1、第 1 页，共 16 页期中数学试卷期中数学试卷题号一二三四总分得分一、选择题（本大题共 8 小题，共 16.0 分）1.在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（）A. B. C. D. 2.三角形的三边 a，b，c 满足 a2+b2-c2=0，则此三角形是（）A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 等边三角形3.如图， 用直尺和圆规作射线 OC， 使它平分AOB， 则ODCOEC 的理由是 （）A. SSSB. SASC. AASD. HL4.如图，ABCEDC，BCCD，点 A，D，E 在同一条直线上，ACB=20，则ADC 的度数是（）A. 55B.
2、60C. 65D. 705.如图，ABC 中，D 点在 BC 上，将 D 点分别以 AB、AC 为对称轴，画出对称点 E、F，并连接 AE、AF，根据图中标示的角度，EAF 的度数为（）A. 126B. 128C. 130D. 1326.下列条件不能确定两个三角形全等的是（）A. 三条边对应相等B. 两条边及其中一边所对的角对应相等C. 两边及其夹角对应相等D. 两个角及其中一角所对的边对应相等第 2 页，共 16 页7.如图所示，在PMN 中，P36，PMPN12，MQ 平分PMN 交 PN 于点 Q，延长 MN 至点 G，取 NGNQ，若 MQa，则 NG 的长是（ ）A. aB. 12a
3、C. 12+aD. 12+2a8.2019 年 10 月 1 日，中华人民共和国 70 年华诞之际，王梓涵和学校国旗护卫队的其他同学们赶到学校举行了简朴而降重的升旗仪式倾听着雄壮的国歌声，目送着五星红旗级缓升起，不禁心潮澎湃，爱国之情油然而生爱动脑筋的王梓涵设计了一个方案来测量学校旗杆的高度将升旗的绳子拉直到末端刚好接触地面，测得此时绳子末端距旗杆底端 2 米，然后将绳子末端拉直到距离旗杆 5m 处，测得此时绳子末端距离地面高度为 1m， 最后根据刚刚学习的勾股定理就能算出旗杆的高度为 （）A. 10mB. 11mC. 12mD. 13m二、填空题（本大题共 10 小题，共 20.0 分）9.
4、如图所示， 要测量池塘 AB 宽度， 在池塘外选取一点 P， 连接 AP，BP 并分别延长， 使 PC=PA，PD=PB，连接 CD测得 CD 长为 10m，则池塘宽 AB 为_m理由是_10.如图所示，已知 AF=DC，BCEF，若要用“ASA”去证ABCDEF，则需添加的条件是_11.RtABC 中，B=90，AB=9，BC=12，则斜边上的高为_12.如图， 在ABC 中， AB 的中垂线交 BC 于 D， AC 的中垂线交 BC 于 E， 若BAC=126，则EAD=_13.如图所示，在四边形 ABCD 中，CB=CD，ABC=ADC=90，BAC=35，则BCD 的度数为_ 度第 3
5、 页，共 16 页14.如图，点 A、B、C 分别是正方体展开图的小正方形的顶点，则BAC 的大小为_15.如图，ABC 中，C=90，AD 是角平分线，若 CD=2，则点 D 到 AB 的距离等于_16.若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为 48，则其顶角度数为_17.如图所示， 大正方形 ABCD 是由 4 个全等的直角三角形， 再加上中间的那个小正方形 EFGH 组成的若小正方形的边长是 17，每个直角三角 形的短的直角边长是 7， 则大正方形ABCD 的面积是_18.如图，在 RtABC 中，ACB=90，AB=7.5cm，AC=4.5cm，动点 P 从点 B 出发沿射线 BC 以
6、2cm/s 的速度移动，设运动的时间为 t 秒，当ABP 为等腰三角形时，t的取值为_三、计算题（本大题共 2 小题，共 16.0 分）19.如图，某人欲横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点 A 偏离欲到达地点 B相距 50 米，结果他在水中实际游的路程比河的宽度多10 米，求该河的宽度 BC 为多少米？第 4 页，共 16 页20.如图，四边形 ABCD 中，BAD=90，DCB=90，E、F 分别是 BD、AC 的中点（1）请你猜想 EF 与 AC 的位置关系，并给予证明；（2）当 AC=16，BD=20 时，求 EF 的长四、解答题（本大题共 6 小题，共 48.0 分）21.如图，
7、在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一个格点ABC（即三角形的顶点都在格点上）（1）ABC 的面积为_；（2）在图中作出ABC 关于直线 MN 的对称图形ABC；（3）在 MN 上找一点 P，使得 PB+PC 的距离最短，这个最短距离为_第 5 页，共 16 页22.作图题：在ABC 内找一点 P，使它到ABC 的两边的距离相等，并且到点 A、C 的距离也相等（写出作法，保留作图痕迹）23.已知：如图，1=2，AD=AB，AED=C，求证：ADEABC24.如图，在等边ABC 中，E， F 分别在边 AC、 BC 上，满足AE=CF，连接 BE，AF 交于点 P（1）求证：ABE
8、CAF；（2）求APB 的度数第 6 页，共 16 页25.法国数学家费尔马早在 17 世纪就研究过形如 x2+y2=z2的方程，显然，这个方程有无数组解我们把满足该方程的正整数的解（x，y，z）叫做勾股数，如（3，4，5）就是一组勾股数（1） 在研究勾股数时，古希腊的哲学家柏拉图曾指出：如果 n 表示大于 1 的整数，x=2n，y=n2-1，z=n2+1，那么，以 x，y，z 为三边的三角形为直角三角形（即 x，y，z 为勾股数），请你加以证明；（2）探索规律：观察下列各组数（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25），（9，40，41），直接写出第 6 个数组26.如图，长方形纸
9、片 ABCD 中，AB=8，将纸片折叠，使顶点 B 落在边 AD 上的 E 点处，折痕的一端 G 点在边 BC 上（1）如图 1，当折痕的另一端 F 在 AB 边上且 AE=4 时，求 AF 的长；（2）如图 2，当折痕的另一端 F 在 AD 边上且 BG=10 时，求证：EFG 是等腰三角形；求 AF 的长；（3）如图 3，当折痕的另一端 F 在 AD 边上，B 点的对应点 E 到 AD 的距离是 4，且 BG=5 时，求 AF 的长第 7 页，共 16 页答案和解析答案和解析1.【答案】D【解析】解：A、不是轴对称图形，故本选项错误；B、不是轴对称图形，故本选项错误；C、不是轴对称图形，故
10、本选项错误；D、是轴对称图形，故本选项正确故选：D根据轴对称图形的概念对各选项分析判断利用排除法求解本题考查了轴对称图形的概念轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合2.【答案】B【解析】解：a2+b2-c2=0，a2+b2=c2，此三角形是直角三角形故选：B根据 a2+b2-c2=0 得到 a2+b2=c2，根据勾股定理的逆定理即可得到结论此题主要考查了勾股定理逆定理，关键是掌握如果三角形的三边 a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形3.【答案】A【解析】解：由作图可知，OE=OD，DC=EC，在ODC 与OEC 中，ODCOEC（SSS），故选：A根据 SSS 证明三角
11、形全等即可此题考查全等三角形的判定，关键是根据三角形全等的判定方法解答4.【答案】C【解析】解：，ABCEDCDCE=ACB=20，BCD=ACE=90，AC=CE，ACD=90-20=70，点 A，D，E 在同一条直线上，ADC+EDC=180，EDC+E+DCE=180，ADC=E+20，ACE=90，AC=CE DAC+E=90，E=DAC=45 在ADC 中，ADC+DAC+DCA=180，即 45+70+ADC=180，解得：ADC=65，故选：C第 8 页，共 16 页根据全等三角形的性质和三角形内角和解答即可此题考查全等三角形的性质，关键是根据全等三角形的性质和三角形内角和解答5
12、.【答案】D【解析】解：连接 AD，D 点分别以 AB、AC 为对称轴，画出对称点 E、F，EAB=BAD，FAC=CAD，B=62，C=52，BAC=BAD+DAC=180-62-52=66，EAF=2BAC=132，故选：D连接 AD，利用轴对称的性质解答即可此题考查轴对称的性质，关键是利用轴对称的性质解答6.【答案】B【解析】解：A、根据“全等三角形的判定定理 SSS”可以证得三条边对应相等的两个三角形全等故本选项不符合题意；B、根据 SSA 不可以证得两个三角形全等故本选项符合题意；C、根据“全等三角形的判定定理 SAS”可以证得两边及其夹角对应相等的两个三角形全等故本选项不符合题意；
13、D、根据“全等三角形的判定定理 AAS”可以证得两个角及其中一角所对的边对应相等的两个三角形全等故本选项不符合题意；故选：B根据全等三角形的判定定理 SSS、SAS、AAS 对以下选项进行一一分析，并作出判断本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL注意：AAA、SSA 不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角7.【答案】B【解析】【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质， 熟练掌握等腰三角形的判定和性质定理是解决本题的关键根据等腰三角形的判定和性质即可得到结论【解答】解：在
14、PMN 中，P=36，PMPN，PMN=PNM=72，MQ 平分PMN，PMQ=36，P=PMQ，PQ=QM，NG=NQ，PM=PN=12，MQ=a，NG=QN=PN-PQ=12-a，故选：B8.【答案】B【解析】解：设旗杆高度为 x，可得 AC=AD=x，AB=（x-1）m，BC=5m根据勾股定理得，绳长的平方=x2+12，第 9 页，共 16 页右图，根据勾股定理得，绳长的平方=（x-1）2+52，x2+22=（x-1）2+52，解得 x=11故选：B根据题意画出示意图，设旗杆高度为 x，可得 AC=AD=x，AB=（x-1）m，BC=5m，在RtABC 中利用勾股定理可求出 x本题考查了
15、勾股定理的应用，解答本题的关键是构造直角三角形，构造直角三角形的一般方法就是作垂线9.【答案】10 全等三角形的对应边相等【解析】解：在APB 和DPC 中，APBDPC（SAS）；AB=CD=10 米（全等三角形的对应边相等）故池塘宽 AB 为 10m理由是全等三角形的对应边相等故答案为：10，全等三角形的对应边相等这种设计方案利用了“边角边”判断两个三角形全等，利用对应边相等，得 AB=CD方案的操作性强，需要测量的线段和角度在陆地一侧即可实施本题考查了全等三角形的应用；解答本题的关键是设计三角形全等，巧妙地借助两个三角形全等，寻找所求线段与已知线段之间的等量关系10.【答案】A=D【解析
16、】解：A=D，理由是：AF=CD，AF+FC=CD+FC，AC=DF，BCEF，BCA=EFD，在ABC 和DEF 中，ABCDEF（ASA）故答案为：A=D此题是一道开放型的题目，答案不唯一，只要添加一个条件符合全等三角形的判定定理即可本题考查了全等三角形的判定定理的应用， 能灵活运用全等三角形的判定定理进行推理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有 SAS，ASA，AAS，SSS11.【答案】第 10 页，共 16 页【解析】解：设 AC 边上的高为 h，在 RtABC 中，B=90，AB=9，BC=12，AC=15，ABBC=ACh，h=故答案为：设 AC 边上的高为 h，再根据三
17、角形的面积公式即可得出结论本题考查的是三角形的面积，熟知三角形的面积公式是解答此题的关键12.【答案】72【解析】解：AB 的中垂线交 BC 于 D，AC 的中垂线交 BC 与 E，BAC=126，B+C=180-126=54，AD=BD，AE=CE，B=BAD，C=CAE，BAD+CAE=54，DAE=BAC-（BAD+CAE）=126-54=72故答案为：72先根据三角形内角和定理求出B+C 的度数，再求出BAD+CAE 的度数，进而可得出结论本题考查的是线段垂直平分线的性质，熟知垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解答此题的关键13.【答案】110【解析】解：ABC=ADC=9
18、0，CB=CD，且 CA=CAABCADCBCA=DCABAC=35，ABC=90BCA=55BCD=2BCA=110故答案为：110利用 HL 判定ABCADC，得出BCA=DCA，利用已知求得BCA=55，所以BCD=2BCA=110此题主要考查全等三角形的判定，常用的方法有 AAS、ASA、SSS、SAS、HL，做题时注意灵活运用14.【答案】45【解析】【分析】本题考查了几何体的展开图与勾股定理，判断ABC 是等腰直角三角形是解决本题的关键，注意在格点三角形中利用勾股定理分别在格点三角形中，根据勾股定理即可得到AB，BC，AC 的长度，继而可得出BAC 的度数【解答】解：连接 BC第
19、11 页，共 16 页根据勾股定理可以得到：AB=BC=，AC=2，（）2+（）2=（2）2，即 AB2+BC2=AC2，ABC 是等腰直角三角形BAC=45故答案为 4515.【答案】2【解析】解：如图，过 D 作 DEAB 于 E，AD 是BAC 的平分线，C=90，DE=DC=2，即点 D 到 AB 的距离为 2故答案为：2直接根据角平分线的性质，即可得出点 D 到 AB 的距离本题考查的是角平分线的性质， 熟知角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解答此题的关键16.【答案】42 或 138【解析】解：如图 1，当等腰三角形的顶角是钝角时，腰上的高在外部根据三角形的一个外角等于与它不相
20、邻的两个内角的和，即可求得顶角是90+48=138；如图 1，当等腰三角形的顶角是锐角时，腰上的高在其内部，故顶角是 90-48=42故答案为：42 或 138分两种情况：等腰三角形的顶角是钝角或者等腰三角形的顶角是锐角，分别进行求解即可本题主要考查了等腰三角形的性质，注意此类题的两种情况同时考查了：直角三角形的两个锐角互余；三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和17.【答案】625【解析】解：小正方形的边长是 17，每个直角三角形的短的直角边长是 7，AE=AH+HE=7+17=24，BE=7，AEB=90，RtABE 中，AB2=AE2+BE2=242+72=625，即大正方形 AB
21、CD 的面积是 625，故答案为：625依据勾股定理即可得到 RtABE 中，AB2=AE2+BE2=242+72=625，进而得到大正方形第 12 页，共 16 页ABCD 的面积是 625本题主要考查了勾股定理以及正方形的面积，在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方如果直角三角形的两条直角边长分别是 a，b，斜边长为 c，那么 a2+b2=c218.【答案】5 或 6 或【解析】解：在RtABC 中，BC2=AB2-AC2=7.52-4.52=36，BC=6（cm）；当 AB=BP=7.5cm 时，如图 1，t=3.75（秒）；当 AB=AP=7.5cm 时，如
22、图 2，BP=2BC=12cm，t=6（秒）；当 BP=AP 时，如图 3，AP=BP=2tcm，CP=（4.5-2t）cm，AC=4.5cm，在 RtACP 中，AP2=AC2+CP2，所以 4t2=4.52+（4.5-2t）2，解得：t= ，综上所述：当ABP 为等腰三角形时，t=3.75 或 t=6 或 t= 故答案为：5 或 6 或 当ABP 为等腰三角形时，分三种情况：当 AB=BP 时；当 AB=AP 时；当 BP=AP时，分别求出 BP 的长度，继而可求得 t 值本题考查了勾股定理以及等腰三角形的知识，解答本题的关键是掌握勾股定理的应用，以及分情况讨论，注意不要漏解19.【答案】
23、解：根据题意可知 AB=50 米，AC=BC+10 米，设 BC=x，由勾股定理得 AC2=AB2+BC2，即（x+10）2=502+x2，解得 x=120答：该河的宽度 BC 为 120 米【解析】 根据题意可知ABC 为直角三角形， 根据勾股定理就可求出直角边 BC 的距离本题考查正确运用勾股定理善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键20.【答案】解：（1）EFAC理由如下：连接 AE、CE，BAD=90，E 为 BD 中点，AE= DB，第 13 页，共 16 页DCB=90，CE= BD，AE=CE，F 是 AC 中点，EFAC；（2）AC=16，BD=20，E、F 分别是边 AC
24、、BD 的中点，AE=CE=10，CF=8，EFACEF=6【解析】（1）结论：EFAC利用直角三角形斜边中线以及等腰三角形的性质即可解决问题（2）在 RtECF 中，利用勾股定理即可解决问题本题考查直角三角形斜边中线的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型21.【答案】5.5 5【解析】解：（1）ABC 的面积为：34- 13- 23- 14=12-1.5-3-2=5.5；故答案为：5.5；（2）如图所示，ABC即为所求；（3）如图所示，连接 BC，交 MN 于点 P，则点 P 即为所求BP+CP 的最小值等于 BC 的长，即=5
25、，故答案为：5（1）依据割补法进行计算，即可得到ABC 的面积；（2）依据轴对称的性质，即可得到ABC 关于直线 MN 的对称图形ABC；（3）依据轴对称的性质以及两点之间，线段最短，即可得到点 P 的位置本题主要考查了利用轴对称变换作图，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点22.【答案】 解：以 B 为圆心，以任意长为半径画弧，分别交 BC、AB 于 D、E 两点；分别以 D、E 为圆心，以大于 DE 为半径画圆，两圆相交于 F 点；连接 AF，则直线 AF 即为ABC 的角平分线；第 14 页，共 16 页连接 AC，分别
26、以 A、C 为圆心，以大于 AC 为半径画圆，两圆相交于 F、H 两点；连接 FH 交 BF 于点 M，则 M 点即为所求【解析】 先作出ABC 的角平分线，再连接 AC，作出 AC 的垂直平分线，两条平分线的交点即为所求点本题考查的是角平分线及线段垂直平分线的作法，需同学们熟练掌握23.【答案】证明：1=2，1+BAE=2+BAE，即DAB=BAC，在ADE 和ABC 中，ADEABC（AAS）【解析】根据 AAS 证明ADEABC本题考查了全等三角形的判定；熟练掌握三角形全等的判定是解决问题的关键24.【答案】（1）证明：ABC 为等边三角形，AB=AC，C=CAB=60，又AE=CF，在
27、ABE 和CAF 中，ABECAF（SAS）.（2）由（1）知ABECAF，ABE=CAF又APE=BPF=ABP+BAP，APE=BAP+CAF=60，APB=180-APE=120【解析】（1）根据 SAS 证得ABECAF；（2）由（1）中全等三角形的性质和外角的性质即可以得到答案本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质， 熟记等边三角形的性质得到三角形全等的条件是解题的关键25.【答案】（1）证明：x2+y2 =（2n）2+（n2-1）2 =4n2+n4-2n2+1 =n4+2n2+1 =（n2+1）2 =z2，第 15 页
28、，共 16 页即 x，y，z 为勾股数（2）3=21+1，4=212+21，5=212+21+1；5=22+1，12=222+22，13=222+22+1；7=23+1，24=232+23，25=232+23+1；9=24+1，40=242+24，41=242+24+1；11=25+1，60=252+25，61=252+25+1，则13=26+1，262+26=84，262+26+1=85，第 6 组勾股数是：（13，84，85）【解析】（1）根据勾股定理的逆定理，可得答案（2）先找出每组勾股数与其组数的关系，找出规律，再根据此规律进行解答本题考查了勾股数，利用了勾股数扩大相同的正整数倍仍然是
29、勾股数26.【答案】（1）解：纸片折叠后顶点 B 落在边 AD 上的 E 点处，BF=EF，AB=8，EF=8-AF，在 RtAEF 中，AE2+AF2=EF2，即 42+AF2=（8-AF）2，解得 AF=3；（2）证明：纸片折叠后顶点 B 落在边 AD 上的 E 点处，BGF=EGF，长方形纸片 ABCD 的边 ADBC，BGF=EFG，EGF=EFG，EF=EG；解：纸片折叠后顶点 B 落在边 AD 上的 E 点处，EG=BG=10，HE=AB=8，FH=AF，EF=EG=10，在 RtEFH 中，FH=6，AF=FH=6；（3）解：如图 3，设 EH 与 AD 相交于点 K，过点 E
30、作 MNCD 分别交 AD、BC 于 M、N，E 到 AD 的距离为 4，EM=4，EN=8-4=4，在 RtENG 中，GN=3，GEN+KEM=180-GEH=180-90=90，第 16 页，共 16 页GEN+NGE=180-90=90，KEM=NGE，又ENG=KME=90，GENEKM，=，即= ，解得 EK= ，KM= ，KH=EH-EK=8- = ，FKH=EKM，H=EMK=90，FKHEKM，=，即= ，解得 FH=1，AF=FH=1【解析】（1）根据翻折的性质可得 BF=EF，然后用 AF 表示出 EF，在 RtAEF 中，利用勾股定理列出方程求解即可；（2）根据翻折的性
31、质可得BGF=EGF，再根据两直线平行，内错角相等可得BGF=EFG，从而得到EGF=EFG，再根据等角对等边证明即可；根据翻折的性质可得 EG=BG，HE=AB，FH=AF，然后在 RtEFH 中，利用勾股定理列式计算即可得解；（3） 设 EH 与 AD 相交于点 K，过点 E 作 MNCD 分别交 AD、BC 于 M、N，然后求出EM、EN，在 RtENG 中，利用勾股定理列式求出 GN，再根据GEN 和EKM 相似，利用相似三角形对应边成比例列式求出 EK、 KM， 再求出 KH， 然后根据FKH 和EKM相似，利用相似三角形对应边成比例列式求解即可本题考查了翻折变换的性质，勾股定理的应用，相似三角形的判定与性质，熟记翻折前后两个图形能够重合得到相等的线段和角是解题的关键，本题难点在于（3）作辅助线构造出相似三角形
