1、圆锥曲线教材分析王秀彩圆锥曲线教材分析王秀彩2、平面解析几何的教材编写意图、平面解析几何的教材编写意图（1 1）强调数形转换、数形结合这一重要的思想方法。）强调数形转换、数形结合这一重要的思想方法。 学习和体会用解析几何解决问题的学习和体会用解析几何解决问题的“三部曲三部曲”。几 何 问题(点、线)建立坐标系代数问题(数对、方程)返回几何代数解决建立坐标系代数方法返回（2 2）强调几何背景。）强调几何背景。 例如，与原课程例如，与原课程相比，新课程更强调圆相比，新课程更强调圆锥曲线的来龙去脉，更锥曲线的来龙去脉，更强调其几何背景。强调其几何背景。（3 3）强调学生发展的需要。）强调学生发展的需
2、要。 例如，新课程改变了原来的缺乏层次、要求例如，新课程改变了原来的缺乏层次、要求单一的设计，对于不同的学生设计了不同的层次。单一的设计，对于不同的学生设计了不同的层次。如对希望在人文、社会科学等方面发展的学生，如对希望在人文、社会科学等方面发展的学生，更强调对椭圆这一特殊的圆锥曲线有一个比较全更强调对椭圆这一特殊的圆锥曲线有一个比较全面的了解，而其他的圆锥曲线只作一般性了解。面的了解，而其他的圆锥曲线只作一般性了解。这样做，在很大的程度上，是关注学生自身的发这样做，在很大的程度上，是关注学生自身的发展与需要。展与需要。课标要求（文）课标要求（文） （1 1）了解圆锥曲线的实际背景，感受圆锥曲
3、线在刻画现实）了解圆锥曲线的实际背景，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用。世界和解决实际问题中的作用。 （2 2）经历从具体情境中抽象出椭圆模型的过程（）经历从具体情境中抽象出椭圆模型的过程（参见例参见例1 1），掌握），掌握椭圆椭圆的定义、标准方程及简单几何性质；的定义、标准方程及简单几何性质； （3 3）了解）了解抛物线抛物线、双曲线的定义、几何图形和标准方程，、双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道知道它们它们的简单几何性质。的简单几何性质。 （4 4）通过圆锥曲线）通过圆锥曲线与方程与方程的学习，进一步体会数形结合的的学习，进一步体会数形结合的思想。思想。 （5 5）了解
4、圆锥曲线的简单应用了解圆锥曲线的简单应用，能用坐标法解决一些与圆，能用坐标法解决一些与圆锥曲线有关的简单几何问题。锥曲线有关的简单几何问题。3、圆锥曲线与方程课程标准、圆锥曲线与方程课程标准课标要求（理）课标要求（理） （1 1）了解圆锥曲线的实际背景，感受圆锥曲线在刻画现实）了解圆锥曲线的实际背景，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用。世界和解决实际问题中的作用。 （2 2）经历从具体情境中抽象出椭圆、）经历从具体情境中抽象出椭圆、抛物线抛物线模型的过程，模型的过程，掌握掌握它们它们的定义、标准方程、的定义、标准方程、几何图形几何图形及简单性质；及简单性质； （3 3）了解双曲线
5、的定义、几何图形和标准方程，知道）了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道双曲双曲线线的有关性质。的有关性质。 （4 4）能用坐标法解决一些与圆锥曲线有关的简单几何问题）能用坐标法解决一些与圆锥曲线有关的简单几何问题和和实际问题实际问题。 （5 5）通过圆锥曲线的学习，进一步体会数形结合的思想。）通过圆锥曲线的学习，进一步体会数形结合的思想。 （6 6）结合已学过的曲线及其方程的实例，了解曲线与方程）结合已学过的曲线及其方程的实例，了解曲线与方程的对应关系，进一步感受数形结合的基本思想。的对应关系，进一步感受数形结合的基本思想。4、圆锥曲线与方程内容与课时安排、圆锥曲线与方程内容与课时安排二
6、、教学建议1、注重概念的获得、注重概念的获得辨辨别别 分分化化类化类化 检检验验 概概括括 形式形式化化 抽抽象象 操操作作 表表象象定义定义 体体系系 运运用用 （1 1）重经验也重体验）重经验也重体验【案例一案例一】椭圆的生活引入椭圆的生活引入油罐车油罐车设计意图：设计意图：体验体验“生活生活中有椭圆，生中有椭圆，生活中用椭圆活中用椭圆”。（2 2）重结果也重过程）重结果也重过程【案例二案例二】椭圆的概念建构椭圆的概念建构【问题一问题一】你会画椭圆吗？画一个试试。你会画椭圆吗？画一个试试。设计意图：设计意图：1 1）让学生参与课堂；）让学生参与课堂；2 2）为后续的教学提供素材。）为后续的
7、教学提供素材。【问题二问题二】你确定你画的是椭圆吗？你是如何确定的？你确定你画的是椭圆吗？你是如何确定的？设计意图：设计意图：引起认知冲突，提高问题意识，优化理性思维。引起认知冲突，提高问题意识，优化理性思维。【问题三问题三】拿出准备的工具，按下面指令操作：拿出准备的工具，按下面指令操作：设计意图：设计意图：1 1）感受椭圆的一种）感受椭圆的一种“新新”画法；画法；2 2）抽象出椭圆的本质属性，并将其符号化，初步形成表象。）抽象出椭圆的本质属性，并将其符号化，初步形成表象。你画出的图形你画出的图形象象什么？如果把笔尖记作动点什么？如果把笔尖记作动点M M，你能写出，你能写出动点动点M M满足的
8、条件吗？满足的条件吗？【问题四问题四】满足满足 的动点的动点M M的轨迹一定是的轨迹一定是椭圆吗？变换线的长度画画看。得出结论后前后左右交流。椭圆吗？变换线的长度画画看。得出结论后前后左右交流。设计意图：设计意图：1 1）在操作中感受椭圆形状的变化，体验）在操作中感受椭圆形状的变化，体验“极端化极端化”思想思想 ；2 2）在互动中使表象逐步趋于清晰，为正确概念的形成铺垫。）在互动中使表象逐步趋于清晰，为正确概念的形成铺垫。结论：需要满足三个条件：结论：需要满足三个条件：（1 1） ；（2 2） ；（3 3）平面内。）平面内。【问题五问题五】你能据此用自己的语言给椭圆下个定义吗？你能据此用自己的
9、语言给椭圆下个定义吗？设计意图：设计意图：1 1）培养学生语言互译能力以及语言组织能力；）培养学生语言互译能力以及语言组织能力；2 2）初步形成椭圆的概念。）初步形成椭圆的概念。 平面内与两个定点平面内与两个定点 、 的距离的和等于常数（大于的距离的和等于常数（大于 ）的点的轨迹叫做椭圆）的点的轨迹叫做椭圆. . 这两个定点叫做椭圆的焦这两个定点叫做椭圆的焦点点, ,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距两焦点间的距离叫做椭圆的焦距. .注：若注：若 , ,则则P P点的轨迹为椭圆点的轨迹为椭圆. . 若若 , ,则则P P点的轨迹为线段点的轨迹为线段. . 若若 , ,则则P P点的轨迹不存在点的轨迹
10、不存在. .（3 3）重预设也重生成）重预设也重生成没有预设的教学是盲目的，没有预设的教学是盲目的，唯有不断生成的教学才可能是鲜活的！唯有不断生成的教学才可能是鲜活的！【生成一生成一】对于问题对于问题“你会画椭圆吗？画一个试试。你会画椭圆吗？画一个试试。”1 1）随手画；）随手画；2 2）用绘图板画；）用绘图板画；3 3）将圆同比例拉伸或压缩；）将圆同比例拉伸或压缩；4 4）用斜二测画法画圆的直观图；）用斜二测画法画圆的直观图；5 5）用定义；）用定义；6 6）用圆锥曲面截；）用圆锥曲面截；7 7）用圆柱曲面截；）用圆柱曲面截；8 8）用手电筒照射球描投影。）用手电筒照射球描投影。设两定点为设
11、两定点为A,B,AB=2c,A,B,AB=2c,动点动点M M满足满足MAMB=aMAMB=a2 2(a0)(a0)当当acac时，图象分为两支，随着时，图象分为两支，随着a a的减小而分别向的减小而分别向A,CA,C收缩。收缩。 当当a=ca=c时的分支，成时的分支，成8 8形自相交叉。形自相交叉。 当当ca cca ca c时，曲线中部凸起。时，曲线中部凸起。 卡西尼卵形线卡西尼卵形线【生成二生成二】平面内到两定点距离之积是常数的动点轨迹是什么？平面内到两定点距离之积是常数的动点轨迹是什么？如图所示，如图所示，A A、B B为定点，为定点，M M到到A A和和B B的距离之比为的距离之比为
12、k k，如果如果k=1k=1，那么，那么M M的轨迹为线段的轨迹为线段ABAB的中垂线；的中垂线；如果如果k1k1，那么，那么M M的轨迹为一个圆的轨迹为一个圆阿波罗尼斯圆阿波罗尼斯圆。 【生成三生成三】平面内到两定点距离之比是常数的动点轨迹是什么？平面内到两定点距离之比是常数的动点轨迹是什么？【生成四生成四】为什么把椭圆、双曲线和抛物线都称为圆锥曲线呢？为什么把椭圆、双曲线和抛物线都称为圆锥曲线呢？如何在圆锥曲面如何在圆锥曲面上截出椭圆、双曲上截出椭圆、双曲线以及抛物线？如线以及抛物线？如何证明呢？何证明呢？证明椭圆证明椭圆【生成四生成四】为什么把椭圆、双曲线和抛物线都称为圆锥曲线呢？为什么
13、把椭圆、双曲线和抛物线都称为圆锥曲线呢？如何在圆锥曲面如何在圆锥曲面上截出椭圆、双曲上截出椭圆、双曲线以及抛物线？如线以及抛物线？如何证明呢？何证明呢？证明抛物证明抛物线线P P【生成五生成五】如果一个圆内切于一个椭圆，有时候只有一如果一个圆内切于一个椭圆，有时候只有一个切点，有时候有两个切点。如果椭圆固定，圆的半径满个切点，有时候有两个切点。如果椭圆固定，圆的半径满足什么条件时会分别出现上述情况？足什么条件时会分别出现上述情况？【生成六生成六】解析几何中的抛物线和物理中的抛物线以及解析几何中的抛物线和物理中的抛物线以及代数中二次函数的图象本质上是一回事吗？如何解释呢？代数中二次函数的图象本质
14、上是一回事吗？如何解释呢？【生成七生成七】任意两个圆都是相似的。任意两个圆都是相似的。任意两个椭圆则未必相似。任意两个椭圆则未必相似。任意两个抛物线相似吗？为什么？任意两个抛物线相似吗？为什么？任意两个双曲线呢？任意两个双曲线呢？允许生成允许生成善待生成善待生成鼓励生成鼓励生成可以从方程的角度解释。可以从方程的角度解释。任意两个抛物线一定相似；任意两个双曲线则未必。任意两个抛物线一定相似；任意两个双曲线则未必。2、注重例题的选讲、注重例题的选讲（1 1）对教材选定的例题）对教材选定的例题“慎删减，多求变慎删减，多求变”（2 2）对解题思路的分析）对解题思路的分析“少告诉，多引导少告诉，多引导”
15、（3 3）对解题过程的书写）对解题过程的书写“先自求，再对照先自求，再对照”（4 4）对解题之后的反思）对解题之后的反思“勤迁移，多总结勤迁移，多总结”【案例三案例三】课本课本P40P40例例1 1的处理的处理已知椭圆的两个焦点坐标分别是（已知椭圆的两个焦点坐标分别是（-2-2，0 0），（），（2 2，0 0），并且），并且经过点经过点 ，求它的标准方程。，求它的标准方程。（1 1）所求椭圆的标准方程应该是什么样子？为什么？）所求椭圆的标准方程应该是什么样子？为什么？分析：分析：设计意图：设计意图：1 1）养成）养成“从结论入手从结论入手”的分析习惯；的分析习惯；2 2）依据）依据“求谁设谁
16、求谁设谁”的解题策略；的解题策略；3 3）形成）形成“先定位，再定量先定位，再定量”的解题意识。的解题意识。（3 3）你还能用其他方法求它的方程吗？哪种方法简单？你）你还能用其他方法求它的方程吗？哪种方法简单？你有什么体会？有什么体会？设计意图：设计意图：再次巩固再次巩固“待定系数法待定系数法”。此处至少要让学生明白两点：。此处至少要让学生明白两点：第一，不仅定义可以解决问题，椭圆的标准方程也能；第一，不仅定义可以解决问题，椭圆的标准方程也能；第二，用第二，用“标准方程标准方程”解题过程更简明，程序更简单。解题过程更简明，程序更简单。（2 2）已知有哪些？如何根据已知求）已知有哪些？如何根据已
17、知求a,ba,b的值呢？求解对照。的值呢？求解对照。设计意图：设计意图：1 1）渗透方程思想，拟定解题方案；）渗透方程思想，拟定解题方案；2 2）求解对照，寻求异同，并思考其必要性。）求解对照，寻求异同，并思考其必要性。【变式变式1 1】写出适合下列条件的椭圆的标准方程：写出适合下列条件的椭圆的标准方程：（1 1）a=4,b=1,a=4,b=1,焦点在焦点在x x轴上；轴上；（2 2）a=4,c= ,a=4,c= ,焦点在焦点在y y轴上；轴上；（3 3）a+b=10, c=a+b=10, c= 。设计意图：设计意图：1 1）进一步巩固）进一步巩固“先定位，再定量先定位，再定量”的解题意识；的
18、解题意识；2 2）当）当“焦点所在轴不定焦点所在轴不定”时，要有时，要有“分类讨论分类讨论”意识。意识。思考：当椭圆焦点所在轴不定时，是否总可以思考：当椭圆焦点所在轴不定时，是否总可以“只求出一种只求出一种情况，再交换情况，再交换a,ba,b的值的值”即可呢？即可呢？【变式变式2 2】求适合下列条件的椭圆的标准方程：求适合下列条件的椭圆的标准方程：（1 1）a=3b,a=3b,且经过点且经过点P P（3 3，0 0）；）；（2 2）经过两点）经过两点 和和 。设计意图：设计意图：通过上面两个小题，让学生明白：通过上面两个小题，让学生明白：1 1）即使椭圆的焦点位置不定，也不一定总有两组解；）即
19、使椭圆的焦点位置不定，也不一定总有两组解；2 2）当）当“焦点所在轴不定焦点所在轴不定”时，要有时，要有“分类讨论分类讨论”意识，但意识，但也要能根据场合适当地也要能根据场合适当地“避免讨论避免讨论”。3、注重思想方法的渗透、注重思想方法的渗透（1 1）坐标法与数形结合思想）坐标法与数形结合思想（2 2）类比思想）类比思想（3 3）待定系数法与方程思想）待定系数法与方程思想（4 4）模式识别与程序化思想）模式识别与程序化思想待定系数法待定系数法（4 4）模式识别与程序化思想）模式识别与程序化思想【总结总结1 1】求曲线的方程求曲线的方程【方法一方法一】待定系数法（已知曲线类型）待定系数法（已知
20、曲线类型）第一步，引入待定的系数，设方程；第一步，引入待定的系数，设方程；第二步，第二步，列出方程（组）并解之列出方程（组）并解之；第三步，第三步，得曲线的方程。得曲线的方程。【例例2 2】已知线段已知线段ABAB的端点的端点B B的坐标是（的坐标是（4 4，3 3）, ,端点端点A A在圆在圆(x+1)(x+1)2 2+y+y2 2=4=4上运动，求线段上运动，求线段ABAB的中点的中点M M的轨迹方程的轨迹方程. . yABMxo分析：分析： 设设M M（x,yx,y），），A A（x x0 0,y,y0 0），则有：），则有：由由得得代入（代入（*）即可）即可代入法代入法【方法二方法二】
21、代入法（相关动点问题）代入法（相关动点问题）第一步，设终动点为（第一步，设终动点为（x,yx,y），始动点为（），始动点为（x x0 0,y,y0 0）；）；第二步，列出始动点与终动点之间的变化关系第二步，列出始动点与终动点之间的变化关系式以及始动点满足的关系式；式以及始动点满足的关系式；第三步，用第三步，用x,yx,y表示表示x x0 0,y,y0 0，代入，代入x x0 0,y,y0 0满足的关满足的关系式即得曲线的方程。系式即得曲线的方程。【总结总结1 1】求曲线的方程求曲线的方程【例例3 3】(2010(2010年北京高考理年北京高考理19)19)在平面直角坐标系在平面直角坐标系xOy
22、xOy中，中，点点B B与点与点A A（-1,1-1,1）关于原点）关于原点O O对称，对称，P P是动点，且直线是动点，且直线APAP与与BPBP的斜率之积等于的斜率之积等于 ，求动点，求动点P P的轨迹方程。的轨迹方程。【解析解析】因为点因为点B B与点与点A A（-1,1-1,1）关于原点）关于原点O O对称，对称， 所以点所以点B B的坐标为（的坐标为（1,-1 1,-1 ） 设点设点 的坐标为的坐标为，由题意得，由题意得 化简得化简得 故动点故动点P P的轨迹方程为的轨迹方程为五步法五步法【方法三方法三】五步法（上述两种问题以外的问题）五步法（上述两种问题以外的问题）第一步，第一步，
23、建建系，系，设设点；点；第二步，由第二步，由限限制条件制条件列出几何表达式列出几何表达式；第三步，坐标第三步，坐标代代入，化为代数表达式入，化为代数表达式；第四步，第四步，化化简简；第五步，增、失根的说明第五步，增、失根的说明。【总结总结1 1】求曲线的方程求曲线的方程【例例4 4】若双曲线若双曲线 的焦距是的焦距是6 6，则，则 【解析解析】若若 ，则双曲线的标准方程为，则双曲线的标准方程为 所以所以 ，又，又 所以所以 若若 ，则双曲线的标准方程为，则双曲线的标准方程为 所以所以 ，又，又 所以所以 综上综上 K0K00呢？呢？”x xy yo oA AB B建议：当题中的直线和圆锥曲线相
24、交时，首先要有建议：当题中的直线和圆锥曲线相交时，首先要有“ ”“ ”的意识，然后再根据其他条件考虑是否需要写出并计算。的意识，然后再根据其他条件考虑是否需要写出并计算。错因分析：错因分析：不理解不理解“0”的的存在意义。存在意义。例10（2011朝阳一模T7）如图，双曲线的中心在坐标原点O,A,C 分别是双曲线虚轴的上、下顶点，B是双曲线的左顶点，F为双曲线的左焦点，直线AB与FC相交于点D.若双曲线的离心率为2，则BDF的余弦值是( ) （A） （B） （C） （D）xyOCBAFD很多同学都是很多同学都是“把把BDFBDF放到放到BDFBDF中利用余弦定理中利用余弦定理”求解的求解的，然
25、而很少有同学能够坚持处理到最后，然而很少有同学能够坚持处理到最后. .因为这种解法固然很因为这种解法固然很容易想到，但是运算量较大：根据直线容易想到，但是运算量较大：根据直线ABAB和和CFCF的方程求出的方程求出D D点点坐标已属不易（但还是有好多人求对了），再求坐标已属不易（但还是有好多人求对了），再求BDFBDF三边的三边的长更是难上加难！长更是难上加难！那么，有没有更好的方法呢？那么，有没有更好的方法呢？ 3.3.解题思路僵化解题思路僵化【分析分析1 1】既然上述思路的最大难点是既然上述思路的最大难点是“求求BDFBDF三边的长三边的长”，那么我们能不能绕开这个难点呢？也就是说，在，那
26、么我们能不能绕开这个难点呢？也就是说，在“已知已知D D点点坐标坐标”的前提下，还有没有更好的方法的前提下，还有没有更好的方法“求求BDFBDF的余弦值的余弦值”呢？回答是肯定的，呢？回答是肯定的，BDFBDF就是向量就是向量 与与 的夹角！于的夹角！于是问题获解是问题获解. . 例10（2011朝阳一模T7）如图，双曲线的中心在坐标原点O,A,C 分别是双曲线虚轴的上、下顶点，B是双曲线的左顶点，F为双曲线的左焦点，直线AB与FC相交于点D.若双曲线的离心率为2，则BDF的余弦值是( ) （A） （B） （C） （D）xyOCBAFD【分析分析2 2】既然选择了既然选择了“向量法向量法”求解
27、，我们能不能进一步求解，我们能不能进一步绕开绕开“求求D D点坐标点坐标”这一这一“次难点次难点”呢？当然可以，事实上，呢？当然可以，事实上，BDFBDF还可以视为向量还可以视为向量 与与 的夹角！的夹角！ 例10（2011朝阳一模T7）如图，双曲线的中心在坐标原点O,A,C 分别是双曲线虚轴的上、下顶点，B是双曲线的左顶点，F为双曲线的左焦点，直线AB与FC相交于点D.若双曲线的离心率为2，则BDF的余弦值是( ) （A） （B） （C） （D）xyOCBAFD【分析分析3 3】本题如果考虑到本题如果考虑到“点点A,C,FA,C,F的特殊性的特殊性”以及以及“双曲双曲线的对称性线的对称性”，
28、还可以换一个角度转化：，还可以换一个角度转化：如图，设双曲线的右焦点为如图，设双曲线的右焦点为Q,Q,连接连接AQAQ，则易知，则易知BDFBDF就等于就等于BAQBAQ，于是本题可在，于是本题可在BAQBAQ中轻易获解中轻易获解. .Q Q例10（2011朝阳一模T7）如图，双曲线的中心在坐标原点O,A,C 分别是双曲线虚轴的上、下顶点，B是双曲线的左顶点，F为双曲线的左焦点，直线AB与FC相交于点D.若双曲线的离心率为2，则BDF的余弦值是( ) （A） （B） （C） （D）xyOCBAFD建议：建议：（1 1）在平时的解题教学中教师要多从解题理论的高度）在平时的解题教学中教师要多从解题
29、理论的高度展示解题的思维过程，要让学生既展示解题的思维过程，要让学生既“知其然知其然”，又，又“知知其所以然其所以然”，还懂得，还懂得“何以知其所以然何以知其所以然” ；（2 2）在平时的解题教学中要尝试多给学生机会，让他）在平时的解题教学中要尝试多给学生机会，让他们自己去动脑、动口、动手；们自己去动脑、动口、动手；（3 3）鼓励多题一解、一题多解、一题多变，培养思维）鼓励多题一解、一题多解、一题多变，培养思维的灵活性。的灵活性。例例11.设设P(x, y)是椭圆是椭圆 上一点上一点,则则x-y的最大值是的最大值是 . 1010本题可以有两种基本解法：本题可以有两种基本解法：“三角代换法三角代
30、换法”和和“判别式法判别式法” ” “知其然知其然”水平水平因为因为如果令如果令x-y=mx-y=m，可以联立方程组，消去，可以联立方程组，消去x x（或（或y)y)，用判别式法。，用判别式法。故可以三角代换；故可以三角代换；“知其所以知其所以然然”水平水平例例11.设设P(x, y)是椭圆是椭圆 上一点上一点,则则x-y的最大值是的最大值是 . 1010从结论看，按照从结论看，按照“求谁设谁求谁设谁”的解题策略，可令的解题策略，可令x-y=mx-y=m； （1 1）三角代换；）三角代换；“何以知其所以何以知其所以然然”水平水平从条件看，依据从条件看，依据“减元减元”的解题策略，可尝试下面两种操作：的解题策略，可尝试下面两种操作： 告诉我，我会忘记告诉我，我会忘记让我参与，我才能真正地明让我参与，我才能真正地明白白分析给我听，我或许能知道分析给我听，我或许能知道概念教学如此，解题教学也如此概念教学如此，解题教学也如此精品课件精品课件！精品课件精品课件！
