1、 理数联合模拟考试试卷理数联合模拟考试试卷 一、单选题一、单选题 1已知集合，则的真子集共有（ ）个 A3 B4 C6 D7 2已知 为虚数单位，复数，则复数在复平面内对应的点位于（ ） A第一象限 B第三象限 C直线上 D直线上 3在二项式的展开式中，含的项的系数是（ ） A-10 B-5 C10 D20 4数列为等差数列，且，则（ ） A1 B3 C6 D12 5长春 54 路有轨电车建成于上个世纪 30 年代，大概是现存最美的电车路线了，见证着这座城市的历史与发展.学生甲和学生乙同时在长影站上了开往西安大路方向的电车，甲将在创业大街站之前任何一站下车，乙将在景阳大路站之前任何一站下车，他
2、们都至少坐一站再下车，则甲比乙后下车的概率为（ ） A B C D 6已知向量，满足，且与的夹角为，则（ ） A6 B8 C10 D12 7哥特式建筑是 1140 年左右产生于法国的欧洲建筑风格，它的特点是尖塔高耸尖形拱门大窗户及绘有故事的花窗玻璃，如图所示的几何图形，在哥特式建筑的尖形拱门与大窗户中较为常见，它是由线段和两个圆弧，弧围成，其中一个圆弧的圆心为，另一个圆弧的圆心为，圆与线段及两个圆弧均相切，则的值是（ ） A B C D 8从某个角度观察篮球（如图甲） ，可以得到一个对称的平面图形，如图乙所示，篮球的外轮廓为圆，将篮球你表面的粘合线视为坐标轴和双曲线，若坐标轴和双曲线与圆的交点
3、将圆的周长八等分，且，则该双曲线的渐近线的斜率为（ ） A1 B C2 D 9已知线段是圆的一条动弦，且，若点为直线上的任意一点，则的最小值为（ ） A B C D 10把方程表示的曲线作为函数的图象，则下列结论正确的是（ ） 在上单调递减；的图像关于原点对称；函数不存在零点；的图象上的点到坐标原点的距离的最小值为 2； A B C D 11已知数列的首项是，前项和为，且，设，若存在常数，使不等式恒成立，则的取值范围为（ ） A B C D 12已知三棱锥三条侧棱，两两互相垂直，且，分别为该三棱锥的内切球和外接球上的动点，则线段的长度的最小值为（ ） A B C D 二、填空题二、填空题 13
4、某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为 . 14若将函数图象上所有的点向左平移个单位长度得到函数的图象，已知函数的部分图象如图所示，则的解析式为 . 15已知函数，则不等式的解集为 . 16已知点是曲线上任意一点，过点向轴引垂线，垂足为，点是曲线上任意一点，则的最小值为 . 三、解答题三、解答题 17如图，正方形与梯形所在的平面互相垂直，为的中点. （1）求证：平面平面； （2）求二面角的正弦值. 18在我国抗疫期间，为了保证高中数学的正常进行，通过“钉钉腾讯会议”等软件进行了线上教学，为抗疫起到了积极的作用，但一个优秀的视频除了需要有很好的素材外，更要有制作上的技术要求，小明同学学习利
5、用“VB”等软件将已拍摄的素材进行制作，每次制作分三个环节来进行，其中每个环节制作合格的概率分别为，只有当每个环节制作都合格才为一次成功制作，该视频视为合格作品. （参考答案，参考数据：）. （1）求小明同学进行 3 次制作，恰有一次合格作品的概率； （2）若小明同学制作 15 次，其中合格作品数为，求的数学期望与方差； （3）随着制作技术的不断提高，小明同学制作的小视频被某高校看中，聘其为单位制作教学软件，决定试用一段时间，每天制作小视频（注：每天可提供素材制作个数至多 40 个） ，其中前 7 天制作合格作品数与时间 如下表： （第 天用数字 表示） 时间 1 2 3 4 5 6 7 合格
6、作品数 3 4 3 4 7 6 8 其中合格作品数与时间具有线性相关关系，求关于 的线性回归方程（精确到 0.01） ，并估算第 15 天能制作多少个合格作品（四舍五入取整）？ 19中，点，是线段上两点（包括端点） ，. （1）当时，求的周长； （2）设，当的面积为时，求的值. 20已知椭圆的离心率与等轴双曲线的离心率互为倒数关系，直线与以原点为圆心，以椭圆的短半轴长为半径的圆相切. （1）求椭圆的方程； （2）设是椭圆的上顶点，过点分别作直线，交椭圆于，两点，设两直线的斜率分别为，且，求证：直线过定点. 21已知函数，. （1）当时，求在的单调区间； （2）当时，若对任意，总存在，使得不等式
7、成立，求实数的取值范围.（） 22在直角坐标系中，已知曲线的参数方程为（为参数） ，直线 的方程为.以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系. （1）求曲线和直线 的极坐标方程； （2）若点在直线 上，且，射线与曲线相交于异于点的点.求的最小值. 23已知的最小值为. （1）解关于的不等式； （2）若正实数，满足，求取最小值时 a-b 的值. 答案解析部分答案解析部分 【解析】【解答】由题设， 的真子集共有个. 故答案为：A. 【分析】 先求出集合 A 中的元素，再求其真子集即可得答案。 【解析】【解答】， ，复平面对应的点为， 复数在复平面内对应的点位于第四象限，在直线上， 故答案为：
8、D. 【分析】 把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，求出的坐标得答案. 【解析】【解答】解：二项式展开式的通项为，令，解得，所以，故含的项的系数是-10； 故答案为：A 【分析】在二项展开式的通项公式中，令 x 的幂指数等于 1，求出 r 的值，即可求得 x 的系数. 【解析】【解答】表示半径为 2 的四分之一圆面积（处于第一象限） ， ，又为等差数列， ，则. 故答案为：D. 【分析】根据定积分的几何意义求，再应用等差中项的性质即可求出答案。 【解析】【解答】甲将在长影站上车，将在创业大街站之前任何一站下车,可能在 6 个站下车， 乙在长影站上车，将在景阳大路站之前任何一站下车，
9、可能在 9 个站下车，则甲、乙下车的情况共有种可能； 他们都至少坐一站再下车，若乙在湖西路先下车，甲后下车的情况有 5 种可能，若乙在长久路先下车，甲后下车的情况有 4 种可能，若乙在宽平大路先下车，甲后下车的情况有 3 种可能，若乙在宽平大桥先下车，甲后下车的情况有 2 种可能，若乙在迎春路先下车，甲后下车的情况有 1 种可能，则甲比乙后下车共有 15 种可能， 故他们都至少坐一站再下车，则甲比乙后下车的概率为. 故答案为：B. 【分析】先求出甲、乙下车的情况共有多少种可能，再求出甲比乙后下车共有 15 种可能，最后利用几何概型公式求解即可得答案。 【解析】【解答】由题设，. 故答案为：B.
10、 【分析】根据向量数量积得运算即可求出答案。 【解析】【解答】如图所示，过点作，交于点， 设，圆的半径为，由题意知， 因为，得，解得， 因此， 故. 故答案为：C. 【分析】 作，设，圆的半径为，利用勾股定理求得，进而可求得tanAOD，利用 tanAOB = tan2AOD，利用正切的二倍角公式即可求出答案. 【解析】【解答】由题设，令，双曲线方程为， 坐标轴和双曲线与圆的交点将圆的周长八等分， 双曲线过点，则，可得， 该双曲线的渐近线的斜率为. 故答案为：B. 【分析】 利用已知条件求出双曲线的实半轴的长，虛半轴的长，然后求出该双曲线的渐近线的斜率. 【解析】【解答】圆的圆心为，半径为，为
11、直线上的任意一点， 过作，垂足为，则是的中点. 由，可得， ，则，又， 的最小值为 故答案为：D. 【分析】过圆心 C 作 CDMN，由已知求得|CD|，再求出圆心到直线的距离，求得的最小值，再由求解可得 的最小值 . 【解析】【解答】由方程，当，时不成立；当，时，； 当，时，；当，时，； 如下图示： 由图判断函数在 R 上单调递减，故正确，错误. 当，即，函数的零点，就是函数和的交点，而是曲线，和，的渐近线，所以没有交点， 由图知，和，没有交点， 所以函数不存在零点，故正确. 由图，上的点到原点距离的最小值点应在，的图象上，即满足， 设，当时取最小值 2，故正确； 故答案为：C. 【分析】
12、画出函数的图象，判断出函数的单调性，可判断；利用函数的零点可判断；通过两点间距离公式可判断。 【解析】【解答】由，则当时，得， 两式相减得，变形可得：， 又，所以， 数列是以为首项、2 为公比的等比数列，故， 所以， 所以，当且仅当时等号成立，故. 故答案为：C. 【分析】由数列通项与前 n 项和的关系得到数列 的递推关系，再构造等比数列，求数列的通项公式，进一步求出数列的通项公式，从而可求数列通项公式，代入所求式子 ， 分子、分母同除以 n 构造基本不等式即可求出的最大值，从而求出 的取值范围 . 【解析】【解答】由已知将该三棱锥补成正方体，如图所示. 设三棱锥内切球球心为，外接球球心为，内
13、切球与平面的切点为， 易知：三点均在上，且平面， 设内切球的半径为，外接球的半径为，则. 由等体积法：，得， 由等体积法：，得， 将几何体沿截面切开，得到如下截面图：大圆为外接球最大截面，小圆为内切球最大截面， 两点间距离的最小值为. 故答案为：B. 【分析】采用补形法得正方体，作出图形，找出内接球，外接球球心，由几何关系知：两点间距离的最小值为，可求外接圆半径 R，结合等体积法可求出内切圆半径 r 和 PG，进而得出答案。 【解析】【解答】将三棱锥放入长方体中，如图所示： ，三棱锥的体积. 故答案为： 【分析】将三视图的直观图放入长方体中，再利用棱锥的体积公式即可求出答案。 【解析】【解答】
14、由图知：，且，即， ，可得，又，则， 当 k=0 时，故， 所有的点向左平移个单位长度得到函数， . 故答案为：g(x)=sin2x 【分析】 先根据图象求出 A，和 的值，即得 f (x)的解析式，根据三角函数的图象变换可得 的解析式 。 【解析】【解答】由题设，且定义域为，故为奇函数， 又，在定义域上递增， ，可得， ，解得， 原不等式解集为2,3. 故答案为：2,3. 【分析】由奇偶性定义、导数判断的奇偶性和单调性。再利用奇偶性和单调性的性质进行求解不等式即可得出 的解集 。 【解析】【解答】如图所示： 因为， 所以， 设， 设， ， 因为在为增函数，且时， 所以，为减函数， ，为增函数
15、， 所以，即的最小值为. 故答案为： 【分析】利用抛物线性质得到，设，求导，得到函数的单调性，进而求出的最小值。 【解析】【分析】 （1）由已知条件，利用勾股定理推出 BC面 BDE，再利用面面垂直的判定定理可证得平面平面； （2）以 D 为原点，DA、DC、DE 分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系 Dxyz，利用向量法即可求出二面角的正弦值. 【解析】【分析】 (1) 首先根据题意得到制作一次视频合格的概率，再求进行 3 次制作， 恰有一次合格作品的概率即可； (2)根据二项分布求解数学期望与方差即可； (3)首先利用最小二乘法得到回归直线方程 ，再将 代入即可求出第 15 天
16、能制作的合格作品数 . 【解析】【分析】 （1） 在中 ，由余弦定理求得 CM，从而可得 ，从而可求得MN,CN，即可求出 的周长； （2） 在中， 利用正弦定理求得 CN， 在中，利用正弦定理求得 CM，再根据 的面积结合正弦函数的性质，即可求出 的值. 【解析】【分析】(1)由已知条件得到 ，由此能求出椭圆 C 的方程； (2) 若直线的斜率不存在，设方程为，则点，由已知条件推导出 ， 若直线的斜率存在，设的方程为 ， ，由 ，整理可得：，利用韦达定理结合已知条件能证明直线 AB 过定点 【解析】【分析】(1)利用导数研究 f (x)的区间单调性即可得 在的单调区间； (2)由导数 可得
17、在上递增 ，则 ，根据题知 在 恒成立，即在恒成立，则 在恒成立，构造中间函数，讨论参数 a 并结合导函数研究单调性、最值，即可求出实数的取值范围. 【解析】【分析】(1)运用参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，结合同角的平方关系，可得曲线和直线 的极坐标方程； (2) 设点的极坐标为，点的极坐标为，运用三角函数的恒等变换，结合正弦函数的性质，可得 的最小值. 【解析】【分析】 （1）根据绝对值三角不等式可得 M 的值，然后把 M 的值代入，再根据绝对值不等式的解法即可求出不等式的解集； （2）由（1）及题设知：， 利用乘“1”法再结合基本不等式即可求得 的最小值 ，进而求出 a-b 的值.
