1、1Linear Algebra2 第一章第一章 行行 列列 式式 Determinant在初等数学中在初等数学中, ,我们用代入消元法或加减消元我们用代入消元法或加减消元法求解二元和三元线性方程组，可以看出，线性法求解二元和三元线性方程组，可以看出，线性方程组的解完全由未知元的系数与常数项所确定方程组的解完全由未知元的系数与常数项所确定为了更清楚地表达线性方程组的解与未知元的系为了更清楚地表达线性方程组的解与未知元的系数和常数项的关系，我们在本章先引入二阶和三数和常数项的关系，我们在本章先引入二阶和三阶行列式的概念，并在二阶和三阶行列式的基础阶行列式的概念，并在二阶和三阶行列式的基础上，给出上
2、，给出 n 阶行列式的定义并讨论其性质，进而阶行列式的定义并讨论其性质，进而把把 n 阶行列式应用于解阶行列式应用于解 n 元线性方程组元线性方程组345一、二元线性方程组与二阶行列式一、二元线性方程组与二阶行列式用消元法解二元线性方程组用消元法解二元线性方程组 .,22221211212111bxaxabxaxa 1 2 22212, 1(2):xaa为消去11221221112212 2()a aa axbaa b，得，得类似地，消去类似地，消去1x,211211221122211abbaxaaaa ）（6时时，当当021122211 aaaa方程组的解为方程组的解为，2112221121
3、22211aaaabaabx ）（3.211222112112112aaaaabbax 其中分母由方程组的四个系数确定其中分母由方程组的四个系数确定. .把这四个数按把这四个数按其在方程组中的位置排成两行两列的数表其在方程组中的位置排成两行两列的数表, ,即有即有7 由四个数排成两行两列（横排称行、竖排由四个数排成两行两列（横排称行、竖排称列）的数表称列）的数表)4(22211211aaaa)5(42221121121122211aaaaaaaa行行列列式式，并并记记作作）所所确确定定的的二二阶阶称称为为数数表表（表表达达式式 即即.2112221122211211aaaaaaaaD 8二阶行
4、列式的计算二阶行列式的计算11a12a22a12a主对角线主对角线 副对角线副对角线2211aa .2112aa 对于二元线性方程组对于二元线性方程组 .,22221211212111bxaxabxaxa记记,22211211aaaaD 称为系数行列式称为系数行列式时时，当当021122211 aaaa方程组的解为方程组的解为，211222112122211aaaabaabx .211222112112112aaaaabbax D？9,22211211aaaaD 22211211aaaaD ,2221211ababD .,22221211212111bxaxabxaxa .,222212112
5、12111bxaxabxaxa.2211112babaD 则二元线性方程组的解为则二元线性方程组的解为:,11DDx .22DDx 注意注意：分子：分子Dj是用常数项是用常数项b1, b2替换替换D中的第中的第 j 列列. .10 . 12,12232121xxxx解解1223 D)4(3 , 07 112121 D,14 121232 D,21 DDx11 , 2714 DDx22 . 3721 该方法可以推广到该方法可以推广到n元线性方程组元线性方程组.11二、三阶行列式二、三阶行列式333231232221131211)5(aaaaaaaaa,3122133321123223113221
6、13312312332211)6(aaaaaaaaaaaaaaaaaa 333231232221131211aaaaaaaaa（6）式称为数表式称为数表（5）所确定的所确定的. .设有设有9个数排成个数排成3行行3列的数表列的数表12323122211211aaaaaa333231232221131211aaaaaaaaaD .312213332112322311aaaaaaaaa (1)(1)沙路法沙路法三阶行列式的计算三阶行列式的计算322113312312332211aaaaaaaaa D 13333231232221131211aaaaaaaaa332211aaa .322311aaa
7、 注意注意 红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三元素的乘积冠以负号元素的乘积冠以负号说明：说明：1. 对角线法则只适用于二阶与三阶行列式对角线法则只适用于二阶与三阶行列式322113aaa 312312aaa 312213aaa 332112aaa 14 2 2. . 三阶行列式包括三阶行列式包括3!3!项项, ,每一项都是位于不同行每一项都是位于不同行, ,不同列的三个元素的乘积不同列的三个元素的乘积, ,其中三项为正其中三项为正, ,三项为三项为负负. .2-43-122-4-21D 按对角线法则，有按对角线法则，有 D4)2()4()3(12)2(21
8、 )3(2)4()2()2(2411 24843264 .14 15. 094321112 xx求解方程求解方程方程左端方程左端1229184322 xxxxD, 652 xx3.2 xx或或由由x25x+6=0,得：得：16如果三元线性方程组如果三元线性方程组 ;,333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa的系数行列式的系数行列式333231232221131211aaaaaaaaaD , 0 利用三阶行列式求解三元线性方程组利用三阶行列式求解三元线性方程组则三元线性方程组有唯一解，解为则三元线性方程组有唯一解，解为: :,11DDx ,22DDx .33DDx Dj是用常数项替换是用常数项替换D中的第中的第 j 列列 (j=1,2,3). 17 二阶和三阶行列式是由解二元和三元线性方二阶和三阶行列式是由解二元和三元线性方程组引入的程组引入的. .对角线法则对角线法则二阶与三阶行列式的计算二阶与三阶行列式的计算.2112221122211211aaaaaaaa ,312213332112322311322113312312332211aaaaaaaaaaaaaaaaaa 333231232221131211aaaaaaaaa小结小结
