1、 数学数学数列数列 单元总结复习单元总结复习 数列是高中代数的重要内容，又是学习高等数学的基数列是高中代数的重要内容，又是学习高等数学的基础，所以在高考中占有重要的地位，是高考数学的主要考础，所以在高考中占有重要的地位，是高考数学的主要考察内容之一，试题难度分布幅度大，察内容之一，试题难度分布幅度大，既有容易的基本题和既有容易的基本题和难度适中的小综合题，也有综合性较强对能力要求较高的难度适中的小综合题，也有综合性较强对能力要求较高的难题。难题。大多数是一道选择或填空题，一道解答题。解答题大多数是一道选择或填空题，一道解答题。解答题多为中等以上难度的试题，突出考查考生的思维能力，解多为中等以上
2、难度的试题，突出考查考生的思维能力，解决问题的能力，试题经常是综合题，把数列知识和指数函决问题的能力，试题经常是综合题，把数列知识和指数函数、对数函数和不等式的知识综合起来，探索性问题是高数、对数函数和不等式的知识综合起来，探索性问题是高考的热点，常在数列解答题中出现。应用问题有时也要用考的热点，常在数列解答题中出现。应用问题有时也要用到数列的知识。到数列的知识。试题特点试题特点 qaann1dnaan) 1(111nnqaadmnaamn)( mnmnqaa2)(baAabG 22) 1(2)(11dnnnaaanSnn1 1 11)1 (111qnaqqqaaqqaSnnnm+n=p+qn
3、mpqaaaanmpqa aa am np q 2m+n2nmpaaap22nmpaaamnp一、知识回顾一、知识回顾daann1kkkkkSSSSS232,kkkkkSSSSS232,仍成等差仍成等差仍成等比仍成等比1 2 11nSnSSannn等等 差差 数数 列列等等 比比 数数 列列定定 义义通通 项项通项推广通项推广中中 项项性性 质质求和求和公式公式关系式关系式nnSa 、适用所有数列适用所有数列 、等差、等比数列的设法及应用、等差、等比数列的设法及应用1.三个数成等差数列可设为三个数成等差数列可设为daadadadaa, ;2, 或者或者 ，yyxx,2,aqaqa,2. 三个数
4、成等比数列，则这三个数可设为三个数成等比数列，则这三个数可设为 ，也可以设为，也可以设为.,2aqaqa 例例1(1). 已知三个数成等差数列，其和为已知三个数成等差数列，其和为15，其平方和为，其平方和为83，求此三个数求此三个数.析：设这三个数为析：设这三个数为dxxdx,则83)()(15)()(222dxxdxdxxdx所求三个数分别为3，5，7解得x5，d或7，5，3.2.二、知识应用二、知识应用根据具体问题的不同特点而选择不同设法。根据具体问题的不同特点而选择不同设法。例例1(2)：互不相等的三个数之积为：互不相等的三个数之积为 ，这三个数适当排列后可，这三个数适当排列后可成为等比
5、数列也可排成等差数列，求这三数排成的等差数列成为等比数列也可排成等差数列，求这三数排成的等差数列.8设这三个数为， 则aqaqa,8aqaqa即：2 83aa（1）若qq2,22 是 的等差中项，则422 qq即：0122 qq1 q与已知三数不等矛盾（2）若qq2, 22为的等差中项，则qq211即：0122qq21 q三个数为三个数为2, 1 , 44 , 1 , 2或或（3）若2,22qq为的等差中项，则qq21即：022qq2 q三个数为三个数为2, 1 , 44 , 1 , 2或或综上：这三数排成的等差数列为这三数排成的等差数列为:4 , 1 , 2 2 , 1 , 4或 、运用等差
6、、等比数列的性质、运用等差、等比数列的性质例例2（1）已知等差数列）已知等差数列 满足满足 ，则，则 ( )na010121 aaa0 A.1011aa0 B.1002aa51 D.51a0 C.993aa130 A.170 B.210 C.260 D.（3）已知在等差数列已知在等差数列an的前的前n项中，前四项之和为项中，前四项之和为21，后，后四项之和为四项之和为67，前，前n项之和为项之和为286，试求数列的项数，试求数列的项数n.214321aaaa析：析：67321nnnnaaaa2862)(1nnaanS22467211naaC （2）已知等差数列）已知等差数列 前前 项和为项和为
7、30，前，前 项和为项和为100，则前则前 项和为项和为 ( )namm2m3C26n 例例3.等差数列等差数列an中中,a10,S9=S12,该数列前多少项的和最小该数列前多少项的和最小?分析分析: :如果等差数列如果等差数列an由负数递增到正数，或者由由负数递增到正数，或者由正数递减到负数，那么前正数递减到负数，那么前n项和项和Sn有如下性质：有如下性质：100nnnaSa是最小值当当a10,d0时时,当当a10,d0时时,100nnnaSa是最大值思路思路1：寻求通项：寻求通项n取取10或或11时时Sn取最小值取最小值111199 (91)1212 (121)22adad 1110da
8、即：即：da30311011)10)(1(111naanaan010a易知011a012a由于01a、等差数列的最值问题、等差数列的最值问题例例.等差数列等差数列an中中,a10,S9=S12,该数列前多少项的和最小该数列前多少项的和最小?分析分析:等差数列等差数列an的通项的通项an是关于是关于n的的一次式一次式,前项和前项和Sn是关于是关于n的的二次式二次式(缺常数项缺常数项).求等差数列的前求等差数列的前n项和项和 Sn的最大最小值可用解决的最大最小值可用解决二次函数的最值二次函数的最值问题的方法问题的方法.思路思路2：从：从函数函数的角度来分析的角度来分析数列数列问题问题.设等差数列设
9、等差数列an的公差为的公差为d,则由题意得则由题意得:111199 (9 1)1212 (12 1)22adad 110ad 111(1)10(1)22nSnan nddnn nd a10,d0, Sn有最小值有最小值.又又nN*, n=10或或n=11时时,Sn取最小值取最小值即：即：da3031212122dndn222121()228dnd例例3.等差数列等差数列an中中,a10,S9=S12,该数列前多少项和最小该数列前多少项和最小?分析分析:数列的图象是一群孤立的点数列的图象是一群孤立的点,数列前数列前 n项和项和Sn 的图象也是一的图象也是一群孤立的点群孤立的点.此题等差数列前此题
10、等差数列前n项和项和Sn的图象是在抛物线上一群孤的图象是在抛物线上一群孤立的点立的点.求求Sn的最大最小值即要求的最大最小值即要求距离距离对称轴对称轴最近最近的正整数的正整数n.因为因为S9=S12,又又S1=a10,a2a4+2a3a5+a4a6=25,那那 么么a3+a5的值等于的值等于 （ ）A.5 B.1 C.15 D.10A三、基础练习三、基础练习5.等差数列等差数列an中中,已知前已知前4项和是项和是1,前前8项和是项和是4,则则a17+a18+a19+a20的值等于的值等于 ( )A.7 B.8 C.9 D.10C考题剖析考题剖析 例5、（2008北京）北京）数列an满足（）当a
11、2=-1时，求及a3的值；（）数列an是否可能为等差数列？若可能，求出它的通项公式；若不可能，说明理由；解解：（）由于且a1=1，所以当a2=-1时，得, 故从而（）数列an不可能为等差数列.证明如下：由a1=1，得若存在 ，使an为等差数列，则a3-a2=a2-a1,即解得 =3.于是这与an为等差数列矛盾，所以，对任意 ，an都不可能是等差数列. 点评证明一个数列是等差数列，须证明这个数列的第点评证明一个数列是等差数列，须证明这个数列的第n项与第项与第n1项的差是常数。项的差是常数。2111,()(1,2,),.nnaanna n是常数21()(1,2,),nnanna n12 3. 23
12、(223)( 1)3.a 21()nnanna2342,(6)(2),(12)(6)(2).aaa(5)(2)1 ，214312,(11)(6)(2)24.aaaa 5. 已知已知 是两个等差数列，前是两个等差数列，前 项和项和 ,nnab88.ab分别是分别是 和和 且且 nAn,nB72,3nnAnBn求求181073152157151588BAba1212nnnnBAba倒序相加法倒序相加法求和，如求和，如an=3n+1错项相减法错项相减法求和，如求和，如an=(2n-1)2n分组分组求和，求和， 如如an=2n+3n 裂项相加法裂项相加法求和，如求和，如an=1/(2n-1)(2n+1
13、) = ( - ). = - . = ( - ). =( - ). = - .1(21)(21)nn12121n121n1(1)(2)n nn121(1)n n1(1)(2)nn1ab1abab1nkn1knkn1Cmn1CmnCmn若an是公差为d的等差数列,则 =(-).11nna a1d1na11na*1221, 0) 1( , 0, 11Nnaanaanaannnnn)2(33, 3111naaaannn累加累加法，如法，如累乘累乘法，如法，如构造新数列构造新数列：如：如分解因式分解因式：如：如取倒数取倒数：如：如)(1nfaann)(1nfaannbkaann111nnnnakaaa ) 1(22, 1)3(11nnaaaannn)2(3, 1)2(211naaann1.求数列求数列 通项公式通项公式 na1111,1()22.nnnaaanNa1.已知求(1) nnnnaNnaSa求满足数列),)(1(232.巩固练习：巩固练习：
