1、函数与导数重难点突破函数与导数重难点突破 南京航空航天大学附属高级中学南京航空航天大学附属高级中学黄智华黄智华 函数与导数是高中代数部分重要的内容之函数与导数是高中代数部分重要的内容之一函数是描述客观世界变化规律的重要数学模一函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型高中阶段不仅把函数看成变量之间的依赖关型高中阶段不仅把函数看成变量之间的依赖关系，同时还用集合与对应的语言刻画函数，函数系，同时还用集合与对应的语言刻画函数，函数的思想方法贯穿数学课程的始终的思想方法贯穿数学课程的始终 微积分的创立是数学发展中的里程碑，它为研微积分的创立是数学发展中的里程碑，它为研究变量与函数提供了重要的方法和手段
2、究变量与函数提供了重要的方法和手段 导数的概念是微积分的核心概念之一，它有着导数的概念是微积分的核心概念之一，它有着极其丰富的实际背景和广泛的应用是学生进一极其丰富的实际背景和广泛的应用是学生进一步学习高等数学的基础因此，有关函数与导数步学习高等数学的基础因此，有关函数与导数的内容历年来都是高考的重点、热点和难点，在的内容历年来都是高考的重点、热点和难点，在高考中占有重要的地位高考中占有重要的地位一、课标解读及考试要求一、课标解读及考试要求 （1）函数）函数 体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻学模型，在此
3、基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念和值域；了解映射的概念 在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数的方法表示函数 通过具体实例，了解简单的分段函数，并能通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用简单应用 通过已学过的函数特别是二次函数，理解函通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性、最大数的单调性、最大(小小)值及其几何意义；结合具体值及其
4、几何意义；结合具体函数，了解奇偶性的含义函数，了解奇偶性的含义 学会运用函数图像理解和研究函数的性质学会运用函数图像理解和研究函数的性质 （2）指数函数）指数函数 通过具体实例了解指数函数模型的实通过具体实例了解指数函数模型的实际背景际背景 理解有理指数幂的含义，通过具体实理解有理指数幂的含义，通过具体实例了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算例了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算 理解指数函数的概念和意义，能借助理解指数函数的概念和意义，能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图像，计算器或计算机画出具体指数函数的图像，探索并理解指数函数的单调性与特殊点探索并理解指数函数的单调性与特殊点 在解决简单
5、实际问题的过程中，体会在解决简单实际问题的过程中，体会指数函数是一类重要的函数模型指数函数是一类重要的函数模型 （3）对数函数）对数函数 理解对数的概念及其运算性质，知道理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；通过阅读材料，了解对数的发现常用对数；通过阅读材料，了解对数的发现历史以及对简化运算的作用历史以及对简化运算的作用 通过具体实例，直观了解对数函数模通过具体实例，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，体会对数函数是一类重要的函数模型；概念，体会对数函
6、数是一类重要的函数模型；能借助计算器或计算机画出具体对数函数的能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图像，探索并理解对数函数的单调性与特殊图像，探索并理解对数函数的单调性与特殊点点 知道指数函数与对数函数互为反函知道指数函数与对数函数互为反函数数 （4）幂函数）幂函数 通过实例，了解幂函数的概念；结合通过实例，了解幂函数的概念；结合五个具体的幂函数的图像，了解它们的变五个具体的幂函数的图像，了解它们的变化情况化情况 （5）函数与方程）函数与方程 结合二次函数的图像，判断一元二次结合二次函数的图像，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程
7、根的联系数的零点与方程根的联系 根据具体函数的图像，能够借助计算根据具体函数的图像，能够借助计算器用二分法求相应方程的近似解，了解这器用二分法求相应方程的近似解，了解这种方法是求方程近似解的常用方法种方法是求方程近似解的常用方法 （6）函数模型及其应用）函数模型及其应用 利用计算工具，比较指数函数、对数利用计算工具，比较指数函数、对数函数以及幂函数增长差异；结合实例体会函数以及幂函数增长差异；结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义数类型增长的含义 收集一些社会生活中普遍使用的函数收集一些社会生活中普遍使用的函数模型（指数函数、对数函
8、数、幂函数、分模型（指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等）的实例，了解函数模型的广泛段函数等）的实例，了解函数模型的广泛应用应用二、考试要求二、考试要求 对知识的考查要求依次分为了解、理解、对知识的考查要求依次分为了解、理解、掌握三个层次（在下表中分别用掌握三个层次（在下表中分别用A、B、C表示）表示） 了解了解：要求对所列知识的含义有最基本的：要求对所列知识的含义有最基本的认识，并能解决相关的简单问题认识，并能解决相关的简单问题 理解理解：要求对所列知识有较深刻的认识，：要求对所列知识有较深刻的认识，并能解决有一定综合性的问题并能解决有一定综合性的问题 掌握掌握：要求系统地掌握知识的内在联
9、系，：要求系统地掌握知识的内在联系，并能解决综合性较强的或较为困难的问并能解决综合性较强的或较为困难的问题题三、试题特点三、试题特点4.试题预测试题预测：估计在今后的命题中，在题量估计在今后的命题中，在题量和分值上将继续保持稳定；在试题难度上，和分值上将继续保持稳定；在试题难度上，小题主考双基，兼顾能力，大题主考能力，小题主考双基，兼顾能力，大题主考能力，应用题、综合题仍会成为高考的热点和重应用题、综合题仍会成为高考的热点和重点点四、高考试题分类分析四、高考试题分类分析 1对函数概念的考查的分析对函数概念的考查的分析 考查函数概念的载体主要是无理函数、指 函数、对数函数、分式函数或它们对一次、
10、二次函数的复合函数或组合函数等考查的内容主要涉及到函数的定义域、值域等，主要工具是不等式，多为基础题考点：考查函数的概念和函数的定义域考点：考查函数的概念和函数的定义域较少考查的类型是：较少考查的类型是：考查函数的性质主要从两个层次上进行，一是考查函数的性质主要从两个层次上进行，一是对函数的性质如单调性、奇偶性等概念较为单对函数的性质如单调性、奇偶性等概念较为单一的再现，其主要载体是指数函数、对数函数一的再现，其主要载体是指数函数、对数函数及简单的复合函数，多为基础题；二是对函数及简单的复合函数，多为基础题；二是对函数性质的综合运用，此类问题对恒等变形、等价性质的综合运用，此类问题对恒等变形、
11、等价转化的能力有一定的要求，函数与方程、分类转化的能力有一定的要求，函数与方程、分类讨论、数形结合的思想方法通常会有所体现，讨论、数形结合的思想方法通常会有所体现，多为中档题，甚至是难题多为中档题，甚至是难题2对函数性质的考查的分析：对函数性质的考查的分析：解析解析: :要么用复合函数的单调性来研究；或者利要么用复合函数的单调性来研究；或者利用图象的对称变换和平移变换来研究用图象的对称变换和平移变换来研究A对图象的理解识别对图象的理解识别 （1）汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程停车，若把这一过程中汽车
12、的行驶路程s看作时间看作时间t的函数，的函数，其图像可能是其图像可能是 （ A ） s t O A s t O s t O s t O B C D （3）设设 ab，函数，函数 y(xa)2(xb)的图像可能是的图像可能是（C） 注：学会抓住问题的关键（矛盾的主要方面）注：学会抓住问题的关键（矛盾的主要方面）进行思考，掌握数学的研究方法：特殊值验进行思考，掌握数学的研究方法：特殊值验证证【命题立意】：本题考查了函数的图象以及函数的定【命题立意】：本题考查了函数的图象以及函数的定义域、值域、单调性等性质本题的难点在于给出义域、值域、单调性等性质本题的难点在于给出的函数比较复杂，需要对其先变形，再
13、在定义域内的函数比较复杂，需要对其先变形，再在定义域内对其进行考察其余的性质对其进行考察其余的性质2. .利用导数研究研究函数综合性质利用导数研究研究函数综合性质四、教学建议四、教学建议 函数几乎贯穿了高中数学的始末，它与高函数几乎贯穿了高中数学的始末，它与高中数学的每一部分内容几乎都有联系对中数学的每一部分内容几乎都有联系对函数的认识，应该包含对函数的概念和性函数的认识，应该包含对函数的概念和性质的理解；对二次函数、指数函数、对数质的理解；对二次函数、指数函数、对数函数、三角函数等基本初等函数和分段函函数、三角函数等基本初等函数和分段函数的概念和性质的理解；函数图象的变换数的概念和性质的理解
14、；函数图象的变换和应用；建立函数模型解决问题的意识和应用；建立函数模型解决问题的意识等等 在复习函数和导数的过程中，必须从以在复习函数和导数的过程中，必须从以下两个方面着手：下两个方面着手： 一是熟练掌握各种基本初等函数及几种特一是熟练掌握各种基本初等函数及几种特殊函数（如分式函数，无理函数，基本不殊函数（如分式函数，无理函数，基本不等式型函数）的概念、图象和性质，能够等式型函数）的概念、图象和性质，能够将较复杂的函数进行分解，分析它们是由将较复杂的函数进行分解，分析它们是由哪些基本函数经过怎样的变换、组合或复哪些基本函数经过怎样的变换、组合或复合得到的，再通过对基本函数的理解和认合得到的，再通过对基本函数的理解和认识，来进行分析研究，研究的过程中要充识，来进行分析研究，研究的过程中要充分利用图象的直观性；分利用图象的直观性； 二是充分认识和发挥导数的工具性，通过导二是充分认识和发挥导数的工具性，通过导数研究函数的图象，进而研究函数性质数研究函数的图象，进而研究函数性质 在高三复习过程中，应注意以下几个方面：在高三复习过程中，应注意以下几个方面： （一）准确把握复习要求，不作人为提高，夯实基础（一）准确把握复习要求，不作人为提高，夯实基础1重视对教学要求的理解和认识，准确把握；重视对教学要求的理解和认识，准确把握；
