1、 高三理数一模试卷高三理数一模试卷 一、单选题一、单选题 1设集合，则（ ） A B C D 2若复数，则在复平面内对应的点位于（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 3函数的图象在点处的切线斜率为 1，则（ ） A1 B-1 C-2 D2 4已知实数 x，y 满足约束条件，则的最大值为( ) A3 B-3 C-6 D6 5某校随机抽取 100 名同学进行“垃圾分类”的问卷测试，发现这 100 名同学的得分都在内，按得分分成，这 5 组，得到如图所示的频率分布直方图，则这 100 名同学得分的中位数为（ ） A72.5 B73.75 C74.5 D75 6已知向量，且，则与的夹
2、角为（ ） A B C D 7如图，在正方体中，为的中点，则过点，的平面截正方体所得的截面的侧视图（阴影部分）为（ ） A B C D 8有这样一种说法：一张纸经过一定次数对折之后厚度能超过地月距离.但实际上，因为纸张本身有厚度，我们并不能将纸张无限次对折，当厚度超过纸张的长边时，便不能继续对折了，一张长边为，厚度为的矩形纸张沿两个方向不断对折，则经过两次对折，长边变为，厚度变为.在理想情况下，对折次数满足关系：，根据以上信息，一张长为 40cm，厚度为 0.1的纸经过对折后的厚度的最大值约为（ ） （） A1.28cm B2.56cm C12.8cm D25.6cm 9已知双曲线的右焦点为，
3、以实轴为直径的圆与其中一条渐近线的一个交点为，若直线与另一条渐近线平行，则的离心率为（ ） A3 B2 C D 10函数的部分图象如图所示，现将的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则在区间上的值域为（ ） A B C D 11十三世纪意大利数学家列昂纳多斐波那契从兔子繁殖问题中发现了这样的一列数：1，1，2，3，5，8，13，即从第三项开始，每一项都等于它前两项的和后人为了纪念他，就把这列数称为斐波那契数列因以兔子繁殖为例子而引入，故又称该数列为“兔子数列”下面关于斐波那契数列的说法不正确的是（ ） A是奇数 B C D 12已知定义在 R 上的奇函数满足，当时，方程在区间内所有实根的和
4、为（ ） A B C D 二、填空题二、填空题 13已知等比数列的前项和为，若，则公比 14十二生肖是中国特有的文化符号，有着丰富的内涵，它们是成对出现的，分别为鼠和牛、虎和兔、龙和蛇、马和羊、猴和鸡、狗和猪六对现有十二生肖的吉祥物各一个，按照上面的配对分成六组甲、乙、丙三位同学依次选一组作为礼物，甲同学喜欢龙和马，乙同学喜欢牛、羊和猴，丙同学喜欢兔、马、狗如果甲、乙、丙三位同学选取的礼物中均包含自己喜欢的生肖，则不同的选法种数为 15一个球被平面截下的一部分叫作球缺，截面叫作球缺的底面，垂直于截面的直径被截下的线段长叫作球缺的高，球缺的体积公式为，其中为球的半径，为球缺的高，则棱长为 2 的
5、正四面体的一个侧面截其外接球所得的球缺（不大于半球的部分）的体积为 . 16已知抛物线的焦点为，过的直线与交于，两点，在处的切线与的准线交于点，若，则 ；面积的最小值为 三、解答题三、解答题 17ABC的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知. （1）求 B； （2）若，求 c. 18已知正方形的边长为 2，沿将折起到的位置（如图） ，为的重心，点在边上，且 （1）证明：平面 （2）若，求平面与平面所成锐二面角的余弦值 19十三届全国人大四次会议表决通过了关于国民经济和社会发展第十四个五年规划和 2035 年远景目标纲要的决议，决定批准这个规划纲要，纲要指出：“加强原创性引领性科技攻
6、关”某企业集中科研骨干，攻克系列“卡脖子”技术，已成功实现离子注入机全谱系产品国产化，包括中束流、大束流、高能、特种应用及第三代半导体等离子注入机，工艺段覆盖至 28nm，为我国芯片制造产业链补上重要一环，为全球芯片制造企业提供离子注入机一站式解决方案此次技术的突破可以说为国产芯片的制造做出了重大贡献该企业使用新技术对某款芯片进行试生产，在试产初期，生产一件该款芯片有三道工序，每道工序的生产互不影响，这三道工序的次品率分别为， 附：， 0.050 0.010 0.005 0.001 3.841 6.635 7.879 10.828 （1）求生产一件该芯片的次品率 试产 100 件该芯片，估计次
7、品件数的期望 （2）某手机生产厂商将该款芯片投入到某新款手机上使用，并对部分芯片做了技术改良，推出了两种型号的手机，甲型号手机采用没有改良的芯片，乙型号手机采用改良了的芯片，现对使用这两种型号的手机用户进行回访，就他们对开机速度进行满意度调查据统计，回访的 100 名用户中，使用甲型号手机的有 30 人，其中对开机速度满意的有 15 人；使用乙型号手机的有 70 人，其中对开机速度满意的有 55 人完成下列列联表，并判断是否有 99.5%的把握认为该项技术改良与用户对开机速度的满意度有关 甲型号 乙型号 合计 满意 不满意 合计 20已知是圆上的任意一点，点，线段的垂直平分线交于点. （1）求
8、动点的轨迹的方程； （2）折线与相交于，两点，若以为直径的圆经过原点，求的值. 21已知函数 （1）判断函数的单调性 （2）证明： 22在数学中，有多种方程都可以表示心型曲线，其中著名的有笛卡尔心型曲线.如图，在直角坐标系中，以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系.图中的曲线就是笛卡尔心型曲线，其极坐标方程为，为该曲线上一动点. （1）当时，求的直角坐标； （2）若射线逆时针旋转后与该曲线交于点，求面积的最大值. 23已知函数. （1）解不等式； （2）若存在，使得成立，求的取值范围. 答案解析部分答案解析部分 【解析】【解答】由，可得：解得：， 由 ，可得： 解得： . 所以 ， ，所以
9、故答案为：B. 【分析】先分别解不等式求出集合 A,B，再利用交集定义直接求解即可. 【解析】【解答】因为， 所以 在复平面内对应的点位于第一象限 故答案为：A 【分析】先利用复数的乘法运算法则计算 z,再判断 z 在复平面内对应点的位置即可. 【解析】【解答】因为，所以，解得. 故答案为：A 【分析】先求函数 的导函数，由导函数的几何意义，可得切线的斜率，解方程可得 a 的值. 【解析】【解答】根据约束条件画出可行域： ，当直线 过点 A 时，z 取得最大值 3. 故答案为：A. 【分析】画出不等式组表示的平面区域，平移目标函数找出最优解，即可求出 z 的最大值. 【解析】【解答】根据频率直
10、方图可得，得分在内的频率为，得分在内的频率为，故这 100 名同学得分的中位数在区间内，为，故这 100 名同学得分的中位数为 72.5. 故答案为：A. 【分析】先根据频率分布直方图计算 ，的频率，由此估算 100 名同学得分的中位数. 【解析】【解答】因为，所以，故与的夹角为. 故答案为：A 【分析】根据题意设向量的夹角为 ，由数量积的计算公式可得，求出的值，分析得向量的夹角. 【解析】【解答】如图，过点，的平面截正方体所得的截面为，所以侧视图为 C. 故答案为：C 【分析】作出过点 ，的平面截正方体所得的截面图，即可得到答案. 【解析】【解答】因为对折次数， ，所以这张纸最多能对折 8
11、次.因为对折 次后，纸张的厚度为 ，所以对折 8 次后这张纸的厚度为 . 故答案为：B 【分析】由已知条件得 ，即纸最多对折 8 次，再计算对折后的厚度即可. 【解析】【解答】不妨设为第一象限的交点.联立方程组可得的坐标为，所以直线的斜率.因为直线与另一条渐近线平行，所以，所以，则，故的离心率. 故答案为：D. 【分析】联立方程 得到 P 点坐标，因为直线 PF 与另一渐近线平行，得 a=b，再计算离心率即可. 【解析】【解答】由图像可以看出： 因为 ，所以 . 因为 ，所以 . 因为 ， 且 ， 所以 ， ， 所以 . 因为 ，所以 . 因为 ，所以 ，所以 ， 故 . 故答案为：C 【分析
12、】由图象可得函数 的解析式，再经过图象的平移得到函数，最后计算区间上的值域即可. 【解析】【解答】因为的项具有 2 奇 1 偶，3 项一周期的周期性，所以是奇数，所以 A符合题意； 因为 ，所以 B 不符合题意； 因为 ，所以 C 符合题意； 因为 ，所以 D 符合题意 故答案为：B. 【分析】直接根据斐波那契数列的递推关系 及数列求和，相消法进行判断即可. 【解析】【解答】因为，所以因为为奇函数，所以，所以， 所以 的周期为 ，方程 即 ，所以 在区间 内所有实根的和转化为 与 交点的横坐标之和， 如图，所以 故答案为：D 【分析】由题意，求出函数 的周期，在区间内所有实根的和转化为与交点的
13、横坐标之和，画出图象即可得出答案. 【解析】【解答】当时，因为，所以不满足因为，所以因为，所以，故 故答案为：2. 【分析】由已知结合等比数列的求和公式即可直接求解. 【解析】【解答】鼠和牛、虎和兔、龙和蛇、马和羊、猴和鸡、狗和猪六对分别记为，则甲喜欢，乙喜欢，丙喜欢，若甲选，乙选，则丙有 2 种选择，共 2 种选法；若甲选，乙不选，则乙有 2 种选择，丙有 3 种选择，共 6 种选法；若甲选，则乙、丙各有 2 种选择，共 4 种选法故共有 12 种不同的选法 故答案为：12. 【分析】根据题意，按甲的选择不同分成两种情况，再分别考虑乙、丙可得出答案. 【解析】【解答】如图所示， 因为 ，所以
14、 ， 所以 ，解得 ， ， ， 所以球缺的体积 . 故答案为： 【分析】先求正四面体外接球的半径，再求出球缺的高，然后结合球缺体积公式求解即可. 【解析】【解答】解：因为焦点为，所以抛物线，不妨设在第二象限， 因为 ，所以 ， 设直线 的方程为 ，与 联立并消去 ，得 ， 设 ， ，则 ， ， 所以 ， 设切线 的方程为 ，与 联立并消去 ，得 ， 因为 ，所以 ， 所以 ， ，即 ， ， ， ， 若 ，则 ， ， 又 到直线 的距离 ， 所以 ，令 ， 所以 ，所以当 时， 的面积最小，最小值为 4 故答案为：5；4. 【分析】设过 F 点的直线为 ，联立方程组得即可得到，再计算点到直线的距
15、离，最后利用面积公式求解面积即可. 【解析】【分析】 （1）在 ABC 中，由正弦定理的化简得，即可得到 B 的值； （2）利用余弦定理可求得 c. 【解析】【分析】 （1） 取的中点，连接， 证明，即可推出平面； （2） 取的中点，连接，则，以 O 为坐标原点建立空间直角坐标系，求出平面 GEC 的法向量，平面 PBC 的法向量，利用空间向量的数量积求解 平面与平面所成锐二面角的余弦值 【解析】【分析】 （1）因为生产一件芯片为次品的对立事件为“ 芯片在三道工序中都为合格品 ”，利用对立事件的概率计算公式即可得出； 生产的 100 件该款芯片中次品的件数 X，可得，即可得出 E(x). （2
16、）根据题意即可得出 22 列联表，利用 的计算公式可得，进而得出结论. 【解析】【分析】 （1）由条件可得，根据椭圆的定义即可求出答案. （2） 设，则 ，联立方程组，用 k 表示 ，的值，又因为以 AB 为直径的圆经过原点，所以，通过向量数量积的坐标运算即可求出 k 的值. 【解析】【分析】 （1）先对函数求导，然后结合导数与单调性的关系即可求解； （2） 令 对其求导判断 F（x）的单调性，从而求得其最值，即可证明不等式. 【解析】【分析】 （1）直接利用转换关系，将参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换； （2）利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果. 【解析】【分析】 （1）利用分类讨论去掉绝对值，求出不等式的解集; （2）根据题意求出 的最小值，再求关于 m 的不等式的解集即可.
