1、高三下学期理数联考试卷高三下学期理数联考试卷 一、单选题一、单选题 1已知集合，则下列结论正确的是（ ） A B C D 2用系统抽样的方法从 720 人中抽取 24 人参加某项公益活动，现将这 720 人从 1 到 720 随机编号，已知分组后某组抽到的号码为 77，则抽到的 24 人中编号在区间的数量为（ ） A12 B14 C11 D16 3设复数 z 满足，且 z 的实部小于虚部，则（ ） A B C D 4已知是定义域为上的单调增函数，且对任意，都有，则的值为（ ） A12 B14 C-14 D18 5已知向量 ，且 ，则 的值为（ ） A B C-6 D6 6若 ，则 的值为( )
2、 A B C D 7已知抛物线的焦点为 F，过点 F 作直线 l 与抛物线分别交于 A，B 两点，若第一象限内的点为线段的中点，则的长度为（ ） A12 B18 C16 D8 8已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体最长的棱长为（ ） A B C D3 9已知为等比数列，则“”是“为递增数列”的（ ） A必要而不充分条件 B充分而不必要条件 C既不充分也不必要条件 D充要条件 10已知函数，的最小正周期为，函数的图象关于直线对称，且满足函数在区间上单调递增，则（ ） A B C D 11的展开式中 x 的奇数次幂项的系数之和为 32，则实数（ ） A2 B0 C-1 D1 12设为上的偶函数
3、且，当时，若方程在内只有 3 个解，则实数 a 的取值范围是（ ） A B C D 二、填空题二、填空题 13已知函数的图象过原点，且在原点的切线为第一、三象限的平分线，试写出一个满足条件的函数 . 14已知球的直径，C，D 是球面上的两点，且，若，则三棱锥的体积的最大值是 . 15已知中，角 A、B、C 所对应的边分别为 a、b、c，且，若的面积为，则的取值范围为 . 16已知椭圆，双曲线的离心率互为倒数，为双曲线的左、右焦点，设点 M 为的渐近线上的一点，若（O 为坐标原点） ，的面积为 16，则的方程为 . 三、解答题三、解答题 17人耳的听力情况可以用电子测听器检测，正常人听力的等级为
4、 025dB（分贝） ，并规定测试值在区间为非常优秀，测试值在区间为优秀，某单位 25 名人员都参加了听力测试，将所得测试值制成如图所示频率分布直方图： （1）现从测试值在区间内的同学中任意抽取 2 人，其中听力非常优秀的同学人数为 X，求X 的数学期望； （2）现选出一名同学参加另一项测试，测试规则如下：四个音叉的发音情况不同，由强到弱的编号分别为 1，2，3，4.测试前将音叉顺序随机打乱，被测试的同学依次听完后，将四个音叉按发音由强到弱重新排序，所对应的音叉编号分别为，（其中，为编号音叉1，2，3，4 的一个排列）.记，可用 Y 描述被测试者的听力偏离程度，求的概率. 18已知等比数列中，
5、. （1）求数列的通项公式； （2）设，求. 19如图，在三棱柱中，平面，M 为线段上的动点. （1）证明：； （2）若 E 为的中点，求点到平面的距离. 20已知椭圆的左、右焦点分别为、，点 P，Q 为椭圆 C 上任意两点，且点 P，Q 三点共线，若三角形的周长为 8，离心率. （1）求椭圆 C 的标准方程； （2）设椭圆 C 外切于矩形，求矩形面积的最大值. 21已知函数. （1）若在定义域内单调递增，求 a 的取值范围； （2）设，m，n 分别是的极大值和极小值，且，求 S 的取值范围. 22在平面直角坐标系中，曲线 C 的参数方程为（为参数）.在以原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系
6、中，曲线 M 的极坐标方程为. （1）求曲线 C 的普通方程和曲线 M 的直角坐标方程； （2）若射线，与曲线 C，M 分别交于点 A，B，求的取值范围. 23已知函数，. （1）已知不等式无解，求实数 m 的取值范围； （2）记的最大值为 M，若正实数 a，b 满足，试求：的最小值. 答案解析部分答案解析部分 1 【答案】C 【解析】【解答】，所以， ，所以. ，A 不符合题意，B 不符合题意； ，D 不符合题意. ，C 符合题意. 故答案为：C 【分析】 由集合的定义分别化简集合 A、B,再逐项进行判断即可得答案. 2 【答案】D 【解析】【解答】组距为， ，故抽取的为， ， 所以抽到的
7、24 人中编号在区间的数量为 16. 故答案为：D 【分析】求得组距，然后确定抽到的 24 人中编号在区间的数量. 3 【答案】D 【解析】【解答】设， 则， 所以. 故答案为：D 【分析】已知条件，利用模的计算公式可得关于 x, y 的方程组，求解可得答案. 4 【答案】B 【解析】【解答】因为是定义域为上的单调增函数，且对任意，都有， 所以必是常数， 设（k 为常数） ，得， 所以，解得， ，因此. 故答案为：B 【分析】为常数，可设，即，然后根据已知函数值求出 k，进而可求出 的值 . 5 【答案】C 【解析】【解答】因为 ， 所以 ，解得 . 故答案为：C. 【分析】根据题意由共线向量
8、的坐标公式，代入数值计算出结果即可。 6 【答案】A 【解析】【解答】由于 ，所以 ，所以 ， 所以 . 故答案为：A 【分析】先求得 的值，然后利用 ，求得 的值. 7 【答案】C 【解析】【解答】解：由条件得，设，直线的方程为：， 联立得， ，由得. ，所以. 故答案为：C 【分析】设，直线的方程为：，联立直线与抛物线方程，消元，列出韦达定理，由 AB 的中点 M 的坐标，求出参数 m 的值，即可得到，再根据焦点弦的性质计算可得 的长度 。 8 【答案】B 【解析】【解答】画出三视图对应的几何体的直观图如下图所示四棱锥. ， ， ，. 所以最长的棱长为. 故答案为：B 【分析】画出直观图，
9、然后计算出最长的棱长。 9 【答案】A 【解析】【解答】当公比且时，此时，不递增，充分性不成立， 当等比数列为递增数列时，显然必要性成立. 综上所述：“”是“为递增数列”的必要而不充分条件. 故答案为：A 【分析】通过且，可知虽然，但此时数列不是递增数列，充分性不成立；根据递增数列的定义可知必要性成立，从而得到结果. 10 【答案】A 【解析】【解答】由于的最小正周期为，所以， 由于的图象关于直线对称，且满足函数在区间上单调递增， 所以， ，由于，所以. 故答案为：A 【分析】根据题意，由正弦函数的周期计算可得，结合正弦函数的图象可得函数 f(x)在时取得最大值，则有，变形可得，结合的范围分析
10、可得答案. 11 【答案】B 【解析】【解答】依题意，的展开式中 x 的奇数次幂项的系数之和为 32， 故，解得. 故答案为：B 【分析】结合二项式展开式的通项公式列方程，化简求得 a 的值。 12 【答案】D 【解析】【解答】解：由得， 又为偶函数， ， 为周期为 2 的函数. 因为方程在区间内有 3 个解， 所以函数与函数的图像在区间内有 3 个交点， 当时显然不合题意； 当时，作出函数与函数的图像，如图所示： 由图得， 解得. 故答案为：D. 【分析】将问题转化为函数与函数的图像在区间内有 3 个交点，求解即可得出答案。 13 【答案】f(x)=sinx（答案不唯一） 【解析】【解答】，
11、 ， 所以在原点处的切线方程为，符合题意. 故答案为：f(x)=sinx 【分析】利用导数求函数在原点处的切线方程，从而求得一个答案。 14 【答案】 【解析】【解答】解：如图， 在三棱锥中， 设中点为 O，则 O 为球心， 连接， 由题意得， 为正三角形， ， 当且仅当平面时取等号. 所以三棱锥的体积的最大值是， 故答案为： 【分析】 由题意画出图形，可知要使 VB-ACD的体积最大，则面平面，则三棱锥的体积最大值可求. 15 【答案】 【解析】【解答】， ，由余弦定理可得， ，解得， ， ，. 所以 ， ，. 因此，. 故答案为： 【分析】由三角形面积可得，由已知条件结合余弦定理可得，然后
12、由同角三角函数基本关系式可求得，从而可求得，则可得，则利用三角函数恒等变换公式可得，再利用正弦函数的性质可求出 的取值范围 。 16 【答案】 【解析】【解答】椭圆的离心率为， 所以双曲线的离心率为， 不妨设在直线上，设，则，设， 则， ，.整理得， 依题意：，即：， 联立得. ， 的方程为：. 故答案为： 【分析】根据椭圆的离心率求得双曲线的离心率，从而求得双曲线渐近线的方程，根据以及 的面积列方程，化简求得 a, b，从而求得的方程. 17 【答案】（1）解：听力等级为有人，听力等级为有人， X 的所有可能值为 0，1，2. ，. X 的数学期望为：. （2）解：序号，的排列总数为种， 当
13、时， 当时， ，的取值为，或，或，. 所以时，序号，对应的情况为 4 种， 所以. 【解析】【分析】(1)根据题意得 X 的可能值为 0,1, 2，求出对应的概率，写出 X 的分布列，计算数学期望值； (2) 序号，的排列总数为种， 计算 Y2 对应的种数为 Y=0 或 Y=2 时共 4种，求出对应的概率值. 18 【答案】（1）解：设数列的公比为 q，则， 或（舍去） ， 由得. . （2）解：设 . 【解析】【分析】(1)根据已知条件求得等比数列 的首项和公比，由此求得 an； (2)利用错位相减求和法求得 . 19 【答案】（1）证明：因为平面，平面，所以 在中，所以. 所以. 因为，平
14、面，所以平面. 平面， . （2）解：由（1）知， 以 B 为原点建立如图所示的空间直角坐标系. 则， ， 设平面的法向量为，则, 令，则，所以. 又因为，故点到平面的距离 . 【解析】【分析】 （1）利用线面垂直的判定定理证得 平面 ，即可证得 ； （2） 以 B 为原点建立空间直角坐标系， 利用向量法即可求出点到平面的距离. 20 【答案】（1）解：因为三角形的周长为 4， 所以，则， 又， ， ， 所以椭圆 C 的方程为. （2）解：当矩形中有一条边与坐标轴平行时，则另外三条也与坐标轴平行， 此时. 当矩形的边都不与坐标轴平行时，由对称性，不妨设直线的方程为；，则的方程为：. 的方程为：
15、，的方程为：. 由，得， 令得，同理得. 矩形的边长分别为，. ， ， 当且仅当时取等号.所以矩形面积的最大值是 12. 【解析】【分析】 （1）根据三角形的周长为 4， 得到 ，再由 ， 得到 ，求解可得椭圆 C 的标准方程； （2）当矩形中有一条边与坐标轴平行时，则另外三条也与坐标轴平行，易解；当矩形的边都不与坐标轴平行时，由对称性，不妨设直线的方程为；，则的方程为：，的方程为：，的方程为：，与椭圆方程联立，分别求得矩形 的边长|AB|，|AD|，再利用基本不等式即可求出矩形面积的最大值. 21 【答案】（1）解：由已知， 在定义域上单调递增，则，即在上恒成立， 而，“”在时取得，. （2
16、）解：由（1）知，欲使在有极大值和极小值，必须. 又，所以. 令的两根分别为， 即的两根分别为， 于是. 不妨设， 则在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 所以， 所以 令，则，于是. ， 即，结合解得. 因为， 所以在上为减函数， ， 所以. 【解析】【分析】(1)由条件可知恒成立，所以对 f(x)求导，分离参数 a 可得： 在上恒成立 ，利用对勾函数求 在上的最大值，可得 a 的取值范围； (2) 利用 f(x)在(0,+)有极大值和极小值和已知条件，可求出 a 的范围以及根与系数的关系，用变量集中的方法表示出 S 的函数，设变量为 t，再根据两根的范围解出 t 的范围，利用单调性即
17、可求出 S的范围. 22 【答案】（1）解：曲线 C 方程为， . ， . 曲线 C 的普通方程为. 由得. 曲线 M 的直角坐标方程为，即. （2）解：曲线 C 的极坐标方程为， 由得， 由得， . ， . 所以的取值范围是. 【解析】【分析】 (1)直接利用转换关系，在参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换； (2)利用极径的应用和向量的数量积和三角函数的关系式的变换的应用求出 的取值范围. 23 【答案】（1）解：因为，所以， 函数在上为常数函数，在上为常数函数，在上为减函数，所以函数的值域为. 函数图形如下所示： 欲使无解，所以， . （2）解：由（1）知， . . 当且仅当时取等号，结合得，. 的最小值为 【解析】【分析】 （1）将函数写成分的函数的形式，即可得到函数图像，从而得到函数的值域，即可求出实数 m 的取值范围； （2）由（1）知， ，则 ，再利用乘“1”法及基本不等式计算可得 的最小值.
