1、 高三数学一模试卷高三数学一模试卷 一、单选题一、单选题 1已知集合，则的子集个数为（ ） A2 B3 C4 D6 2若复数，则（ ） A2 B C4 D5 3甲，乙两人在 5 天中每天加工零件的个数用茎叶图表示如图，中间一列的数字表示零件个数的十位数，两边的数字表示零件个数的个位数，则下列结论正确的是（ ） A在这 5 天中，甲，乙两人加工零件数的极差相同 B在这 5 天中，甲，乙两人加工零件数的中位数相同 C在这 5 天中，甲日均加工零件数大于乙日均加工零件数 D在这 5 天中，甲加工零件数的方差小于乙加工零件数的方差 4曲线在点处的切线方程为（ ） A B C D 5的展开式中的系数为（
2、 ） A60 B24 C-12 D-48 6若函数的大致图象如图，则的解析式可能是（ ） A B C D 7设抛物线的焦点为 F，过点的直线与 E 相交于 A，B 两点，与 E 的准线相交于点 C，点 B 在线段 AC 上，则与的面积之比（ ） A B C D 8若正实数 a，b 满足，且，则下列不等式一定成立的是（ ） A B C D 二、多选题二、多选题 9已知直线与圆，则（ ） A直线 与圆 C 相离 B直线 与圆 C 相交 C圆 C 上到直线 的距离为 1 的点共有 2 个 D圆 C 上到直线 的距离为 1 的点共有 3 个 10将函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象，则下列说法正
3、确的是（ ） A若，则是偶函数 B若，则在区间上单调递减 C若，则的图象关于点对称 D若，则在区间上单调递增 11在长方体中，则下列命题为真命题的是（ ） A若直线与直线 CD 所成的角为，则 B若经过点 A 的直线 与长方体所有棱所成的角相等，且 与面交于点 M，则 C若经过点 A 的直线 m 与长方体所有面所成的角都为 ，则 D若经过点 A 的平面 与长方体所有面所成的二面角都为，则 12十九世纪下半叶集合论的创立，奠定了现代数学的基础，著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间0，1均分为三段，去掉中间的区间段，记为第 1 次操作：再将剩下
4、的两个区间，分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第 2 次操作：；每次操作都在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段；操作过程不断地进行下去，剩下的区间集合即是“康托三分集”.若第 n 次操作去掉的区间长度记为，则（ ） A B C D 三、三、填空题填空题 13若，则 . 14已知菱形 ABCD 的边长为 2，点 P 在 BC 边上（包括端点） ，则的取值范围是 . 15已知三棱锥的棱 AP，AB，AC 两两互相垂直，以顶点 P 为球心，4 为半径作一个球，球面与该三棱锥的表面相交得到四段弧，则最长弧的弧长等于 . 16如图，在数轴上，一个质点在
5、外力的作用下，从原点 O 出发，每次等可能地向左或向右移动一个单位，共移动 6 次，则事件“质点位于-2 的位置”的概率为 . 四、解答题四、解答题 17在等比数列中，分别是下表第一，二，三行中的某一个数，且中的任何两个数不在下表的同一列. 第一列 第二列 第三列 第一列 3 2 3 第二列 4 6 5 第三列 9 12 8 （1）写出，并求数列的通项公式； （2）若数列满足，求数列的前 n 项和. 18的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知的面积为. （1）证明：； （2）若，求. 19如图，在五面体 ABCDE 中，平面 ABC，. （1）求证：平面平面 ACD； （2）若，五
6、面体 ABCDE 的体积为，求直线 CE 与平面 ABED 所成角的正弦值. 20人们用大数据来描述和定义信息时代产生的海量数据，并利用这些数据处理事务和做出决策，某公司通过大数据收集到该公司销售的某电子产品 1 月至 5 月的销售量如下表. 月份 x 1 2 3 4 5 销售量 y（万件） 4.9 5.8 6.8 8.3 10.2 该公司为了预测未来几个月的销售量，建立了 y 关于 x 的回归模型：. 参考公式：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，. （1）根据所给数据与回归模型，求 y 关于 x 的回归方程（的值精确到 0.1） ； （2）已知该公司的月利润 z（
7、单位：万元）与 x，y 的关系为，根据（1）的结果，问该公司哪一个月的月利润预报值最大？ 21在平面直角坐标系 xOy 中，已知点，点 M 满足直线 AM 与直线 BM 的斜率之积为，点 M 的轨迹为曲线 C. （1）求 C 的方程； （2）已知点，直线与 x 轴交于点 D，直线 AM 与 交于点 N，是否存在常数 ，使得？若存在，求 的值；若不存在，说明理由. 22已知函数，为的导数. （1）证明：当时，； （2）设，证明：有且仅有 2 个零点. 答案解析部分答案解析部分 【解析】【解答】由题可知，所有，所有其子集分别是，所有共有 4 个子集 故答案为：C 【分析】首先由交集的定义结合已知条
8、件求出 中的元素，然后由子集的定义计算出结果即可。 【解析】【解答】因为复数， 所以 ， 所以 ， 故答案为：B 【分析】首先由复数代数形式的运算性质整理，再结合复数模的概念即可得出答案。 【解析】【解答】甲在 5 天中每天加工零件的个数为：18,19,23,27,28；乙在 5 天中每天加工零件的个数为：17,19,21,23,25 对于 A，甲加工零件数的极差为 ，乙加工零件数的极差为 ，A 不符合题意； 对于 B，甲加工零件数的中位数为 ，乙加工零件数的中位数为 ，B 不符合题意； 对于 C，甲加工零件数的平均数为 ，乙加工零件数的中位数为 ，C 符合题意； 对于 D，甲加工零件数的方差
9、为 ，乙加工零件数的方差为 ，D 不符合题意； 故答案为：C 【分析】根据题意由已知的茎叶图中的数据，并代入到极差、方差和中位数公式计算出结果由此对选项逐一判断即可得出答案。 【解析】【解答】，所以，又当时，所以在点处的切线方程为：，即 故答案为：A 【分析】根据题意对函数求导，并把 x 的数值代入到导函数的解析式，计算出切线的斜率，然后由点斜式即可求出直线的方程。 【解析】【解答】由的展开式通项为， 所以 的展开式 项为 ， 故系数为 . 故答案为：B 【分析】由已知条件首先求出二项展开式的通项公式，再结合题意代入数值计算出结果即可。 【解析】【解答】由图可知函数定义域为x|x0，由此排除
10、A； 该函数图像关于原点对称，则该函数为奇函数，需满足 f(x)f(x)0， 对于 B 项：f(x)f(x)0，故排除 B； C 和 D 均满足 f(x)f(x)0， 对于 C： ，当 x时， 0，故 ， y 增长的速率比 y 增长的速率慢， 即图像在 x 轴上方无限接近于 x 轴正半轴，与题意不符，故排除 C. 综上，D 选项正确. 故答案为：D. 【分析】首先求出函数的定义域，再由奇偶函数的定义以及图象的性质，由此即可判断出选项 A、B 的正误；然后由函数单调性的性质和图象，对选项 C、D 判断正误，由此即可得出答案。 【解析】【解答】如图，过点 B 作 BD 垂直准线于点 D，则由抛物线
11、定义可知：， 设直线 AB 为 ， ， ， ，不妨设 ，则 ， 所以 ，解得： ，则 ，解得： ，则 ， 所以 ，解得： ，则直线 AB 为 ， 所以当 时，即 ，解得： ，则 ， 联立 与 得： ，则 ， 所以 ，其中 . 故答案为：C 【分析】根据题意由设而不求法设出点的坐标，再由抛物线的定义以及性质计算出点的坐标，结合斜率公式求出直线的方程，并联立直线与抛物线的方程消元后结合韦达定理计算出点的纵坐标，并把结果代入到三角形的面积公式，由此计算出答案。 【解析】【解答】因为，为单调递增函数，故，由于，故，或， 当 时， ，此时 ； ，故 ； ， ； 当 时， ，此时 ， ，故 ； ， ； A
12、BC 均错误； D 选项， ，两边取自然对数， ，因为不管 ，还是 ，均有 ，所以 ，故只需证 即可， 设 （ 且 ） ，则 ，令 （ 且 ） ，则 ，当 时， ，当 时， ，所以 ，所以 在 且 上恒成立，故 （ 且 ）单调递减，因为 ，所以 ，结论得证，D 符合题意 故答案为：D 【分析】由已知条件结合不等式的简单性质以及对数函数和指数函数的单调性，由此对选项逐一判断即可得出答案。 【解析】【解答】由圆，可知其圆心坐标为，半径为 2， 圆心 到直线 的距离 ，所以可知 B，D 符合题意，A，C 不符合题意. 故答案为：BD 【分析】首先由已知条件求出圆心坐标以及半径，再由点到直线的距离公式
13、计算出结果，从而判断出直线与圆的位置关系，由位置关系即可得出圆到直线距离的点的个数，由此对选项逐一判断即可得出答案。 【解析】【解答】由题设，时，为偶函数， 在 上有 ， 递增，A 符合题意，B 不符合题意； 时， ， 此时， ，即 关于点 对称， 在 上有 ， 不单调，C 符合题意，D 不符合题意. 故答案为：AC 【分析】由函数平移的性质和奇偶函数的定义即可得出函数为偶函数，再由正弦函数的图象和单调性，对选项逐一判断即可得出答案。 【解析】【解答】A：如下图，直线与直线 CD 所成角，即为直线与直线 AB 所成角，则，正确； B：构建如下图示的坐标系，过 A 的直线 与长方体所有棱所成的角
14、相等，与面 交于 且 ，又 ，则 ，故 ，则 ，错误. C：如下图，过 A 的直线 m 与长方体所有面所成的角都为 ，则直线 m 为以 为棱长的正方体的体对角线 ，故 ，正确； D：如下图，过 A 的平面 与长方体所有面所成的二面角都为 ，只需面 与以 为棱长的正方体中相邻的三条棱顶点所在平面平行，如面 ，故 ，则 ，正确. 故答案为：ACD 【分析】由正方体的几何性质以及线面角的定义，即可判断出选项 A 正确；由已知条件建立空间直角坐标系由此求出点以及向量的坐标，然后由数量积的夹角公式代入数值计算出结果，由此判断出选项 B 错误；由正方体的几何性质结合三角形的几何性质，计算出正弦值由此判断出
15、选项 C 正确；结合正方体的几何性质以及二面角的定义，利用三角形中的几何计算关系计算出结果，由此判断出选项 D 正确；从而即可得出答案。 【解析】【解答】由题可知，；，；， 由此可知 ，即一个等比数列； A： ，A 不符合题意； B： ，因为 ，所以该数列为递减数列， 又因为当 时， ，所以 恒成立，B 符合题意； C： ，即 ，两边约去 得到 ， 当 时， ，原式成立； 当 时， 恒成立，所以 成立， 即 成立，C 符合题意； D：令 ，再令 ， 令 解得 ，因为 ，所以取 ， 由此可知 时 ； 时 ， 故 为最大值， ，根据单调性 ，即 不恒成立，D 不符合题意. 故答案为：BC 【分析】
16、根据题意首先由已知条件结合等比数列的定义即可得出数列的通项公式；再把数值代入计算出函数的值，由此判断出选项 A 错误；由对数的运算性质以及函数单调性的定义即可判断出选项B 正确；结合函数的单调性以及不等式的性质，整理化简由此判断出选项 C 正确；根据题意代入整理化简函数的解析式，再由二次函数的图象和性质，即可求出函数的最值，由此即可比较出大小，从而判断出选项 D 错误；由此即可得出答案。 【解析】【解答】解：因为，所以，因为，所以 所以 故答案为： 【分析】根据题意由同角三角函数的基本关系式，代入数值由角的取值范围计算出 cosA 的取值，然并把结果代入到正切公式计算出结果即可。 【解析】【解
17、答】如图示，以 C 为原点，为 x 轴正方向，过 C 垂直向上方向为 y 轴建立平面直角坐标系. 因为菱形 ABCD 的边长为 2， ，则 , , , . 因为点 P 在 BC 边上（包括端点） ，所以 ,其中 . 所以 , , 所以 . 因为 ，所以 . 故答案为：-2,2 【分析】由已知条件建立直角坐标系由此计算出点以及向量的坐标， 结合数量积的坐标公式由一次函数的性质即可求出最值，从而即可得出取值范围。 【解析】【解答】由题设，将三棱锥补全为棱长为的正方体，如下图示： 若 ，则 ，即 在 P 为球心，4 为半径的球面上，且 O 为底面中心， 又 ， ， 所以，面 与球面所成弧是以 为圆心
18、，2 为半径的四分之一圆弧，故弧长为 ； 面 与与球面所成弧是以 为圆心，4 为半径且圆心角为 的圆弧，故弧长为 ； 面 与球面所成弧是以 为圆心，4 为半径且圆心角为 的圆弧，故弧长为 ； 所以最长弧的弧长为 . 故答案为： . 【分析】由已知条件结合三棱锥的几何性质，由球面圆弧的几何意义，计算出结果即可。 【解析】【解答】由图可知，若想通过 6 次移动最终停在-2 的位置上，则必然需要向右移动 2 次且向左移动 4 次，记向右移动一次为 R，向左移动一次为 L， 则该题可转化为 RRLLLL 六个字母排序的问题，故落在-2 上的排法为 所有移动结果的总数为 ，所有落在-2 上的概率为 故答
19、案为： 【分析】首先由排列组合以及计数原理计算出结果，并把数值代入到概率公式计算出答案即可。 【解析】【分析】(1)由已知条件求出数列的各个项，再由等比数列的通项公式代入整理即可得出答案。 (2)由(1)的结论即可得出数列的通项公式，再由等比、等差数列的前 n 项和公式，代入数值计算出结果即可。 【解析】【分析】(1)首先由正弦定理整理化简原式，然后由两角和的正弦公式整理即可得证出结论。 (2)由两角和的正弦公式整理化简原式，由此计算出 cosC 的取值，结合角的取值范围以及同角三角函数的基本关系式即可求出 sinA 的值，并把数值代入到余弦定理由此计算出 sinB 的取值，结合角 B的取值范
20、围以及同角三角函数的基本关系式即可求出 cosB 的值，由已知条件结合诱导公式以及两角和的余弦公式代入数值计算出结果即可。 【解析】【分析】(1)根据题意作出辅助线，由中点的性质即可得出线线垂直由此建立空间直角坐标系，从而求出各个点以及向量的坐标，结合数量积的坐标公式即可求出平面的法向量，从而得出面面垂直。 (2)首先由面面垂直的性质定理即可得出线面垂直，然后由三角形中的几何计算关系计算出高的，结合梯形的面积公式以及棱锥的体积公式代入数值计算出 a 的取值；然后由空间直角坐标系求出各个点以及向量的坐标，结合数量积的夹角公式计算出线面角的大小即可。 【解析】【分析】(1)根据题意线性回归的性质把
21、数值代入到公式计算出结果，再由线性回归方程利用待定系数法计算出结果，从而得出方程。 (2)首先整理化简得出函数的解析式，再对函数求导由导函数的性质即可得出函数的单调性，由函数的单调性即可求出函数的极值，结合函数极值与最值的关系即可得出答案。 【解析】【分析】(1)首先设出点的坐标，然后由斜率的坐标公式代入整理化简即可得出点 M 的轨迹方程。 (2)根据题意设出点的坐标以及直线的方程，再联立直线与椭圆的方程消元后得到关于 x 的方程，结合韦达定理即可求出两根之和与两根之积关于 n 的代数式，由二倍角的正切公式代入即可得出角之间的关系，由此得证出结论。 【解析】【分析】(1)首先对函数求导，由导函数的性质即可得出函数的单调性，由此即可得出和，由此代入即可得出导函数的性质从而得出函数的单调性，由函数的单调性即可得出不等式。 (2)根据题意对 x 分情况讨论，结合导函数的性质得出函数的单调性，由函数的单调性以及零点存在性定理即可得证出结论。
