1、 普通高等学校招生全国统一数学考试模拟测试普通高等学校招生全国统一数学考试模拟测试 一、单选题一、单选题 1已知集合 M，N 是全集 U 的两个非空子集，且，则（ ） A B C D 2若，则实数 x，y 满足（ ） A B C D 3若某圆台的上底面半径为 2，下底面半径为 4，高为 3，则该圆台的体积为（ ） A B C D 4已知，则（ ） A B C D6 5在 1859 年的时候，德国数学家黎曼向科学院提交了题目为论小于某值的素数个数的论文并提出了一个命题，也就是著名的黎曼猜想在此之前，著名数学家欧拉也曾研究过这个问题，并得到小于数字的素数个数可以表示为的结论若根据欧拉得出的结论，估
2、计以内的素数的个数为（ ） （素数即质数，计算结果取整数） A2172 B4343 C869 D8686 6若的展开式中常数项为，则实数（ ） A B2 C D2 7已知、分别为椭圆 C：的左、右焦点，P 是椭圆 C 上的一点，直线l：，且，垂足为 Q 点若四边形为平行四边形，则椭圆 C 的离心率的取值范围是（ ） A B C D 8已知函数，直线是曲线的一条切线，则的取值范围是（ ） A B C D 二、多选题二、多选题 9为了庆祝中国共产党成立 100 周年，讴歌中华民族实现伟大复兴的奋斗历程，增进全体党员干部职工对党史的了解，某单位组织开展党史知识竞赛活动，将本单位全体党员党史知识竞赛的
3、成绩（均位于之内）整理，得到如图所示的频率分布直方图根据此频率分布直方图，下列结论正确的是（ ） A本次成绩不低于 80 分的人数的占比为 75 B本次成绩低于 70 分的人数的占比为 5 C估计本次成绩的平均分不高于 85 分 D本次成绩位于的人数是其他人数的 3 倍 10如图所示，四棱锥的底面为正方形，底面 ABCD，则下列选项中两异面直线所成夹角大于的是（ ） ABC 与 SD BAB 与 SC CSB 与 AD DAC 与 SB 11已知函数（，） ，若函数的部分图象如图所示，函数，则下列结论不正确的是（ ） A函数的图象关于直线对称 B函数的图象关于点对称 C将函数的图象向左平移个单
4、位长度可得到函数的图象 D函数在区间上的单调递减区间为 12阿基米德（公元前 287 年公元前 212 年）是古希腊伟大的物理学家、数学家、天文学家，不仅在物理学方面贡献巨大，还享有“数学之神”的称号抛物线上任意两点 A、B 处的切线交于点P，称为“阿基米德三角形”已知抛物线 C：的焦点为 F，过 A、B 两点的直线的方程为，关于“阿基米德三角形”，下列结论正确的是（ ） A B C点 P 的坐标为 D 三、填空题三、填空题 13在正项等比数列中，若，则 14写出一个同时满足下列条件的向量 ；向量与的夹角 15已知在正四面体中，记以 PA 为直径的球为球 O，则平面 ABC 截球 O 所得截面
5、的面积为 16若对任意恒成立，则实数 a 的取值范围为 四、解答题四、解答题 17如图，在梯形 ABCD 中，点 E 在边 CD 上， （1）求 BE，CE； （2）若，求 18中共中央国务院关于实现巩固拓展脱贫攻坚成果同乡村振兴有效衔接的意见明确提出，支持脱贫地区乡村特色产业发展壮大，加快脱贫地区农产品和食品仓储保鲜、冷链物流设施建设，支持农产品流通企业、电商、批发市场与区域特色产业精准对接当前，脱贫地区相关设施建设情况如何？怎样实现精准对接？未来如何进一步补齐发展短板？针对上述问题，假定有 A、B、C 三个解决方案，通过调查发现有的受调查者赞成方案 A，有的受调查者赞成方案 B，有的受调查
6、者赞成方案 C，现有甲、乙、丙三人独立参加投票（以频率作为概率） （1）求甲、乙两人投票方案不同的概率； （2）若某人选择方案 A 或方案 B，则对应方案可获得 2 票，选择方案 C，则方案 C 获得 1 票，设是甲、乙、丙三人投票后三个方案获得票数之和，求的分布列和数学期望 19已知数列满足 （1）求数列的通项公式； （2）对任意的，令，求数列的前 n 项和 20在如图所示的多面体 AFDCBE 中，平面 BCE， （1）在线段 BC 上是否存在一点 G，使得平面 AFC？如果存在，请指出 G 点位置并证明；如果不存在，请说明理由； （2）当三棱锥的体积为 8 时，求二面角的余弦值 21已知
7、双曲线 C：的渐近线方程为，过双曲线 C 的右焦点的直线与双曲线 C 分别交于左、右两支上的 A、B 两点 （1）求双曲线 C 的方程； （2）过原点 O 作直线，使得，且与双曲线 C 分别交于左、右两支上的点 M、N是否存在定值，使得？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由 22已知函数 （1）讨论函数的单调性； （2）若存在，满足，且，求实数 a 的取值范围 答案解析部分答案解析部分 【解析】【解答】表示集合的补集， 因为 ， 所以 。 故答案为：A 【分析】利用已知条件结合集合间的关系，再结合交集和并集、补集的运算法则，进而找出正确的选项。 【解析】【解答】因为，所以， 则 ，即实数
8、x，y 满足 。 故答案为：B 【分析】利用已知条件结合复数的乘法运算法则和复数相等的判断方法，进而得出 x，y 的关系式。 【解析】【解答】由公式，可知：该圆台的体积为。 故答案为：C 【分析】利用已知条件结合圆台的体积公式，进而得出该圆台的体积。 【解析】【解答】因为，所以。 故答案为：B 【分析】利用已知条件结合二倍角的正弦公式和同角三角函数基本关系式，从而得出 的值。 【解析】【解答】。 故答案为：D 【分析】利用已知条件结合 欧拉得出的结论和对数的运算法则以及换底公式，进而估计 以内的素数的个数。 【解析】【解答】由二项式展开式的通项为， 令 ，可得 ， 当 时，可得展开式的常数项为
9、 ，所以 ，解得 。 故答案为：A. 【分析】利用已知条件 的展开式中常数项为，再结合二项式定理求出展开式中的通项公式，再利用通项公式的展开式中的常数项，从而得出实数 a 的值。 【解析】【解答】设，则， 四边形 为平行四边形， ，即 ， ， ，得 。 故答案为：B 【分析】设 ，再利用已知条件结合两直线垂直斜率之积等于-1，则，再利用四边形为平行四边形，所以，再利用两点距离公式结合椭圆中 a,b,c 三者的关系式，再结合椭圆的离心率公式， 从而解一元二次不等式组求出椭圆的离心率的取值范围。 【解析】【解答】设切点为， 曲线 在切点 处的切线方程为 ， 整理得 ， 所以 令 ，则 当 时， ，
10、 单调递减； 当 时， ， 单调递增故 ， 则 的取值范围是 故答案为：B 【分析】设切点为 ，再利用求导的方法求出切线在切点处的切线的斜率，再结合切点的横坐标结合代入法求出切点的纵坐标，进而得出切点的坐标，再利用点斜式求出切线方程，所以令，再利用求导的方法判断函数的单调性，从而求出函数的最小值，进而得出的取值范围。 【解析】【解答】本次成绩不低于 80 分的人数的占比为，A 项正确； 因为 ，所以 ，则本次成绩低于 70 分的人数的占比为 5，B 项正确； 本次成绩的平均分约为 所以估计本次成绩的平均分不高于 85 分，C 项正确； 成绩位于 的频率为 ，本次成绩位于 的人数 占比为 70%
11、，因为 ，所以 D 项错误 故答案为：ABC 【分析】利用已知条件结合频率分布直方图中的数据结合频率分布直方图求平均数公式，进而结合统计的方法，从而找出结论正确的选项。 【解析】【解答】对于 A，因为底面 ABCD，平面 ABCD，所以，则 BC 与 SD所成角的大小为，A 项符合 对于 B，因为底面 ABCD 是正方形，所以 ，则 AB 与 SC 所成的角为 ，B 项不符合 对于 C，因为 ，所以 SB 与 AD 所成的角为 ，由题知 ，所以 ，C 项符合 对于 D，因为 底面 ABCD， 平面 ABCD，所以 因为 ABCD 是正方形，所以 又因为 ，所以 平面 SBD 因为 平面 SBD
12、，所以 ，则 AC 与 SB 所成角的大小为 ，D 项符合 故答案为：ACD 【分析】利用已知条件结合四棱锥的结构特征和线面垂直的定义推出线线垂直的方法，再结合线线平行结合正切函数的定义，从而结合异面直线求角的方法，进而找出两异面直线所成夹角大于 的选项。 【解析】【解答】根据函数的图象，可知， 当 时，满足 ，则 ，即 ， 因为 ，所以 ，可得 对于 A 中，当 时， ，可得函数 的图象不关于直线 对称，所以 A 项错误； 对于 B 中，当 时， ，可得函数 的图象不关于点 对称，所以 B 项错误； 对于 C 中，因为 ，将其图象向左平移 个单位，可得函数 的图象，所以C 项正确； 对于 D
13、 中，因为 ，所以 ，所以当 ，即 时， 单调递减，所以 D 项错误 故答案为：ABD 【分析】利用已知条件结合绝对值的定义，将函数转化为分段函数，再利用分段函数的图像得出函数 的解析式，进而得出函数 f(x)的解析式，进而得出函数 g(x)的解析式，再结合正弦型函数 g(x)的图像判断出其对称性，从而得出函数的图象关于直线对称和函数的图象关于点对称，再利用余弦型函数的图像变换得出函数的图像，再利用正弦型函数的图像判断出其在区间上的单调递减区间，进而找出结论不正确的选项。 【解析】【解答】设， 联立 ，可得 ， 解得 或 ， 不妨设 ， ，则 ， ， 故 ， ， ，A 项正确； 又因为 ，所以
14、 ，故直线 PA 的斜率为 ， 直线 PA 的方程为 ，即 ， 同理可得直线 PB 的方程为 ， ， 所以 ，B 项正确； 联立 ，可得 ， 故点 P 的坐标为 ，C 项错误； 易知点 F 的坐标为 ， ， ， 所以 ，D 项正确 故答案为：ABD. 【分析】设 ，再利用直线于抛物线相交，联立二者方程求出交点 A,B 的坐标，再利用两点距离公式得出 A,B 两点的距离；再利用直线 PA 的斜率结合点斜式求出直线 PA 的方程，同理可得直线 PB 的方程，再结合两直线垂直斜率之积等于-1，从而证出；再利用两直线联立求交点的方法，进而得出交点 P 的坐标；再利用抛物线的标准方程求出焦点的坐标，再结
15、合两点求斜率公式结合两直线垂直斜率之积等于-1，从而得出，进而找出结论正确的选项。 【解析】【解答】。 故答案为：2。 【分析】利用已知条件结合对数的运算法则和等比数列的性质，进而求出 的值。 【解析】【解答】由，可设， 又因为向量 与 的夹角 ， 所以 ，在该区间任取一个角 即可，不妨取 ， 则 。 故答案为： （答案不唯一） 。 【分析】利用已知条件结合同角三角函数基本关系式，可设 ，再利用向量与的夹角，从而得出角的取值范围，在该区间任取一个角 即可，不妨取，从而求出满足条件的向量。 【解析】【解答】如图，取 BC 的中点 D，连接 AD，过点 P 作平面 ABC 于点 E， 由正四面体
16、的特征可知， 点 E 为 AD 上靠近点 D 的三等分点 因为 PA 为球 O 的直径， 平面 ABC， ， 所以平面 ABC 截球 O 所得截面的直径为 AE 因为 ，所以 ， 故平面 ABC 截以 PA 为直径的球所得截面面积为 。 故答案为： 。 【分析】取 BC 的中点 D，连接 AD，过点 P 作 平面 ABC 于点 E，由正四面体的特征可知，点 E 为 AD 上靠近点 D 的三等分点，利用 PA 为球 O 的直径，平面 ABC，所以平面 ABC 截球 O 所得截面的直径为 AE，再利用，得出 AE 的长，再结合圆的面积公式得出平面 ABC 截以 PA 为直径的球所得截面面积。 【解
17、析】【解答】由可得， 因为 ，所以 令 ，则 ， 当 时， ，当 时， ， 所以 在 上单调递减，在 上单调递增， ，即 （当且仅当 时取等号） ， 故 ，当且仅当 时取等号 在同一坐标系中画出 与 的图象， 如图所示，可知两函数在 之间有一个交点， 故存在 ，使得 成立， 故 ， 故 ，即实数 a 的取值范围为 。 故答案为：1,+)。 【分析】由 结合，可得，令，再利用求导的方法判断函数的单调性，从而求出函数的最小值，故，在同一坐标系中画出与的图象，再结合两函数的图像得出两函数在之间有一个交点，故存在，使得成立，进而得出实数 a 的取值范围。 【解析】【分析】 （1）利用已知条件结合三角形
18、内角和为 180 度的性质得出的值，再利用正弦定理得出 BE 和 CE 的长。 （2）利用已知条件结合两直线平行内错角相等的性质，得出 ，再利用余弦定理得出 EA 的长，再结合余弦定理得出的值，再利用同角三角函数基本关系式得出的值。 【解析】【分析】 （1）利用已知条件结合独立事件乘法求概率公式和互斥事件加法求概率公式，从而得出甲、乙两人投票方案相同的概率，再结合对立事件求概率公式，进而得出甲、乙两人投票方案不同的概率。 （2）利用已知条件得出随机变量 X 的所有可能取值，再利用二项分布求出随机变量 X 的分布列，再结合随机变量 X 的分布列求数学期望公式，进而得出随机变量 X 的数学期望。
19、【解析】【分析】 （1）利用已知条件结合分类讨论的方法，再结合递推公式结合作差法，再利用检验法得出数列的通项公式 。 （2） 利用已知条件结合分类讨论的方法结合分组求和的方法，进而得出数列 的前 n 项和。 【解析】【分析】 （1） 存在，点为中点，理由如下：取线段 AB 的中点 H，连接 EH、HG、EG，再利用已知条件结合平行四边形的定义判断出四边形 AHEF 是平行四边形，所以，再利用线线平行证出线面平行，所以平面 AFC，再利用中点作中位线的方法结合中位线的性质得出线线平行，所以，再利用线线平行证出线面平行，所以平面 AFC，再结合线面平行证出面面平行，从而证出平面平面 AFC，再结合
20、面面平行的性质定理证出线面平行，从而证出平面 AFC。 （2） 设 ，再利用三棱锥的体积公式结合等体积法得出 t 的值，进而得出 CD 的长，以 E 为坐标原点，EC、EB、EF 所在直线分别为 x、y、z 轴，建立空间直角坐标系，进而得出点的坐标，再结合向量的坐标表示得出向量的坐标，再结合数量积求向量夹角公式和二面角为锐角 ，从而得出二面角的余弦值。 【解析】【分析】 （1）利用已知条件结合双曲线的渐近线方程求出 a,b 的关系式，再结合双曲线的右焦点坐标得出 c 的值，再利用双曲线中 a,b,c 三者的关系式得出 a,b 的值，进而得出双曲线的标准方程。 （2） 存在定值 ，使得，再利用与
21、同向，结合向量共线定理，所以，由题意，可设直线，再设，再利用直线与双曲线相交，联立二者方程结合韦达定理得出，由直线分别交双曲线 C的左、右两支于 A、B 两点结合韦达定理和判别式法得出，再利用弦长公式得出，再利用结合两直线平行斜率相等，可设，再设 ，再利用直线与双曲线相交，联立二者方程结合两点关于原点对称的性质得出点 N 的坐标，进而得出 ，再利用弦长公式得出，进而得出为定值，从而存在定值，使得。 【解析】【分析】 （1）利用已知条件结合分类讨论的方法，再结合求导的方法判断函数的单调性，进而讨论出函数的单调性。 （2） 利用 ，再利用，得出，令，即方程在上有解，令，再利用求导的方法判断函数的单调性，从而求出函数的值域，则在上恒成立，不合题意；当时，令，可知该方程有两个正根，再利用方程两根之积为 1 且结合韦达定理得出，再利用分类讨论的方法结合求导的方法判断函数的单调性，进而得出函数的值域，则，令，再利用求导的方法判断函数的单调性，从而求出函数的值域，则，故存在，使得，进而求出满足题意的实数 a 的取值范围。
