1、第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型v2-1 引言引言v2-2 微分方程的建立及线性化微分方程的建立及线性化v2-3 传递函数传递函数v2-4 结构图结构图v2-5 信号流图信号流图2-1 引言引言一一.数学模型数学模型v1.定义：控制系统的输入和输出之间动态关定义：控制系统的输入和输出之间动态关系的数学表达式即为数学模型。数学模型是系的数学表达式即为数学模型。数学模型是分析和设计自动控制系统的基础。分析和设计自动控制系统的基础。v2.为什么要建立数学模型：我们需要了解系为什么要建立数学模型：我们需要了解系统的具体的性能指标，只是定性地了解系统统的具体的性能指标，只是定性地了解系
2、统的工作原理和大致的运动过程是不够的，希的工作原理和大致的运动过程是不够的，希望能够从理论上对系统的系统的性能进行定望能够从理论上对系统的系统的性能进行定量的分析和计算。要做到这一点，首先要建量的分析和计算。要做到这一点，首先要建立系统的数学模型。它是分析和设计系统的立系统的数学模型。它是分析和设计系统的依据。依据。 另一个原因：许多表面上看来似乎毫无共另一个原因：许多表面上看来似乎毫无共同之处的控制系统，其运动规律可能完全同之处的控制系统，其运动规律可能完全一样，可以用一个运动方程来表示，我们一样，可以用一个运动方程来表示，我们可以不单独地去研究具体系统而只分析其可以不单独地去研究具体系统而
3、只分析其数学表达式，即可知其变量间的关系，这数学表达式，即可知其变量间的关系，这种关系可代表数学表达式相同的任何系统，种关系可代表数学表达式相同的任何系统，因此需建立控制系统的数学模型。因此需建立控制系统的数学模型。 比如机械平移系统和比如机械平移系统和RLC电路就可以用同电路就可以用同一个数学表达式分析，具有相同的数学模一个数学表达式分析，具有相同的数学模型。型。v3.表示形式表示形式 a.微分方程微分方程 b.传递函数传递函数 c.频率系统频率系统 三种数学模型之间的关系三种数学模型之间的关系线性系统线性系统传递函数传递函数微分方程微分方程频率特性频率特性拉氏拉氏变换变换傅氏傅氏变换变换
4、同一个系统，可以选用不同的数学模型，同一个系统，可以选用不同的数学模型，研究时域响应时可以用传递函数，研究频研究时域响应时可以用传递函数，研究频域响应时则要用频率特性。域响应时则要用频率特性。v4.建立方法建立方法 目前工程上采用的方法主要是目前工程上采用的方法主要是 a.分析计算法分析计算法 分析计算法是根据支配系统的内在运动规分析计算法是根据支配系统的内在运动规律以及系统的结构和参数，推导出输入量律以及系统的结构和参数，推导出输入量和输出量之间的数学表达式，从而建立数和输出量之间的数学表达式，从而建立数学模型学模型适用于简单的系统。适用于简单的系统。vb.工程实验法工程实验法 工程实验法：
5、它是利用系统的输入工程实验法：它是利用系统的输入-输出信输出信号来建立数学模型的方法。通常在对系统一号来建立数学模型的方法。通常在对系统一无所知的无所知的 情况下，采用这种建模方法。情况下，采用这种建模方法。但实际上有的系统还是了解一部分的，这时称但实际上有的系统还是了解一部分的，这时称为灰盒，可以分析计算法与工程实验法一起用，为灰盒，可以分析计算法与工程实验法一起用，较准确而方便地建立系统的数学模型。实际控较准确而方便地建立系统的数学模型。实际控制系统的数学模型往往是很复杂的，在一般情制系统的数学模型往往是很复杂的，在一般情况下，常常可以忽略一些影响较小的因素来简况下，常常可以忽略一些影响较
6、小的因素来简黑盒黑盒输入输入输出输出 化，但这就出现了一对矛盾，简化与准确化，但这就出现了一对矛盾，简化与准确性。不能过于简化，而使数学模型变的不准性。不能过于简化，而使数学模型变的不准确，也不能过分追求准确性，使系统的数学确，也不能过分追求准确性，使系统的数学模型过于复杂。模型过于复杂。二二.线性系统线性系统v1.定义：如果系统的数学模型是线性微分方定义：如果系统的数学模型是线性微分方程，这样的系统就是线性系统。程，这样的系统就是线性系统。 线性元件：具有迭加性和齐次性的元件称线性元件：具有迭加性和齐次性的元件称为线性元件。为线性元件。 非线性元件：不具有迭加性和齐次性的元件非线性元件：不具
7、有迭加性和齐次性的元件称为非线性元件。称为非线性元件。 如果元件输入为如果元件输入为r（t）、）、r1（t）、）、r2（t），），对应的输出为对应的输出为c（t）、）、c1（t）、）、c2（t） 如果如果r（t）=r1（t）+r2（t）时，）时，c（t）=c1（t）+c2（t） 满足迭加性满足迭加性 如果如果r（t）=ar1（t）时，）时，c（t）=ac1（t） 满足齐次性满足齐次性 满足迭加性和齐次性的元件才是线性元件。满足迭加性和齐次性的元件才是线性元件。 线性系统重新定义：若组成系统的各元件均线性系统重新定义：若组成系统的各元件均为线性元件，则系统为线性系统。为线性元件，则系统为线性系统
8、。 线性方程不一定满足迭加性和齐次性。线性方程不一定满足迭加性和齐次性。 例如例如y=kx是线性元件是线性元件 输入输入x1y1输出输出 x2y2 输入输入x1 x2 对应输出对应输出y1 y2 满足迭加满足迭加性性 k为常数，为常数， kx1ky1 满足齐次性满足齐次性所表示的元件为所表示的元件为线性元件线性元件 y=kx+b(b为常数为常数 0)线性方程，所表示线性方程，所表示的元件不是线性元件的元件不是线性元件. 为什么呢？为什么呢？ 输入输入x1y1输出输出 y1kx1+b x2y2 y2 =kx2+b 输入输入x1 x2输出输出y=k(x1 x2)+b =k x1 +kx2+b y1
9、 +y2不满足迭不满足迭加性加性 k为常数为常数:kx1输出输出y=k(kx1)+b=k2x1+b ky1=k(kx1+b)= k2x1+kby ky1不满足齐次方程。不满足齐次方程。所表示的元件不是线性元件。所表示的元件不是线性元件。又例如：元件的数学模型为：又例如：元件的数学模型为： 线性元件)()()(txtyty不是线性元件btxtyty)()()(元件的数学模型为：元件的数学模型为：v2.重要特点：对线性系统可以应用迭加性和重要特点：对线性系统可以应用迭加性和齐次性，对研究带来了极大的方便。齐次性，对研究带来了极大的方便。 迭加性的应用：欲求系统在几个输入信号和迭加性的应用：欲求系统
10、在几个输入信号和干扰信号同时作用下的总响应，只要对这几干扰信号同时作用下的总响应，只要对这几个外作用单独求响应，然后加起来就是总响个外作用单独求响应，然后加起来就是总响应。应。 齐次性表明：当外作用的数值增大若干倍时，齐次性表明：当外作用的数值增大若干倍时，其响应的数值也增加若干倍。这样，我们可其响应的数值也增加若干倍。这样，我们可以采用单位典型外作用（单位阶跃、单位脉以采用单位典型外作用（单位阶跃、单位脉冲、单位斜坡等）对系统进行分析冲、单位斜坡等）对系统进行分析简化简化了问题。了问题。一一.微分方程的建立微分方程的建立 微分方程是控制系统最基本的数学模型，要微分方程是控制系统最基本的数学模
11、型，要研究系统的运动，必须列写系统的微分方程。研究系统的运动，必须列写系统的微分方程。一个控制系统由若干具有不同功能的元件组一个控制系统由若干具有不同功能的元件组成，首先要根据各个元件的物理规律，列写成，首先要根据各个元件的物理规律，列写各个元件的微分方程，得到一个微分方程组，各个元件的微分方程，得到一个微分方程组，然后消去中间变量，即得控制系统总的输入然后消去中间变量，即得控制系统总的输入和输出的微分方程。和输出的微分方程。2-2 微分方程的建立及线性化微分方程的建立及线性化v例例1.机械平移系统机械平移系统 求在外力求在外力F(t)作用下，作用下，物体的运动轨迹。物体的运动轨迹。 mkF(
12、t)x(t)位移阻尼系数f阻尼器弹簧首先确定：输入首先确定：输入F(t),输出输出x(t)其次：理论依据其次：理论依据1.牛顿第二定律牛顿第二定律 物体所受的合外力等于物物体所受的合外力等于物体质量与加速度的乘积体质量与加速度的乘积 2.牛顿第三定律牛顿第三定律 作用力等于反作用力作用力等于反作用力,现在现在我们单独取出我们单独取出m进行分析，这里不考虑重进行分析，这里不考虑重力的影响。力的影响。maFtx fFtkxF而)()(21mF1(弹簧的拉力弹簧的拉力)F(t)外力外力F2阻尼器的阻力阻尼器的阻力)()()()()()(21txmtx ftkxtFmaFFtFtxa 代入上式得写微分
13、方程时，常习惯于把输出写在方程的写微分方程时，常习惯于把输出写在方程的左边，输入写在方程右边，而且微分的次数左边，输入写在方程右边，而且微分的次数由高到低排列由高到低排列 。机械平移系统的微分方程机械平移系统的微分方程为：为：)()()()(tFtkxtx ftxm v例例2.RLC电路：研究在输入电压电路：研究在输入电压ur(t)作用作用下，电容上电压下，电容上电压uc(t)的变化。的变化。rLCur(t)uc(t)i(t)依据：电学中的基尔霍夫定律 ) 1 (),()()()(tudttdiLtritucr)2( ,)(1)(dttiCtuCdttduCtiC)()()()()()(22t
14、udttudLCdttdurCtuCCCr由（由（2）代入（）代入（1）得：消去中间变量）得：消去中间变量i(t)（两边求导）（两边求导）)()()()(tututurCtuLCrCCC 即这两个式子很相似，故可用电子线路来模拟这两个式子很相似，故可用电子线路来模拟机械平移系统，这也证明了我们前面讲到的，机械平移系统，这也证明了我们前面讲到的，看似完全不同的系统，具有相同的运动规律，看似完全不同的系统，具有相同的运动规律，可用相同的数学模型来描述。可用相同的数学模型来描述。整理成规范形式整理成规范形式二二.非线性元件的线性化非线性元件的线性化v1.几种常见的非线性几种常见的非线性000输入输出
15、输入输出输入输出ab饱和（放大器）死区（电机）间隙（齿轮） 非线性微分方程的求解很困难。在一定条非线性微分方程的求解很困难。在一定条件下，可以近似地转化为线性微分方程，件下，可以近似地转化为线性微分方程，可以使系统的动态特性的分析大为简化。可以使系统的动态特性的分析大为简化。实践证明，这样做能够圆满地解决许多工实践证明，这样做能够圆满地解决许多工程问题，有很大的实际意义。程问题，有很大的实际意义。v2.线性化的方法线性化的方法 （1）.忽略弱非线性环节（如果元件的非线忽略弱非线性环节（如果元件的非线性因素较弱或者不在系统线性工作范围以性因素较弱或者不在系统线性工作范围以内，则它们对系统的影响很
16、小，就可以忽内，则它们对系统的影响很小，就可以忽略）略） （2）.偏微法（小偏差法，切线法，增量线偏微法（小偏差法，切线法，增量线性化法）性化法） 偏微法基于一种假设，就是在控制系统的整偏微法基于一种假设，就是在控制系统的整个调节过程中，各个元件的输入量和输出量个调节过程中，各个元件的输入量和输出量只是在平衡点附近作微小变化。这一假设是只是在平衡点附近作微小变化。这一假设是符合许多控制系统实际工作情况的，因为对符合许多控制系统实际工作情况的，因为对闭环控制系统而言，一有偏差就产生控制作闭环控制系统而言，一有偏差就产生控制作用，来减小或消除偏差，所以各元件只能工用，来减小或消除偏差，所以各元件只
17、能工作在平衡点附近。作在平衡点附近。0 xy饱和（放大器）y0 x0y=f(x)A(x0,y0) A(x0,y0)平衡点，函数在平衡点处连续可微，则可平衡点，函数在平衡点处连续可微，则可将函数在平衡点附近展开成台劳级数将函数在平衡点附近展开成台劳级数 忽略二次以上的各项，上式可以写成忽略二次以上的各项，上式可以写成 这就是非线性元件的线性化数学模型这就是非线性元件的线性化数学模型202200)(! 21)()(00 xxdxydxxdxdyyxfyxxxky0yyy0 xxx0 xdxdykv（3）.平均斜率法平均斜率法 如果一非线性元件输入如果一非线性元件输入输出关系如图所示输出关系如图所示
18、 此时不能用偏微分法，可用平均斜率法得此时不能用偏微分法，可用平均斜率法得线性化方程为线性化方程为 kxy 11xyk 0 xyx1y1-x1-y1(死区)电机 注意：注意：这几种方法只适用于一些非线性程这几种方法只适用于一些非线性程度较低的系统，对于某些严重的非线性，度较低的系统，对于某些严重的非线性，如如 不能作线性化处理，一般用相平面法及描不能作线性化处理，一般用相平面法及描述函数法进行分析。述函数法进行分析。0继电特性0饱和特性v例例4：水位自动控制系统，输入量为：水位自动控制系统，输入量为Q1,输输出量为水位出量为水位H，求水箱的微分方程，水箱的，求水箱的微分方程，水箱的横截面积为横
19、截面积为C，R表示流阻。表示流阻。阀门阀门活塞活塞浮子浮子水水H(t)H(t)Q Q1 1Q Q2 2Q Q1 1单位时间进水量单位时间进水量Q Q2 2单位时间出水量单位时间出水量02010 QQ此时水位为H此时水位为H0 0解：解：dt时间中水箱内流体增加（或减少）时间中水箱内流体增加（或减少）CdH应与水总量（应与水总量（Q1-Q2）dt相等。即：相等。即： CdH =（Q1-Q2）dt 又据托里拆利定理，出水量与水位高度平又据托里拆利定理，出水量与水位高度平方根成正比，则有方根成正比，则有 其中其中 为比例系数。为比例系数。RHQ2R 1 显然这个式子为非线性关系，在工作点显然这个式子
20、为非线性关系，在工作点（ Q10,H10 ）附近进行台劳级数展开。取一）附近进行台劳级数展开。取一 次项得：次项得： 为流阻。为流阻。于是水箱的线性化微分方程为于是水箱的线性化微分方程为,2102RHHRHQRHR021RQHdtdHRC2-3 传递函数传递函数一一.拉氏变换拉氏变换v1.定义：设函数定义：设函数f(t)当当t=0时有定义，而时有定义，而且积分且积分 存在，则称存在，则称F(s)是是f(t)的拉普拉斯变换。的拉普拉斯变换。 简称拉氏变换。记为简称拉氏变换。记为f(t)称为称为 F(s)的拉氏逆变换。记为：的拉氏逆变换。记为：0)()(dtetfsFst)()(tfLsF)()(
21、1sFLtfv2.常用函数的拉氏变换常用函数的拉氏变换(1)例例1.求阶跃函数求阶跃函数f(t)=A1(t)的拉氏变换。的拉氏变换。单位阶跃函数单位阶跃函数f(t)=1(t)的拉氏变换的拉氏变换为为 。 (2)例例2.求单位脉冲函数求单位脉冲函数f(t)=(t)的拉氏变换。的拉氏变换。sAesAdtAesFstst00)(1)!2! 111(1)1(111)()(220000000limlimlimlimsssesesdtedtetsFsstststs1 （3）例）例3.求指数函数求指数函数f(t)= 的拉氏变换的拉氏变换几个重要的拉氏变换几个重要的拉氏变换ateaseasdtedteesFt
22、astsastat11)(0)(0)(0f(t)F(s)f(t)F(s)(t)1sinwt1(t)1/scoswt t1/(s+a)21 sate)(22wsw)(22wsswteatsinwteatcos22)(wasw22)(wasasv3.拉氏变换的基本性质拉氏变换的基本性质 (1)线性性质线性性质 原函数之和的拉氏变换等于各原函数的拉原函数之和的拉氏变换等于各原函数的拉氏变换之和。氏变换之和。 (2)微分性质微分性质 若若 ，则有，则有f(0)为原函数为原函数f(t) 在在t=0时的初始值。时的初始值。)()()()(2121tfbLtfaLtbftafL)()(sFtfL)0()()
23、(fssFtfL 证：根据拉氏变换的定义有证：根据拉氏变换的定义有 原函数二阶导数的拉氏变换原函数二阶导数的拉氏变换依次类推，可以得到原函数依次类推，可以得到原函数n阶导数的拉氏阶导数的拉氏变换变换) 0()()()()()(000fssFetfdtetfsdtetftfLststst)0()0()()0()0()()0()()(2fsfsFsffssFsftfsLtfL ) 0 () 0 () 0 ()()(121nnnnnffsfssFstfL(3)积分性质积分性质 若若 则则 式中式中 为积分为积分 当当t=0时的值。时的值。证：设证：设 则有则有 由上述微分定理，有由上述微分定理，有d
24、ttfth)()()()(sFtfLsfssFdttfL)0()()(1dttf)()0(1f)()(tfth)0()()(hthsLthL)0(1)(1)0(1)(1)0(1)(1)(1fssFshstfLshsthLsthL即：即：同理，对同理，对f(t)的二重积分的拉氏变换为的二重积分的拉氏变换为若原函数若原函数f(t)及其各重积分的初始值都等于及其各重积分的初始值都等于0则有则有 即原函数即原函数 f(t)的的n重积分的拉氏变换等于其象重积分的拉氏变换等于其象函数除以函数除以 。 sfssFdttfL)0()()(1)(1)(sFsdttfLnn)0(1)0(1)(1)()2()1(2
25、22fsfssFsdttfLns（4）.终值定理终值定理原函数的终值等于其象函数乘以原函数的终值等于其象函数乘以s的初值。的初值。证：由微分定理，有证：由微分定理，有等式两边对等式两边对s趋向于趋向于0取极限取极限)(lim)(lim0ssFtfst)0()()()(0fssFdtetftfLst)(lim)(lim)0()(lim)0()(lim)0()(lim)()()(lim)(lim000000000ssFtffssFfssFftftfdttfdtetfdtetfstsststssts右边左边注：若注：若 时时f(t)极限极限 不存在，不存在，则不能用终值定理。如对正弦函数和余弦则不能
26、用终值定理。如对正弦函数和余弦函数就不能应用终值定理。函数就不能应用终值定理。(5)初值定理：初值定理：证明方法同上。只是要将证明方法同上。只是要将 取极限。取极限。(6)位移定理：位移定理：a.实域中的位移定理，若原函数在时间上延实域中的位移定理，若原函数在时间上延迟迟 ，则其象函数应乘以，则其象函数应乘以t)(limtft)(lim)(lim0ssFtfst)()(sFetfLs sesb.复域中的位移定理，象函数的自变量延迟复域中的位移定理，象函数的自变量延迟a，原函数应乘以原函数应乘以 即：即：(7)时间比例尺定理时间比例尺定理 原函数在时间上收缩（或展宽）若干倍，原函数在时间上收缩（
27、或展宽）若干倍，则象函数及其自变量都增加（或减小）同则象函数及其自变量都增加（或减小）同样倍数。即：样倍数。即： 证：证：)()(asFtfeLat)()(asaFatfL)()(,/)()(00asaFadefatdteatfatfLsast则原式令ate(8)卷积定理卷积定理 两个原函数的卷积的拉氏变换等于两个象函两个原函数的卷积的拉氏变换等于两个象函数的乘积。数的乘积。即即证明：证明：)()()()(21021sFsFdftfLt02102110 021021)()( 1)()()(0)( 1)()()()()(dfttfdftfttftdtedftfdftfLtsttt时， 即得证。则
28、令)()()()()()()()(,)(1)()()()(1)()()(1201020)(10202101020021021sFsFdefdefdefdfdftfLtdtettfdfdtedfttfdftfLssstststt二二.拉氏反变换拉氏反变换 1. 定义：从象函数定义：从象函数F(s)求原函数求原函数f(t)的运算的运算称为拉氏反变换。记为称为拉氏反变换。记为 。由由F(s)可按下式求出可按下式求出 式中式中C是实常数，而且大于是实常数，而且大于F(s)所有极点的所有极点的实部。实部。 直接按上式求原函数太复杂，一般都用查直接按上式求原函数太复杂，一般都用查拉氏变换表的方法求拉氏反变
29、换，但拉氏变换表的方法求拉氏反变换，但F(s)必必须是一种能直接查到的原函数的形式。须是一种能直接查到的原函数的形式。 )(1sFL)0()(21)()(1tdsesFjsFLtfjCjCst 若若F(s)不能在表中直接找到原函数，则需要不能在表中直接找到原函数，则需要将将F(s)展开成若干部分分式之和，而这些部展开成若干部分分式之和，而这些部分分式的拉氏变换在表中可以查到。分分式的拉氏变换在表中可以查到。例例1：例例2：求：求 的逆变换。的逆变换。解：解：abeetfbsasabbsassFbtat)()11(1)(1)(则tetsFLtfssssssF1)()(1111) 1(1)(122
30、) 1(1)(2sssF例例3.ttteetfssssFcbacssbssascsbsasFsssF1)()1(1111)(1, 1, 11)1()1()1(1)()1(1)(2222对应项系数相等得则解：的逆变换2. 拉式反变换拉式反变换部分分式展开式的求法部分分式展开式的求法v（1）情况一）情况一:F(s) 有不同极点有不同极点,这时这时,F(s) 总能展开成如下简单的部分分式之和总能展开成如下简单的部分分式之和)()()()(1111110nmasasasbsbsbsbsDsMsFnnnnmmmmnnpscpscpscsF2211)(ipsiiiipssDsMccsDnip)()()(,
31、0)(), 2 , 1(是常数的根是式中321)3)(2)(1(1)(:1321scscscssssF例tttssseeetfssssFsssscsssscssssc3233221110115161)(31101211511161)(101)3()3)(2)(1(1151)2()3)(2)(1(161)1()3)(2)(1(1v（2）情况）情况2:F(s)有共轭极点有共轭极点例例2：求解微分方程：求解微分方程1) 0 () 0 (, 054 yyyyy为零）拉氏变换（初始条件不则微分方程两边同时取teteysssssssssssFsFfssFfsfsFsttsin3cos1)2(31)2(21
32、)2(321)2(5545)(0)(5)0(4)(4)0()0()(22222222v（3）情况）情况3:F(s)有重极点有重极点,假若假若F(s)有有L重重极点极点 ,而其余极点均不相同。而其余极点均不相同。那么那么11)()()()()()()()()()()(11111111111psllpsllnnllllllpssDsMdsdbpssDsMbpscpscpsbpsbpsbsDsMsF式中1p仍按以前的方法计算系数,)()()()!1(1)()()(!1,1111111nlpsllpsliilccpssDsMdsdlbpssDsMdsdib的其余互异极点。是式中0)(), 1()()(
33、)(sDnljppssDsMcjpsjjj1)()1() 1() 1(11) 1() 1(11) 1() 1() 1(1)(.0)0()0()0(, 133:3121133213334122333)3( ssssssdsdsssdsdbsssbscsbsbsbsssFyyyyyyy求微分方程例tttsseteetysssssFssscsb2230313121111) 1(1) 1(11)(1) 1(11)2(! 21v如果不记公式如果不记公式,可用以下方法求解可用以下方法求解1, 1, 1, 11)3()23(1) 1() 1() 1(1) 1() 1() 1(1)(3213212323332
34、3213322313bbbaasbbbasbbasbasssbssbsbsasbsbsbsasssF也可得解。也可得解。三三.传递函数传递函数 1.定义：零初始条件下，系统输出量的拉定义：零初始条件下，系统输出量的拉氏变换与输入量拉氏变换的比值叫该系统氏变换与输入量拉氏变换的比值叫该系统的传递函数，用的传递函数，用G(s)表示。表示。 设线性定常系统（元件）的微分方程是设线性定常系统（元件）的微分方程是)()()()()()()()(1111011110trbtrdtdbtrdtdbtrdtdbtcatcdtdatcdtdatcdtdammmmmmnnnnnn c(t)为系统的输出，为系统的输
35、出，r(t)为系统输入，则零为系统输入，则零初始条件下，对上式两边取拉氏变换，得初始条件下，对上式两边取拉氏变换，得到系统传递函数为：到系统传递函数为：nnnnmmmmasasasabsbsbsbsRsCsG11101110)()()(即是系统的特征方程。0)()(1110sNasasasasNnnnn分母中分母中S的最高阶次的最高阶次n即为系统的阶次。即为系统的阶次。 因为组成系统的元部件或多或少存在惯性，因为组成系统的元部件或多或少存在惯性，所以所以G(s)G(s)的分母次数大于等于分子次数，即的分母次数大于等于分子次数，即 , ,若若mn,mn,我们就说这是物理不可实现的我们就说这是物理
36、不可实现的系统。系统。是传递函数的极点。的根是函数的零点，的根，称为传递是0)()2 , 1(0)()2 , 1()()()()()()()(210210sNnipssMmizspspspsazszszsbsNsMsGiinmmn 2.性质性质 (1)传递函数与微分方程一一对应。传递函数与微分方程一一对应。 (2)传递函数表征了系统本身的动态特性。（传递传递函数表征了系统本身的动态特性。（传递函数只取决于系统本身的结构参数，而与输入和函数只取决于系统本身的结构参数，而与输入和初始条件等外部因素无关，可见传递函数有效地初始条件等外部因素无关，可见传递函数有效地描述了系统的固有特性。）描述了系统的
37、固有特性。） (3)只能描述线性定常系统与单输入单输出系统，只能描述线性定常系统与单输入单输出系统，且内部许多中间变量的变化情况无法反映。且内部许多中间变量的变化情况无法反映。 (4)如果存在零极点对消情况，传递函数就不能正如果存在零极点对消情况，传递函数就不能正确反映系统的动态特性了。确反映系统的动态特性了。 (5)只能反映零初始条件下输入信号引起的输出，只能反映零初始条件下输入信号引起的输出，不能反映非零初始条件引起的输出。不能反映非零初始条件引起的输出。 例例1：RC电路如图所示电路如图所示依据：基尔霍夫定律依据：基尔霍夫定律 消去中间变量消去中间变量 ，rucuRCti)()()(tu
38、tRitucrdttduCtiC)()()(ti则微分方程为：则微分方程为：)()()(tutudttduRCrcc可用方框图表示可用方框图表示例例2.双双T网络网络)(sG)(sR)(sC11RCs)(sur)(sucrucu1C2C1R2R1i2i1u对上式进行零初始条件下的拉氏变换得：对上式进行零初始条件下的拉氏变换得：11)()()(RCssususGrc解：方法一：根据基尔霍夫定理列出下列微解：方法一：根据基尔霍夫定理列出下列微分方程组：分方程组：dttictutiRtutudttitictutiRtutuccr)(1)()()()()()(1)()()()(222212111111
39、方程组两边取零初始条件下的拉氏变换得：方程组两边取零初始条件下的拉氏变换得：)(1)()()()()()(1)()()()(222212111111sIsCsusIRsususIsIsCsusIRsusuCCr1)(1)()(21221122211sCRCRCRsCRCRsusurC传递函数为消去中间变量后，得到方法二：用复阻抗比：方法二：用复阻抗比：1)(1111111)1(11)()(21221122121222112212211sCRCRCRsCCRRsCRsCsCsCsCRsCsCRsCRsusurC2221122111111)1/(1)()(sCRsCsCSCsCRsCRsusurc
40、 注意：双注意：双T网络不可看成两个网络不可看成两个RC网络的串网络的串联，即：联，即：)1)(1(1)()(11)()(,11)()(2211222112sCRsCRsususCRsususCRsusurccr得R1R2urC1C2ucu2 与双与双T网络相比少一个交叉项网络相比少一个交叉项R1C2S，这就是，这就是负载效应，因此双负载效应，因此双T网络不能孤立地分开，必网络不能孤立地分开，必须作为一个整体来求传递函数。当后一个须作为一个整体来求传递函数。当后一个RC网络接到网络接到C1两端时两端时，u2已不再是原来已不再是原来的的u2，也就是说也就是说R1中的电流中的电流=C1中的电流中的
41、电流+R2中电流，中电流，不再等于不再等于C1中的电流。只有当第一个中的电流。只有当第一个RC网络网络的负载阻抗为无穷大时，双的负载阻抗为无穷大时，双T网络的传递函数网络的传递函数才等于两个才等于两个RC网络的串联。网络的串联。例例3：位置随动系统：位置随动系统turmcuauu电桥放大器直流电机减速器测速机-各元件微分方程各元件微分方程:)(1)()()()()()()()()()(22tittukdttddttdTdttdktutuktutktumcammmmmttaa减速器电机测速机放大器电桥零初始条件下的拉氏变换零初始条件下的拉氏变换:)(1)()()()()()()()()()(2s
42、issuksssTssksusuksusksumcammmmttaa减速器电机测速机放大器电桥各元件传递函数各元件传递函数:isssGsTsksussGskssusGksususGkssusGmcmmamtmtaa1)()()()1()()()()()()()()()()()()(54321减速器电机测速机放大器电桥由各元部件传递函数，消去中间变量，得系由各元部件传递函数，消去中间变量，得系统的传递函数为：统的传递函数为：21210020,)()()(iJJJRCkkRCkfFiRCkkkJksJFsJksssGamtaamaamarc效的转动惯量折算后电机轴上的总等阻尼系数增益例例4：求图：
43、求图2-18所示运算放大器的传递函数。所示运算放大器的传递函数。图中图中Rf是反馈电阻，是反馈电阻，if是反馈电流，是反馈电流，Ri是输入是输入电阻，电阻，ur和和ir是输入电压和电流，是输入电压和电流，uc是输出电是输出电压压,i0是进入放大器的电流。是进入放大器的电流。urucRfRiRui0irif-+ 运算放大器有同相运算放大器有同相(+)和反相和反相(-)两个输入端。两个输入端。 带负号的输入端为反相输入，此输入所产带负号的输入端为反相输入，此输入所产 生的输出与输入极性相反。带正号的输入生的输出与输入极性相反。带正号的输入 为同相输入，它所产生的输出极性不变。为同相输入，它所产生的
44、输出极性不变。 两个输入有差分作用，即输出电压与两个两个输入有差分作用，即输出电压与两个 输入端的电压差成正比。运算放大器常用输入端的电压差成正比。运算放大器常用 的是反相输入端，它利用负反馈原理，把的是反相输入端，它利用负反馈原理，把 一部分与输入信号反相的输出信号送回输一部分与输入信号反相的输出信号送回输 入端，同相输入端与入端，同相输入端与ur和和uc共地。共地。 运算放大器具有高增益运算放大器具有高增益k=105109,而通常而通常uc小于小于10伏，因为伏，因为u=-uc/k,所以运算放大器的所以运算放大器的输入电压输入电压u近似等于近似等于0，这种反相输入端电位，这种反相输入端电位
45、为为0的现象，是运算放大器的共同特点，叫做的现象，是运算放大器的共同特点，叫做“虚地虚地”，又因为运算放大器的输入阻抗很，又因为运算放大器的输入阻抗很高，所以流入放大器的电流高，所以流入放大器的电流i0也近似等于也近似等于0。这个现象叫做这个现象叫做“虚断虚断”，ir=if , 由此导出：由此导出： ，即即 ，所以运算放大器的传递函数，所以运算放大器的传递函数为为fcirRuuRuuifrcRRsusu)()(fcirRuRu 这个结论可以推广为：运算放大器的这个结论可以推广为：运算放大器的传递函数等于反馈复阻抗与输入复阻抗传递函数等于反馈复阻抗与输入复阻抗之比。之比。2-4 结构图结构图一一
46、.结构图的概念和组成结构图的概念和组成v1.概念概念 将方框图中各时间域中的变量用其拉氏变将方框图中各时间域中的变量用其拉氏变换代替，各方框中元件的名称换成各元件换代替，各方框中元件的名称换成各元件的传递函数，这时方框图就变成了结构图。的传递函数，这时方框图就变成了结构图。v2. 组成组成 (1)方框：有输入信号，输出信号，传递线，方框：有输入信号，输出信号，传递线，方框内的函数为输入与输出的传递函数，方框内的函数为输入与输出的传递函数，一条传递线上的信号处处相同。一条传递线上的信号处处相同。 (2)比较点：比较点： 综合点，相加点综合点，相加点 加号常省略加号常省略 负号必须标出负号必须标出
47、 (3)引出点：引出点： 一条传递线上的信号处处相等一条传递线上的信号处处相等 ，引出点的，引出点的信号与原信号相等。信号与原信号相等。G(s)X(s)Y(s)二二.结构图的绘制结构图的绘制 例：绘制双例：绘制双T网络的结构图网络的结构图rucu11sC21sC1R2R1i2i1u2221212111111)()()()()(1)()()()()()(sCsIsuRsususIsCsIsIsuRsususICCr画图时画图时G(s)R(s)C(s)从左向右列方程组从左向右列方程组)()()(sCsGsR将上页方程改写如下相乘的形式：将上页方程改写如下相乘的形式：)(1)()(1)()()(1)
48、()()(1)()(222211121111susCsIsIRsusususCsIsIsIRsusuCCr绘图：绘图：ur(s)为输入，画在最左边。为输入，画在最左边。1/R11/sC11/R21/sC2uC(s)ur(s)u1(s)i1(s)i2(s)-u1(s)-uC(s)这个例子不是由微分方程组这个例子不是由微分方程组代数方程代数方程组组结构图，而是直接列写结构图，而是直接列写s域中的代数方域中的代数方程，画出了结构图。程，画出了结构图。若重新选择一组中间变量，会有什么结果呢？若重新选择一组中间变量，会有什么结果呢？(刚才中间变量为刚才中间变量为i1,u1,i2，现在改为，现在改为I,I
49、1,I2)rucu1C2C1R2R1I2II从右到左列方程：从右到左列方程：1111221122211)()()()()()()()()(1)()(RsCsIsusIsCRsIsusIsIsIsIsCsIsurcc 这个结构与前一个不一样，这个结构与前一个不一样，选择不同的选择不同的中间变量，结构图也不一样，但是整个系统中间变量，结构图也不一样，但是整个系统的输入输出关系是不会变的。的输入输出关系是不会变的。11R21sC2R1sC11sC)(sur)(suc)(1sI)(2sI)(sI绘图绘图1)(1)()()(21221122121sCRCRCRsCCRRsususGrc三三.结构图的等效
50、变换结构图的等效变换（1）串联）串联G(s)X(s)Y(s)()()()()()()(),()()()()()()()(21211121sGsGsxsysGsxsysGsxsxsGsGsxsysG证明：X1(s)G1(s)G2(s)X(s)Y(s)(2)并联并联G(s)X(s)Y(s)()()()()()()()()()()()()()()()()()(2121212121sGsGsGsGsxsGsGsxsGsxsGsxsysysysGsGsG证明：X(s)G2(s)G1(s)Y1(s)Y2(s)Y(S)(3)反馈反馈这是个单回路的闭环形式，反馈可能是负，这是个单回路的闭环形式，反馈可能是负，
