1、，组实数组实数，对于任何一，对于任何一给定向量组给定向量组mmkkkA,: 2121 定义定义., 21个线性组合的系数个线性组合的系数称为这称为这，mkkk，称为向量组的一个称为向量组的一个向量向量 2211mmkkk 线性组合线性组合b xaxaxann2211线性方程组的向量表示线性方程组的向量表示 .,22112222212111212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxamnmnmmnnnn方程组与增广矩阵的列向量组之间方程组与增广矩阵的列向量组之间一一对应一一对应mmb 2211，使，使，一组数一组数如果存在如果存在和向量和向量给定向量组给定向量组mmbA ,: 2121
2、. 2211有解有解即线性方程组即线性方程组bxxxmm 的线性组合，这时称的线性组合，这时称是向量组是向量组则向量则向量Ab 向量向量 能能由向量组由向量组 线性表示线性表示bA例如例如：12342100050100,3001000001 有有210005010025303001000001 1234=2530 即即所以，称所以，称 是是 的线性组合，的线性组合，或或 可以由可以由 线性表示。线性表示。 1234, 1234, 0 ,: 22112121 mmmmkkkkkkA 使使全全为为零零的的数数如如果果存存在在不不给给定定向向量量组组注意注意.0 ,0, 1. 2211121成成立立
3、才才有有时时则则只只有有当当线线性性无无关关若若 nnnn ., 2. 线线性性相相关关性性无无关关就就是是不不是是线线对对于于任任一一向向量量组组定义定义则称向量组则称向量组 是线性相关的，否则称它线性无关是线性相关的，否则称它线性无关A., 0, 0, 3. 线线性性无无关关则则说说若若线线性性相相关关则则说说若若时时向向量量组组只只包包含含一一个个向向量量 .4. 组组是是线线性性相相关关的的包包含含零零向向量量的的任任何何向向量量.,. 5 量共面量共面向向量相关的几何意义是三量相关的几何意义是三是两向量共线；三个向是两向量共线；三个向义义量对应成比例，几何意量对应成比例，几何意充要条
4、件是两向量的分充要条件是两向量的分它线性相关的它线性相关的量组量组对于含有两个向量的向对于含有两个向量的向. 性独立）性独立）线线个方程）线性无关（或个方程）线性无关（或程，就称该方程组（各程，就称该方程组（各方方；当方程组中没有多余；当方程组中没有多余个方程）是线性相关的个方程）是线性相关的各各余的，这时称方程组（余的，这时称方程组（合时，这个方程就是多合时，这个方程就是多是其余方程的线性组是其余方程的线性组若方程组中有某个方程若方程组中有某个方程线性相关性在线性方程组中的应用线性相关性在线性方程组中的应用).,( .0 A, 0 212211mmmAxxxxA 其中其中有非零解有非零解即即
5、方程组方程组线性相关就是齐次线性线性相关就是齐次线性向量组向量组结论结论 显然，如果齐次线性方程只有零解，则对显然，如果齐次线性方程只有零解，则对该方程增加若干方程后仍有零解，由此我们得该方程增加若干方程后仍有零解，由此我们得到如下命题到如下命题命题命题1设有两个向量组设有两个向量组12:(,)(1,2,),TjjjrjAaaajm 121,:(,)(1,2,),TjjjrjrjnjBaaaaajm 若向量组若向量组A线性无关，则向量组线性无关，则向量组B也线性无关。也线性无关。说明说明增加方程个数相当于向量增加方程个数相当于向量 增加分量，但向量组所含向量的个数不变增加分量，但向量组所含向量
6、的个数不变(1,2,)jjm 由于线性方程组的解与方程组中方程的次由于线性方程组的解与方程组中方程的次序无关，由此我们得到如下命题序无关，由此我们得到如下命题命题命题2设有两个向量组设有两个向量组12:(,)(1,2,),TjjjnjAaaajm 12:(,)(1,2,),nTjp jp jp jBaaajm 则向量组则向量组A与与B的线性相关性相同。的线性相关性相同。其中其中 是是 这这n个自然数的某个确个自然数的某个确定的排列，定的排列，12np pp1,2,n说明说明改变方程的次序相当于改变向量改变方程的次序相当于改变向量 的各分量的次序。的各分量的次序。(1,2,)jjm 证明证明 n
7、 维单位坐标向量组维单位坐标向量组),1 ,0,0(),0, 1 ,0(),0,0, 1(21n线性无关；并将任意线性无关；并将任意n维向量维向量 表示成表示成 的线性组合的线性组合12(,)Tnaaa12,n解解12,nkkk设存在一组数设存在一组数 ，使得，使得11220nnkkk11220nnkkk按照向量的数乘、加法运算可得按照向量的数乘、加法运算可得12(,)(0, 0, 0)TTnkkk 根据向量相等的定义，即有根据向量相等的定义，即有120nkkk所以所以 线性无关线性无关12,n12(,)Tnaaa对于任意给定的对于任意给定的n维向量维向量121122(,)Tnnnaaaaaa
8、例例2 讨论向量组讨论向量组 1,1,1T 0,2,5T 1,3,6T 的线性相关性的线性相关性解解假设存在假设存在 x, y, z，使得，使得0 xyz即即(,23 ,56 )(0,0,0)TTxzxyzxyz由向量相等的定义得由向量相等的定义得101012301560 xyzxyzxyz 容易验证容易验证 x=1, y=1, z= -1是上述方程的一组非零解是上述方程的一组非零解即存在一组不全为零的数即存在一组不全为零的数 1，1，1使使11( 1)0 所以所以 线性相关线性相关, 101012301560 xyzxyzxyz . , , 321133322211321线线性性无无关关试试
9、证证线线性性无无关关已已知知向向量量组组bbbbbb 例例3 30 ,332211321 bxbxbxxxx使使设有设有, 0)()( 133322211 xxx）（即即, 0)()() 332221131 xxxxxx（亦即亦即线性无关，故有线性无关，故有，因因321 . 0 , 0 , 0 322131xxxxxx证证02110011101 列列式式由由于于此此方方程程组组的的系系数数行行., 0 321321线线性性无无关关向向量量组组，所所以以故故方方程程组组只只有有零零解解bbbxxx 例例5 把向量把向量 表示成向量组表示成向量组(1,2,1,1)T 1(1,1,1,1)T 2(1
10、,1, 1, 1)T 3(1, 1,1, 1)T 4(1, 1, 1,1)T 的线性组合的线性组合解解设存在四个数设存在四个数 ，使得，使得1234,xxxx11223344xxxx即即123411111211111111111111xxxx 123411111211111111111111xxxx 由向量的线性运算及向量相等的定义得由向量的线性运算及向量相等的定义得12341234123412341211xxxxxxxxxxxxxxxx 应用克莱姆法则解此方程组应用克莱姆法则解此方程组解得解得12345111,4444xxxx 所以所以123451114444. 向量、向量组与矩阵之间的联系，线性方向量、向量组与矩阵之间的联系，线性方程组的向量表示；线性组合与线性表示的概念；程组的向量表示；线性组合与线性表示的概念；. 线性相关与线性无关的概念；线性相关性线性相关与线性无关的概念；线性相关性在线性方程组中的应用；在线性方程组中的应用；（重点重点）
