1、二次函数二次函数y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c的图象与性质的图象与性质( (一一) )一、教材分析一、教材分析二、教法二、教法学法分析学法分析三、教学过程分析三、教学过程分析四、板书设计四、板书设计 一、一、教材分析教材分析1、教材的地位及作用、教材的地位及作用 函数是一种重要的数学思想，是实际生活中数函数是一种重要的数学思想，是实际生活中数学建模的重要工具，二次函数的教学在初中数学教学建模的重要工具，二次函数的教学在初中数学教学中有着重要的地位。本节内容的教学，在函数的学中有着重要的地位。本节内容的教学，在函数的教学中有着承上启下的作用。它既是对已学一次函教学中有着承上启下的作用
2、。它既是对已学一次函数及二次函数数及二次函数y=ax2知识的延续和深化，又是对二知识的延续和深化，又是对二次函数特殊情形的研究，为将来二次函数一般情形次函数特殊情形的研究，为将来二次函数一般情形的教学乃至高中阶段函数的教学打下基础，做好铺的教学乃至高中阶段函数的教学打下基础，做好铺垫。垫。 根据新课标的目标要求和对教材的分析，结合学生已有的知识基根据新课标的目标要求和对教材的分析，结合学生已有的知识基础，目标制订如下：础，目标制订如下： (1)使学生会画出二类特殊二次函数使学生会画出二类特殊二次函数y=ax2+k和和y=a(x-h) 2的图象，的图象，能通过它们的图象和解析式，正确地说出它们的
3、开口方向，对称轴能通过它们的图象和解析式，正确地说出它们的开口方向，对称轴以及顶点坐标，能比较它们的图象与抛物线以及顶点坐标，能比较它们的图象与抛物线y=ax2的位置关系，培养的位置关系，培养学生动手作图的能力，观察、类比、归纳的能力，以及用数形结合学生动手作图的能力，观察、类比、归纳的能力，以及用数形结合的方法思考并解决问题的能力。的方法思考并解决问题的能力。知识与技能目标知识与技能目标 (2)让学生经历作图、观察、比较、归纳、应用，以及猜想、验证让学生经历作图、观察、比较、归纳、应用，以及猜想、验证的学习过程，使学生掌握类比、转化等学习数学的方法，养成既能自的学习过程，使学生掌握类比、转化
4、等学习数学的方法，养成既能自主探索，又能合作探究的良好学习习惯。主探索，又能合作探究的良好学习习惯。过程与方法目标过程与方法目标 (3)在教学中渗透美的教育，渗透数形结合的思想，让学生在数学活在教学中渗透美的教育，渗透数形结合的思想，让学生在数学活动中学会与人相处，感受探索与创造，体验成功的喜悦，动中学会与人相处，感受探索与创造，体验成功的喜悦，情感、态情感、态度、价值观目标度、价值观目标2、教学目标、教学目标 根据学生的认知发展水平和教材的特点，确定以下重难点根据学生的认知发展水平和教材的特点，确定以下重难点重点：重点：根据二次函数的图象与解析式，能根据二次函数的图象与解析式，能说出说出它们
5、的开口方向，对称轴以及顶点坐标，能比它们的开口方向，对称轴以及顶点坐标，能比较它们图象间的位置关系。较它们图象间的位置关系。难点：难点：会由所学特殊函数的特殊情形向一般情会由所学特殊函数的特殊情形向一般情形转化，了解图象间的平移规律。形转化，了解图象间的平移规律。3、教学的重、难点、教学的重、难点 学生已掌握一次函数，二次函数学生已掌握一次函数，二次函数y=ax2图象的画图象的画法，以及它们图象的性质。法，以及它们图象的性质。 学生个性活泼，积极性高，初步具有对数学问学生个性活泼，积极性高，初步具有对数学问题进行合作探究的意识与题进行合作探究的意识与 能力。能力。 初三学生程度参差不齐，两极分
6、化已形成。初三学生程度参差不齐，两极分化已形成。 4、 学情分析学情分析 由于本节课的教学要借助图象来完成，例题间又缺乏过由于本节课的教学要借助图象来完成，例题间又缺乏过渡，教材知识点较为抽象，我对教材作了以下处理：渡，教材知识点较为抽象，我对教材作了以下处理： 在例题教学前安排了一组准备性练习。在例题教学前安排了一组准备性练习。 把例把例2进行改造，使例进行改造，使例2的函数解析式与例的函数解析式与例1的相近。的相近。 增设了一道情景课堂作业。增设了一道情景课堂作业。目的：调整学生的思维状态，作好知识准备，提高课堂效率；目的：调整学生的思维状态，作好知识准备，提高课堂效率；保持学习的连续性，
7、降低教材难度，便于问题的探究和重难保持学习的连续性，降低教材难度，便于问题的探究和重难点的突破；让学生体验学习乐趣。点的突破；让学生体验学习乐趣。5、教材处理、教材处理二、教法学法分析二、教法学法分析 1 教法教法（关键词：情境、探究、分层关键词：情境、探究、分层） 基于本节课内容的特点和初三学生的年龄特征，我以基于本节课内容的特点和初三学生的年龄特征，我以“探究式探究式”体验教学体验教学法和法和“启发式启发式”教学法教学法 为主进行教学。让学生在开放的情境中，在教师的为主进行教学。让学生在开放的情境中，在教师的 引导引导启发下，同学的合作帮助下，通过探究发现，让学生经历数学知识的形成和应启发
8、下，同学的合作帮助下，通过探究发现，让学生经历数学知识的形成和应用过程，加深对数学知识的理解。教师着眼于引导，学生着眼于探索，侧重于用过程，加深对数学知识的理解。教师着眼于引导，学生着眼于探索，侧重于学生能力的提高、思维的训练。同时考虑到学生的个体差异，在教学的各个环学生能力的提高、思维的训练。同时考虑到学生的个体差异，在教学的各个环节中进行分层施教。节中进行分层施教。 根据学生的思维特点、认知水平，遵循根据学生的思维特点、认知水平，遵循“教必须以学为立足点教必须以学为立足点”的教育理的教育理念，让每一个学生自主参与整堂课的知识构建。在各个环节中引导学生类比迁移，念，让每一个学生自主参与整堂课
9、的知识构建。在各个环节中引导学生类比迁移，对照学习。以自主探索为主，学会合作交流，在师生互动、生生互动中让每个学对照学习。以自主探索为主，学会合作交流，在师生互动、生生互动中让每个学生动口，动手，动脑，培养学生学习的主动性和积极性，使学生由生动口，动手，动脑，培养学生学习的主动性和积极性，使学生由“学会学会”变变“会学会学”和和“乐学乐学”。2、学法、学法（关键词：类比、自主、合作关键词：类比、自主、合作） 采用多媒体教学，直观呈现抛物线和谐、对称的美和抛物线的运动与变化，采用多媒体教学，直观呈现抛物线和谐、对称的美和抛物线的运动与变化，激发学生的学习激发学生的学习 兴趣，参与热情，增大教学容
10、量，提高教学效率。兴趣，参与热情，增大教学容量，提高教学效率。3、教学手段、教学手段函数图象开口方向对称轴顶点坐标最值增减性二次函数 的性质当 ,y随x的增大而减小；当 ，y随x的增大而增大khxay2)(khxay2)(hx 直线),(kh当 时，hxkymin当 时，hxkymaxhx hx 当 ,y随x的增大而增大；当 ,y随x的增大而减小hx hx 开口向上开口向下a0a01、画二次函数 的图象并研究其性质。216212xxy探究一探究一216212xxy3)6(212x=y=3)3612(212xx3186212xx216212xx一般式顶点式转化？配方配方: :216212xxy如
11、何把如何把 二次函数二次函数 转化成顶转化成顶点式点式 ？21)12(212xx21)363612(212xx2136)6(212x3)6(212x216212xxy提取：提取：二次项系数二次项系数配方配方:加上再减去一次项系加上再减去一次项系数绝对值一半的平方数绝对值一半的平方写方写方:前三项化为平方形式前三项化为平方形式化简化简:去掉中括号去掉中括号,整理整理3)6(212xy用配方法求 的对称轴和顶点坐标 。 8822xxy解：8822xxy8)4(22xx8)444(22xx88)2(22x2)2(2x对称轴：x=2顶点坐标：（2,0）提取：提取：二次项系数二次项系数配方配方:加上再减
12、去一次项系加上再减去一次项系数绝对值一半的平方数绝对值一半的平方写方写方:前三项化为平方形式前三项化为平方形式化简化简:去掉中括号去掉中括号,整理整理配方配方: :216212xxy如何把如何把 二次函数二次函数 转化成顶转化成顶点式点式 ？21)12(212xx21)363612(212xx213621)6(212x3)6(212x216212xxy提取：提取：二次项系数二次项系数配方配方:加上再减去一次项系加上再减去一次项系数绝对值一半的平方数绝对值一半的平方写方写方:前三项化为平方形式前三项化为平方形式化简化简:去掉中括号去掉中括号,整理整理3)6(212xy54 1 2 3 4 5 6
13、 7 8 9x0123yxX63 4 5 7 8 9xy33.53.5557.57.5678216212xxy函数函数 增减性函数顶点坐标对称轴开口方向最值向上直线x=6216212xxy（6,3）当x=6时，y有最小值33)6(212x当x6时，y随x的增大而增大。二次函数 由 如何平移？216212xxy221xy 先向上平移3个单位，再向右平移6个单位。注意：要先化成顶点式再进行平移3)6(212x216212xxy函数y=ax+bx+c的顶点式 w解解: :cbxaxy2cxabxa2提取：提取：二次项系数二次项系数cababxabxa22222配方配方:加上再减去一次加上再减去一次项
14、系数绝对值一半的平项系数绝对值一半的平方方cababxa22242写方写方:前三项化为平方形前三项化为平方形式式.44222abacabxa化简化简:去掉中括号去掉中括号,整理整理函数y=ax+bx+c的顶点式：abx2)44,2(2abacab.44222abacabxay 对称轴： 顶点坐标公式：顶点坐标公式要熟记！用 求 的对称轴和顶点坐标 。 8822xxy解：8822xxy8)4(22xx8)444(22xx88)2(22x2)2(2x对称轴：x=2顶点坐标：（2,0）配方法公式法abx2abacy442)2(282)2(48)8()2(420解：函数图象开口方向对称轴顶点坐标最值增
15、减性二次函数 的性质当 ,y随x的增大而减小；当 ，y随x的增大而增大cbxaxy2cbxaxy2abx2直线)44,2(2abacab当 时，abx2abacy442min当 时，abx2abacy442maxabx2abx2当 ,y随x的增大而增大；当 ，y随x的增大而减小abx2abx2开口向上开口向下a0a1时，y随x值的增大而减小，则实数b的取值范围是（ ） A.b-1 B.b-1 C.b1 D.b1 cbxxy22D同学们还能想出别的方法将一般式化成顶点式吗？四、板书设计四、板书设计课课 题题1、情景问题、情景问题 3、二次函数的顶点式、二次函数的顶点式 2、探究一小结、探究一小结
16、 4、二次函数的性质小结、二次函数的性质小结 设计意图：再现过程、突出重点设计意图：再现过程、突出重点 用用“五点法五点法 ” ”画二次函数的图象：画二次函数的图象： 1：用配方法或公式法求出：用配方法或公式法求出顶点顶点坐标，对称坐标，对称轴和确定开口方向。轴和确定开口方向。2：利用抛物线的对称：利用抛物线的对称性写出抛物线性写出抛物线和和y轴的交点轴的交点及该点的及该点的对称点对称点的的 坐标。坐标。3:令令y=0，解方程，解方程 求出与求出与x轴的两交点坐标轴的两交点坐标，若无交点，则任，若无交点，则任意找意找一对对称点一对对称点。 4：列表，描点，连线，画出图象。：列表，描点，连线，画
17、出图象。216212xxycbxaxy26.6.已知已知 . .(1)(1)写出抛物线的开口方向写出抛物线的开口方向, ,顶点坐标顶点坐标, ,对称对称轴轴, ,最值最值; ;(2)(2)求抛物线与求抛物线与x x轴轴,y,y轴的交点坐标轴的交点坐标; ;(3)(3)作出函数的草图作出函数的草图; ;(4)(4)观察图象观察图象: x: x为何值时为何值时,y,y随随x x的增大而增大的增大而增大; ;x x为何值时为何值时,y,y随随x x的增大而减小的增大而减小; ;(5)(5)观察图象观察图象: :当当x x何值时何值时,y,y0;0;当当x x何值时何值时, ,y=0;y=0;当当x
18、x何值时何值时,y,y0.0.12212xxy二次函数解析式常见设法二次函数解析式常见设法8：顶点式（交点式）：顶点式（交点式）已知抛物线与已知抛物线与x轴两交点坐标（轴两交点坐标（x1，0）（）（x2，0），可设交点式可设交点式y=a(x-x1)(x-x2) 例例1;已知抛物线与x轴两交点横坐标为1，3且图像过（0，-3）,求解析式 解：由抛物线与x轴两交点横坐标为1，3， 设解析式为y=a(x-1)(x-3), 过（0，-3）， a(0-1)(0-3)=-3, a=-1 y=-(x-1)(x-3), 即y=-x2+4x-3例例2、已知二次函数、已知二次函数y=ax2-5x+c的图象如图。的
19、图象如图。(1)、当、当x为何值时，为何值时，y随随x的增大而增大的增大而增大;(2)、当、当x为何值时，为何值时，y0。yOx(3)、求它的解析式和顶点坐标；、求它的解析式和顶点坐标； 例例4、已知二次函数、已知二次函数y=ax2+bx+c的最的最大值是大值是2，图象顶点在直线，图象顶点在直线y=x+1上，并上，并且图象经过点（且图象经过点（3，-6）。求）。求a、b、c。解：解：二次函数的最大值是二次函数的最大值是2抛物线的顶点纵坐标为抛物线的顶点纵坐标为2又又抛物线的顶点在直线抛物线的顶点在直线y=x+1上上当当y=2时，时，x=1 顶点坐标为（顶点坐标为（ 1 ， 2）设二次函数的解析
20、式为设二次函数的解析式为y=a(x-1)2+2又又图象经过点（图象经过点（3，-6）-6=a (3-1)2+2 a=-2二次函数的解析式为二次函数的解析式为y=-2(x-1)2+2即：即： y=-2x2+4x(三三)根据函数性质求函数解析式根据函数性质求函数解析式前进前进例例5： 已知二次函数y=x2+x-（1）求抛物线开口方向，对称轴和顶点M的坐标。（2）设抛物线与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，求C， A，B的坐标。（3）画出函数图象的示意图。（4）求MAB的周长及面积。（5）x为何值时，y随的增大而减小，x为何值时，y有最大 （小）值，这个最大（小）值是多少？（6）x为何值时，y0？
21、1232(四四)二次函数综合应用二次函数综合应用前进前进例例5： 已知二次函数y=x2+x-（1）求抛物线开口方向，对称轴和顶点）求抛物线开口方向，对称轴和顶点M的坐标。的坐标。（2）设抛物线与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，求C， A，B的坐标。（3）画出函数图象的示意图。（4）求MAB的周长及面积。（5）x为何值时，y随的增大而减小，x为何值时，y有最大 （小）值，这个最大（小）值是多少？（6）x为何值时，y0？1232解解:（1）a= 0 抛物线的开口向上抛物线的开口向上 y= (x2+2x+1)-2=(x+1)2-2 对称轴对称轴x=-1，顶点坐标，顶点坐标M（-1，-2）1212
22、12前进前进例例5： 已知二次函数y=x2+x-（1）求抛物线开口方向，对称轴和顶点M的坐标。（2）设抛物线与）设抛物线与y轴交于轴交于C点，与点，与x轴交于轴交于A、B两点，求两点，求C， A，B的坐标。的坐标。（3）画出函数图象的示意图。（4）求MAB的周长及面积。（5）x为何值时，y随的增大而减小，x为何值时，y有最大 （小）值，这个最大（小）值是多少？（6）x为何值时，y0？1232解解: (2)由由x=0，得，得y= - -抛物线与抛物线与y轴的交点轴的交点C（0，- -） 由由y=0，得，得x2+x- =0 x1=-3 x2=1 与与x轴交点轴交点A（-3，0）B（1，0）3232
23、3212前进前进例例5： 已知二次函数y=x2+x-（1）求抛物线开口方向，对称轴和顶点M的坐标。（2）设抛物线与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，求C， A，B的坐标。（3）画出函数图象的示意图。）画出函数图象的示意图。（4）求MAB的周长及面积。（5）x为何值时，y随的增大而减小，x为何值时，y有最大 （小）值，这个最大（小）值是多少？（6）x为何值时，y0？1232解解0 xy(3)连线连线画对称轴画对称轴x=-1确定顶点确定顶点(-1,-2)(0,-)确定与坐标轴的交点确定与坐标轴的交点及对称点及对称点(-3,0)(1,0)3 2前进前进例例5： 已知二次函数y=x2+x-（1）求抛
24、物线开口方向，对称轴和顶点M的坐标。（2）设抛物线与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，求C， A，B的坐标。（3）画出函数图象的示意图。（4）求）求MAB的周长及面积。的周长及面积。（5）x为何值时，y随的增大而减小，x为何值时，y有最大 （小）值，这个最大（小）值是多少？（6）x为何值时，y0？1232解解0M(-1,-2)C(0,-)A(-3,0)B(1,0)3 2yxD ：（4）由对称性可知）由对称性可知MA=MB=22+22=22AB=|x1-x2|=4 MAB的周长的周长=2MA+AB=2 22+4=4 2+4MAB的面积的面积=ABMD=42=41212前进前进例例5： 已知二次
25、函数y=x2+x-（1）求抛物线开口方向，对称轴和顶点M的坐标。（2）设抛物线与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，求C， A，B的坐标。（3）画出函数图象的示意图。（4）求MAB的周长及面积。（5）x为何值时，为何值时，y随的增大而减小，随的增大而减小，x为何值时，为何值时，y有最大有最大 （小）值，这个最大（小）值是多少？（小）值，这个最大（小）值是多少？（6）x为何值时，y0？1232解解解解0 xx=-1(0,-)(-3,0)(1,0)3 2:(5)(-1,-2)当当x=-1时，时，y有最小值为有最小值为y最小值最小值=-2当当x-1时，时，y随随x的增大的增大而减小而减小;前进前进例例5： 已知二次函数y=x2+x-（1）求抛物线开口方向，对称轴和顶点M的坐标。（2）设抛物线与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，求C， A，B的坐标。（3）画出函数图象的示意图。（4）求MAB的周长及面积。（5）x为何值时，y随的增大而减小，x为何值时，y有最大 （小）值，这个最大（小）值是多少？（6）x为何值时，为何值时，y0？1232解解:0(-1,-2)(0,-)(-3,0)(1,0)3 2yx由图象可知由图象可知(6) 当当x1时，时，y 0当当-3 x 1时，时，y 0
