1、浙江省名校协作体2021-2022学年高二下学期开学考试数学试题一、单选题1设集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】因为集合，所以，所以，故选：C.2. 已知复数满足，则复数的虚部是（ ）A. B. C. 1D. 2【答案】A【解析】由题意得，所以复数的虚部为.故选：A.3. 已知A，B是相互独立事件，且，则（ ）A. 0.9B. 0.12 C. 0.18 D. 0.7【答案】C【解析】因为，所以，又A，B是相互独立事件，且，所以，故选：C.4. 已知函数在区间上有定义，则“在区间上有零点”是“”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不
2、必要条件【答案】D【解析】已知函数在区间上有定义，若在区间上有零点，不妨取，则，即“在区间上有零点”“”；另一方面，若，不妨取，则在上无零点，即“在区间上有零点”“”.故“在区间上有零点”是“”的既不充分也不必要条件.故选：D.5. 已知函数的图象如图所示，则的解析式可能是（）A. B. C. D. 【答案】D【解析】由图象可以得到函数定义域为R且，而A选项中的函数解析式满足，不合要求，A错误；C选项的定义域为，不合要求，C错误；B选项，当时，恒成立，故在单调递增，显然与图象不符，B错误；D选项，当时，当时，单调递增，当时，单调递减，符合要求.故选：D.6. 已知，则的最小值为（ ）A. B.
3、 C. D. 【答案】B【解析】因为，且，则，所以，当且仅当时，等号成立，因此，的最小值为.故选：B.7. 已知为抛物线上的焦点，A、为抛物线上两点，且满足，则直线的斜率为（ ）A. B. C. 1 D. 【答案】B【解析】延长交抛物线的准线于点，过点A、分别作直线的垂线，垂足分别为、，设，则，由抛物线的定义可得，因为，则，所以，即，解得，所以，因为，则，所以，直线的倾斜角为或，因此，直线的斜率为.故选：B.8. 在当前市场经济条件下，私营个体商店中的商品，所标价格与其实际价值之间，存在着相当大的差距.对顾客而言，总是希望通过“讨价还价”来减少商品所标价格与其实际价值的差距.设顾客第次的还价为
4、，商家第次的讨价为.有一种“对半讨价还价”法如下：顾客第一次的还价为标价的一半，即第一次还价，商家第一次的讨价为与标价的平均值，即；顾客第次的还价为上一次商家的讨价与顾客的还价的平均值，即，商家第次的讨价为上一次商家的讨价与顾客这一次的还价的平均值，即.现有一件衣服标价1200元，若经过次的“对半讨价还价”，与相差不到元，则最小值为（ ）A. 4B. 5C. 6D. 7【答案】C【解析】依题意可知，所以数列是以为首项，公比为的等比数列，所以，由得，其中，经检验可知，的最小值为.故选：C二、多选题9. 已知，是三个不重合的平面，是两条不重合的直线，下列命题正确的是（ ）A. 若，则B. 若，则C
5、. 若，则D. 若，则【答案】BC【解析】对于A选项，两个平面和平面垂直，则这两个平面可能平行，A选项错误.对于B选项，两条平行直线有一条和一个平面垂直，则另一条也和这个平面垂直，B选项正确.对于C选项，设，与不重合，根据线面平行的性质定理可知.设与不重合，根据线面平行的性质定理可知.所以，由于，所以.由于，所以，所以，C选项正确.对于D选项，若，则，所以D选项错误.故选：BC10. 已知，则下列不等式一定成立的是（ ）A. B. C. D. 【答案】ACD【解析】因为，且，可得，正负不确定，对于A中，由且，所以，所以A正确；对于B中，由，但正负不确定，所以与大小不确定，所以B不正确；对于C中
6、，由，可得，可得，又由，所以，所以C正确；对于D中，当时，可得，所以；当时，可得，因为且，可得，可得，所以，即，所以D正确.故选：ACD.11. 根据指令，机器人在平面上能完成下列动作：先从原点沿东偏南（在上变化）方向行走一段时间后，再向正南方向行走一段时间，但何时改变方向不定.假定机器人行走速度为10米/分钟，则机器人行走2分钟时的落点与原点的距离可能为（ ）A. 14米B. 16米C. 18米D. 20米【答案】BCD【解析】设改变方向的地点为A，终点为，由于，所以，由余弦定理得.当时，米；当时，结合二次函数的性质可知当时，取得最小值，.结合二次函数的性质可知当或时，取得最大值.综上所述，
7、所以BCD选项符合.，A选项不符合.故选：BCD.12. 已知不共线的平面向量，满足，且.则下列结论正确的是（ ）A. 与的夹角的取值范围为B. 与的夹角不可能为C. 的最小值为D. 对给定的，记的最小值为，则【答案】B【解析】依题意，作图如下：其中，并设，;，；由题意：，由余弦定理：=，-=2，即，两边同时平方，整理得：，再一次两边平方得：，由于，；由于，所以；，；中，解得：，故A错误；与即的夹角为，不妨令，由余弦定理得：，即，平方整理：，由于代入上式得：，即，令，得：；设，设，由于，故，是增函数，是增函数，即方程无解，故B正确；，即是向量在向量的射影为，故作如上图，垂足为E，,，显然当点P
8、与点E重合的时候最小，由余弦定理：，当时是增函数，也是增函数，的最小值是，故C错误；，故D错误；故选：B.三、填空题13. 已知双曲线：的离心率，则虚轴长为_.【答案】【解析】依题意，所以虚轴长.故答案为：.14. 已知等差数列的公差为1，若以数据，为样本，则此样本的方差为_.【答案】2【解析】由题意得：，所以，的平均数为，由于公差为1，所以，故此样本的方差为.故答案为：2.15. 已知正方形，点O关于直线FM对称的点为N，则的最小值为_.【答案】0【解析】由题意得：，则直线MF：，设，则，解得：，所以，其中，由对勾函数可知在上单调递减，在上单调递增，其中，从而，且当时，又点N的轨迹为以M为圆
9、心，2为半径的圆弧，如图所示，取BC的中点H，连接NH，因为，两式平方后相加得：，要想的值最小，则需要最小，连接MH，与圆弧交点N即为最小的，此时由勾股定理得：，此时，过点N作NGy轴于点G，则，所以，故，符合要求，故.故答案为：016. 已知正方体的棱长为2，分别为棱，的中点，点为内（包括边界）的一个动点，则三棱锥为外接球的表面积最大值为_.【答案】【解析】如图所示，连接，因为，分别为棱，的中点，根据正方体的结构特征，可得平面，且平面，且与和的交点分别为，且为和中心，又由点为内（包括边界）的一个动点，可得三棱锥为外接球的球心必在直线，其中的外接圆为球的一个小圆，且为定圆，当过点球与所在的平面
10、相切于的中心时，此时球的半径最小，根据运动的思想，可得当点与或或重合时，此时外接球的半径最大，设此时外接球的半径为，由正方体的棱长为，可得，则，分别连接，在等边中，由，可得，在等边中，由，可得，设，则，在直角，可得，在直角，可得，所以，解得，所以，所以最大外接球的表面积为.故答案为：.四、解答题17. 已知函数.（1）求函数的单调递减区间；（2）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足，求的取值范围.解：（1）令，则所以，单调减区间是.（2）由得：，即，由于，所以.在中，于是，则，所以.18. 为了加强自主独立性，全国各个半导体领域企业都计划响应国家号召，加大对芯片研发部的投入据了解
11、，某企业研发部原有200名技术人员，年人均投入万元（），现把原有技术人员分成两部分：技术人员和研发人员，其中技术人员名（且），调整后研发人员的年人均投入增加，技术人员的年人均投入调整为万元.（1）要使这名研发人员的年总投入不低于调整前200名技术人员的年总投入，求调整后的技术人员的人数最多多少人？（2）为了激励芯片研发人员的热情和保持各技术人员的工作积极性，在资金投入方面需要同时满足以下两个条件：技术人员的年人均投入始终不减少；研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入.是否存在这样的实数，使得技术人员在已知范围内调整后，满足以上两个条件，若存在，求出的范围；若不存在，说明理由.解：（1）
12、依题意可得调整后研发人员的年人均投入为万元，则，解得，且，所以调整后的技术人员的人数最多150人；（2）由技术人员年人均投入不减少有，解得.由研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入有，两边同除以得，整理得，故有，因为，当且仅当时等号成立，所以，又因为，当时，取得最大值7，所以，即存在这样的m满足条件，使得其范围为.19. 已知多面体中，且F为线段AB的中点. （1）求证：面；（2）若，求平面DEB与平面EAB所成角的余弦值.（1）证明：取中点，连，,且，,四边形为平行四边形.，面，面，面.（2）解：由，即，故，以为轴，过垂直于面的直线为轴建立空间直角坐标系，则，设.，则，解得，.设面的
13、法向量，则，解得，又面的法向量，设平面与平面所成角为(锐角)，则.20. 已知二次函数.（1）若，且在上的最大值为，求的值；（2）若对任意实数，在区间上总存在两实数，使得成立，求实数的取值范围.解：（1）若，当时，故，即，解得（2）存在两实数，使得成立，则在区间上，有成立，设函数对称轴为，当，即时，在上单调减，此时；当，即时，当，即时，当，即时，综合得，最小值为，因为对任意实数t，都有，故.21. 已知椭圆：的长轴长为4，过的焦点且垂直长轴的弦长为1，A是椭圆的右顶点，直线过点交椭圆于C，D两点，交y轴于点P，记，的面积分别为S，.（1）求椭圆C的标准方程；（2）求证：为定值；（3）若，当时，
14、求实数范围.（1）解：将代入椭圆方程，解得：，由已知得:，即，所以，椭圆标准方程为.（2）证明：设，不妨设，因为直线与y轴有交点，故斜率一定存在，由已知可设直线：，则由得：.同理：.由得：，即于是，得.（3）解：.因为，所以，又因为，于是，由得由（2）知：，所以，其中，由对勾函数可知：单调递增，因此，所以实数范围是.22. 已知数列、满足，.（1）若为等差数列，写出的通项公式，并求所有正整数k的值，使得；（2）若是公比2的等比数列，求证：解：（1），若为等差数列，则首项，公差.，得，得：.（2）证明：一方面：由条件知：，累加得：，即，故，又，得：.另一方面，易知，由化得：设，则得：，即得：综上，得证.
