1、材料力学电子教案材料力学电子教案 C 机械工业出版社机械工业出版社第第7章章 应力应变分析与强度理论应力应变分析与强度理论 7.1 应力状态的概念应力状态的概念 7.2 平面应力状态分析的解析法平面应力状态分析的解析法 7.3 平面应力状态分析的图解法平面应力状态分析的图解法 7.4 三向应力状态简介三向应力状态简介 7.5 平面应力状态的应变分析平面应力状态的应变分析 7.6 广义胡克定律广义胡克定律7.7 强度理论概述强度理论概述7.8 四个常用的强度理论四个常用的强度理论7.9 莫尔强度理论莫尔强度理论 材料力学电子教案材料力学电子教案 C 机械工业出版社机械工业出版社7.1 应力状态的
2、概念应力状态的概念 受力物体内一点各个斜面上的应力变化情况，亦受力物体内一点各个斜面上的应力变化情况，亦即即一点的应力状态一点的应力状态。 7.1.1 一点的应力状态一点的应力状态 轴向拉压杆件，斜截面上的正应力和切应力分别为轴向拉压杆件，斜截面上的正应力和切应力分别为 任一横截面上各点的应力分布情况任一横截面上各点的应力分布情况 2cos2sin2(1) 随点在截面上的位置不同而变化随点在截面上的位置不同而变化(2) 同一点不同方向上的应力情况同一点不同方向上的应力情况 材料力学电子教案材料力学电子教案 C 机械工业出版社机械工业出版社7.1 应力状态的概念应力状态的概念 为了研究受力杆件内
3、一点的应为了研究受力杆件内一点的应力状态，围绕该点切取一个力状态，围绕该点切取一个“宏观上无限小，微观上无限宏观上无限小，微观上无限大大”的单元体的单元体 如果单元体各面上的应力已知，则该点任意方向的如果单元体各面上的应力已知，则该点任意方向的应力都可由此计算出来。这样切取的单元体称为应力都可由此计算出来。这样切取的单元体称为原原始应力单元体始应力单元体。 7.1.2 原始应力单元体原始应力单元体 材料力学电子教案材料力学电子教案 C 机械工业出版社机械工业出版社7.1 应力状态的概念应力状态的概念2. 扭转杆件中的应力单元体扭转杆件中的应力单元体 1. 拉压杆件中的应力单元体拉压杆件中的应力
4、单元体 材料力学电子教案材料力学电子教案 C 机械工业出版社机械工业出版社7.1 应力状态的概念应力状态的概念3. 平面弯曲杆件中的应力单元体平面弯曲杆件中的应力单元体 材料力学电子教案材料力学电子教案 C 机械工业出版社机械工业出版社7.1 应力状态的概念应力状态的概念4. 受内压薄壁容器中的应力单元体受内压薄壁容器中的应力单元体 1) 横截面上的正应力横截面上的正应力 轴线方向的平衡方程轴线方向的平衡方程 042DpD4pD2) 容器环向的正应力容器环向的正应力 铅垂方向的平衡方程铅垂方向的平衡方程 0dsin220 Dpaa2pD 材料力学电子教案材料力学电子教案 C 机械工业出版社机械
5、工业出版社7.1 应力状态的概念应力状态的概念5. 车轮与钢轨接触点处的应力单元体车轮与钢轨接触点处的应力单元体 材料力学电子教案材料力学电子教案 C 机械工业出版社机械工业出版社7.1 应力状态的概念应力状态的概念1. 主平面主平面 7.1.3 主平面主平面 主应力主应力 主单元体主单元体 在单元体上，切应力等于零的平面在单元体上，切应力等于零的平面 2. 主主应力应力 主平面上的正应力主平面上的正应力 3. 主主单元体单元体 各个面都是主平面的单元体各个面都是主平面的单元体 主应力通常用主应力通常用 1、 2 和和 3 表示，它们的顺序按代表示，它们的顺序按代数值大小排列，即数值大小排列，
6、即 。 321材料力学电子教案材料力学电子教案 C 机械工业出版社机械工业出版社7.1 应力状态的概念应力状态的概念1. 单向应力状态单向应力状态7.1.4 应力状态的分类应力状态的分类 三个主应力中，只有一个不等于零三个主应力中，只有一个不等于零 2. 二向应力状态二向应力状态 有两个有两个应力应力不等于零不等于零3. 三向应力状态三向应力状态 三个主应力都不等于零三个主应力都不等于零 (简单应力状态简单应力状态 )(复杂应力状态复杂应力状态 )(复杂应力状态复杂应力状态 )材料力学电子教案材料力学电子教案 C 机械工业出版社机械工业出版社7.2 平面应力状态分析的解析法平面应力状态分析的解
7、析法 求任意斜面求任意斜面ef上的应力上的应力 7.2.1 斜面上的应力斜面上的应力 平面应力状态下的应力单元体平面应力状态下的应力单元体 规定正应力以拉伸为正，切应力以使单元体有顺规定正应力以拉伸为正，切应力以使单元体有顺钟向转动趋势时为正。钟向转动趋势时为正。 斜面方位角斜面方位角 ，并规定自，并规定自x轴正向逆钟向转至斜轴正向逆钟向转至斜面外法线方向所形成的角为正。面外法线方向所形成的角为正。 材料力学电子教案材料力学电子教案 C 机械工业出版社机械工业出版社沿斜面法向沿斜面法向n和切向和切向t的平衡方程的平衡方程 三角形微体三角形微体ebf为研究对象为研究对象 7.2 平面应力状态分析
8、的解析法平面应力状态分析的解析法0sin)sind(cos)sind(cos)cosd(sin)cosd(d,0AAAAAFyyxxxyn0cos)sind(sin)sind(sin)cosd(cos)cosd(d,0AAAAAFyyxxxyt注意到注意到 ，得，得 xyyx2sin2cos22xyyxyx2cos2sin2xyyx材料力学电子教案材料力学电子教案 C 机械工业出版社机械工业出版社得极值条件为得极值条件为 正应力是求极值正应力是求极值 7.2 平面应力状态分析的解析法平面应力状态分析的解析法(1) 极值正应力所在的斜面，恰好是切应力等于零的极值正应力所在的斜面，恰好是切应力等于
9、零的平面，即主平面。平面，即主平面。 7.2.2 主应力主应力 主方向主方向 0)2cos2()2sin2(2ddxyyx 02cos2sin2xyyx一、主应力一、主应力(2) 极值正应力就是主应力。极值正应力就是主应力。 材料力学电子教案材料力学电子教案 C 机械工业出版社机械工业出版社三、最大、最小正应力三、最大、最小正应力 主方向角主方向角 7.2 平面应力状态分析的解析法平面应力状态分析的解析法二、主方向二、主方向 从同一点所切取的不同方位的应力单元体，其互相垂从同一点所切取的不同方位的应力单元体，其互相垂直面上的正应力之和是一个常量，称为直面上的正应力之和是一个常量，称为应力不变量
10、应力不变量。 22tan0yxxy22minmax22xyyxyxyxminmax四、应力不变量四、应力不变量材料力学电子教案材料力学电子教案 C 机械工业出版社机械工业出版社得得7.2 平面应力状态分析的解析法平面应力状态分析的解析法二、最大、最小切应力二、最大、最小切应力 7.2.3 极值切应力及其作用面极值切应力及其作用面 一、极值切应力方位角一、极值切应力方位角 极值切应力等于极值正应力差的一半。极值切应力等于极值正应力差的一半。 0dd 02sin22cos)(xyyxxyyx22tan1 222minmaxxyyx 2minmaxminmax材料力学电子教案材料力学电子教案 C 机
11、械工业出版社机械工业出版社则则7.2 平面应力状态分析的解析法平面应力状态分析的解析法所以所以 注意到注意到 即最大和最小切应力所在平面与主平面的夹角为即最大和最小切应力所在平面与主平面的夹角为 xyyx22tan1 22tan0yxxy102tan12tan 4,222010145三、极值切应力和主平面夹角三、极值切应力和主平面夹角 材料力学电子教案材料力学电子教案 C 机械工业出版社机械工业出版社7.2 平面应力状态分析的解析法平面应力状态分析的解析法例例7-1 图图7-8a所示圆截面杆同时承受扭转和拉伸变形，所示圆截面杆同时承受扭转和拉伸变形，已知杆的直径已知杆的直径 ,扭转力偶矩扭转力
12、偶矩 ,轴向轴向载荷载荷 。试求：。试求：(1) 杆件表面上杆件表面上K点处图示斜面上点处图示斜面上的应力。的应力。(2) K点处的主应力及主方向。点处的主应力及主方向。 解解 (1) 取应力单元体取应力单元体 mm30dmN300eMkN20FMPa3 .28Pa103 .28103010204466232dFxMPa6 .56Pa106 .56103030016166933epdMWT材料力学电子教案材料力学电子教案 C 机械工业出版社机械工业出版社7.2 平面应力状态分析的解析法平面应力状态分析的解析法(2) 求斜面上的应力求斜面上的应力 代入代入 120MPa3 .28x0yMPa6
13、.56xyK点处图示斜面上的正应力和切应力分别为点处图示斜面上的正应力和切应力分别为 12028.3028.30cos240( 56.6)sin24041.9 MPa22 12028.30sin240( 56.6)cos24016.0 MPa2 材料力学电子教案材料力学电子教案 C 机械工业出版社机械工业出版社7.2 平面应力状态分析的解析法平面应力状态分析的解析法(3) 确定主应力和主方向确定主应力和主方向 最大、最小正应力为最大、最小正应力为 K点处的三个主应力分别为点处的三个主应力分别为 2max2min72.5 MPa28.3028.30( 56.6)44.2 MPa22 MPa2 .
14、44,0,MPa5 .72321主方向角主方向角 0 . 403 .28)6 .56(22tan00 .3800 .1280一个主应力一个主应力 MPa5 .720 .382sin6 .560 .382cos203 .28203 .280 .38）（）（）（材料力学电子教案材料力学电子教案 C 机械工业出版社机械工业出版社7.2 平面应力状态分析的解析法平面应力状态分析的解析法例例7-2 低碳钢和铸铁扭转试件的破坏断口分别如图低碳钢和铸铁扭转试件的破坏断口分别如图7-9a、b所示。低碳钢试件沿横截面破坏，铸铁试件沿与轴线所示。低碳钢试件沿横截面破坏，铸铁试件沿与轴线成成 角的螺旋面破坏。试分析
15、其破坏原因。角的螺旋面破坏。试分析其破坏原因。 解解 (1) 取应力单元体取应力单元体 450 x0yxy 2sin 2cos(2)极值应力极值应力 a) 正应力最大和最小值正应力最大和最小值 minmax, 45b) 切应力最大和最小值切应力最大和最小值 090和和 minmax,材料力学电子教案材料力学电子教案 C 机械工业出版社机械工业出版社7.3 平面应力状态分析的图解法平面应力状态分析的图解法 圆上任一点的横坐标和纵坐标圆上任一点的横坐标和纵坐标,分别代表单元体相应面上分别代表单元体相应面上的正应力和切应力的正应力和切应力,此圆称为此圆称为应力圆应力圆或或莫尔莫尔(O.Mohr)圆圆
16、。 7.3.1 应力圆方程应力圆方程 斜面应力计算公式斜面应力计算公式 二式各自平方后再相加二式各自平方后再相加 2sin2cos22xyyxyx2cos2sin20 xyyx22222)0(2xyyxyx材料力学电子教案材料力学电子教案 C 机械工业出版社机械工业出版社7.3 平面应力状态分析的图解法平面应力状态分析的图解法(2)连接连接Dx和和Dy两点两点,与横轴交于与横轴交于C点点, C为应力圆的圆心。为应力圆的圆心。 7.3.2 应力圆的画法应力圆的画法 (1)建立建立坐标系，按选定的比例尺，量取坐标系，按选定的比例尺，量取OG=x，GDx=xy，确定，确定Dx点点,类似地类似地,确定
17、确定Dy点点 。 (3)以以C为圆心，以为圆心，以 为半径作圆，与横轴分别交于为半径作圆，与横轴分别交于A、B两点，即为相应的应力圆。两点，即为相应的应力圆。 222xyyxxCDxCD0 ,2yxC点坐标点坐标材料力学电子教案材料力学电子教案 C 机械工业出版社机械工业出版社7.3 平面应力状态分析的图解法平面应力状态分析的图解法 将半径将半径 沿方位角沿方位角 的转向的转向旋转旋转 至至CE处，所得处，所得E点的点的横坐标横坐标OF和纵坐标和纵坐标FE 即分别即分别代表面上的正应力和切应力代表面上的正应力和切应力 7.3.3 应力圆的应用应力圆的应用 1. 求任意斜面上的应力求任意斜面上的
18、应力 证明证明 :则则xCD2令圆心角令圆心角 02xACD0000cos(22 )cos(22 )cos2cos2sin2sin2cos2sin222xxxxyxyxyOFOCCFOCCEOCCDOCCDCD同理同理 2cos2sin2xyyxFE材料力学电子教案材料力学电子教案 C 机械工业出版社机械工业出版社7.3 平面应力状态分析的图解法平面应力状态分析的图解法 应力圆上应力圆上A点的横坐标代表点的横坐标代表max 2. 确定主应力和主方向确定主应力和主方向 同理同理, B点的横坐标代表点的横坐标代表min 方位角方位角 ,从从 开始，顺钟向转到开始，顺钟向转到 ,即得即得 角。角。
19、类似地可以确定类似地可以确定min作用面的方位角。作用面的方位角。 2222xyyxyxCAOCOA0 xCDCA02yxxyxxyxCGGD222tan0单元体的主单元体的方位如图所示。单元体的主单元体的方位如图所示。 材料力学电子教案材料力学电子教案 C 机械工业出版社机械工业出版社7.3 平面应力状态分析的图解法平面应力状态分析的图解法 应力圆上应力圆上K和和L两点的纵坐标两点的纵坐标分别代表最大和最小切应力。分别代表最大和最小切应力。 3. 确定极值切应力及其作用面确定极值切应力及其作用面 在应力圆上，从在应力圆上，从 到到 所对圆心角为逆钟向的所对圆心角为逆钟向的/2；在；在单元体中
20、，从单元体中，从max所在主平面的法线到所在主平面的法线到max所在平面的所在平面的法线应为逆钟向的法线应为逆钟向的/4。 222minmaxxyyxCACK和和 都是应力圆的半径都是应力圆的半径 CKCL材料力学电子教案材料力学电子教案 C 机械工业出版社机械工业出版社7.3 平面应力状态分析的图解法平面应力状态分析的图解法 (1) 单元体每个面上的应力都可以在应力圆上找到相单元体每个面上的应力都可以在应力圆上找到相应的位置。应的位置。 4. 应力圆与单元体的点应力圆与单元体的点-面对应关系面对应关系 (2) 当单元体上斜面当单元体上斜面A和斜面和斜面B的夹角为的夹角为 时，应力时，应力圆上
21、相应点圆上相应点a和和b所对应的圆心角为所对应的圆心角为 ，且两角的转，且两角的转向相同。向相同。 2材料力学电子教案材料力学电子教案 C 机械工业出版社机械工业出版社7.3 平面应力状态分析的图解法平面应力状态分析的图解法 (3) 围绕一点的单元体面上的应力随单元体切取方位围绕一点的单元体面上的应力随单元体切取方位的不同而各异，但其应力圆是唯一的。的不同而各异，但其应力圆是唯一的。 a) 受扭圆轴表面受扭圆轴表面K点切取应力单元体点切取应力单元体,可以得到应力圆可以得到应力圆上的上的C、D点点 b) 根据根据45面切取的应力单元体面切取的应力单元体,可以得到应力圆上可以得到应力圆上的的A、B
22、点点 材料力学电子教案材料力学电子教案 C 机械工业出版社机械工业出版社7.3 平面应力状态分析的图解法平面应力状态分析的图解法例例7-3 试用图解法求解图试用图解法求解图7-13a所示应力单元体的主应所示应力单元体的主应力，并确定主平面的方位。力，并确定主平面的方位。 解解 (1) 画应力圆画应力圆 选取比例尺选取比例尺 在在- 坐标系中定出坐标系中定出D1, D2点点 以以 为直径绘出的圆就是所要作的应力圆。为直径绘出的圆就是所要作的应力圆。 MPa701xOBMPa5011xyDBMPa502yxOD21DD材料力学电子教案材料力学电子教案 C 机械工业出版社机械工业出版社7.3 平面应
23、力状态分析的图解法平面应力状态分析的图解法(2)求主应力求主应力 (3)主平面的方位主平面的方位 主平面的法线与主平面的法线与x轴间的夹角轴间的夹角 主应力主应力3所在的主平面与所在的主平面与1所在的主平面垂直。所在的主平面垂直。 MPa2611OAMPa9623OA5 .622/1250在应力圆上在应力圆上,与与x面对应的点为面对应的点为D1,与与主应力主应力1所在主平面对应的点为所在主平面对应的点为A1 材料力学电子教案材料力学电子教案 C 机械工业出版社机械工业出版社7.4 三向应力状态简介三向应力状态简介 在在坐标平面中，必位于由坐标平面中，必位于由1和和2所确定的应力圆上所确定的应力
24、圆上 。 7.4.1 三向应力圆三向应力圆 主应力单元体主应力单元体 与与3平行的斜面平行的斜面m-m上的应力仅与上的应力仅与1和和2有关，而与有关，而与3无关。无关。 同理，与主应力同理，与主应力2 (或或1)平行的各斜面的应力，则位于平行的各斜面的应力，则位于由由1与与3(或或2与与3)所确定的应力圆上。所确定的应力圆上。 这样组成的三个应力圆称为这样组成的三个应力圆称为三向应力圆三向应力圆。 材料力学电子教案材料力学电子教案 C 机械工业出版社机械工业出版社与三个主应力都不平行的任意斜面与三个主应力都不平行的任意斜面ABC上的应力上的应力 、分别代表斜面分别代表斜面ABC的外法向的外法向
25、与与1、2、3方向的夹角。方向的夹角。 斜面上的应力对应的点斜面上的应力对应的点K(n ,n)，位，位于三向应力圆的大圆之内，两小圆于三向应力圆的大圆之内，两小圆之外的区域内。之外的区域内。 7.4 三向应力状态简介三向应力状态简介n232221coscoscos2223222221coscoscosnn材料力学电子教案材料力学电子教案 C 机械工业出版社机械工业出版社7.4 三向应力状态简介三向应力状态简介(2)切应力切应力 7.4.2 最大与最小正应力和切应力最大与最小正应力和切应力 (1)正应力正应力a)平行于平行于 的所在斜面上的所在斜面上 1max3minb)平行于平行于 的所在斜面
26、上的所在斜面上 221123123223c)平行于平行于 的所在斜面上的所在斜面上 223113 231max其所在平面与其所在平面与 和和 所在主平面成所在主平面成 1345材料力学电子教案材料力学电子教案 C 机械工业出版社机械工业出版社7.4 三向应力状态简介三向应力状态简介例例7-4 试画出图试画出图7-17a所示应力状态的三向应力圆，并所示应力状态的三向应力圆，并求该点的三个主应力及最大切应力。求该点的三个主应力及最大切应力。 解解 (1) 画三向应力圆画三向应力圆 确定确定A (80,35)点和点和B (20, -35)点点 以以AB为直径画圆得两个主应力为直径画圆得两个主应力 取
27、取E(-40, 0)以对应主平面以对应主平面z上的应力。上的应力。 96.1MPa, 3.9MPaCD分别以分别以ED和和EC为直径画圆，即得三向应力圆。为直径画圆，即得三向应力圆。 材料力学电子教案材料力学电子教案 C 机械工业出版社机械工业出版社7.4 三向应力状态简介三向应力状态简介(2) 主应力与最大应力主应力与最大应力 三个主应力分别为三个主应力分别为 最大正应力与最大切应力分别为最大正应力与最大切应力分别为 MPa0 .40MPa9 . 3MPa1 .96321EDCMPa1 .682MPa1 .9631max1max材料力学电子教案材料力学电子教案 C 机械工业出版社机械工业出版
28、社7.5 平面应力状态的应变分析平面应力状态的应变分析 推导：设变形前矩形单元斜边推导：设变形前矩形单元斜边OB的长度为的长度为ds 7.5.1 任意方向的应变任意方向的应变 已知线应变已知线应变x、y和切应变和切应变xy，求与求与x轴成角的线段轴成角的线段OB的线应变的线应变以及直角以及直角 的切应变。的切应变。 方向角方向角 以逆钟向为正，切应变以逆钟向为正，切应变以使直角增大为正以使直角增大为正 OcosdsOA d sinABOCsa)发生线应变发生线应变,成为矩形成为矩形OA1B1C1 )1 (cosd1xsOA)1 (sind11ysBAb)发生剪切变形发生剪切变形 ,成为平行四边
29、形成为平行四边形OA1B2C2 材料力学电子教案材料力学电子教案 C 机械工业出版社机械工业出版社小变形情况下小变形情况下 对对 由余弦定理，得由余弦定理，得 化简，得化简，得 轴方向的线应变轴方向的线应变 7.5 平面应力状态的应变分析平面应力状态的应变分析2=d (1)OBs12=d sin(1)/cosd sin(1)yxyyABss122xyOAB21BOAxyyxyxsssss2cos)1 (sind)1 (cosd2)1 (sind)1 (cosd)1 (d22222222cossinsincos22xyyx材料力学电子教案材料力学电子教案 C 机械工业出版社机械工业出版社进一步改
30、写成进一步改写成 轴方向的线应变轴方向的线应变 x可表示为可表示为7.5 平面应力状态的应变分析平面应力状态的应变分析2sin22cos22xyyxyx2sin22cos22xyyxyx2sin22cos22x代入代入 和和 得得 2cos22sin22xyyx材料力学电子教案材料力学电子教案 C 机械工业出版社机械工业出版社1. 应变圆应变圆 圆心圆心 半径半径7.5 平面应力状态的应变分析平面应力状态的应变分析1)通过应变圆，可以得到该点任意方向的线应变和通过应变圆，可以得到该点任意方向的线应变和任两相互垂直方向的切应变任两相互垂直方向的切应变 7.5.2 应变圆与主应变应变圆与主应变0,
31、2yx2222xyyx2)一定存在两个相互垂直的方向一定存在两个相互垂直的方向，线应变线应变分别取得分别取得极极大大值值和极小值，和极小值，而切应变等于零而切应变等于零，这样的极值线这样的极值线应变称为应变称为主应变主应变。 2. 主应变主应变yxxy02tan22minmax222xyyxyx材料力学电子教案材料力学电子教案 C 机械工业出版社机械工业出版社7.5 平面应力状态的应变分析平面应力状态的应变分析一般先测出一点处三个选定方向上的线应变，联立一般先测出一点处三个选定方向上的线应变，联立求解，便可求得求解，便可求得x，y和和xy 7.5.3 应变花及其应用应变花及其应用(2)直角应变
32、花测量线应变直角应变花测量线应变 三个应变片的方向分别为三个应变片的方向分别为 (1)三个应变分量三个应变分量x，y，xy的测量的测量 01 452 903确定一点处主应变的数值和方向时确定一点处主应变的数值和方向时 材料力学电子教案材料力学电子教案 C 机械工业出版社机械工业出版社7.5 平面应力状态的应变分析平面应力状态的应变分析例例7-5 用直角应变花测得用直角应变花测得构件表面某点构件表面某点O处处的三个线应的三个线应变变分别分别为为 ， ， ，试求该点处的切应变、主应变及其方向。试求该点处的切应变、主应变及其方向。 解解(1)切应变切应变令令 (2)主应变主应变 6010350645
33、10210690101506010350 x69010150y450904566662350 10150 102 210 10220 10 xy 66622minmax101 .173101 .37310222021503502150350(3)主应变的方位角主应变的方位角 44. 010150350102202tan660）（9 .110或或101.9材料力学电子教案材料力学电子教案 C 机械工业出版社机械工业出版社7.6 广义胡克定律广义胡克定律 正应力方向的线应变正应力方向的线应变 7.6.1 广义胡克定律广义胡克定律一、一、 单向应力状态单向应力状态 二、复杂应力状态二、复杂应力状态
34、单独作用，在该方向引起的线应变单独作用，在该方向引起的线应变 E垂直于正应力方向的线应变垂直于正应力方向的线应变 E1E/1 和和 单独作用，在单独作用，在 方向引起的线应变方向引起的线应变231E/2E/3叠加叠加 )(13213211EEEE材料力学电子教案材料力学电子教案 C 机械工业出版社机械工业出版社同理可求得同理可求得 切应变为切应变为 式式(7-18)和和(7-19)称为称为广义胡克定律广义胡克定律 三、一般空间应力状态三、一般空间应力状态 7.6 广义胡克定律广义胡克定律)(1)(1)(1213313223211EEE)(1)(1)(1yxzzxzyyzyxxEEEGGGzxz
35、xyzyzxyxy，(7-18)(7-19)材料力学电子教案材料力学电子教案 C 机械工业出版社机械工业出版社1.变形前体积变形前体积 3.体积应变体积应变 主应力表示的体积应变主应力表示的体积应变 2.变形后的体积为变形后的体积为 7.6 广义胡克定律广义胡克定律7.6.2 体积应变体积应变 zyxVdddd)1 (dd321VV ddd321VVV )21 (3)(21m321EE 为三个主应力的平均值为三个主应力的平均值 m )(31321m若三个主应力的代数和等于零，则体积不变。若三个主应力的代数和等于零，则体积不变。 材料力学电子教案材料力学电子教案 C 机械工业出版社机械工业出版社
36、7.6 广义胡克定律广义胡克定律例例7-6 图图7-21a所示圆轴的直径所示圆轴的直径 ,材料的弹性模材料的弹性模量量 ，泊松比，泊松比 。今测得圆轴表面。今测得圆轴表面K点处点处与母线成与母线成 角方向的线应变角方向的线应变 。试求作用。试求作用在圆轴两端的扭转力偶矩在圆轴两端的扭转力偶矩 。 解解 围绕围绕K点取应力单元体点取应力单元体 方向上的正应力方向上的正应力 方向上的线应变方向上的线应变 mm50dGPa210E28. 04564510300eM 163edM 45 ,454545 )1 ()(1454545EE 145E联立，得联立，得 3963945e210 10( 300 1
37、0 )50101.2 kN m16(1)16 (1 0.28)EdM 材料力学电子教案材料力学电子教案 C 机械工业出版社机械工业出版社7.6 广义胡克定律广义胡克定律例例7-7 在图在图7-22所示槽形刚体内，放置一边长为所示槽形刚体内，放置一边长为a =10 mm的正方形钢块，钢块顶面承受合力为的正方形钢块，钢块顶面承受合力为F=16 kN的均的均布压力作用。已知钢块的弹性模量布压力作用。已知钢块的弹性模量E=200 GPa，泊松，泊松比比 。试求钢块的三个主应力。试求钢块的三个主应力。 解解 顶面的压应力顶面的压应力 根据广义胡克定律根据广义胡克定律 考虑到考虑到 ，得，得 三个主应力分
38、别为三个主应力分别为 3 . 0MPa0 .160Pa100 .160010. 010166232aFyEEyxx0 xMPa.084)100 .160( 3 . 06yxMPa0 .160,MPa0 .48,0321材料力学电子教案材料力学电子教案 C 机械工业出版社机械工业出版社1. 应变能应变能 2. 应变能密度应变能密度 单位体积的应变能称为单位体积的应变能称为应变能密度应变能密度，用，用 表示。表示。 弹性体在外力作用下发生变形，载荷在相应位移上弹性体在外力作用下发生变形，载荷在相应位移上作功，从而在弹性体内储存了能量，称为作功，从而在弹性体内储存了能量，称为应变能应变能。 7.6
39、广义胡克定律广义胡克定律7.6.3 应变能与畸变能密度应变能与畸变能密度 单向应力状态下单向应力状态下三向应力状态下三向应力状态下 v212/AllFv )(21332211v主应力表示的应变能密度主应力表示的应变能密度 )(221133221232221Ev材料力学电子教案材料力学电子教案 C 机械工业出版社机械工业出版社3. 畸变能密度畸变能密度 1) 在图在图b示三向等值应力状态下，单元体三个棱边的示三向等值应力状态下，单元体三个棱边的变形相同，因而只有体积改变而没有形状改变。变形相同，因而只有体积改变而没有形状改变。 7.6 广义胡克定律广义胡克定律2)图图c示的应力单元体，三个主应力
40、之和等于零，单示的应力单元体，三个主应力之和等于零，单元体将只有形状改变而没有体积改变，这种情况下的元体将只有形状改变而没有体积改变，这种情况下的应变能密度称为应变能密度称为畸变能密度畸变能密度，用符号，用符号vd表示。表示。 单向应力状态下单向应力状态下 )()()(61213232221dEv2d31Ev材料力学电子教案材料力学电子教案 C 机械工业出版社机械工业出版社7.7 强度理论概述强度理论概述 通过实验直接确定危险点正应力和切应力的极限值，通过实验直接确定危险点正应力和切应力的极限值，并以此为依据建立强度条件。并以此为依据建立强度条件。 一、一、 简单应力状态简单应力状态 二、复杂
41、应力状态二、复杂应力状态 危险点处的三个主应力可以有无数种组合形式危险点处的三个主应力可以有无数种组合形式三、强度理论三、强度理论 所谓所谓“强度理论强度理论”，就是关于材料破坏原因的各，就是关于材料破坏原因的各种假说。根据这些假说，有可能利用简单应力状种假说。根据这些假说，有可能利用简单应力状态的试验结果，建立复杂应力状态下的强度条件。态的试验结果，建立复杂应力状态下的强度条件。 材料力学电子教案材料力学电子教案 C 机械工业出版社机械工业出版社7.8 四个常用的强度理论四个常用的强度理论 最大拉应力理论认为：无论材料处于什么应力状态，最大拉应力理论认为：无论材料处于什么应力状态，只要危险点
42、处的最大拉应力只要危险点处的最大拉应力 ，达到材料单向拉伸，达到材料单向拉伸时拉应力的极限值时拉应力的极限值 ，材料就发生脆性断裂。，材料就发生脆性断裂。 7.8.1 关于脆性断裂的强度理论关于脆性断裂的强度理论 1. 最大拉应力理论最大拉应力理论(第一强度理论第一强度理论) 破坏条件为破坏条件为 强度条件为强度条件为 b111b材料力学电子教案材料力学电子教案 C 机械工业出版社机械工业出版社破坏条件破坏条件 用主应力表示的断裂破坏条件为用主应力表示的断裂破坏条件为 最大拉应变理论认为：无论材料处于什么应力状态，最大拉应变理论认为：无论材料处于什么应力状态，只要危险点处的最大拉应变只要危险点
43、处的最大拉应变 ，达到材料单向拉伸，达到材料单向拉伸断裂时拉应变的极限值断裂时拉应变的极限值 ，材料就发生脆性断裂。，材料就发生脆性断裂。 7.8 四个常用的强度理论四个常用的强度理论2. 最大拉应变理论最大拉应变理论(第二强度理论第二强度理论) 11uEbu11 )(b321强度条件为强度条件为 )(321材料力学电子教案材料力学电子教案 C 机械工业出版社机械工业出版社 最大切应力理论认为：无论材料处于什么应力状态，最大切应力理论认为：无论材料处于什么应力状态，只要危险点处的最大切应力只要危险点处的最大切应力 ，达到材料单向拉伸，达到材料单向拉伸屈服时切应力的极限值屈服时切应力的极限值 ，
44、材料就发生屈服破坏。，材料就发生屈服破坏。 7.8.2 关于塑性屈服的强度理论关于塑性屈服的强度理论 1. 最大切应力理论最大切应力理论(第三强度理论第三强度理论) 破坏条件为破坏条件为 强度条件为强度条件为7.8 四个常用的强度理论四个常用的强度理论maxs smax主应力表示的屈服破坏条件为主应力表示的屈服破坏条件为 s3131材料力学电子教案材料力学电子教案 C 机械工业出版社机械工业出版社破坏条件破坏条件 用主应力表示的断裂破坏条件为用主应力表示的断裂破坏条件为 畸变能密度理论认为：无论材料处于什么应力状态，畸变能密度理论认为：无论材料处于什么应力状态，只要危险点处的畸变能密度只要危险
45、点处的畸变能密度 ，达到材料单向拉伸屈，达到材料单向拉伸屈服时畸变能密度的极限值服时畸变能密度的极限值 ，材料就发生屈服破坏。，材料就发生屈服破坏。 7.8 四个常用的强度理论四个常用的强度理论2. 畸变能密度理论畸变能密度理论(第四强度理论第四强度理论) 强度条件为强度条件为 dv udv uddvv 2s213232221)()()( 21 )()()( 21213232221材料力学电子教案材料力学电子教案 C 机械工业出版社机械工业出版社7.8.3 相当应力相当应力四个强度理论的强度条件可统一写为四个强度理论的强度条件可统一写为 主应力的组合称为主应力的组合称为相当应力相当应力，用符号
46、，用符号 表示。表示。 7.8 四个常用的强度理论四个常用的强度理论 ) 1,2,3,4 ( riii r 11r )(3212r 313r )()()(212132322214r材料力学电子教案材料力学电子教案 C 机械工业出版社机械工业出版社7.8 四个常用的强度理论四个常用的强度理论例例7-8 某铸铁杆件危险点处的应力状态如图所示，若许某铸铁杆件危险点处的应力状态如图所示，若许用拉应力用拉应力 ，试校核其强度。，试校核其强度。 解解 应力分量应力分量 主应力计算主应力计算 三个主应力三个主应力 按第一强度理论按第一强度理论 MPa35tMPa10,MPa20,MPa30 xyyxMPa9
47、 .21MPa9 .31)10(220302203022minmaxMPa9 .31102MPa9 .213MPa9 .31t1杆件满足强度条件杆件满足强度条件 材料力学电子教案材料力学电子教案 C 机械工业出版社机械工业出版社7.8 四个常用的强度理论四个常用的强度理论例例7-9 某塑性材料杆件中危险点处的应力状态如图所示。某塑性材料杆件中危险点处的应力状态如图所示。试求出该点处的第三、第四强度理论的相当应力表达式。试求出该点处的第三、第四强度理论的相当应力表达式。 解解 由主应力公式得由主应力公式得 三个主应力三个主应力 第三、第四强度理论的相当应力表达式第三、第四强度理论的相当应力表达式
48、 22minmax2020 xyxx22124xxxy 4223rxyx 3224rxyx2022324xxxy材料力学电子教案材料力学电子教案 C 机械工业出版社机械工业出版社7.9 莫尔强度理论莫尔强度理论 2. 两个面之间产生与切应力方向相反的内摩擦力。两个面之间产生与切应力方向相反的内摩擦力。 一一、莫尔强度理论莫尔强度理论1. 切应力是使材料达到危险状态的主要因素。切应力是使材料达到危险状态的主要因素。 3. 材料的滑动破坏不一定发生在最大切应力所在的材料的滑动破坏不一定发生在最大切应力所在的截面上。截面上。 对在一定应力状态下的材料，当界面上的正应力对在一定应力状态下的材料，当界面
49、上的正应力为压应力时，应力值越大，材料越不容易沿该截为压应力时，应力值越大，材料越不容易沿该截面滑动，反之，当截面上的正应力是拉应力时，面滑动，反之，当截面上的正应力是拉应力时，则应力值越大材料越容易沿该截面滑动。则应力值越大材料越容易沿该截面滑动。材料力学电子教案材料力学电子教案 C 机械工业出版社机械工业出版社二二、应力圆应力圆 1. 极限应力圆的包络极限应力圆的包络线线 及及 ，又称，又称为为极限曲线极限曲线。 2. 莫尔强度理论认为莫尔强度理论认为7.9 莫尔强度理论莫尔强度理论ABBA(1) 如果由如果由 与与 所确定的应力圆位于上述包络线所确定的应力圆位于上述包络线之内，则材料不会
50、失效。之内，则材料不会失效。 (2) 若由若由 与与 所确定的应力圆与上述包络线相所确定的应力圆与上述包络线相切或相交，则材料发生失效。切或相交，则材料发生失效。 1313材料力学电子教案材料力学电子教案 C 机械工业出版社机械工业出版社3. 莫尔强度理论的特点：莫尔强度理论的特点：7.9 莫尔强度理论莫尔强度理论(1) 包络线在横轴的负包络线在横轴的负方向敞开，表示材料能方向敞开，表示材料能承受高的三向压应力。承受高的三向压应力。 (2) 由于包络线在左方不与横轴相交，反映了材料在由于包络线在左方不与横轴相交，反映了材料在三向均匀压缩时不破坏的事实。三向均匀压缩时不破坏的事实。 材料力学电子
