1、湖北省重点中学四校2021-2022学年高二下学期联考数学试题本试卷22小题，满分150分，考试用时120分钟一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分1如图所示，若直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则（）Ak2k1k3Bk1k2k3Ck3k2k1Dk3k1k22已知抛物线，则A它的焦点坐标为B它的焦点坐标为C它的准线方程是D它的准线方程是3将襄阳五中、钟祥一中、夷陵中学、随州一中校徽各1枚随机地分发给甲、乙、丙、丁，每人分得1枚，事件“甲分得钟祥一中校徽”与事件“乙分得钟祥一中校徽”是（ ）A. 不可能事件 B. 对立事件 C. 相互独立事件 D. 互斥事件4已知双曲线的
2、焦点在轴上，焦距为4，且一条渐近线方程为，则双曲线的标准方程是A B C D5高斯，德国著名数学家、物理学家、天文学家、大地测量学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”之称高斯在幼年时首先使用了倒序相加法，人们因此受到启发，创造了等差数列前项和公式已知等差数列的前项和为，则的值为A8B11C13D176如图，在二面角的棱上有两点、，线段、分别在该二面角的两个面内，且都垂直于棱，若，则线段的长为A8 B16 C D7等差数列满足：，且它的前项和有最大值，则A是中最大值，且使的的最大值为2019B是中最大值，且使的的最大值为2020 C是中最大值，且使的的最大值为4039 D是中最大值，且使的的
3、最大值为4040 8椭圆与双曲线共焦点，它们的交点对两公共焦点，的张角为，椭圆与双曲线的离心率分别为，则A BCD二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9已知数列是等比数列，公比为，前项和为，则A为等比数列B也可能为等差数列C若，则为递增数列D若，则10已知直线和直线，则A始终过定点 B若在x轴和y轴上的截距相等，则C若，则或2 D若，则或 11平面内与两定点，连线的斜率之积等于常数的点的轨迹，加上两点构成曲线，则下列说法正确是A当时，曲线是椭圆B当时，曲线是焦点在轴上的双曲线C当时，曲线的离心
4、率随着的增大而增大D当时，曲线的焦点坐标为，12在棱长为1的正方体中，已知为线段的中点，点和点分别满足，其中，则A当时，三棱锥的体积为定值B当时，四棱锥的外接球的表面积是C若直线与平面所成角的正弦值为，则D存在唯一的实数对，使得平面三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13已知数列的前项和为，则的通项公式为 14齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马现从双方的马匹中随机各选一匹进行一场比赛，则田忌获胜的概率为 15若圆上有且仅有三个点到直线的距离为1，则 16某校学生在研究民间剪纸艺
5、术时，发现剪纸时经常会沿着纸的某条对称轴把纸对折规格为的长方形纸，对折1次可以得到和两种规格的图形，它们的周长之和为，对折2次可以得到，三种规格的图形，它们的周长之和为，以此类推，则对折5次后能得到的所有不同规格图形的种数为 ；如果对折次后，那么能得到的所有不同规格图形的周长之和四、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17（10分）已知圆C过两点，且圆心在直线x+y+30上（1）求圆C的标准方程；（2）若直线l过点与圆C交于P，Q两点，且|PQ|8，求直线l的方程18（12分）已知数列满足，数列满足（1）证明：数列为等比数列，并求的通项公式；（2）设，求数列的
6、前项和19（12分）如图，在三棱柱中，（1）证明：平面；（2）若，求平面与平面夹角的余弦值20（12分）已知双曲线的中心在坐标原点，焦点在轴上，离心率，且双曲线C过点（1）求双曲线的方程；（2）若直线与双曲线交于，两点，线段中点的横坐标为，求线段的长21（12分）为了丰富业余生活，甲、乙、丙三人进行羽毛球比赛比赛规则如下：每场比赛有两人参加，并决出胜负；每场比赛获胜的人与未参加此场比赛的人进行下一场的比赛；依次循环，直到有一个人首先获得两场胜利，则本次比赛结束，此人为本次比赛的冠军已知在每场比赛中，甲胜乙的概率为，甲胜丙的概率为，乙胜丙的概率为（1）求甲、乙、丙三人共进行了3场比赛且丙获得冠军
7、的概率；（2）求甲和乙先赛且甲获得冠军的概率22（12分）在圆上任取点P，过点P作轴的垂线PD，D是垂足，点M满足： .（1）求点M的轨迹方程；（2）若，过点作与坐标轴不垂直的直线与点M的轨迹交于A、B两点，点C是点A关于轴的对称点，试在轴上找一定点N，使B、C、N三点共线，并求与面积之比的取值范围.【参考答案】一、单选题：每小题5分，共40分1A【解析】由图象知，设直线l1，l2，l3的倾斜角分别为，则，即，故选A2B【解析】将抛物线化为标准方程得，则焦点坐标为，准线方程为，故选B3D【解析】由于每人分得1枚，故事件“甲分得钟祥一中校徽胸章”与“乙分得钟祥一中校徽胸章”是不能同时发生的，又因
8、为这两个事件的和事件不是必然事件，所以这两事件互斥而不对立，故选D4A【解析】由题意可知：设双曲线的标准方程为，由，则，渐近线方程为，即，由，解得：，双曲线的标准方程为：故选：A5D【解析】， ，又， ，故选D6C【解析】， 又， ， 故选C7C【解析】由及有最大值可知，且，最大；又， 使的n的最大值为4039，故选C8B【解析】设椭圆的长轴长为，双曲线的实轴长为，到两焦点的距离分别为，焦距为，由椭圆的定义可得，由双曲线的定义可得，解得，由余弦定理得，则，化为，可得，由，可得故选：B二、多选题：每小题5分,共20分在各小题中,全部选对得5分,有选错的得0分,部分选对的得2分9ABD【解析】令，
9、则，所以是等比数列，选项A正确；若，则也为等差数列，所以选项B正确；若，则为递减数列，所以选项C错误；若，则,;由是等比数列，得，即，解得，所以选项D正确故选：ABD10AC【解析】化为，由且解得，即直线恒过定点，故A正确；若在x轴和y轴上截距相等，则过原点或其斜率为，则或，故B错误；若，则解得或2，故C正确；若，则先由解得或，再检验当时重合，故D错误；综上，选AC 11BD【解析】设动点，则，即，加上，则曲线的方程为当时，曲线是圆，故A错误；当时，点的轨迹为焦点在轴上的双曲线，故B正确；当时，点的轨迹为焦点在轴上的椭圆（不含左、右顶点），离心率，随的增大而减小，故C错误；当时，曲线表示的焦点
10、在x轴上椭圆，焦点的坐标为，；当时，曲线表示的焦点在x轴上双曲线，焦点的坐标为，；故D正确；综上，故选BD12ABC【解析】对于A，当时， 是的中点，连接与交于点，则为的中点，面，又点在上，点到面的距离为定值，三棱锥的体积为定值，故A正确；对于B，当时，点为的中点，设四棱锥的外接球的半径为，则球心O在PM延长线上，由OP=R得OM=，由得，解得，外接球的表面积为，故B正确；对于C，连接，过点作于，连接，平面，平面平面，平面平面，平面，为与平面所成角，在由余弦定理有，在中由勾股定理有，解得，故C正确对于D，点在上，又在上，在上，平面即为平面，又易证平面，是平面的法向量，欲平面，须与共线，即须与共
11、线，显然不可能，不存在实数对使得平面，故D错误；综上故选：ABC三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13【解析】14【解析】现从双方的马匹中随机各选一匹进行一场比赛，基本事件总数，田忌获胜包含的基本事件有：田忌的上等马对齐王的中等马，田忌的上等马对齐王的下等马，田忌的中等马对齐王的下等马，共3种，田忌获胜的概率15【解析】圆化为，圆心为，半径为2，由题，解得16；【解析】易知折叠5次后有，共6种规格；由题可知，对折次共有种规格，归纳可得： ，由累加法：四、解答题：本题共6小题，共70分17【解】（1）线段的中点坐标为，又AB的斜率为，线段AB的中垂线的斜率为，其方程为，联立解得，即
12、圆心C的坐标为， 3分又半径， 4分圆C的标准方程为 5分 （2）当直线l斜率不存在时，直线l的方程为，与圆C方程联立得：，y5或，则|PQ|8，符合题意； 7分当直线l的斜率存在时，设其方程为y+1k（x+1），即kxy+k10，|PQ|8，圆心到直线l的距离，由，直线方程为； 9分综上，直线l的方程为或 10分18【解】（1）证明：即 ，又， 4分数列是以1为首项，2为公比的等比数列，其通项6分（2）解：由题 得： 9分 12分19【解】（1）证明：，即， 2分同理，又，平面，平面4分（2）由（1）知平面，建立如图所示的空间直角坐标系，0，2， 6分设是平面的法向量，则由，可取； 同理可求
13、得，为平面的一个法向量； 8分设平面与平面夹角为，则，平面与平面夹角的余弦值为 12分20【解】（1）设双曲线：，由题：，解得，双曲线的方程为 4分（2）联立方程，消去得：， 与有两个交点，且，解得：且， 且 6分设，则由上可知，又中点的横坐标为， ，即，解得或 ， 结合可知， 9分此时，即线段的长为 12分 21【解】（1）设事件=“甲、乙、丙三人进行了3场比赛且丙获得冠军”，则只能是甲乙先赛，丙上场后连胜两场，具体分为两类：甲胜乙，再丙胜甲，再丙胜乙，冠军为丙； 乙胜甲，再丙胜乙，再丙胜甲，冠军为丙； 4分（2）设事件=“甲与乙先赛且甲获得冠军”，则分为三类：“甲胜乙，再甲胜丙 ”； “甲胜乙，再丙胜甲，再乙胜丙，再甲胜乙”； “乙胜甲，再丙胜乙，再甲胜丙，再甲胜乙”； 6分 8分 10分， 甲和乙先赛且甲获得冠军的概率 12分22【解】（1）设，则，由，代入整理得：,即点M的轨迹方程为 4分（2）若，则点M的轨迹为椭圆，设直线：代入椭圆方程整理得：，显然恒成立；设，则，6分，令得在x轴上存在定点N（，0），使B、C、N三点共线 8分，令，；另一方面， 10分，解得，即与面积之比的取值范围为. 12分
