8设函数，已知在上单调递增，则在上的零点最多有（ ） A2 个 B3 个 C4 个 D5 个 二、多选题二、多选题 9设复数的共轭复数为，则下列选项正确的有（ ） A B C D 10如图，在空间四边形 ABCD 中，E，F 分别为 AB，AD 的中点，G，H 分别在 BC，CD 上，且，则（ ） A平面 EGHF B平面 ABC C平面 EGHF
4、D直线 GE，HF，AC 交于一点 11设函数，是的导数，则（ ） A B有三个零点 C， D的最大值是 12已知双曲线 E：的左右焦点分别为，过点作直线与双曲线 E 的右支相交于 P，Q 两点，在点 P 处作双曲线 E 的切线，与 E 的两条渐近线分别交于 A，B两点，则（ ） A若，则 B若，则双曲线的离心率 C周长的最小值为 8 DAOB（O 为坐标原点）的面积为定值 三、填空题三、填空题 13已知向量，且，则 . 14已知椭圆 C：的左右焦点分别为，点 P 在椭圆 C 上，的周长为 16，则 . 15一次考试后，学校准备表彰在该次考试中排名前 10 位的同学，其中有 2 位是高三（1）
5、班的同学，现要选 4 人去“表彰会”上作报告，若高三（1）班的 2 人同时参加，则 2 人作报告的顺序不能相邻，则要求高三（1）班至少有 1 人参加的作报告的方案共有 种.（用数字作答） 16已知 A、B、C、D 四点都在表面积为 100 的球 O 的表面上，若 AD 是球 O 的直径，且，则该三棱锥 ABCD 体积的最大值为 . 四、解答题四、解答题 17ABC的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.已知. （1）求 B. （2）若，_，求. 在D 为 AC 的中点，BD 为ABC的角平分线这两个条件中任选一个，补充在横线上. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 18已知
6、数列满足，. （1）求的通项公式. （2）证明. 19某跳绳训练队需对队员进行限时的跳绳达标测试.已知队员的测试分数 y 与跳绳个数 x 满足如下关系.测试规则：每位队员最多进行两次测试，每次限时 1 分钟，若第一次测完，测试成绩达到 60 分及以上，则以此次测试成绩作为该队员的成绩，无需再进行后续的测试，最多进行两次，根据以往的训练效果，教练记录了队员甲在一分钟内时测试的成绩，将数据按，分成 4 组，并整理得到如下频率分布直方图： （1）计算 a 值，并根据直方图计算队员甲在 1 分钟内跳绳个数的平均值； （同一组中的数据用该组区间中点值作为代表） （2）将跳绳个数落入各组的频率作为概率，并
7、假设每次跳绳相互独立，X 表示队员甲在达标测试中的分数，求 X 的分布列与期望. 20如图，四棱锥 A-BCDE 的底面为等腰梯形，且，平面平面 ACB. （1）证明：. （2）若，求二面角 C-AD-E 的大小. 21已知抛物线 C 的焦点 F 在轴上，过 F 且垂直于轴的直线交 C 于 A（点在第一象限） ，B 两点，且. （1）求 C 的标准方程. （2）已知 为 C 的准线，过的直线交于 M，（M，异于 A，B）两点，证明：直线AM，和 相交于一点. 22已知函数. （1）若恒成立，求实数 a 的取值范围， （2）若，证明. 答案解析部分答案解析部分 【解析】【解答】因为， 所以 .
8、故答案为：C. 【分析】首先由一元二次不等式的解法求解出不等式的解集，再由交集的定义结合不等式即可得出答案。 【解析】【解答】因为圆心坐标为，半径为， 所以该圆心到直线 的距离 ，结合 解得 . 故答案为：A. 【分析】首先求出圆心坐标以及半径的取值，再由点到直线的距离公式，代入数值计算出 a 的取值即可。 【解析】【解答】因为，所以，利用基本不等式可得 ， 当且仅当 即 时等号成立. 故答案为：D. 【分析】首先整理化简原式，然后由基本不等式即可求出最小值。 【解析】【解答】解：因为是定义在上的增函数，又， 所以 ，解得 ， 因为由 可推出 ，而由 无法推出 ， 故“ ”是“ ”的充分不必要
9、条件. 故答案为：A. 【分析】由幂函数的单调性结合已知条件即可得出关于 a 的不等式组，求解出 a 的取值范围，再结合充分和必要条件的定义即可得出答案。 【解析】【解答】解：依题意得，由，即，得，所以当时，所以. 故答案为：D 【分析】根据题意由奇函数的定义代入数值计算出 ，然后对函数求导结合已知条件代入数值计算出结果即可。 【解析】【解答】由题意，10 组随机数中，表示“3 轮滑跳全都不成功”的有 659，845，共 2 个， 所以估计谷爱凌“3 轮滑跳中至少有 1 轮成功”的概率为 . 故答案为：B 【分析】由已知条件结合概率的定义，代入数值计算出结果即可。 【解析】【解答】设第 n 轮
10、感染的人数为，则数列是，公比的等比数列， 由 ，可得 ，解得 ，两边取对数得 ， 则 ，所以 ， 故需要的天数约为 . 故答案为：C 【分析】根据题意把实际问题转化为实际问题，结合等比数列的前 n 项和公式代入数值，由对数的运算性质计算出 n 的取值，由此即可得出答案。 【解析】【解答】由，得， 取 ，可得 .若 在 上单词递增，则 ， 解得 .若 ，则 . 设 ，则 ，因为 所以函数 在 上的零点最多有 2 个. 所以 在 上的零点最多有 2 个. 故答案为：A 【分析】根据题意由正弦函数的单调性结合整体思想，即可求出 然后由角的取值范围结合零点的定义，即可得出答案。 【解析】【解答】对于
11、A，由题可知，所以 A 符合题意； 对于 B，因为 ，所以 B 不符合题意； 对于 C，因为 ，所以 C 符合题意； 因为 ，D 符合题意. 故答案为：ACD 【分析】首先由复数代数形式的运算性质整理，再结合共轭复数的概念即可得出答案。 【解析】【解答】因为 ，所以 . 又 E，F 分别为 AB，AD 的中点，所以 ，且 ，则 . 易知 平面 EGHF，FH 与 AC 为相交直线，即 A 符合题意，B，C 不符合题意. 因为 EFHG 为梯形，所以 EG 与 FH 必相交，设交点为 M， 所以 平面 ABC， 平面 ACD， 则 M 是平面 ABC 与平面 ACD 的一个交点， 所以 ，即直线
12、 GE，HF，AC 交于一点，即 D 符合题意. 故答案为：AD 【分析】利用已知条件结合中点的性质，再结合对应边成比例两直线平行的性质，再结合线面平行的判定定理得出 平面 EGHF，再利用 EFHG 为梯形，所以 EG 与 FH 必相交，设交点为 M，再利用直线与平面的位置关系，则 M 是平面 ABC 与平面 ACD 的一个交点，所以 ，即直线GE，HF，AC 交于一点，从而找出正确的选项。 【解析】【解答】的定义域是，. 因为 ，所以当 时， ， 当 时， ， 在 上单调递减，在 上单调递增，在 上单调递减，且 . 因为 ，所以 ，即 ，A 符合题意. 根据 的单调性可知 有两个零点，B
13、不符合题意，C 符合题意. 因为 ， ， ， 所以 的最大值是 ，D 不符合题意. 故答案为：AC 【分析】首先对函数求导由导函数的性质即可得出函数的单调性，由函数的单调性结合零点的定义即可判断出选项 A、B 的正误；把数值代入到函数的解析式，计算出结果从而即可得出函数的最值，由此即可判断出选项 C、D 的正误，从而即可得出答案。 【解析】【解答】由题意知，则，所以有，从而，A 符合题意. 在 中，由正弦定理得 ，则在 ，解得 .又 ，所以 ，整理得 ，所以 ，解得 ，B 不符合题意. 当直线 PQ 垂直 x 轴时， 的最小值为 ， ，C 符合题意. 设 ，过点 P 的双曲线 E 的切线方程为
14、 ，E 的渐近线方程为 ，不妨设切线 与渐近线 的交点为 A，联立方程组 ，解得 ，即 ，同理可得 . 又因为点 P 在双曲线 E 上，则有 ， ，故点 P 是AB 的中点.设切线 与 x 轴的交点为 G，易知 ，所以 ，所以 ，D 符合题意. 故答案为：ACD. 【分析】由双曲线的定义以及简单性质结合数量积运算，整理化简即可得出选项 A、B 的正误；由双曲线的定义以及距离公式结合三角形的面积公式，代入数值从而判断出选项 C、D 的正误；从而得出答案。 【解析】【解答】因为，所以，又因为，所以，联立方程组，解得. 故答案为：1 【分析】根据题意由共线向量的坐标公式，代入数值计算出 m 与 n
15、的值。 【解析】【解答】设焦距为 2c，因为的周长为 16， 所以 ，化简得 . 又 ，所以 ， 可得 ，由，解得 . 故答案为：5 【分析】根据题意由椭圆的定义以及简单性质，整理化简由椭圆里 a、b、c 的关系，计算出 a 的取值即可。 【解析】【解答】若高三（1）班只有 1 人参加，则有种不同的方案； 若高三（1）班 2 人都参加，则有 种不同方案，故共有 3024 种不同的方案. 故答案为：3024 【分析】由排列组合以及计数原理，结合已知条件计算出结果即可。 【解析】【解答】设求 O 的半径为 R，球 O 的表面积为 ， ， ，设ABC的外接圆半径为 r，圆心为 ， 根据正弦定理知，
16、， ， AD 是直径，O 是 AD 中点，D 到平面 ABC 的距离为 . 在ABC中，根据余弦定理得， ， 即 ， ，当且仅当 时，等号成立， ABC面积的最大值为 ， 三棱锥 ABCD 体积的最大值 。 故答案为： 。 【分析】设求 O 的半径为 R，再利用球 O 的表面积为 结合球的表面积公式得出球的半径长，再利用已知条件 ， ，设ABC的外接圆半径为 r，圆心为 ，由正弦定理得出 r 的值，再结合勾股定理得出 的值，再利用 AD 是直径，O 是 AD 中点，得出 D 到平面 ABC 的距离，在ABC中，根据余弦定理和均值不等式求最值的方法得出 的最大值，再结合三角形的面积公式得出三角形
17、ABC面积的最大值，再利用三棱锥的体积公式得出三棱锥 ABCD 体积的最大值。 【解析】【分析】 （1） 利用已知条件结合正弦定理和三角形中角 A 的取值范围，进而利用辅助角公式得出得出 的值，再利用三角形中角 B 的取值范围，得出角 B 的值。 （2） 选择条件：利用 结合数量积求向量的模的公式结合数量积的定义得出 的值。 选择条件：利用 BD 为ABC的角平分线，所以 ，再利用三角形的面积公式得出 的值。 【解析】【分析】(1)根据题意由数列的通项公式整理化简，由累加法计算出数列的通项公式。 (2)由数列的通项公式整理化简，由裂项相消法计算出结果即可。 【解析】【分析】(1)由频率分布直方
18、图中的数据，代入数值计算出 a 的值。 (2)根据题意即可得出 X 的取值，再由概率的公式求出对应的 X 的概率由此得到 X 的分布列，结合数学期望公式计算出答案即可。 【解析】【分析】 （1）根据题意由面面垂直的性质定理即可得出线面垂直，再由线面垂直的性质定理即可得出线线垂直。 （2） 根据题意建立空间直角坐标系，由此求出点以及向量的坐标，然后由数量积的坐标公式计算出平面的法向量，再由向量夹角公式结合余弦定理代入数值计算出结果即可。 【解析】【分析】 （1） 设抛物线 的标准方程为 ，再利用抛物线的标注方程求出焦点坐标，再结合已知条件和代入法以及两点距离公式得出 p 的值，从而得出抛物线 的
19、标准方程。 （2） 由（1）可知 A,B 两点坐标，设 ， ，再设直线 的方程为 ，再利用直线与抛物线相交，联立二者方程结合韦达定理得出 ， ，再利用点斜式得出直线 的方程和直线 的方程，再结合赋值法得出 M,N 两点坐标，再利用三条直线相交于一点位置关系判断方法证出直线 AM， 和 相交于一点。 【解析】【分析】(1)根据题意对函数求导，由导函数的性质即可得出函数的单调性，由函数的单调性即可得出不等式，再构造函数由导函数的性质即可得出函数的单调性，由函数的单调性即可求出函数的最值，从而得出 a 的取值范围。 (2)首先由已知条件整理化简原式，然后由分析法结合对数的运算性质，即可得出不等式，再构造函数并对函数求导结合导函数的性质即可得出函数的单调性，由函数的单调性即可得出不等式成立。
