平面几何问题与证明课件.pptx

1、目录 上页 下页 返回 结束 第七章 7.2几何证题的推理方法几何证题的推理方法7.1几何逻辑几何逻辑第七第七 章章 平面几何问题与证明平面几何问题与证明7.3几何证题几何证题目录 上页 下页 返回 结束 7.1 几何逻辑几何逻辑7.1.1 命题一、命题表达对某一事物的性质作出判断的词语。 命题有真假命题之分。我们主要关注的是几何真命题。符合客观实际的是真命题。包括：几何原始命题（公理或公设）和几何基本定理。 二、命题的基本关系命题的基本关系是指四种命题“原命题、逆命题、否命题、逆否命题”之间的关系，其中原命题与逆否命题等价，逆命题与否命题等价。真命题称为定理。目录 上页 下页 返回 结束 三

2、、两种特殊命题 一般情况下原命题与逆命题不等价，但有两种命题除外。 即同一性命题和分断式命题 。1. 同一性命题命题的条件和结论所含事项都是唯一存在的命题。 例：等腰三角形底边上的高是顶角的平分线。逆命题：等腰三角形顶角的平分线也是底边上的高。对象“高”是唯一的，对象“平分线”也是唯一的。 (真命题)(也是真命题)例：中国是世界上人口最多的国家。世界上人口最多的国家是中国。目录 上页 下页 返回 结束 2. 分断式命题在一个命题中，若假设与结论有相同的款数，都把事物的可能性一一到尽，并且双方双方各自彼此互斥，那么这样的命题 称为分断式命题。例：设CM为ABC的中线，则当C 90 时，12CMA

3、B；1,2CMAB是分断式命题。目录 上页 下页 返回 结束 分断式命题与它的逆命题是等价命题。设一个分断式命题含有n个命题， 其条件和结论各为(1 2)iiAB in及， ， ，并且.iiAB下证.iiBA证： 从这n个命题中，设为不失一般性，取出n-1个来，(2).jjABjn， ，由分断式命题的特性，这n -1个命题联合起来实在无异议说11,AB由此得11.BA同理可得(2 3).kkBAkn， ，所以(1 2).iiBA in， ，目录 上页 下页 返回 结束 7.1.2 推理与证明推理的过程一般为：三段论。推理一般包括：演绎推理和归纳推理。从已知的旧知识出发，通过实践、推想、验证，可

4、获得前所未有的新知识，这种推陈出新的思维过程，叫做推理。大前提（一般性）三段论 小前提（特殊）结论目录 上页 下页 返回 结束 演绎推理是根据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理等）， 按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程。 是一般到特殊的推理。归纳推理是由特殊事理的成立来推出一般事理的成立。证明通常包括逻辑证明和实验、实践证明。的正确性必须通过逻辑证明来保证，数学结论即在前提正确的基础上， 通过正确使用推理规则得出结论。目录 上页 下页 返回 结束 一、逻辑规律同一律同一律 矛盾律矛盾律 排中律排中律 充足理由律充足理由律同一律是指在同一个论证过程中， 要求所涉及的任何要素（概念，

5、范围，性质等）保持同一性。在这个推理中，两个前提中的“人”不是同一概念。第一个“人”是集合概念，第二个“人”是非集合概念，因此，犯了“混淆概念”或“偷换概念”的错误。如在同一思维过程中，概念必须保持同一。违反这一要求的逻辑错误,称为“混淆概念”或“偷换概念”.例如： 世间万物中，人是第一个可宝贵的。我是人。因此，我是世间万物中第一个可宝贵的。同一律的公式通常是：。目录 上页 下页 返回 结束 矛盾律是指在论证过程中，一个判断与其相矛盾的判断不能同时成立，即相互矛盾的判断至多有一个成立。 矛盾律的公式通常是：其中至少有一个是假的。注意：矛盾律矛盾律只是指两个矛盾的判断不能同时为真不能同时为真，但

6、是两个矛盾的判断可能同假可能同假。例如“空间两直线必相交”与“空间两直线必平行”。例如：两个数相等和不相等不能认为同时成立。两条直线相交与不相交也不能认为同时成立。 排中律是指在论证过程中，一个判断与其互斥的判断必有其一成立，即相互排斥的判断不能都不成立。 排中律的公式是： 必有一真。 1AA0AB目录 上页 下页 返回 结束 例如：要证明22不是有理数， 只要证明是有理数不真就可以了。 充足理由律是指在论证过程中，任何结论的得出，必须有充分的理由，即不能凭借“直观”、“想当然”等主观上的“臆想” 得出结论。 .AB公式是：它的涵义是：在一个论证中，要断定论题 B 真，必须满足：第一，论据 A

7、 真；第二，从论据 A 能推出论题 B 。 二、证明中的三种典型错误1. 偷换论题扩大、缩小或改变，违反“同一律”。把命题的条件或结论中的某些涵义加以目录 上页 下页 返回 结束 例1 设ABC边BC的中垂线与 A的平分线交于E点， 如图所示： GFEABC过E点分别向AB、AC作垂线EF、EG，并连接EB、EC， 则由条件易得 AEF AEG ,BEF CEG ,从而AB=AC,即ABC为等腰三角形。 上述过程是针对任意三角形，但结果却能得出ABC是等腰三角形，这是为什么？是什么地方存在问题？ 目录 上页 下页 返回 结束 2. 违反“充足理由律”：使用虚假或预期的理由。例2 已知在ABCD

8、中，ABCD，BCAD，求证： DB。 误证：B/DCBA连接A、C，并作AC的垂直平分线l；作,ABC它与ABC关于l对称；连接D、B， 在四边形ADCB中 ，因为,CDBCBDADBABD所以,CDBADBCBDABD所以,DB又,BB.DB 所以上述过程错在哪里？目录 上页 下页 返回 结束 循环论证：违反“充足理由律”，使用待证的结论。 例3 如图，设AD=2DC， 45 ,C60 ,ADB则AB为圆之切线。误证： 因为45 ,C所以90 .BD 60ADB又，120BDC所以，240 .BEC 即175 ,2ABECBD18045 ,ABDADBA,ABDC 所以所以AB为圆之切线。

9、 上述过程错在哪里？（用到AB是切线了！）目录 上页 下页 返回 结束 7.2 几何证题的推理方法几何证题的推理方法 几何命题的推理证明方法类型较多。证题时，我们需要寻求证明的思路，这就是证明的关键和困难所在，由于思维过程的顺逆，就有综合法与分析法 之分。7.2.1 综合法与分析法1. 综合法（顺推法）：由因导果即从已知题设出发，逐步顺推，公理进行一系列的逻辑推理，根据已知的定理、定义、最后达到要证明的结论。综合法由条件出发，路径来解决问题。支路很多，事先不知道通过什么目录 上页 下页 返回 结束 例1 已知PA、PB切 O于A、B点，PO交AB于M点,QR是过M点的任意一条弦，求证OP平分Q

10、PR。目录 上页 下页 返回 结束 2. 分析法（逆求法）：执果索因 即从待定结论出发，使之成立的根据，过程可概括为：从未知未知看需知需知，逐步靠拢已知已知。逐步引用公理、定义、定理寻找直到达到已知事实而后此。 它的思考例2 设圆内接四边 ABCD 的两组对边分别交于E、F,已知RE平分E，RF平分F，2121RHGFEDCBA求证：RERF。目录 上页 下页 返回 结束 有些命题，在证题过程中，单一地使用综合法或分析法，往往难以奏效。这是可以采用由题设到题断和由题断到题设的“双向”思考，使条件与结论之间的距离逐渐缩短直至完全沟通。 由于逆求法利于思考，顺推法宜于表达，所以习惯上对于一个命题，

11、多半先用逆求法寻求解法，然后用顺推法有条理的写出来。3. 分析与综合法目录 上页 下页 返回 结束 例3：过P向 O作切线，切于A、B，CD为 O的直径，AD、BC相交于E点，证明PECD。 目录 上页 下页 返回 结束 7.2.2 直接证法与间接证法 任何命题都有和它等价的命题，因此要证明某个命题的正确性，可以直接从原命题着手，也可以间接地从它的等效命题着手。由于这两方面的不同，证明几何命题的方法往往可以分为直接的与间接的两种证明方法。一、直接证法从题设出发， 根据已知的定理、定义、公理进行一系列的逻辑推理， 最后得出命题的结论。二、间接证法有些命题，往往不易甚至不能够直接证明原命题成立，根

12、据等价关系间接判断原命题成立， 把这种证法叫做间接证法。目录 上页 下页 返回 结束 间接证法多半是证明它的逆否命题成立。欲证题设题断可以改证否定题断否定题设本科公理前此定理否定题设否定题断具体为：二、间接证法有些命题，往往不易甚至不能够直接证明原命题成立，根据等价关系间接判断原命题成立， 把这种证法叫做间接证法。目录 上页 下页 返回 结束 已知：在ABC中，BE、CF是B、 C的平分线，且BE=CF，求证： B= C。改证它的逆否命题改证它的逆否命题已知：在ABC中，BE、CF是B、 C的平分线，且B C,求证： BE CF 。目录 上页 下页 返回 结束 本科公理前此定理矛盾，本题题设否

13、定题断但在实际操作中， 由于困难守恒定律困难守恒定律，逆否命题也不易证明，有些命题的证明原命题成立，那么可以采用下面的方法间接的具体为：即与某公理或某定理、或题设、或临时假定所不容或自相矛盾。这种间接证法，通常叫做反证法。(1)若结论的反面只有一款时， 否定了一款便完成了证明,这种较单纯的反证法，叫做归谬法。目录 上页 下页 返回 结束 (2) 若结论的反面有若干款时， 必须驳到其中每一款，这种较繁的反证法， 称为穷举法。注：反证法与证原命题的逆否命题是不同的两种证法。 例4 如果梯形两底的和等于一腰长，那么这腰同两底所夹的两角平分线必过另一腰的中点。 目录 上页 下页 返回 结束 例5则四边

14、形ABCD一定有内切圆。凸四边形ABCD中，已知AB+CD=AD+BC，目录 上页 下页 返回 结束 间接证法的另一种形式是同一法。比较常见。这种方法在几何中我们在前面已经指出如果一个命题是同一性命题，那么这个命题与它的逆命题等价， 所以若是同一性命题，证原命题有困难时， 可改证它的逆命题。用同一法证明命题“具有条件A的图形F必具有性质B ”可按下列步骤进行：(1)另作一图形,FF使它具有性质B；(2)证明所作的图形符合条件A；(3)根据唯一性，F与图形F重合，从而确定图形断言F具有性质B。同一法的逻辑依据是“同一事物应具有相同的性质。”目录 上页 下页 返回 结束 例6 （梅涅劳斯定理Men

15、ealaus） 设X、Y、Z是ABC三边BC、CA、AB或延长线上的点，求证X、Y、Z三点共线的充分必要条件是： 1.BXCYAZXC YAZB 目录 上页 下页 返回 结束 例7 在正方形内有一点P，满足15 ,PABPBA 求证：PCD是正三角形。 目录 上页 下页 返回 结束 例8 (锡瓦定理Ceva) 设X、Y、Z是ABC三边BC、CA、AB或延长线上的点，求证AX、BY、CZ三线共点或相互平行的充分必要条件是： 1.BXCYAZXCYAZB目录 上页 下页 返回 结束 例9 (西姆松定理Simson) 设P是 ABC外接圆上任一点，D、E、F分别为BC、CA、AB边上的正射影，则D、

16、E、F三点共线。(此线称为西姆松线)目录 上页 下页 返回 结束 7.3 几何证题几何证题本节根据几何问题的类型作分别探讨。 7.3.1 几何量的相等关系证明线段(角)相等的 一般途径：(1)证其是等腰三角形的两腰(两底脚)；(2)证其是 全等三角形的对应边(对应角)；(3)证其是平行四边形的对边；(4)证其是同圆或等圆中的有关相等线段(有关等角定理);(5)利用平行截割(平行线间的有关等角定理)；(6)利用有关 比例线段，等等。目录 上页 下页 返回 结束 例1 已知 DECABC和都是等边三角形， 在同一直线上， 连接BD和AE，求证：BD=AE。B、C、E例2 正方形ABCD，E、F分别

17、是AD、CD的中点，连接BE、CF相交于P，求证：AP=AB。 目录 上页 下页 返回 结束 例3 在ABC中，AD BC，CE AB，取AF=AD，FG/BC，求证：CE=FG。目录 上页 下页 返回 结束 7.2.3 几何量的度量关系几何量的度量关系 本节讨论几何量的和、差、倍、分等关系 (一)线段、角的和差证明线段a =b c,常常可作一线段p= b c,然后再证线段p=a。或作线段q=a c,然后证明q=b。(关于角也一样)以线段和的形式为例，具体地讲(1)延长法：欲证a = b+c，c(或b)，则延长b(或c)使延长部分等于得b+c = p， 然后改证p = a即可。(2)截短法：欲

18、证a = b+c， 则在a上截取一点，使其内分a其中一部分为b(或c)，两部分，然后证另一部分为c(或b)。(3)媒介量：欲证a = b+c，或等量。改证a与b+c同等于一个量目录 上页 下页 返回 结束 常用的定理有：1. 直角三角形斜边上的中线，为斜边的一半。2. 直角三角形中，30角所对的边，等于斜边的一半。 4. 三角形的任一中线被重心分为2比1。 3. 三角形的中位线定理。 5. 三角形的外角等于不相邻的内角之和。7. 圆周角等于同弧所对圆心角的一半等等。6. 梯形两腰中点连线等于两底边和的一半，两对角线中点连线等于两底边差的一半。目录 上页 下页 返回 结束 例1 已知在ABC中，

19、C=2B， 1=2，求证：AB=AC+CD。例2 ABCD是圆内接四边形， O与AD、DC、BC相切， 且圆心O在AB上， 求证：AB=BC+AD。 目录 上页 下页 返回 结束 例3 BE、CF是ABC的两角平分线，点P是EF的中点，过P向三边BC、CA、AB引垂线，其垂足为L、M、N，求证：PL=PM+PN。目录 上页 下页 返回 结束 (二)线段及角的倍分 证明倍分关系式，一般转化为证明相等关系式，通常采用的方法有加倍法和等分法。 (1)加倍法：欲证某大量等于某小量的n倍，则可试作出等于小量n倍的媒介量，然后证大量与媒介量相等。1n(2)等分法：欲证某大量等于某小量的n倍，则可试作出等于

20、大量倍的媒介量，然后证小量与媒介量相等。目录 上页 下页 返回 结束 例4 设O为ABC的外心，OM BC，M为垂足，H为ABC 的垂心，则 AH = 2OM。目录 上页 下页 返回 结束 例5（托勒密定理托勒密定理） 设ABCD是圆内接四边形，求证： AC、BD四边形的对角线，.AB CDAD BCAC BD注：注：对于任意的凸四边形ABCD，有.AB CDAD BCAC BD且等号当且仅当四边形ABCD内接于一个圆时成立。目录 上页 下页 返回 结束 7.3.3 几何量的不等关系证几何量的不等关系常用的一些定理：(1) 三角形两边之和大于第三边；(2) 三角形中，大边的对角较大，大角的对边

21、较大；(3)外角定理；(4) 垂线与斜线、斜线与斜线的比较定理；(5) 两个三角形中，若有两组边对应相等而夹角不等，则夹角大的第三边也大；反之，第三边大的夹角也大；(6)同圆或等圆中两弦或两弧的比较定理；等等。目录 上页 下页 返回 结束 .PBCBAC 例1 已知P是ABC内的一点, 求证：,APBAPC 例2 在 ABC中，AB=AC，P为ABC 内一点，且证明：PCPB。 连BP、CP，目录 上页 下页 返回 结束 例3 在 ABC中，AB AC，AD是中A的平分线，P为AD上任意一点，求证：AB-ACPB-PC。目录 上页 下页 返回 结束 例4 在 ABC中，设ABAC，过B作BEA

22、C于E，过C作CFAB于F，求证：AB+CFAC+BE。 FECBA目录 上页 下页 返回 结束 (1) 转化成等角关系（平行线判定定理）；7.3.4 几何量（几何形）的其他关系几何形的位置关系：主要包括线段（直线）的平行和垂直或者有关平行和垂直的问题。 1平行问题一般途径(2)利用平行四边形；(3)利用中位线；(4)利用比例（平行截割逆定理）；等等。目录 上页 下页 返回 结束 例1 已知：在ABC中，E，F分别是AB，AC上的点，BF，CE交于D，AD的延长线交BC于G， BG=GC, 求证： EF/BC。 目录 上页 下页 返回 结束 的外接圆在A、C两点之切线交于E，则DEBC 。例2

23、 设在ABC中，BC边的中垂线交AB于D，且ABC目录 上页 下页 返回 结束 2垂直问题一般途径断定二线垂直的定理，常用的有b. 利用勾股定理和射影定理的逆定理可证明垂直 ；c.利用等腰的“三线合一”可证明垂直； a.利用两线垂直的判定定理。d. 转化目录 上页 下页 返回 结束 12OO与例1 设两圆相外切于A， 一直线割 2,OC又切于1,OPQ于 、设B为PQ弧的中点， 求证：ABAC。 目录 上页 下页 返回 结束 例2 如图，在等腰ABC中，过底边AC的中点M作BC的垂线于H，取MH的中点P，求证：AHBP。目录 上页 下页 返回 结束 例3 ABC 内接于,O自B、C向AC、AB

24、作垂线，其垂足各为E、F，求证：OAEF。 目录 上页 下页 返回 结束 二、几何量（几何形）的结合关系 1几何量（几何形）的位置结合关系： 主要有：三点的共线问题；三线共点问题；四点共圆问题；三圆共点问题及其他几何量（几何形）的位置结合关系。 ABC例1 设PB、PC分别是 平分线， 的两角B、C的外角且它们相交于点P， 求证：P在 A的平分线上。 目录 上页 下页 返回 结束 例2 在线段AB上取一点M，在一侧分别以AM、MB为边作正方形ADCM、BEHM，设两正方形的外接圆交于另一点N，试证：(1)B、N、C共线；(2)A、H、N共线；(3)D、N、E共线。 例3 证明ABC的外心O,重

25、心G,垂心H及九点圆心P共线. 目录 上页 下页 返回 结束 例4 以ABC的两边AB、AC为边分别向外作正方形ABEF和正方形ACGH，过A作BC的垂线AD，求证AD、BG、CE三线共点。 目录 上页 下页 返回 结束 例4 已知：X，Y，Z分别是ABC三边AB，BC，CA求证： 上的一点。,AZXBXYCZY三圆共点。(密克定理) 目录 上页 下页 返回 结束 例5 四边形ABCD两组对边分别交于E、F，如图所示，求证ADE、ABF、BCE及CDF的外接圆共点。 目录 上页 下页 返回 结束 2几何量(几何形)的度量结合关系本节讨论几何中的定值问题 定值：定值：在给定的图形中，某元素按一定

26、规律运动(即满足某条件)，它的某个有关量始终保持不变，这个不变的量叫做定值。其特点是：(1)题设中都包含着变动元素（可变化运动的元素）和固定元素（不变量）。(2)图形在变化过程中，它的某些性质或数量关系不因图形的变化而变化 。目录 上页 下页 返回 结束 探求定值的方法一般有运动法、特殊值法及计算法等。殊情形着手，去发现与动点有关的这个量。 由于欲求的定值问题中，定值究竟有多大，事先往往没有给出，因此定值的探求就成为解题的关键。普遍性包含于特殊性之中。要找到普遍规律，应从特还需证明在一般情形和特殊情形下这个与动点有关量的一致性，证明符合于所给条件的任两个量总是相等的。即此时定值问题已转化为相等

27、或和差倍分等问题的证明。解决某个量是定值的另一种处理方法为：目录 上页 下页 返回 结束 例例1 菱形ABCD的对角线AC为定长，如图，任意作菱形ABCD的内切圆的切线交AB、BC分别于M、N，则AMCN为定值。NMDCBA目录 上页 下页 返回 结束 例例2 已知：Oz是xOy的平分线，A是Oz上的一点，经过A任意作一条直线，分别交Ox，Oy于P，Q。为定值。求证：11OPOQ目录 上页 下页 返回 结束 例例3 设C为定圆直径AB上的一定点(不在圆心O上)，M、N为圆上的两动点，满足ACM =BCN，则MN与AB交于定点G。目录 上页 下页 返回 结束 例例4 在ABC的边AB上任取一点P

28、，过P分别作AC，BC的平行线交BC于Q，交AC于R。问：平面上是否存在一个定点M（不同于C），使得C，Q，M，R四点共圆。目录 上页 下页 返回 结束 例例5 A、B 为平面上两定点， C为平面上位于直线 AB同侧的一个动点， 以AC、BC各为边， ABC在作正方形CADI， CBEJ 。 外侧无论C点取在直线AB同侧的任何位置， 求证：中点M的位置不变。 DE的目录 上页 下页 返回 结束 例例6 过相交两圆的一个交点P作两直线交一圆于A，B， 交另一圆于 AB， ，求证：AB与 A B 的交角 M为定值。 并求出其交角的值。目录 上页 下页 返回 结束 第八章第八章 初等几何变换初等几何

29、变换 本章主要介绍初等几何变换包括两大类：(1)合同变换（保持形状和大小不变）(2)相似变换（保持形状不变）目录 上页 下页 返回 结束 8.1 图形的相等或合同设有两个点集合构成的两个图形 FF和 ，能建立这样的一一对应， 它们的点之间使 FF中任两点的连线段总等于 中两个对应点的连线段， 那末 FF和 ，称为相等或合同。 合同的图形有如下的性质：（1）具有反身性、对称性和传递性；（2）对应角相等；（3）与共线点对应的是共线点。目录 上页 下页 返回 结束 图形的相等有两种情况： 在平面几何中，两个相等图形，若有两对对应点 AABB， ； ，重合， 或对称于重合直线AB 。则任何第三对对应点

30、或相重合两个全相等的平面图形 ：两个镜照相等的平面图形：只要有两对对应点叠合，便完全叠合。再也无法叠合。 不将其中一个离开平面，在前一种，称两图形全相等 ； 在后一种，称两图形镜照相等。 目录 上页 下页 返回 结束 8.2 合同变换定义：一个平面到自身的变换， 若保持任意两点间的称这个变换为合同变换。距离不变，设A是所有平面上合同变换R的全体， 构成一个变换群。 则A关于变换的合成(4)平面上的合同变换有不共线的三对对应点完全确定。 二重点和二重线。经过一个变换没有变更位置的点和直线， 称为这个变换的第一类对应三角形沿周界的环绕方向相同，第二类对应三角形沿周界的环绕方向相反。(5)合同变换有

31、两类：目录 上页 下页 返回 结束 合同变换主要有三种基本类型： 平移、旋转、轴反射平移、旋转、轴反射1. 平移变换： 将图形F上的所有的点都按一定的方向 l(称为平移方向) 移动一个相同的距离 | |l(称为平移距离)， 图形 移动后的点构成,FF图形F到图形 的变换T 称为平移变换， 记为 简称平移。( ).T lFF 平移变换的性质：(见书本P229)目录 上页 下页 返回 结束 例1 已知：在 ABCD中，P是形内的一点，连结 PA，PB，PC，PD，如果 ,PABPCB 求证： .PBAPDA 证：(利用平移变换解题) ()T ADABPDCE 易得结论成立。目录 上页 下页 返回

32、结束 例2 在两条对角线长度以及夹角一定的所有凸四边形中，试求周长最小的四边形。目录 上页 下页 返回 结束 2. 旋转变换将图形F上的所有的点都绕平面上的一个定点O (旋转中心)旋转一个相同角度(旋转角)，旋转后的点构成图形,F图形F到图形F的变换R称为旋转变换，简称旋转。记为( ,)R OFF 顺时针旋转取负值。逆时针旋转取正值，(见书本P230)旋转变换的性质：目录 上页 下页 返回 结束 中心对称变换 将图形F上的所有的点都变为关于平面上的一定点O(对称中心)的对称点，变换后的点构成图形,F图形图形F到F的变换称为中心对称变换，简称中心对称。以点O为对称中心的中心对称变换相当于以点O为

33、旋转中心，旋转角为180的旋转变换。中心对称变换的性质：(见书本P231)目录 上页 下页 返回 结束 P是ABC内任一点。例3 已知：O是ABC内一点,120 ,AOBBOCCOA 求证： .PAPBPCOAOBOC目录 上页 下页 返回 结束 例4 设P是正ABC内的一点， 6810,PAPBPC，求ABC的边长。目录 上页 下页 返回 结束 已知点P在正三角形ABC内,求正三角形的面积。且,PAaPBbPCc，例5目录 上页 下页 返回 结束 例5 已知：RtABC在中，90 ,CM是斜边AB的中点， ,MPMQP在AC上，Q在BC上。222APBQPQ。求证： 目录 上页 下页 返回

34、结束 3. 轴反射变换将图形F上的所有的点都变为关于平面上的一条定,F直线l(对称轴)的对称点， 变换后的点构成图形图形F到图形的变换 S 称为轴反射变换F(或轴对称变换)，简称轴反射（或轴对称），记为( ).S lFF 轴对称变换的性质：(见书本P233)目录 上页 下页 返回 结束 例6 在ABC中， 80 ,ABACBAC，使 P是形内一点，1020 ,PBCPCB，PAB求度数。目录 上页 下页 返回 结束 例7 已知： 在ABC中，DE平分 AD为中线，,ADBDF平分 交AB于E，,ADC交AC于F。 目录 上页 下页 返回 结束 例8 已知：设P，Q，R分别是ABC的边AB，BC

35、，CA上的点，且 1.BPPQQRRC求证： 2.ABCS目录 上页 下页 返回 结束 8.3 位似和相似变换位似和相似变换一、一、相似变换1. 相似图形：如果图形 FF和FF和的点与点之间有一一对应 关系, 并且图形F上的任意两点之间的距离与图形 F恒等于同一个常数 上两对应点间的距离之比，(0),kk 则称 相似， k为相似比。 2. 相似图形的性质1）相似图形具有反身性、对称性、传递性；2）对应线段成比例；对应角相等；3）与共线点对应的是共线点。目录 上页 下页 返回 结束 4）当相似比 1k 时， FF和图形 合同是相似的特殊情景。合同。3. 相似变换：F看成是由图形 F经过上述那如果

36、把图形种对应关系变换而来的， 那么称这种变换为相似变换。 定义1 在平面到其自身的变换下，如果对于任意两点A，B以及它们的对应点 ,AB，总有(0)A BkABk 则称这个变换为相似变换，记为 ( ).H k4. 相似变换的性质：1）相似变换的合成仍是相似变换，相似比为 1 2k k ；目录 上页 下页 返回 结束 2）相似变换的逆仍是相似变换，相似比为 1k； 3）恒等变换是相似变换的单位元（每个图形是它自身的相似变换）；4）相似变换由不共线的三对对应点完全确定。平面上的全体相似变换构成一个相似变换群。 二、位似变换如果一个相似变换，它的任意一对对应点 AA，都通过一个定点，则称这种相似变换

37、为位似变换。 的连线定义2 平面到其自身的变换，若满足1）连结任意两个对应点 AA，的直线都通过定点S； 2） (0),SAkSAk 则称这种变换叫做以S为位似中心，k为位似比的位似变换，记为 ().H Sk，A称为A的位似点。目录 上页 下页 返回 结束 在位似变换下的两个对应图形叫做位似图形。 位似图形因位似比k的不同而分为两类：1）当k0时， 每对位似点 AA与都在位似中心S的同侧， 此时把这两个位似图形叫做正位似图形或外位似图形， 点S叫做正位似中心或外位似中心。 目录 上页 下页 返回 结束 2）当k0时， 每对位似点 AA与处在位似中心S的两侧， 此时把这两个位似图形叫做反位似图形

38、或内位似图形， 点S叫做反位似中心或内位似中心。 注：1）若对应点的连线互相平行，则认为它们交于无穷远处，由于要求对应线段平行，此时规定位似比k=1 ，无位似中心（平移）。()H S，12）为恒等变换， ()H S，-1为中心对称变换；目录 上页 下页 返回 结束 位似变换有如下性质：1）位似变换是相似变换，且相似比为|k|； 4）平面上任意两个不等的圆可以看成一对位似图形，其中两圆心是一对对应点。2）具有相同位似中心的所有位似变换构成一个变换群；3）位似中心是二重点，过位似中心的直线都是二重线；4）位似变换由位似中心与位似比确定， 也可以由一对对应点及位似中心（或位似比）确定。位似图形的性质：1）位似图形一定是相似图形；2）对应线段互相平行（正位似同向平行，反位似反向平行）； 3）对应图形的转向不变；目录 上页 下页 返回 结束 三、位似变换的应用举例例1 已知： O是的外心，G是的重心，H是的垂心。 求证： O，G，H 三点共线，且G内分OH 为1: 2两部分。目录 上页 下页 返回 结束 例 2 PTPBO、是的切线，AB为直径， H为T在AB上的射影，求证：PA平分TH。