1、Ch1、行列式n阶行列式的定义阶行列式的定义行列式的性质行列式的性质行列式按行（列）展开行列式按行（列）展开克莱姆法则克莱姆法则返回返回上一页上一页下一页下一页1、n阶行列式的定义1、全排列与逆序数、全排列与逆序数 将 这n个数任意组合后排成的数组 称为一个n阶(全)排列，例如53214即为一个五阶全排列。显然，n阶排列的总数为n!。 在排列中任取两个数，如前面的数大于后面的数，则称它们构成一个逆序。n, 3 , 2 , 1njjj21返回返回上一页上一页下一页下一页 (1) 一个排列中所有逆序的总和称为此排列的逆序数，记为t； (2) 逆序数为奇(偶) 数的排列称为奇 (偶)排列。参考题参考
2、题1、求下列排列的逆序数 (1) 312; (2) 134782695; (3) ; (4) 解解：(1) t=2; (2) t=1+1+3+3+1+1=10;321) 1(nnnn) 1(123返回返回上一页上一页下一页下一页 (3) ; (4) t=0。2、对换、对换 将一个排列中的两个数位置对调称为对换。 定理定理1：对换改变排列的奇偶性。 定理定理2：在所有n阶排列中，奇偶排列各半，各为个 。2) 1(12)2() 1(nnnnt2! n返回返回上一页上一页下一页下一页 证证: 设奇偶排列分别为p,q个, 则p+q=n!。 全部排列 全部排列 ，故p=q=n!/2 。3、二阶与三阶行列
3、式、二阶与三阶行列式 引例：引例：解二元线性方程组 个奇个偶一次对换个偶个奇qpqp0,2112221122221211212111aaaabxaxabxaxa返回返回上一页上一页下一页下一页 解：解：用消元法易得 称为二阶行列式。 若记 则方程组的解可记为211222112112112211222112122211,aaaaabbaxaaaabaabx2112221122211211aaaaaaaa2211112222121122211211,babaDababDaaaaD返回返回上一页上一页下一页下一页称为三阶行列式。22211211221111222221121122212111,aaa
4、ababaDDxaaaaababDDx322113312312332211333231232221131211aaaaaaaaaaaaaaaaaa312213332112322311aaaaaaaaa返回返回上一页上一页下一页下一页例例1.1 解线性方程组：解： 由于系数行列式 ，根据对角线法则所以1212 21 253xxxx1225D 1 52 21D 1121 53 21,35D 2111 32 1123D 12121,1DDxxDD 返回返回上一页上一页下一页下一页例例1.2 计算三阶行列式 。解：由对角线法则D=1(1)(2)+010+2110(1)111120(2)=3。例例1.3
5、 求排列54312的逆序数，并指出该排列的逆序数。解：首位数5，其逆序数为0；4的前面且比4大的数有一个，其逆序数为1；3的前面有两个数5和4，且都比3大，其逆序数为2；101211012D 返回返回上一页上一页下一页下一页1的前面有三个数，5，4和3，且都比1大，其逆序数为3；2的前面有四个数，5，4，3和1，比2大的数有3个，其逆序数为3，于是这个排列54312的逆序数为t = 0+1+2+3+3=9，为奇排列。返回返回上一页上一页下一页下一页4、n阶行列式的定义阶行列式的定义 称为n阶行列式。 (1) n!项之和，正负各半；(2) 每项为不同行不同列的n个元素之积 ，其符号为 ，t为排列
6、 的逆序数。 故n阶行列式的定义为 ijnnnnnnaaaaaaaaaaDdet212222111211记为1212njjnja aat) 1(njjj21 nnjjjtijaaaa2121) 1(det返回返回上一页上一页下一页下一页例例1.4 证明n阶行列式其中未写出的数都是零。这类行列式叫做下三角行列式，其特征是主对角线以上的数全取零，它的值等于主对角线上所有数的积。证明：根据n阶行列式定义112122112212nnnnnnaaaDa aaaaa1212( 1)ntPPnPDa aa返回返回上一页上一页下一页下一页由于在上三角行列式中，对任意ji恒有aij=0，故D的计算式中各项的乘积
7、因子 ，只有当其下标满足Pii时，该因子才有可能不为零。由Pii(i=1，2，n)可得P11，P22，Pnn。在所有排列P1P2Pn中，能满足上述关系的排列只有一个标准次序排列123n，此时D中可能不为零的项只有一项 ，该项的符号(1)t=(1)0=1，因此D=a11a22ann1122( 1)tnna aa返回返回上一页上一页下一页下一页5、几种常用的特殊行列式、几种常用的特殊行列式 (1)上三角行列式 解：解：观察通项 知，要想使之不为零，必须 ，同理 ，而 为偶排列，故 。 nnnnnnnnaaaaaaaaD, 11, 122211211nnnjjnjjaaaa121121njn1211
8、,2,1njnjjnnjjjn) 1(1221nnnaaaD2211返回返回上一页上一页下一页下一页 (2)下三角行列式 (3)对角行列式 nnnnnaaaaaaD22112211nnnnnnnaaaaaaaaaD221121222111返回返回上一页上一页下一页下一页 (4)反对角行列式 解：解：对 ，必须 ，而 ，故得证。 11, 212)1(11, 21) 1(nnnnnnnnnaaaaaaDnnjjjaaa21211, 2, 1,121nnjjnjnj12()(1)21(1)/2nt j jjt n nn n返回返回上一页上一页下一页下一页2、行列式的性质 性质性质1：行列式与它的转置
9、行列式相等，即 。 性质性质2：交换两行(列)，行列式仅改变符号。 推论：推论：若两行(列)相同，则行列式为零。 证：证： ，故D=0。 性质性质3：用数k乘某行(列)等于用k乘该行列式。TDDDD列交换相同的两行返回返回上一页上一页下一页下一页 例如， 切记：切记： nnnnnnnnnnnnaaaaaaaaakaaaaaakakaka212222111211212222111211111211112121222212221212nnnnnnnnnnnnnnkakakaaaakakakaaaakDkkDkakakaaaa返回返回上一页上一页下一页下一页 性质性质4：若两行(列)成比例，则行列式
10、为零。证：证： 性质性质5：把某一行(列)各元素乘上同一数后加到另一行(列)对应元素，行列式不变。 性质性质6：0211121111211211121111211nnnnnnnnnnnnaaaaaaaaakaaaaaakakaka返回返回上一页上一页下一页下一页 性质性质7: 若A,B均为n阶方阵，则 注：注：计算行列式最常用的两种方法之一是利用行列式的性质将其化为上三角。nnnnknkknnnnnknkknnnnnknknkkkknaaabbbaaaaaaaaaaaaaaabababaaaa21211121121211121121221111211BABAAB返回返回上一页上一页下一页下一页
11、 参考题参考题2、计算 (1) (2) 解：解：(1)3351110243152113DbaaabaaabD 131213121534084602110211513301627D 5522521312131208460846400020020000065 返回返回上一页上一页下一页下一页 (2)212(2)121abaaaaDabbaabbaababab21(2) 00(2)()00aaabbaab baba返回返回上一页上一页下一页下一页例例1.5 计算三阶行列式 解：=6113=18。112211312D 121323( 2)( 3)( 1)1121121120336 0116 01102
12、8014003rrrrrrD 返回返回上一页上一页下一页下一页例例1.6 计算n阶行列式 解：第2列所有元素都是2，其余各列均只有一个元素不是2。考虑将第1，3，4，n各列都加上第2列元素的(2)倍，由性质4得122222222232222Dn返回返回上一页上一页下一页下一页21( 1)12001000020002000210021002020202rrDnn = 121(n2)= 2(n2)!。返回返回上一页上一页下一页下一页例例1.7 计算n阶行列式解：首先注意到，该行列式每行元素之和都是 ，因此，将行列式每一列元素都加到第一列，并提取公因式 ，得xaaaaxaaDaaxaaaax1xna
13、1xna返回返回上一页上一页下一页下一页11111aaaxaaDxnaaxaaax上式右端行列式每一行与第一行都只有一个元素不同，将行列式的(1)倍加于其余各行，得11111aaaxaaDxnaaxaaax返回返回上一页上一页下一页下一页1000100000aaaxaxnaxaaxa11nxnaxa返回返回上一页上一页下一页下一页例例1.8 计算行列式解：注意到行列式每行元素之和都是 因此，将行列式每一列元素都加到第一列，并提取公因式 ，得121212nnnxmxxxxmxDxxxm1niixm1niixm返回返回上一页上一页下一页下一页2212111nnniinxxxmxDxmxxm上式右端
14、行列式每一行与第一行都只有一个元素不同，将第一行的(1)倍加于其余各行，得2212111nnniinxxxmxDxmxxm返回返回上一页上一页下一页下一页211110000nnnniiiixxmxmxmmm返回返回上一页上一页下一页下一页3、行列式按行（列）展开1、余子式和代数余子式、余子式和代数余子式 在n阶行列式中，将 所在的第i行、第j列划去后余下的n1阶行列式称为 的余子式，记为 ，而 称为 的代数余子式。 在 中， 的余子式ijaijaijMijjiijMA) 1(ija333231232221131211aaaaaaaaa12a3331232112aaaaM返回返回上一页上一页下一
15、页下一页代数余子式 。2、行列式的展开法则、行列式的展开法则 定理定理3：行列式等于它的某一行(列)的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和，即 推论推论:行列式中某一行(列)的各元素与另一行 (列)对应元素代数余子式的乘积之和为 1 2121212( 1)AMM 1122iiiiininDa Aa Aa Ai按第 行展开1122jjjjnjnja Aa Aa Aj按第 列展开返回返回上一页上一页下一页下一页零，即 。 综合定理和推论可得： 例如，jiAaAaAajninjiji,02211行jijiDAaAaAajninjiji02211jijiDAaAaAanjnijiji022111112
16、1312132 1212223213233313233( 1)aaaaaaaaaaaaaa 111311122 22 3222331333132( 1)( 1)aaaaaaaaaa 返回返回上一页上一页下一页下一页 注：注：计算行列式最常用的两种方法之二是利用展开法则将行列式展开。参考题参考题3、计算行列式 解：解：3351110243152113D3 35111511111311 ( 1)111100105505530D 返回返回上一页上一页下一页下一页参考题参考题4、证明范德蒙行列式51162620( 6) ( 5)2 ( 5)4055550 1112112222121111jinjinn
17、nnnnnxxxxxxxxxxxV返回返回上一页上一页下一页下一页1221224231141312nnnnnnnnxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx返回返回上一页上一页下一页下一页例例1.9 设有四阶行列式 ，求D的第4行元素各余子式之和的值。解法一：计算4个余子式(均为三阶行列式)M41，M42，M43，M44。M41+M42+M43+M443040222207005322D 04034030030422222222222228700000070070 返回返回上一页上一页下一页下一页解法二：将D的前3行元素保持不变，第4行元素换成1，1，1，1，得到行列式D1：将D1按第3行展开，由
18、于其第3行只有一个非零元素7，则13040222207001111D 返回返回上一页上一页下一页下一页3 21340( 1)( 7)22228111D 由于D1与D的前3行元素对应相同，故D第4行元素的余子式M41，M42，M43，M44与D1第4行元素的余子式相同。将D1按第4行展开，得故 M41+M42+M43+M44=D1= 28。1414243444 14 24 34 4414243444142434411( 1)11 ( 1)( 1)( 1) ( 1)( 1)DAAAAMMMMMMMM 。返回返回上一页上一页下一页下一页例例1.10 计算行列式解：141421434239309214
19、1414001000214321622762423942774147730923012231212276276220214777211721112122560560 返回返回上一页上一页下一页下一页101001001142111411114 01156056016010014 11014061 返回返回上一页上一页下一页下一页例例1.11 计算n阶行列式解：将D按第1列展开，得D=aA11+bAn1，其中0000000abbbbabbbDabba 1 11110( 1)00000nabbbabbAaaba 返回返回上一页上一页下一页下一页11( 1)0000nnbbbbabbbAbbab 将等
20、式右端行列式第k列各元素的(1)倍加到第k+1列的对应元素上去(k依次取n1，n2，2，1)，得到返回返回上一页上一页下一页下一页1100000( 1)00000nnbabaAbaaba 12( 1)()nnb ba 故112122( 1)()( 1)()nnnnnnDa abb baab ba 。返回返回上一页上一页下一页下一页4、克莱姆法则1、伴随矩阵、伴随矩阵 定义：定义：对方阵A，由其行列式 各元素的代数余子式构成的方阵称为的伴随矩阵，记为 。DnnnnnnAAAAAAAAA212221212111*A返回返回上一页上一页下一页下一页 例如， ， 。 定理定理4：对任意方阵A， 证：证
21、：343122321A222563462*AEAAAAA*mnmmnnaaaaaaaaaAA212222111211*AAAAAAAAAAAAnnnnnn212221212111返回返回上一页上一页下一页下一页 ，同理 ，即 。 定义：定义：对方阵A，当 时，称之为奇异阵， 时，称之为非奇异阵。 定理定理5：A非奇异(即 ) 可逆，且 。 证：证：(必要性)由定理4， 因A非奇异即 ，故 EAEAAA*EAAAAA*0A0A0AA*11AAAEAAAAA*0AEAAAAAA*11返回返回上一页上一页下一页下一页 由定义知，A可逆，且 。 (充分性)因A可逆，即有 ，使故 ，得 ，即A非奇异。
22、推论：推论：若 或 ，则A,B互逆。 证：证： ， ，得 ， ，即A,B均可逆，且互为逆矩阵。参考题参考题5、 ，求 ，其中 。*11AAA1AEAA11,11AAEAA0AEAB EBA EAB 1EBAAB0A0B abAcd1A0adbc返回返回上一页上一页下一页下一页 解：解： ，即A可逆，又 故 参考题参考题6、求 的逆阵。0bcadAacbdAAAAA22122111*acbdbcadA11343122321A返回返回上一页上一页下一页下一页 解：解： ，即A可逆， 故 2、克莱姆法则、克莱姆法则 定理定理6：若n元非齐次线性方程组02 A222563462*A2225634622
23、11Annnnnnnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111返回返回上一页上一页下一页下一页的系数行列式则此方程组有唯一解 其中Di是将D中的第i列元素用右端项代替后所得的行列式，即 0212222111211nnnnnnaaaaaaaaaDniDDxii, 2 , 1,nnninninniiiaabaaaabaaD11111111111返回返回上一页上一页下一页下一页 注：注：若D=0，则此方程组无解或有无穷多组解。 推论：推论：对齐次线性方程组其有非零解的充要条件是系数行列式D=0。000221122221211212111nnnnnnnnn
24、xaxaxaxaxaxaxaxaxa返回返回上一页上一页下一页下一页例例1.12 解线性方程组解：因为所以方程组有唯一解。而123123132 31,4254, 3,xxxxxxxx2132111 14254213021101100D 111381381425112527112301001D 返回返回上一页上一页下一页下一页221325151445481381131100D3111215154244281828303100D从而1231239, 1, 6DDDxxxDDD 返回返回上一页上一页下一页下一页例例1.13 试讨论，当为何值时，方程组 有唯一解？有非零解？解：方程组的系数行列式为12
25、31231230,0,0 xxxxxxxxx。1111111111(2)11(2) 0101111001D返回返回上一页上一页下一页下一页2(2)(1)由克莱姆法则知，当 ，即2，且1时方程组有唯一解。由定理1.4，方程组有非零解时，其系数行列式，即 ，故= 2，或=1。2(2)(1)02(2)(1)0返回返回上一页上一页下一页下一页例例1.14 已知五阶行列式 ，求A41+A42+A43和A44+A45的值，其中A4j是元素a4j的代数余子式。解：注意到行列式D的第2行与第4行具有前3个元素、后2个元素也相同的特征，再由n阶行列式的展开特征：1234522211273124511122431
26、50D 返回返回上一页上一页下一页下一页可得 由此方程组解得414243444541424344452227,2220AAAAAAAAAA。41424344459,18AAAAA 1122,()0,()ijijinjnD ija Aa Aa Aij返回返回上一页上一页下一页下一页例例1.15 用递推归纳法计算n阶行列式解： 这个行列式的特点是除对角线上元素都是外，其余元素都是。第i行与第i+1行只有两个位置的元素不同，因此，依次将行列式第i行的(1)倍加于第i+1(i=n1,n2,2,1)，得nD返回返回上一页上一页下一页下一页0000000000000nD该行列式第n列只有两个元素非零，按第
27、n列展开，得返回返回上一页上一页下一页下一页110000000000( 1)0000000nnnD 返回返回上一页上一页下一页下一页1000000( 1)()0000000n nn11nnD 这样，我们便得到Dn的递推公式：111nnnDD 返回返回上一页上一页下一页下一页于是12112212212212221nnnnnnnnnnDDDDnnn 返回返回上一页上一页下一页下一页例例1.16 计算n阶范德蒙(Vandermende)行列式解：依次将行列式第i行的(xn)倍加于第i+1(i=n1,n2,2,1)，得123222212311111231111nnnnnnnnxxxxVxxxxxxxx
28、返回返回上一页上一页下一页下一页123222212311111231111nnnnnnnnxxxxVxxxxxxxx1232221122331212121122331111000nnnnnnnnnnnnnnnxxxxxxxx xxx xxx xxx xxx xxx x返回返回上一页上一页下一页下一页按最后一列展开，得123122221122331113232323211223311121212121122331111nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnxxxxxxxxxx xxx xxx xxx xVxx xxx xxx xxx xxx xxx xxx xxx
29、x 12311222212112312222123111111nnnnnnnnnnnnxxxxxxxxxxxxxxxxxx 返回返回上一页上一页下一页下一页123122221211231222212311111nnnnnnnnnnnxxxxxxxxxxxxxxxxxx1211nnnnnxxxxxxV112112111nnnninnininiiixx Vxxxx V11231211jjnnjijijijijiij nxx Vxxxx 返回返回上一页上一页下一页下一页例例1.17 计算n阶三对角行列式解：将行列式按第1行展开，得00000000000000nT返回返回上一页上一页下一页下一页000
30、00000000000nnT31000000000000000001000000000000n 返回返回上一页上一页下一页下一页112200000000000000nnnnTTT做一元二次方程 ，并设a，b为其两个根(即 )，则 由 ，得整理得递推关系式：20 xx2,42aa b ,abab12nnnTTT12nnnTab TabT返回返回上一页上一页下一页下一页于是1121211212nnnnnnnnnnnnTaTbTabTb TaTTbTaTabTa TbT211223221211223221nnnnnnnnnnnnnnnnTaTb TaTbTaTbTaTbTbTa TbTaTbTaTb
31、Ta返回返回上一页上一页下一页下一页如果 ，即 ，解方程组 得ab240 11,nnnnnnTaTbTbTa111112nnnnnnabTab返回返回上一页上一页下一页下一页如果 ，即 (此时 )，则有 ，从而例例1.18 计算n阶三对角行列式ab240 2ab1nnnnTaTba121222nnnnnnnnTaTaa Taaa Ta221212nnnnnnaTnanaa返回返回上一页上一页下一页下一页5300025300025000005300025nT 例例1.18 计算n阶三对角行列式解：利用上例，易知111111115 15 1643222nnnnnnnnnT返回返回上一页上一页下一页
32、下一页例例1.19 计算n阶行列式解：考虑n+1阶行列式123222212322221231231111nnnnnnnnnnnnnxxxxxxxxDxxxxxxxx返回返回上一页上一页下一页下一页123222221231222221231111112312311111nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnxxxxxxxxxxVxxxxxxxxxxxxxxx它是关于n+1个变元 的范德蒙行列式，利用例1.16，有12,nx xxx111nnkjikij nVxxxx 返回返回上一页上一页下一页下一页若将Vn+1按最后一列展开，则要计算的行列式其实是Vn+1中元素xn1的余子式Mn n+1，即Dn=Mn n+1，而 就是 中xn1的系数，所以111 12 1 11 1nnnnnn nnnVAxAxAx A21 1 11nn nn nMM 111nnkjikij nVxxxx 111nnn nkjikij nDMxxx
