1、简单的超静定问题简单的超静定问题第第 六六 章章约束反力或杆件的内力可以用静力平衡方程求出，这种情约束反力或杆件的内力可以用静力平衡方程求出，这种情况称作静况称作静定定问题。问题。只凭静力平衡方程已不能解出全部未知力，这种情况称做超只凭静力平衡方程已不能解出全部未知力，这种情况称做超静定问题。静定问题。61 超静定问题及其解法超静定问题及其解法2 2，超静定问题超静定问题1 1，静定问题静定问题未知力数超过独立平衡方程数的数目未知力数超过独立平衡方程数的数目, ,称作超静定的次数。称作超静定的次数。3 3，超静定的次数超静定的次数5，多余未知力多余未知力4，多余约束多余约束多于维持平衡所必需的
2、支座或杆件。多于维持平衡所必需的支座或杆件。与多余约束相应的支反与多余约束相应的支反力力或内或内力。力。62 拉压超静定问题拉压超静定问题一，一般超静定问题一，一般超静定问题 例题：例题：两端固定的等直杆两端固定的等直杆AB横截面积为横截面积为A，弹性模量为，弹性模量为E，在，在C点处承受轴力点处承受轴力P的作用，如图的作用，如图 所示所示 。计算约束反力。计算约束反力。PblBACRByPBRAAC这是一次超静定问题。这是一次超静定问题。平衡方程为平衡方程为PRRBAPblBACBACC1lAC 相容条件相容条件是：杆的总长度不变是：杆的总长度不变lCB = =RByPBRAACPblBAC
3、变形几何方程为：变形几何方程为：llCBAC EAaRlAAC EAbRlBCB BACC1lAC lCB = =RByPBRAACPblBAC补充方程为补充方程为EAbREAaRBA平衡方程为平衡方程为PRRBAlPbRAlPaRBBACC1lAC lCB = =RByPBRAACPblBAC 例题例题：设：设 1、2、3 三杆用绞链连结，如图所示、三杆用绞链连结，如图所示、l1 1 = = l2 2 = = l，A A1 1 = A= A2 2 = A, E= A, E1 1 = E = E2 2 = E , = E ,3 杆的长度杆的长度 l3 3 , ,横截面积横截面积 A A3 3
4、, ,弹性模量弹性模量 E E3 3 。试求在沿铅垂方向的外力试求在沿铅垂方向的外力 P P 作用下各杆的轴力。作用下各杆的轴力。 C CA AB BD DP P 1 12 23 3x xy yN1N2N3P P A AC CA AB BD DP P 1 12 23 3解：解： 平衡平衡方程为方程为NN210coscos321PNNNx xy yN1N2N3P P A AC CA AB BD DP P 1 12 23 3这是一次超静定问题这是一次超静定问题由于问题在由于问题在 几何几何，物理物理 及及 受力受力方面都是对称。所以变形后方面都是对称。所以变形后A A 点将沿铅垂方向下移。点将沿铅
5、垂方向下移。 相容条件相容条件是：变形后三杆仍绞结在一起是：变形后三杆仍绞结在一起A A x xy yN1N2N3P P A AC CA AB BD DP P 1 12 23 3C CA AB BD D 1 12 23 3 变形几何方程为变形几何方程为cos31lll3 3l1 1C CA AB BD DP P 1 12 23 3 A A1 12 23 3A A EAlNl11AElNl3333cosA A C CA AB BD D 1 12 23 3物理方程为物理方程为补充方程为补充方程为2cos3331AEEANNA A C CA AB BD D 1 12 23 3l3 3l1 1 A A
6、1 12 23 3A A 2cos3331AEEANN补充方程补充方程NN210coscoscos321PNNN 平衡平衡方程方程A A C CA AB BD D 1 12 23 3l3 3l1 1 A A1 12 23 3A A 解得解得 233213333221EACOSAECOSPNNCOSAEEAPN 解超静定问题的步骤：解超静定问题的步骤：根椐变形相容条件建立变形几何方程。变形几何方程的个根椐变形相容条件建立变形几何方程。变形几何方程的个数与超静定次数相等。数与超静定次数相等。将变形与力之间的关系（胡克定律）代入变形几何方程得将变形与力之间的关系（胡克定律）代入变形几何方程得补充方程
7、。补充方程。联立补充方程与静力平衡方程求解。联立补充方程与静力平衡方程求解。解超静定问题注意解超静定问题注意画画 受受 力力 图图列静力平衡方程列静力平衡方程画画 变变 形形 几几 何何 关关 系系 图图列列 变变 形形 几几 何关系方何关系方 程程建建 立立 补补 充充 方方 程程解联立方程求出全部约束反力解联立方程求出全部约束反力虎克定律虎克定律例题例题：图示平行杆系：图示平行杆系1、2、3 悬吊着横梁悬吊着横梁 AB(ABAB(AB的变形略的变形略去不计去不计) )，在横梁上作用着荷载，在横梁上作用着荷载 G G。如杆。如杆 1、2、3 的截面积、的截面积、长度、弹性模量均相同，分别长度
8、、弹性模量均相同，分别 为为 A A ，l ，E E。试求。试求 1、2、3 三杆的轴力三杆的轴力 N1，N2，N3 。A AB BC CG G1 12 23 3a aa alA AB BC CG G1 12 23 3a aa alN N1 1N N2 2A AB BC CG G3 3N N3 31 12 2x x解：解：(1) (1) 平衡方程平衡方程 0 x0 x 0y0321GNNN 0mB0221aNaN这是一次超静定问题，这是一次超静定问题，且假设均为拉杆。且假设均为拉杆。A AB BC CG G1 12 23 3a aa alA A1 12 23 3B BC CABCl 3l 2l
9、 1(2) (2) 变形几何方程变形几何方程lll 2231(3) (3) 物理方程物理方程EAlNl11 EAlNl22 EAlNl33 A AB BC CG G1 12 23 3a aa alA A1 12 23 3B BC CABCl 3l 2l 1 补充方程补充方程NNN2231A AB BC CG G1 12 23 3a aa alA A1 12 23 3B BC CABCl 3l 2l 1(4) (4) 联立平衡方程与补充方程求解联立平衡方程与补充方程求解NNN22310 x0321GNNN0221aNaN 61GN32GN653GNA AB BC C1 12 23 3404080
10、808080P P50507575A AB BC C1 12 23 3404080808080P P50507575变形后三根杆与梁变形后三根杆与梁仍绞接在一起。仍绞接在一起。l1l2l3lll3122 A AB BC C1 12 23 3P P50507575lll3122 补充方程补充方程N N1 1N N2 2N N3 3P P4040808080800321 PNNN04232 PNNEAlNEAlNEAlN3311222 静力平衡方程静力平衡方程例题例题：刚性杆：刚性杆AB 如图所示。已知如图所示。已知 1、2 杆的材料，横截面积杆的材料，横截面积 ，长度均相同。若两杆的横截面面积长
11、度均相同。若两杆的横截面面积 A = 2cm2，材料的许用应，材料的许用应力力 =100MPa。试求结构所能承受的最大荷载。试求结构所能承受的最大荷载 Pmax 。 12ABCP2aa解：这是一次超静定问题解：这是一次超静定问题(1) 列静力平衡方程列静力平衡方程取取 AB 为研究对象为研究对象12ABCP2aaN1N2PN0 MC2N2+N1-P=012ABCP2aaL1N1N2PN(2) 变形几何方程变形几何方程LL212 EALNL11 EALNL22 12ABCP2aaL2(3) 列补充方程列补充方程N2 = 2N12N2+N1-P=0(4) 由静力平衡方程和补充由静力平衡方程和补充方
12、程联立解方程联立解 N1 和和 N252521PNPN N1N2PN12ABCP2aa APAN51 APAN522强度条件为强度条件为求得求得 P=50KN由由 APAN522(5) 由强度条件求由强度条件求 PmaxN1N2PN12ABCP2aa例题例题：桁架由三根抗拉刚度均为：桁架由三根抗拉刚度均为 EA EA 的杆的杆 ADAD，BD BD 和和 CD CD 在在D D点绞接而成，求在力点绞接而成，求在力 P P 作用下三杆的内力。作用下三杆的内力。A AB BC CD D1 12 23 3P PH H 解：设解：设 ADAD、BD BD 和和 CD CD 杆的轴力杆的轴力 N N1
13、1，N N2 2，N N3 3 均为拉力。均为拉力。N N1 1N N2 2N N3 3 D DP P A AB BC CD D1 12 23 3P PH H 作节点作节点 D D 的受力图。的受力图。D D 点的平衡方程为点的平衡方程为0231 coscos)(PNNN031 sinsinsinPNN这是一次超静定问题这是一次超静定问题N N1 1N N2 2N N3 3 D DP P A AB BC CD D1 12 23 3P PH H 变形协调条件是：变形后三杆仍绞接在一起。变形协调条件是：变形后三杆仍绞接在一起。A AB BC CD D1 12 23 3P PH H 1 12 23
14、3D D DD D1 1D D2 2 l2l3D D3 3作变形图作变形图A AB BC CD D1 12 23 3P PH H l1F F G G tgllFGDFDG21sinDD D1 1D D2 21 12 23 3D D l2l3D D3 3 l1F F G G tgllFGDFDG21sinDD D1 1D D2 21 12 23 3D D l2l3D D3 3 l1E E sin32ltglEDGEDG cos2231lll几何方程为几何方程为F F G GDD D1 1D D2 21 12 23 3D D l2l3D D3 3 l1E E cos2231lll几何方程为几何方程
15、为EAHNEAlNl2222 cos1111EAHNEAlNl cos3333EAHNEAlNl补充方程补充方程2231cos2 NNN联立补充方程和平衡方程求解联立补充方程和平衡方程求解A AB BC CD D1 12 23 3P PH H 0231 coscos)(PNNN031 sinsinsinPNNN1 = ? = ? N2 = ? ? N3 = ? ? ，。，。ABCD 2 21 13 3l A二，装配应力二，装配应力图示杆系，若图示杆系，若 3 杆尺寸有微小误差，则在杆系装配好后各杆杆尺寸有微小误差，则在杆系装配好后各杆将处于图中位置，因而产生轴力。将处于图中位置，因而产生轴力。
16、3 杆的轴力为拉力，杆的轴力为拉力，1，2 杆的轴力为压力。这种附加的内杆的轴力为压力。这种附加的内力就称为力就称为装配内力装配内力。与之相对应的应力称为。与之相对应的应力称为 装配应力装配应力。，。，。ABCD 2 21 13 3l Al 3代表杆代表杆3 3 的伸长的伸长l 1代表杆代表杆1 1或杆或杆2 2 的缩短的缩短 代表装配后代表装配后 A A 点的位移点的位移 ABCD 2 21 13 3lAl 3l 1 (1) (1) 变形几何方程变形几何方程 l3 cos1l cos13ll(2) (2) 物理方程物理方程AElNl1111cos AElNl3333 ABCD 2 21 13
17、 3lAl 3l 1 补充方程为补充方程为 2111333cosAElNAElN ABCD 2 21 13 3lAl 3l 1 N1N3N2(4) (4) 平衡方程平衡方程0sinsin21 NN0coscos213 NNN ABCD 2 21 13 3lAl 3l 1 补充方程为补充方程为 2111333cosAElNAElN0sinsin21 NN0coscos213 NNN与平衡方程联立与平衡方程联立N N1 1，N N2 2，N N3 3 可解可解 例题例题 ：两铸件用两根钢杆：两铸件用两根钢杆 1,2 连接，其间距为连接，其间距为 l =200mm。现要将制造得过长了现要将制造得过长
18、了 e=0.11mm的铜杆的铜杆 3 装入铸件之间，并装入铸件之间，并保持三根杆的轴线平行且等间距保持三根杆的轴线平行且等间距 a。试计算各杆内的装配应。试计算各杆内的装配应力。已知：钢杆直径力。已知：钢杆直径 d=10mm，铜杆横截面积为，铜杆横截面积为20 30mm的的矩形，钢的弹性模量矩形，钢的弹性模量E=210GPa，铜的弹性模量，铜的弹性模量E3=100GPa。铸件很厚，其变形可略去不计，故可看作刚体。铸件很厚，其变形可略去不计，故可看作刚体。ABCA1B1C112aa leC1C3（c)ABCA1B1C112ell 31变形几何方程为变形几何方程为C1leC3(b)ll21 l3E
19、AlNl11 AElNl3333 代入代入得补充方程得补充方程EAlNeAElN133-3NN2 1列平衡方程列平衡方程0 NNN213aaxBCAN N1 1N N2 2N N3 3ell 31解三个联立方程解三个联立方程AElNeAElN1333NN210213NNN即可得装配内力即可得装配内力 N1，N2，N3，进而求出装配应力。，进而求出装配应力。三，温度应力三，温度应力例题例题 ： 图图 示等直杆示等直杆 AB 的两端分别与刚性支承连结。的两端分别与刚性支承连结。设两支承的距离（即杆长）为设两支承的距离（即杆长）为 l，杆的横截面面积为，杆的横截面面积为 A，材料的，材料的弹性模量为
20、弹性模量为 E，线膨胀系数为，线膨胀系数为 。试求温度升高。试求温度升高 T时杆内的时杆内的温度应力温度应力。解：解：这是一次超静定问题这是一次超静定问题0 llAB变形变形相容条件相容条件是，杆的总长度不变。即是，杆的总长度不变。即B lNABP1P2lNlABBAlT 杆的变形为两部分：杆的变形为两部分：由温度升高引起的变形由温度升高引起的变形由轴向压力由轴向压力 P1 = P2 引起的变形引起的变形 lT变形几何方程是：变形几何方程是：0lllNTEAlNlNlTlTBABP1P2lNlABBAlT 补充方程是：补充方程是：lTEAlN温度内力为：温度内力为：TEAN温度应力为：温度应力
21、为：TEANBABP1P2lNlABBAlT 例题例题：桁架由三根抗拉压刚度均为：桁架由三根抗拉压刚度均为 EA EA 的杆在的杆在 A A 点绞接，点绞接，试求由于温度升高试求由于温度升高 T T 而引起的温度应力。材料的线膨胀系而引起的温度应力。材料的线膨胀系数为数为 。1 13 32 2A AB BD DC C l1 13 32 2A AB BD DC C l1 13 32 2A A B1C1A1解：解：AB1， AC1， AA1 分别为由于温度的升高引起分别为由于温度的升高引起 1，2 ， 3 三杆的伸长。三杆的伸长。1 13 32 2A AB BD DC C l1 13 32 2A
22、A TlACABcos11TlAA1B1C1A1C1B11 13 32 2A AB BD DC C l1 13 32 2A A 假设装配后节点假设装配后节点 A A下降至下降至 A A2 2 处处C2A1A2 装配后装配后 3 杆的伸长杆的伸长B1B2 装配后杆装配后杆 1 的缩短的缩短C1C2 装配后装配后 2 杆的缩短杆的缩短A1B2A21 13 32 2A AB BD DC C l1 13 32 2A A N1，N2，N3 为各杆的装配内力为各杆的装配内力A A N1N2N3EAlNAA321EAlNCCBBcos12121C1B1C2A1B2A2l3l2(1) (1) 变形几何方程变形
23、几何方程 cos321lll1 13 32 2A AB BD DC C l1 13 32 2A A A A N1N2N3C1B1C2A1B2A2物理方程关系：物理方程关系： EAlNTlBBABllcoscos121121EAlNTlAAAAl32113l3l21 13 32 2A AB BD DC C l1 13 32 2A A A A N1N2N3C1B1C2A1B2A2EAlNTlcoscos1cos)(3EAlNTll3l21 13 32 2A AB BD DC C l1 13 32 2A A A A N1N2N3C1B1C2A1B2A2（2 2）补充方程：）补充方程：(3) (3)
24、平衡方程平衡方程 0coscos0213 NNNy0sinsin021 NNxl3l21 13 32 2A AB BD DC C l1 13 32 2A A A A N1N2N3C1B1C2A1B2A20coscos213 NNN0sinsin21 NN（4）联立求解）联立求解EAlNTlcoscos1cos)(3EAlNTll3l21 13 32 2A AB BD DC C l1 13 32 2A A A A N1N2N3C1B1C2A1B2A2解得解得1cos2sin3221 EATNNl3l21 13 32 2A AB BD DC C l1 13 32 2A A A A N1N2N3C1
25、B1C2A1B2A21cos2cossin2323 EATNN N1 1，N N2 2，N N3 3皆为正，说明如所设皆为正，说明如所设1 1，2 2 杆受压，杆受压，3 3 杆受拉。杆受拉。l3l21 13 32 2A AB BD DC C l1 13 32 2A A A A N1N2N3C1B1C2A1B2A2 拉压超静定拉压超静定1 拉压超静定拉压超静定263 扭转超静定问题扭转超静定问题 例题例题 ；两端固定的圆截面杆两端固定的圆截面杆AB ，在截面，在截面 处受一个扭转力处受一个扭转力偶矩偶矩m 的作用，如图所示。已知杆的抗扭刚度的作用，如图所示。已知杆的抗扭刚度 GIP ，试求杆两
26、端，试求杆两端的支反力偶矩。的支反力偶矩。CmabABl12ACB12mmAmB解解：去掉约束，去掉约束，代之以支反力偶矩代之以支反力偶矩0mmmBA这是一次超静定问题。这是一次超静定问题。CmabABl120mxC C 截面相对于两固定截面相对于两固定端端 A A 和和 B B 的相对扭的相对扭转角相等转角相等。ACB12mmAmBCmabABl12杆的变形相容条件是：杆的变形相容条件是：CmabABl12BCAC 变形几何方程变形几何方程由物理关系建立补充方程由物理关系建立补充方程PBPBCGIbmGIbT 2PAPACGIamGIaT 1ACB12mmAmBACBCbammAB补充方程补
27、充方程CmabABl12ACB12mmAmBACBC联立平衡方程和补充方联立平衡方程和补充方程即可解得支反力偶程即可解得支反力偶bammAB 0mmmBA解得解得lmamlmbmBA/ CmabABl12ACB12mmAmBACBC例题例题：图：图 示一长为示一长为 l 的组合杆，由不同材料的实心的组合杆，由不同材料的实心圆截面杆和空心圆截面杆组成圆截面杆和空心圆截面杆组成,内外两杆均在线弹性范围内内外两杆均在线弹性范围内工作，其抗扭刚度工作，其抗扭刚度 GIPa ，GIPb 。当此组合杆的两端各自固定。当此组合杆的两端各自固定在刚性板上，并在刚性板处受一对矩为在刚性板上，并在刚性板处受一对矩
28、为 m 的扭转力偶的作的扭转力偶的作用试求分别作用于内、外杆上的扭转偶矩用试求分别作用于内、外杆上的扭转偶矩。mmlAB解：列平衡方程解：列平衡方程0 mxmmmba 这是一次超静定问题这是一次超静定问题mmmlABmbma变形相容条件是，内，外变形相容条件是，内，外杆的扭转变形应相同。杆的扭转变形应相同。变形几何方程是变形几何方程是bamba mmlABmbma物理关系是物理关系是IGlmPaaaa IGlmPbbbb 代如变形几何方程，得代如变形几何方程，得补充方程补充方程mIGIGmbPbbPaaa mba mmlABmbma联立平衡方程和补充方联立平衡方程和补充方程程，解得：解得：mb
29、a mmlABmbmamIGIGIGmPbbPaaPaaa mIGIGIGmPbbPaaPbbb PAB一一. 基本概念基本概念 RARBRC 6-4 6-4 简单超静定梁简单超静定梁ABCPABql 二二 ，求解超静定梁的步骤，求解超静定梁的步骤图示为抗弯刚度为图示为抗弯刚度为 EI 的一次超静定梁，说明超静定梁的解法。的一次超静定梁，说明超静定梁的解法。ABql RB（1）将将可动绞链支座可动绞链支座作看作看多余多余约束解除多余约束，代之以约束解除多余约束，代之以约束反力约束反力 RB 。得到原超静定。得到原超静定梁的梁的 。qAB 0 fB（2） 超静定梁在多余约束处的超静定梁在多余约束
30、处的约束条件，梁的约束条件，梁的 。ABqlRBqAB （3）根据变形相容条件得）根据变形相容条件得fffRBBBqB变形几何方程为变形几何方程为0 ffRBBBqABqlRBqAB fBqfBRB（4）将力与变形的关系代入）将力与变形的关系代入变形几何方程得变形几何方程得补充方程补充方程EIqlfBq84EIlRfBBRB33查表得查表得RBqABqABBARB 补充方程补充方程 为为03834EIlREIqlB由该式解得由该式解得qlRB83 fBqfBRBRBqABqABBARBqlRA85 qlmA281 求出该梁固定端的两个支反力求出该梁固定端的两个支反力RBqABRAmAABql代
31、以与其相应的多余反力偶代以与其相应的多余反力偶 mA 得基本静定系。得基本静定系。mA变形相容条件为变形相容条件为0 A方法二方法二取支座取支座 A 处处阻止梁转动的约束阻止梁转动的约束为多余约束。为多余约束。ABql例题例题 ：梁梁 A C 如图所示如图所示, 梁的梁的 A 端用一钢杆端用一钢杆 AD 与梁与梁 AC 铰铰接接, 在梁受荷载作用前在梁受荷载作用前, 杆杆 AD 内没有内力内没有内力, 已知梁和杆用同样已知梁和杆用同样的钢材制成的钢材制成, 材料的弹性模量为材料的弹性模量为 E, 钢梁横截面的惯性矩为钢梁横截面的惯性矩为 I, 拉杆横截面的面积为拉杆横截面的面积为 A, 其余尺
32、寸见图其余尺寸见图 , 试求钢杆试求钢杆 AD 内的拉内的拉力力 N。a2alABCq2qDADBCq2qA解：这是一次超静定问题。将解：这是一次超静定问题。将 AD 杆与梁杆与梁 AC 之间的连结绞看作之间的连结绞看作多于约束。拉力多于约束。拉力 N 为多余反力。基本静定系如图为多余反力。基本静定系如图NNADBCq2qlfA fAA点的变形相容条件是拉杆和梁在变形后仍连结于点的变形相容条件是拉杆和梁在变形后仍连结于A点。即点。即NNlA1BCq2qNfAfAqfANfffANAqA 变形几何方程为变形几何方程为lffANAq 根据叠加法根据叠加法 A 端的挠度为端的挠度为CBq2qBCNE
33、IqafAq1274在例题在例题 中已求得中已求得EINafAN3可算出可算出BCq2qNfABCq2qfAqBCNfAN拉杆拉杆 AD 的伸长为的伸长为EANll 补充方程为补充方程为EANlEINaEIqa34127由此解得由此解得)(AaIlAqaN34127 ADBCq2qfANNlA1例题例题 ：求图示梁的支反力，并绘梁的剪力图和弯矩图。：求图示梁的支反力，并绘梁的剪力图和弯矩图。 已知已知 EI = 5 103 KN.m3 。4m3m2mABDC30KNmKN20解：这是一次超静定解：这是一次超静定 问题问题取支座取支座 B 截面上的相对截面上的相对转动约束为多余约束。转动约束为多
34、余约束。基本静定系为在基本静定系为在 B 支座支座截面上安置绞的静定梁，截面上安置绞的静定梁，如图如图 所示。所示。4m3m2mABDC30KNmKN20DCmKN20AB30KNMB BBB多余反力为分别作用于多余反力为分别作用于简支梁简支梁AB 和和 BC 的的 B端端处的一对弯矩处的一对弯矩 MB变形相容条件为，简支梁变形相容条件为，简支梁 AB的的 B 截面转角和截面转角和 BC 梁梁 B 截面的转角相等截面的转角相等。B4m3m2mABDC30KNmKN20DCmKN20AB30KNEIMEIBB34244203)34241280(EIMEIBEIMEIBB3556) 25 ( 23
35、30EIMEIB3542由表中查得由表中查得MBBB4m3m2mABDC30KNmKN20DCmKN20AB30KN补充方程为补充方程为EIMEIB34241280EIMEIB3542解得解得mKNMB.8031 负号表示负号表示 B 截面弯矩截面弯矩与假设相反。与假设相反。MBBB4m3m2mABDC30KNmKN20DCmKN20AB30KNKNRA0532. KNRB3566. KNRC611. +-32.0547.9518.4011.64由基本静定系的平衡方程由基本静定系的平衡方程可求得其余反力可求得其余反力在基本静定系上绘出剪力图在基本静定系上绘出剪力图和弯矩图。和弯矩图。CADmKN20B30KNMB+-25.6831.8023.281.603m 弯曲超静定弯曲超静定1 弯曲超静定弯曲超静定2
