1、 高三理数三模试卷高三理数三模试卷 一、单选题一、单选题 1已知复数 z 在复平面内对应的点的坐标为，则下列结论正确的是（ ） A B复数 z 的共轭复数是 C的实部为-3 D 2若集合，则（ ） A B C D 3已知为锐角，则的取值范围为（ ） A B C D 4符号表示大于或等于 x 的最小整数，在下图中输入的 a，b 依次为和 1.3，则输出的结果是（ ） A0.3 B0.4 C0.6 D0.7 5在各面均为正三角形的四面体中，M，N 分别是棱 AD，BC 的中点，则异面直线 BM与 AN 所成角的余弦值为（ ） A B C D 6在等差数列中，且它的前项和有最小值，则当时，的最大值为
2、（ ） A7 B8 C13 D14 7算盘是一种手动操作计算辅助工具它起源于中国，迄今已有 2600 多年的历史，是中国古代的一项重要发明，算盘有很多种类现有一种算盘（如图一） ，共两档，自右向左分别表示个位和十位，档中横以梁，梁上一珠拨下，记作数字 5，梁下四珠，上拨每珠记作数字 1（例如图二中算盘表示整数 51） 如果拨动图一算盘中的三枚算珠，可以表示不同整数的个数为（ ） A16 B15 C12 D10 8函数是定义在 R 上的单调函数，则（ ） A9 B8 C3 D1 9已知平行四边形 ABCD 中，.N 为平面 ABCD 内一点，若，则（ ） A28 B14 C12 D6 10已知，
3、则下列结论正确的是（ ） A B C D 11已知抛物线，过其焦点 F 的直线 l 交抛物线于 A，B 两点，若，且抛物线 C 上存在点 M 与 x 轴上一点关于直线 l 对称，则该抛物线的方程为（ ） A B C D 12已知为三次函数，其图象如图所示.若有 9 个零点，则的取值范围是（ ） A B C D 二、填空题二、填空题 13某校在一次月考中共有 800 人参加考试，其数学考试成绩 X 近似服从正态分布，试卷满分 150 分.现已知同学甲的数学成绩为 90 分，学校排名为 720，若同学乙的数学成绩为 120 分，则他的学校排名约为 名. 14的展开式中的系数为 .（用数字作答）.
4、15祖暅是我国古代的伟大科学家，他在 5 世纪末提出：“幂势即同，则积不容异”，意思是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意一个平面所截，若截面面积都相等，则这两个几何体的体积相等.这就是著名的祖暅原理，祖暅原理常用来由已知几何体的体积推导未知几何体的体积，例如由圆锥和圆柱的的体积推导半球体的体积，其示意图如图一所示. 利用此方法，可以计算如下抛物体的体积：在平面直角坐标系中，设抛物线 C 的方程为，将 C 围绕 y 轴旋转，得到的旋转体称为抛物体.利用祖暅原理它可用一个直三棱柱求解，如图二，由此可计算得该抛物体的体积为 . 16已知函数，其中 a，b，.若的图象上存在两
5、点处的切线互相垂直，则的最大值为 . 三、解答题三、解答题 17已知数列满足：，. （1）求； （2）求数列的前 n 项和. 18在全球抗击新冠肺炎疫情期间，我国医疗物资生产企业加班加点生产防疫物品，保障抗疫一线医疗物资供应，某口罩生产厂商在加大生产的同时，狠抓质量管理，不定时抽查口罩质量，质检人员从某日所生产的口罩中随机抽取了 100 个，将其质量指标值分成以下五组：，得到如下频率分布直方图. （1）规定：口罩的质量指标值越高，说明该口罩质量越好，其中质量指标值低于 130 的为二级口罩，质量指标值不低于 130 的为一级口罩，现从样本口罩中利用分层抽样的方法随机抽取 8 个口罩，再从中抽取
6、 3 个，求抽取的口罩至少有一个一级口罩的概率； （2）在 2021 年“双十一”期间，某网络购物平台推出该型号口罩订单“秒杀”抢购活动，甲乙丙三人分别在该平台参加一次抢购活动，假定甲乙丙抢购成功的概率分别为 0.1，0.2，0.3，记三人抢购成功的总次数为 X，求 X 分布列及数学期望. 19已知空间几何体 ABCDE 中，与均为边长为 2 的等边三角形，为腰长为的等腰三角形，平面 CDE平面 BCD，平面 ABC平面 BCD. （1）试在平面 BCD 内作一条直线，使直线上任意一点 F 与 A 的连线 AF 均与平面 CDE 平行，并给出详细证明； （2）求二面角的余弦值. 20已知双曲线
7、的右焦点为，成等差数列，过的直线交双曲线于两点，若双曲线过点. （1）求双曲线的标准方程； （2）过双曲线的左顶点作直线，分别与直线交于两点，是否存在实数，使得以为直径的圆恒过，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 21已知函数，. （1）判断函数的零点个数； （2）比较，的大小，并说明理由. 22在极坐标系中，射线 的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为，且射线 与曲线有异于点的两个交点，. （1）求的取值范围； （2）求的取值范围. 23已知函数. （1）当时，解不等式； （2）当时，求证：. 答案解析部分答案解析部分 【解析】【解答】解：因为复数在复平面内对应的点的坐标为，所以，所以，所
8、以的实部为-3； 故答案为：C 【分析】由复数的几何意义，确定 ，逐项判断即可。 【解析】【解答】由，则解得：. ， ， = 或 ， . 故答案为：A. 【分析】由集合的交集、补集运算即可求解。 【解析】【解答】由，可得， 因为 ，所以 ，则 ， 所以 的取值范围为 . 故答案为：C. 【分析】由辅助角公式可得 ，求出的范围即可求解。 【解析】【解答】因为，所以，所以. 故答案为：D 【分析】代入数据即可求解。 【解析】【解答】取中点 O，连结， 三棱锥 的所有棱长都相等，M，N 别是棱 ， 的中点， ， 是异面直线 与 所成角， 设三棱锥 的所有棱长为 2， 则 ， . ， . 异面直线 与
9、 所成角的余弦值为 . 故答案为：B. 【分析】取 中点 O，连结，,可知是异面直线与所成角，在三角形BMO 中由余弦定理即可求解。 【解析】【解答】设等差数列的公差为，所以，可得， 由于等差数列的前 项和 有最小值，且 ，则 ，即 ， 所以， ， 若 ，则 ，这与 矛盾，所以， ， ， 则 ， ， 因此，当 时， 的最大值为 13. 故答案为：C. 【分析】由 可判断，进而得到，即可求解。 【解析】【解答】由题意，拨动三枚算珠，有四种拨法： 十位拨动 0 枚，个位拨动 3 枚，有 2 种结果：7 和 3； 十位拨动 1 枚，个位拨动 2 枚，有 4 种结果：12，16，52，56； 十位拨动
10、 2 枚，个位拨动 1 枚，有 4 种结果：21，25，61，65， 十位拨动 3 枚，个位拨动 0 枚，有 2 种结果：30，70， 综上，拨动图一算盘中的三枚算珠，可以表示不同整数的个数为 12. 故答案为：C 【分析】分类讨论，十位和个位 3 枚珠子，一共四种情况。 【解析】【解答】因为函数是定义在 R 上的单调函数，且，所以为常数，记，则，所以，不妨设函数单调递增，且，则，即（矛盾） ，故. 所以 ，故 . 故答案为：C 【分析】由 ，可知为常数，可得，由 f(1)=1，可求 m，即可求解。 【解析】【解答】如图所示，取的中点为，连接， 因为 ，所以 ， 又因为 ，可得 ， 所以 .
11、故答案为：B. 【分析】如图，取 的中点为，连接，易得，代入化简即可求解。 【解析】【解答】，由于，所以， 设 ，则 ，当 时， ，当 时， ， 所以 在 单调递增，在 上单调递减， 所以 ，即 ， 所以 ，两边同乘以 3 得： ，即 ， 又 ， 所以，两边同乘以 2 得： ，即 ， 综上： . 故答案为：A 【分析】构造函数 ，确定单调性，可得，再结合即可比较大小。 【解析】【解答】设抛物线与的准线为， 不妨设 A 在第一象限，如图所示， 分别过点 作 ，垂足为 ， 过点 作 交于点 ， 则 ， ， ， 在 中，由 ，可得 ， 轴， ， ， 直线 方程为 ，由 ， 解得 点的坐标： ， ，
12、代入 ，得 ， 由 解得 ，即抛物线方程为 . 故答案为：D. 【分析】画出图像如图，易得直线 方程为，由，求得M 点坐标，代入抛物线方程即可求解。 【解析】【解答】作出的图像如图所示，由的图像可知， 的极大值为 ，极小值为 ， 有 9 个零点，令 ，结合 和 的图像可知， 有 3 个解， 分别设为 ，且 ， 且每个 对应都有 3 个满足 ， 欲使 有 9 个零点， 由图可知： ， 且 ， ， ， 由函数 的解析式知： ， ， ， 由 图像可知， ， 则 ， 解得 ， 得 ， 故答案为：A. 【分析】作出 的图像如图所示，结合两函数图像可知有 3 个解，分别设为，且，由 由函数 的解析式知：
13、， ， ，再结合 g(x)的图像可得不等式组 ，求解即可。 【解析】【解答】解：因为数学考试成绩 X 近似服从正态分布， 所以 ， 所以考试成绩大于或等于 120 分的人数有 人， 所以同学乙的数学成绩为 120 分，则他的学校排名约为 80 名. 故答案为：80. 【分析】由正太分布密度曲线的对称性即可求解。 【解析】【解答】的展开式通项公式为， 由于求解的是展开式中 的系数，故 ，其中 展开式通项公式为 ， ， 令 得： ，此时展开式中 的系数为 ，令 得： ， 此时展开式中 的系数为 ，综上：展开式中 的系数为 . 故答案为：-42 【分析】由 ，确定通项公式，由 r=8 即可求解。 【
14、解析】【解答】构造如图所示的直三棱柱，高设为 x，底面两个直角边为 2，1 若底面积相等，则 ，解得： ，下面说明截面面积相等，设截面距底面为 t，矩形截面长为 a，圆形截面半径为 r，由左图得到 ，所以 ，所以截面面积为 ，由右图得到 ，所以 ，所以截面面积为 ，两者截面面积相等，所以体积相等，所以抛物体的体积等于三棱柱的体积， 故答案为： 【分析】构造如图所示的直三棱柱，高设为 x，由题意得到截面面积 ，在结合右图，可得，即可求解。 【解析】【解答】解：因为， 故设 ， ， 所以 ， 若 的图象上存在两点处的切线互相垂直， 即存在 使得 ， 则只需要 即可， 则 ，所以 ， 所以 ， 所以
15、 的最大值为 . 故答案为： . 【分析】设 ，求出导函数可得，结合的图象上存在两点处的切线互相垂直，可得化简可得，即可得，由辅助角公式即可求解。 【解析】【分析】 （1）通过作差可得，即可求 ； （2） 由（1）知 ，通过等比、等差数列的求和公式即可求解。 【解析】【分析】 （1）由频率分布直方图计算 二级品的频率和一级品的频率，由分层抽样可确定 二级一级口罩个数 ，进而由古典概型概率计算公式即可求解； （2）由 题知 X 的可能取值为 0，1，2，3， 由独立事件同时发生及互斥事件和事件计算概率，即可求解。 【解析】【分析】 （1） 如图所示：取 BCBD 的中点 OG，连接 OG，AO，
16、AG ，易知 OG 即为所求， （2）如图建立空间直角坐标系，求出两平面的法向量，由向量的夹角公式即可求解。 【解析】【分析】 （1）由 a,b,c 成等差，点 T 在曲线上，列出方程求解即可； （2） 设方程分别为， 可令， 由 以为直径的圆经过 ，可得 ，再由PQ 方程，双曲线方程联立可得， 即可得到， 求解即可。 【解析】【分析】 （1）求出 ，再求导，可得 在上单调递增，在上单调递减， 得 h(0)=0,即可求解； （2）由 ， 结合（1）可得，再由在通过任意的时，可得 ，从而得到 ， 即可求解。 【解析】【分析】 （1）由坐标转换可得直线与圆的直角坐标方程为. ，结合圆心到直线的距离，即可求解。 （2）将 代入 ，即可的 ， ，再由 即可求解。 【解析】【分析】 （1）取绝对值分段求解即可； （2） 由 ，化简可得结合绝对值不等式的三角不等式即可求解。
