1、第四节第四节 对数留数与辐角原理对数留数与辐角原理一、对数留数一、对数留数二、辐角原理二、辐角原理三、路西定理三、路西定理四、小结与思考四、小结与思考一、对数留数1. 定义定义具有下列形式的积分具有下列形式的积分: Czzfzfid)()(21.)(的对数留数的对数留数关于曲线关于曲线称为称为Czf说明说明:1) 对数留数即函数对数留数即函数 f(z)的对数的导数的对数的导数)()(zfzf 在在C内孤立奇点处的留数的代数和内孤立奇点处的留数的代数和;2) 函数函数 f(z)的零点和奇点都可能是的零点和奇点都可能是)()(zfzf 的奇点的奇点.2. 定理一定理一,)(上解析且不为零上解析且不
2、为零在简单闭曲线在简单闭曲线如果如果Czf,以外也处处解析以外也处处解析的内部除去有限个极点的内部除去有限个极点在在C那么那么.d)()(21PNzzfzfiC 内零点的总个数内零点的总个数, P为为 f(z)在在C内极点的总个数内极点的总个数.其中其中, N为为 f(z)在在C且且C取正向取正向. 注意注意: m级的零点或极点算作级的零点或极点算作m个零点或极点个零点或极点.证证，级的零点级的零点内有一个内有一个在在设设kkanCzf)(),()()(zazzfknk 内，内，则在则在 kaz)0)( z ),()()()()(zazzaznzfkknknkk 内，内，在在 kaz0.)()
3、()()(zzaznzfzfkk .)()(数数是是这这一一邻邻域域内内的的解解析析函函zz .)()(kknzfzfa的的一一级级极极点点且且留留数数为为是是 ，级的极点级的极点内有一个内有一个在在设设kkbpCzf)(),()(1)(zbzzfkpk 内，内，则在则在 kbz0)0)( z ),()()()()(1zbzzbzpzfkkpkpkk 内，内，在在 kbz0.)()()()(zzbzpzfzfkk .)()(数数是是这这一一邻邻域域内内的的解解析析函函zz .)()(kkpzfzfb 的的一一级级极极点点且且留留数数为为是是,)(21212121mmllbbbpppmaaann
4、nlCzf的极点的极点个级数分别为个级数分别为和和的零点的零点个级数分别为个级数分别为内有内有在在如果如果 Czzfzfid)()(21,)()(Res,)()(Res11 mkklkkbzfzfazfzf)(d)()(2121lCnnnzzfzfi ),(21mppp .d)()(21PNzzfzfiC 或或证毕证毕由以上所述和留数定理，得由以上所述和留数定理，得二、辐角原理)(zfw 考察变换考察变换Cz )(zfw .wArg 不一定为简单闭曲线不一定为简单闭曲线, 其可按正向或负向绕原其可按正向或负向绕原点若干圈点若干圈.,)(不经过原点不经过原点则则上不为零上不为零在在 Czf1.
5、对数留数的几何意义对数留数的几何意义,d)()()(dLnzzfzfzf 因为因为. )(dLn21d)()(21 CCzfizzfzfi所以所以 的改变量的改变量的正向绕行一周的正向绕行一周沿沿当当)(Ln21zfCzi 的改变量的改变量的正向绕行一周的正向绕行一周沿沿当当)(ln21zfCzi .)(Arg的改变量的改变量zfi 单值函数单值函数等于零等于零:)(Arg的改变量的改变量zfi;,)1那么改变量为零那么改变量为零不包含原点不包含原点如果如果 ,2,)2ik 那么改变量为那么改变量为包含原点包含原点如果如果,逆逆时时针针为为负负围围绕绕原原点点的的圈圈数数沿沿为为其其中中 wk
6、.顺时针为正顺时针为正结论结论:(k总为整数总为整数)对数留数的对数留数的几何意义几何意义是是 绕原点的绕原点的回转次数回转次数k 的辐角的改变量的辐角的改变量的正向绕行一周的正向绕行一周沿沿若将若将)(,zfCz)(ArgzfC 记为记为由定理一及对数留数的几何意义得由定理一及对数留数的几何意义得)(Arg21zfPNC 0,)( PCzf内解析时内解析时在在当当)(Arg21zfNC 可计算可计算f(z)在在C内零点的个数内零点的个数此结果称为辐角原理此结果称为辐角原理2定理二定理二 (辐角原理辐角原理)如果如果 f(z)在简单闭曲线在简单闭曲线C上与上与C内解析内解析, 且在且在C上不等
7、于零上不等于零, 那么那么 f(z)在在C内零点的个数内零点的个数等于等于 21乘以当乘以当z沿沿C的正向绕行一周的正向绕行一周 f(z)的辐角的改变量的辐角的改变量.三、路西定理定理三定理三(路西定理路西定理),)()(内解析内解析上和上和在简单闭曲线在简单闭曲线与与设设CCzgzf, )()(zgzfC 上满足条件上满足条件且在且在.)()(的的零零点点的的个个数数相相同同zgzf 说明说明:与与内内那么在那么在)(zfC利用此定理可对两个函数的零点个数进行比较利用此定理可对两个函数的零点个数进行比较 .,)()(内解析内解析上和上和在简单闭曲线在简单闭曲线与与设设CCzgzf, )()(
8、zgzfC 上满足条件上满足条件且在且在证证, 0)( zfC上上则在则在, 0)()()()( zgzfzgzf,)()()(:内部的零点个数内部的零点个数在在与与与与设设CzgzfzfNN 在在C内部解析内部解析),(Arg21zfNC .)()(Arg21zgzfNC 0)(, zfC上上因为在因为在,)()(1)()()( zfzgzfzgzf所以所以 )()(ArgzgzfC )()(1ArgzfzgC )(ArgzfC.)()()(的的零零点点个个数数相相同同与与即即zgzfzf ,)()(1zfzgw 令令, 1)()(1 zfzgw则则,1为中心的单位圆内为中心的单位圆内在以在
9、以即即w,不围绕原点不围绕原点的象曲线的象曲线因此因此 C, 0)()(1Arg zfzgC从而从而,NN 所以所以证毕证毕例例1 试证方程试证方程)0(001110 aazazazannnn.个根个根有有n证证,)(0nzazf 令令nnnnnzaazazazazfzg012211)()( 则则,111020201nnzaazaazaa ,)(111nnnazazazg ,Rz 取取,)()(:成立成立上和圆外上和圆外在圆在圆即即zgzfRz 在圆内有相同个在圆内有相同个和和由路西定理由路西定理)()()(,zgzfzf .数的零点数的零点在圆内的零点数也为在圆内的零点数也为n, )()(z
10、gzf 又因在圆上和圆外又因在圆上和圆外,在圆上和圆外无根在圆上和圆外无根0)()( zgzf, 1)()(, zfzgR使使充分大充分大.个根个根所以原方程有所以原方程有n例例2 的的关于圆周关于圆周求函数求函数 zzzzf2cos11)(2对数留数对数留数.解解,012得得令令 z得得再令再令02cos1)( zzg有无穷多个零点有无穷多个零点)(zg, 0)( ng且且所以这些零点是二级零点所以这些零点是二级零点, .,)(iizf 有两个一级零点有两个一级零点., 2, 1, 0, nnzn, 04)(2 ng从而是从而是 f(z) 的二级极点的二级极点.的内部有的内部有因为在圆周因为在圆周 z:和七个二级极点和七个二级极点, 24 z所以由对数留数公式得所以由对数留数公式得 d)()(21zzzfzfi272 .12 的两个一级零点的两个一级零点)(zf, 00 z, 12 z, 11 z, 23 z, 35 z. 36 z四、小结与思考 通过本课的学习通过本课的学习, 应熟悉对数留数及其与函应熟悉对数留数及其与函数的零点及极点的关系数的零点及极点的关系; 了解辐角原理与路西定了解辐角原理与路西定理理.思考题思考题.10154内根的个数内根的个数在区域在区域求方程求方程 zzz思考题答案思考题答案只有一个根只有一个根.放映结束，按放映结束，按EscEsc退出退出. .
