1、10.导热10.3 导热微分方程导热微分方程形式假定物体是各向同性的均质物体，物性参数密度、比热容为常数，物体内具有均匀分布的内热源。能的增量微元体内生成的热量微元体内热源微元体的净热量以导热方式传入能量守恒定律dQdQdQgcdydzdqdQxxdydzddxxqqdQxxdxxdxdydzdxqdQdQxdxxxdydxdzdyqdQdQydyyydzdxdydzqdQdQzdzzzdxdydzdzqyqxqdQzyxc10.导热10.3 导热微分方程导热微分方程形式dxdydzdzqyqxqdQzyxcyTqyzTqz傅立叶定律dxdydzdzTzyTyxTxdQcxTqxdQdQdQg
2、c10.导热10.3 导热微分方程导热微分方程形式内热源强度：单位时间内单位体积所生成的热量dxdydzdzTzyTyxTxdQc3mWqVdxdydzdqdQVg单位质量的内能：udxdydzdudQdxdydzdTcdQTcuVcccpVdQdQdQgc10.导热10.3 导热微分方程导热微分方程形式dxdydzdzTzyTyxTxdQcdxdydzdqdQVgdxdydzdTcdQdQdQdQgcVqzTzyTyxTxTc导热微分方程cqzTyTxTcTV222222cqTTV210.导热10.3 导热微分方程导热微分方程形式cqTTV2TT2kzjyix2222222拉普拉斯算符，直角
3、坐标系可为矢量式，其它坐标系则不可。c热扩散系数物性参数，反映物体导热能力与蓄热能力间的关系；导温系数可以评价物体传递温度变化能力的大小02 T02222222zTyTxTT10.导热10.3 导热微分方程导热微分方程形式cqzTyTxTTV222222cqzTTrrTrrrTV2222211cqTrTrrTrrrTV2222222sin1sinsin11柱坐标系：球坐标系：10.导热10.3 导热微分方程导热过程的单值性条件初始条件zyxfT,000TT边界条件I.已知任何时刻边界面上的温度分布WWTTWWqnT0WnTfWWTTnTII.已知任何时刻边界面上的热通量III. 对流边界条件：
4、已知周围介质温度和对流换热系数10.导热10.3 导热微分方程一无限大平板，其导热系数为常数，平板内具有均匀的内热源。平板一侧绝热，另一侧与温度已知的流体直接接触，已知流体与平板间的对流换热系数。试写出这一稳态导热过程的微分方程和边界条件。解：VqfTscqzTyTxTcTV222222022VqdxTd00 xdxdTfWWTTnT0WnTfsxsxTTdxdT10.导热10.3 导热微分方程一厚度已知，宽和长远大于厚度的平板，其导热系数为常数，开始时整个平板温度均匀，突然有电流通过平板，在板内均匀产生热量。假定平板一侧仍保持原来温度，另一侧与温度已知的流体直接接触，已知流体与平板间的对流换
5、热系数。试写出描述该问题的导热微分方程和单值性条件。解：VqfTscqzTyTxTTV22222200, 0TTxfWWTTnTfsxsxTTxT,0TcqxTTV2200TT10.导热10.4 平壁一维稳态导热第一类边界条件表面温度为常数理想的一维平壁是长度、宽度远大于厚度的无限大平壁1WT2WTTsxxT无内热源的无限大单层平壁，要求确定壁内温度分布和通过此平壁的导热通量。假定导热系数为常数。 bTT10cqzTyTxTTV222222022dxTd10WxTT2WsxTT xfT 10.导热10.4 平壁一维稳态导热第一类边界条件表面温度为常数1WT2WTTsxxT022dxTd10Wx
6、TT2WsxTT022dxTd0dxdTdxd0dxdTd1CdxdT积分dxCdT1积分21CxCT10WxTT2WsxTT121WWWTxsTTT10.导热10.4 平壁一维稳态导热第一类边界条件表面温度为常数1WT2WTTsxxT121WWWTxsTTTqsTTdxdTWW21求导dxdTqsTTdxdTqWW21rTTsTTqWWWW2121 bTT10? 0dxdTTdxd分析导热问题的一般方法通过解微分方程得到温度场，然后利用傅立叶定律确定导热速率。10.导热10.4 平壁一维稳态导热第一类边界条件表面温度为常数多层平壁，要求确定层间界面温度和通过平壁的导热通量。假定导热系数为常数
7、。1WTT1x2WT3WT4WT1s2s3s23sTTqWW21dxdTq1211sTTqWW2322sTTqWW3433sTTqWW1121sqTTWW2232sqTTWW3343sqTTWW+33221141sssqTTWW314133221141iiiWWWWsTTsssTTqniiiWnWsTTq111iiWWisssqTT22111110.导热10.4 平壁一维稳态导热第一类边界条件表面温度为常数某加热炉炉墙由两层组成，内层为粘土砖，外层为硅藻土砖，其厚度分别为460mm、230mm，炉墙两侧表面温度分别为：1400、100，导热系数分别为：求稳态时通过炉墙的导热通量和两层砖交界面处
8、的温度？T1x2WT3WT1WT1s2s2T311064. 07 . 0T321012. 014. 0解：niiiWnWsTTq111iiWWisssqTT221111试算法：首先假定中间界面温度为900mW436. 1290014001064. 07 . 031mW2 . 021009001012. 014. 03210.导热10.4 平壁一维稳态导热第一类边界条件表面温度为常数某加热炉炉墙由两层组成，内层为粘土砖，外层为硅藻土砖，其厚度分别为460mm、230mm，炉墙两侧表面温度分别为：1400、100，导热系数分别为：求稳态时通过炉墙的导热通量和两层砖交界面处的温度？T1x2WT3WT
9、1WT1s2s2T311064. 07 . 0T321012. 014. 0解：niiiWnWsTTq111iiWWisssqTT221111mW436. 11mW2 . 0222122312 .8842 . 023. 0436. 146. 01001400mWsTTqiWW8 .1116436. 146. 02 .88414001112sqTTWW10.导热10.4 平壁一维稳态导热第一类边界条件表面温度为常数某加热炉炉墙由两层组成，内层为粘土砖，外层为硅藻土砖，其厚度分别为460mm、230mm，炉墙两侧表面温度分别为：1400、100，导热系数分别为：求稳态时通过炉墙的导热通量和两层砖交
10、界面处的温度？T1x2WT3WT1WT1s2s2T311064. 07 . 0T321012. 014. 0解：2212231939213. 023. 051. 146. 01001400mWsTTqiWW111451. 146. 093914001112sqTTWW试算法：再假定中间界面温度为1120mW51. 12112014001064. 07 . 031mW213. 0210011201012. 014. 032%54. 0%100111411141120%10022WWTT10.导热10.5 圆筒壁一维稳态导热第三类边界条件已知周围介质温度和换热系数无内热源，一维圆筒壁稳态导热，假设
11、导热系数为常数，冷热流体温度保持不变，壁内温度仅沿半径方向变化。筒壁长度远大于其外径，沿轴线导热可忽略不计，等温面都是同心圆柱面cqzTTrrTrrrTV22222110drdTrdrdfWWTTnT1111rrfrrTTdrdT2222frrrrTTdrdT10.导热10.5 圆筒壁一维稳态导热第三类边界条件已知周围介质温度和换热系数0drdTrdrd1111rrfrrTTdrdT2222frrrrTTdrdT0drdTrd积分1CdrdTrdrrCdT1121lnCrCT积分2111111lnCrCTrCf2221221lnfTCrCrC21CC、10.导热10.5 圆筒壁一维稳态导热第三
12、类边界条件已知周围介质温度和换热系数11rrWTT22rrWTT1CdrdTrI.热流体与圆筒壁内表面的对流换热II.圆筒壁内部的导热III.圆筒壁外表面与冷流体的对流换热LdTTLdTTQWfWf1111111111LdTTLdTTQfWfW22222122310drdTrdrd11WrrTT22WrrTT积分21lnCrCT积分12121lnrrTTCWW1212212lnlnlnrrrTrTCWWdxdTq12211221112ln21ln2122ddLTTrrLTTLCrLrCFdxdTqFQWWWW10.导热10.5 圆筒壁一维稳态导热第三类边界条件已知周围介质温度和换热系数LdTTQWf111111LdTTQfW22223112212ln21ddLTTQWWQQQQ321LdddLLdTTQff221211211ln21121221211211ln211ffLffLTTKddddTTLQqLLKR12211211211ln211ddddTTqniiffL10.导热10.5 圆筒壁一维稳态导热第三类边界条件已知周围介质温度和换热系数2211211211ln211ddddTTqniiffL教材P189： 例106教材P190： 10.5.3临界绝热层直径
