1、 武汉市武汉市 20222022 届届高高中毕业生中毕业生四四月调研月调研考试考试 数学试卷参考答案及评分标准数学试卷参考答案及评分标准 选择题： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C B C B A A D D AB BCD AC BCD 填空题： 13. 0 14. | |2x （答案不唯一，其它正确答案同样给分） 15. 5 16. 72；142（第一空 2 分，第二空 3 分） 解答题： 17.（10 分）解： （1）设na公差为d，则1 3(1)(1 2 )ddd=+， 化简得220dd=，又0d ，所以2d =. 1659aad=，1(1)211na
2、andn=+=. 5 分 （2）21()102nnnSaann=+=. 令210211nnn，得212110nn+. 即(1)(11)0nn，得111n 故满足nnSa成立的最大正整数n为 10. 10 分 18.（12 分）解： （1）设某箱电子元件有一个次品能被直接购买为事件 A. 则393107( )10CP AC= 4 分 （2）X可能取值为 1，2，3 则192101(1)5CP XC=； 182108(2)45CP XC=； 2821028(3)45CP XC=. 故X的分布列是 X 1 2 3 P 15 845 3645 故1828109()1235454545E X = + +
3、 = 12 分 19.（12 分）解： （1）取AC中点M， 由题意，11PO =，222BCAB=， 又1POBC，故1PO/=12BC. 又2O M/=12BC，故1PO/=2O M， 所以四边形12,P O O M为平行四边形，则PM12OO. 由12OO 平面ABC，故PM 平面ABC， 又PM 面PAC，故平面PAC 平面ABC. 6 分 （2）以2O为坐标原点，2221,O B O C O O的方向为zyx,轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系. 则有：122(2,0,0), ( 2,0,0),(0, 2,0), (,2),(0,0,2)22ABCPO. 1( 2,0,2)AO
4、 =. 设平面PBC的法向量 ( , , )nx y z=，(2,2,0)BC = ，22(,2)22CP = . 1220222022n BCxyn CPxyz= += +=，令1z =，得( 2,2,1)n =. 设所求角的大小为，则111|22|2 30sin|cos,|15| |65AO nAO nAOn+=. 所以直线1AO与平面PBC所成角的正弦值为2 3015. 12 分 20.（12 分）解： （1）226BCBPPC=+=，此时23cos36PCPCBBC=，26sin36BPPCBBC=. 在ABC中，2226cos26ACBCABACBAC BC+=， 又sin0ACB，
5、故2630sin1 ()66ACB= 所以sinsin()sincoscossinACPACBPCBACBPCBACBPCB= 3036610263636= 6 分 （2）设 (0)APx x=，在APB中，22221cos24APBPABxAPBAP BPx+=. 在APC中，sinsinAPACACPAPC=，代入得：1sin5APCx=. 又32APBAPC+=，故3coscos()sin2APBAPCAPC= . 即21145xxx= ，解得：55x =，所以55AP =. 12 分 21.（12 分）解： （1）设抛物线焦点(,0)2pF，由题意| |QOQF=，故1224p=，解得
6、：1p =. 故抛物线的标准方程为22yx=. 4 分 （2）由题意，直线AC斜率存在且不为 0，设直线AC的方程为：ykx=， 设点11( ,)A x y，22(,)C xy. 22(2)4ykxxy=+=，联立得：22(1)40kxx+=，由10 x ，得1241xk=+. 22ykxyx=，联立得：2220k xx=，由20 x ，得222xk=. 2221222(31)|1|1kACkxxkk+=+=+. 因为ACBD，用1k代替k，得2222232(1)2(3)|1111kkkBDkkk+=+. 故四边形ABDC面积22222662012(31)(3)| |12|(1)|kkkkSA
7、CBDkkkk+=+. 令1| (2)|kt tk+=，26886tSttt+=+. 设函数8( )6 (2)f tttt=+，222868( )60tfttt=，故( )f t单调递增. 故当2t =，即| 1k =时，S取到最小值 16，所以四边形ABCD面积的最小值是 16. 12 分 22.（12 分）解： （1）6k=时，( )()sin6f xxx=，( )sin()cos6fxxxx=+，故1()sin662f=. 故切线方程为1()26yx=，令0 x =，12y= . 此时所求三角形的面积为21|2126144 =. 4 分 （2）( )sin()cosfxxxkx=+ 当2
8、2x时，( )cos(tan)fxxxxk=+ . 由函数tanyxx=+在区间(,)2 2 上递增，且值域为 R， 故存在唯一0(,)2 2x ，使得00tan xxk+=. 此时当02xx时，( )0fx ，( )f x单调递减； 当02xx时，( )0fx ，( )f x单调递增，因此10 xx=. 同理，存在唯一03(,)22x，使得00tanxxk+=. 此时当02xx时，( )0fx ，( )f x单调递增； 当032xx时，( )0fx ，( )f x单调递减，因此20 xx=. 由1( )0fx =，11tanxkx= ，211111sin1( )coscoscosxf xxxx= =. 同理：222222sin1()coscoscosxf xxxx= =. 由12()()0f xf x+=，整理得：12121(coscos)(1)0coscosxxxx+=. 又123222xx，故12coscos1xx ，则有122coscoscos()xxx= 由222x，故12xx=或12()xx=. 又1122tantankxxxx=+=+，当12xx=时，不满足，舍去. 所以12()xx=，即12xx+=，则1122tantan22xxxxk+=. 综上所述，2k=. 12 分
