1、24.1 圆的有关性质24.1.1圆第二十四章 圆目 录CONTENTS1 学习目标2 新课导入3 新课讲解4 课堂小结5 当堂小练6 拓展与延伸7 布置作业1.认识圆，理解圆的本质属性认识圆，理解圆的本质属性. （重点）（重点） 2.理解弦、弧、半圆、优弧、劣弧、同心圆、等圆等弧等理解弦、弧、半圆、优弧、劣弧、同心圆、等圆等弧等与圆有关的概念，并了解它们之间的区别和联系与圆有关的概念，并了解它们之间的区别和联系. （难点）（难点） 学习目标新课导入知识回顾小学阶段我们学习了圆的哪些性质？dr新课导入课时导入圆是常见的图形，生活中的许多物体都给我们以圆的形象(如图). 新课讲解知识点1 圆的定
2、义我们在小学已经对圆有了初步认识，如图，观察画圆的过程，你能说出圆是如何画出来的吗？新课讲解rOA 在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆以点O为圆心的圆，记作“ O”，读作“圆O”，如下图所示.固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径，一般用r表示 新课讲解知识点知识点1.圆上各点到定点（圆心O）的距离都等于 2.到定点的距离等于定长的点都在 圆心为O、半径为r的圆可以看成是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合OACErrrrrD定长r同一个圆上圆的集合定义从画圆的过程可以看出什么呢？新课讲解知识点知识点一是圆心，圆心确定其位置；二是半径，半径确定
3、其大小同心圆 等圆 半径相同，圆心不同圆心相同，半径不同确定一个圆的要素新课讲解知识点知识点 1 矩形ABCD的对角线AC、BD相交于O.求证：A、B、C、D在以O为圆心的同一圆上.ABCDO证明：四边形ABCD是矩形， AO=OC，OB=OD. 又AC=BD，OA=OB=OC=OD.A、B、C、D在以O为圆心，以OA为半径的圆上.例新课讲解练一练下列条件中，可以确定一个圆的是( )DA.半径为1 cm B.圆心在点O处C.半径是1 cm，且经过点P D.圆心在点O处，且直径是2 cm新课讲解知识点2 与圆有关的概念 COAB连接圆上任意两点的线段（如图中的AC）叫做弦.经过圆心的弦（如图中的
4、AB）叫做直径1 1. .弦和直径都是线段弦和直径都是线段. .2.2.直径是直径是弦，是弦，是经过圆心的特殊弦，是经过圆心的特殊弦，是圆中最长的弦，但弦不一定是直径圆中最长的弦，但弦不一定是直径. .新课讲解OABOAB圆中最长的弦是什么？为什么？OABCCDCDOABCOABCDOABCD直径是最长的弦新课讲解知识点知识点 圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆COAB 圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧以A、B为端点的弧记作 AB ，读作“圆弧AB”或“弧AB”( 小于半圆的弧叫做劣弧，如图中的AC ;( 大于半圆的弧叫做优弧，如图中的ABC.(新课讲解知识点知识
5、点COA能够重合的两个圆叫做等圆.CO1A在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧.等弧仅仅存在于同圆或者等圆中等弧仅仅存在于同圆或者等圆中. . 新课讲解练一练1.下列语句正确的有( )直径是弦；弦是直径；半径相等的两个半圆是等弧；长度相等的两条弧是等弧；半圆是弧，弧不一定是半圆.A.1个B.2个C.3个D.4个C1新课讲解2.在ABC中，C=90，求证：A，B，C三点在同一个圆上.ACBO2课堂小结圆定义旋转定义要画一个确定的圆，关键是确定圆心和半径集合定义同圆半径相等有关概念弦(直径)直径是圆中最长的弦弧半圆是特殊的弧劣弧半圆优弧同心圆等圆同圆等弧能够互相重合的两段弧当堂小练1.下列说法
6、正确的是( )A.直径是弦，弦是直径 B.半圆是弧，弧是半圆C.弦是圆上两点之间的部分 D.半径不是弦，直径是最长的弦D当堂小练2.下列说法中，不正确的是( )A.过圆心的弦是圆的直径B.等弧的长度一定相等C.周长相等的两个圆是等圆D.长度相等的两条弧是等弧D当堂小练3.一个圆的最大弦长是10cm，则此圆的半径是 cm.4.在同一平面内与已知点A的距离等于5cm的所有点所组成的图形是 .5.如右图，以AB为直径的半圆O上有两点D、E，ED与BA的延长线相交于点C，且有DC=OE，若C=20，则EOB的度数是 .5圆60当堂小练6.已知：如图，在ABC中，C=90，求证：A、B、C三点在同一个圆
7、上.证明：作AB的中点O，连接OC.ABC是直角三角形.OA=OB=OC= AB.A、B、C三点在同一个圆上.12拓展与延伸求证：直径是圆中最长的弦.证明：如图，在 O中，AB是 O的直径，半径是r.CD是不同于AB的任意一条弦.连接OC、OD，则OA+OB=OC+OD=2r,即AB=OC+OD.在OCD中，OC+ODCD，ABCD.即直径是圆中最长的弦.24.1 圆的有关性质24.1.1垂直于弦的直径第二十四章 圆目 录CONTENTS1 学习目标2 新课导入3 新课讲解4 课堂小结5 当堂小练6 拓展与延伸7 布置作业1. 进一步认识圆，了解圆是轴对称图形进一步认识圆，了解圆是轴对称图形.
8、2.理解垂直于弦的直径的性质和推论，并能应用它解决理解垂直于弦的直径的性质和推论，并能应用它解决一些简单的计算、证明和作图问题一些简单的计算、证明和作图问题. （重点）（重点）3.灵活运用垂径定理解决有关圆的问题灵活运用垂径定理解决有关圆的问题. （难点）（难点） 学习目标新课导入知识回顾连接圆上任意两点的线段叫做弦.(2)圆心为O、半径为r的圆可以看成是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合1.圆的定义(1)在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点所形成的图形叫做圆2.弦的定义3.弧的定义圆上任意两点间的部分叫做弧.新课导入课时导入你能通过折叠的方式找到圆形纸片的对称轴
9、吗？在折的过程中你有何发现？什么是轴对称图形？我们学过哪些轴对称图形？新课讲解知识点1 圆的对称性 用纸剪一个圆，沿着圆的任意一条直径所在的直线对折，重复做几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？发现：圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴新课讲解圆有无数条对称轴，每一条圆有无数条对称轴，每一条对称轴都是直径所在的直线对称轴都是直径所在的直线. .圆有哪些对称轴？O新课讲解 1 求证：圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴. 导引：要证明圆是轴对称图形，只需证明圆上任意一点关于直径所在直线(对称轴)的对称点也在圆上.例新课讲解证明：如图，设CD是O的任意一条直径，A
10、为O上点C,D以外的任意 一点.过点A作AACD，交O于点A，垂足为M，连接OA，OA. 在OAA中，OA=OA, OAA是等腰三角形. 又AACD，AM=MA. 即CD是AA的垂直平分线. 这就是说，对于圆上任意一点A， 在圆上都有关于直线CD的对称点A，因此O关于直线CD对称. 即圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴. 新课讲解知识点2 垂径定理 2 如图，AB是 O的一条弦，直径CDAB，垂足为E.你能发现图中有哪些相等的线段和劣弧? 为什么?答：线段: AE=BE弧: AC=BC, AD=BD)(理由如下：把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，点A与点B重合，A
11、E与BE重合，AC和BC，AD与BD重合(OABDEC例新课讲解垂径定理*OABCDE垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧. CD是直径，CDAB， AE=BE，( AC =BC，(AD =BD.推导格式：新课讲解知识点知识点垂径定理的几个基本图形：ABOCDEABOEDABO DCABOC新课讲解知识点知识点如果把垂径定理（垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧）结论与题设交换一条，命题是真命题吗？过圆心 ；垂直于弦；平分弦（非直径）；平分弦所对的优弧 ； 平分弦所对的劣弧.在一个圆中，一条直线只要满足上面五个条件中的任意两个，都可以推出其他三个结论(知二推三).新课讲解知识点
12、知识点“不是直径”这个条件能去掉吗？如果不能，请举出反例.平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.垂径定理的推论：OABCD新课讲解知识点知识点 3 赵州桥（如图）是我国隋代建造的石拱桥，距今约有1 400年的历史，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶.它的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为37 m，拱高（弧的中点到弦的距离）为7.23 m，求赵州桥主桥拱的半径（结果保留小数点后一位）.分析：解决此问题的关键是根据赵州桥的实物图画出几何图形.例新课讲解 解：如图，用AB表示主桥拱，设AB所在圆的圆心为O，半径为R.(在RtOAD中，由勾股定理，得OA2=AD2+OD2，即
13、R2=18.52+（R-7.23）2. 解得R27.3.因此，赵州桥的主桥拱半径约为27.3 m.经过圆心O作弦AB的垂线OC，D为垂足，OC与AB相交于点C，(连接OA，根据垂径定理，得D是AB的中点，C是AB的中点，CD就是拱高.(由题设可知AB=37，CD=7.23，所以 AD= AB= 37=18.5，OD=OC-CD=R-7.23.1212 新课讲解在圆中有关弦长a，半径r，弦心距d（圆心到弦的距离），弓形高h的计算题时，常常通过连半径或作弦心距构造直角三角形，利用垂径定理和勾股定理求解.涉及垂径定理时辅助线的添加方法OABC新课讲解弦a，弦心距d，弓形高h，半径r之间有以下关系：弓
14、形中重要数量关系2222ard d+h=r ABC DOhrd2a新课讲解练一练如图，AB是圆O的弦，半径OCAB于点D，若圆O的半径为5，AB=8，则CD的长是( )A.2B.3C.4D.5A分析：课堂小结垂径定理内容推论辅助线一条直线满足:过圆心;垂直于弦; 平分弦（不是直径）; 平分弦所对的优弧;平分弦所对的劣弧.满足其中两个条件就可以推出其他三个结论（“知二推三”）垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧两条辅助线：连半径，作弦心距构造直角三角形，利用勾股定理计算或建立方程.基本图形及变式图形当堂小练1.如图， O的弦AB垂直于半径OC，垂足为D，则下列结论中错误的是( )A.AO
15、D=BOD B.AD=BD C.OD=DC D.AC=BC2.半径为5的 O内有一点P，且OP=4，则过点P的最长弦的长是 ，最短弦的长是 .C106当堂小练3.如图，一条公路的转弯处是一段圆弧AB，点O是这段弧的圆心，AB300m，C是AB上一点，OCAB，垂足为D，CD45m，求这段弯路的半径.解：设半径为r.OCAB，AD=BD= AB=150m.在RtODB中，OD2+BD2=OB2，即(r-45)2+1502=r2, 解得r=272.5m.因此，这段弯路的半径为272.5m.12当堂小练4.如图，两个圆都以点O为圆心.求证：AC=BD.证明：过O作OEAB，垂足为E，连接OA,OC,
16、OD,OB,则AE=BE，CE=DE，AE-CE=BE-DE，即AC=BD.拓展与延伸 如图，AB和CD分别是 O上的两条弦，圆心O到它们的垂线段分别是OM和ON，如果ABCD，OM和ON的大小有什么关系？为什么？拓展与延伸解：OMON.理由如下：连接OA、OC.则OAOC.ONCD, OMAB,又ABCD,CNAM, CN2AM2.在RtOCN和RtOAM中，OM2OA2-AM2,ON2OC2-CN2,OM2ON2. OMON.11,.22CNCD AMAB24.1 圆的有关性质24.1.3弧、弦、圆心角第二十四章 圆目 录CONTENTS1 学习目标2 新课导入3 新课讲解4 课堂小结5
17、当堂小练6 拓展与延伸7 布置作业1.理解圆心角的概念，掌握圆的中心对称性和旋转不变性理解圆心角的概念，掌握圆的中心对称性和旋转不变性. 2.探索圆心角、弧、弦之间关系定理并利用其解决探索圆心角、弧、弦之间关系定理并利用其解决相关问题相关问题. （重点）（重点） 3.理解圆心角、弧、弦之间关系定理中的理解圆心角、弧、弦之间关系定理中的“在同圆或等圆在同圆或等圆”条件的意义条件的意义. （难点）（难点） 学习目标新课导入知识回顾连接圆上任意两点的线段叫做弦. 1.弦的概念：2.弧的概念：新课导入课时导入圆是中心对称图形，圆具有旋转不变性.OAB将圆绕圆心旋转180后，得到的图形与原图形重合吗？由
18、此你得到什么结论呢？新课讲解知识点1 圆心角圆心角：我们把顶点在圆心的角叫做圆心角.OBAAOB为圆心角 圆心角AOB所对的弦为AB，所对的弧为AB.新课讲解判别下列各图中的角是不是圆心角，并说明理由.新课讲解知识点知识点任意给圆心角，对应出现三个量：圆心角弧弦OBA疑问：这三个量之间会有什么关系呢？新课讲解练一练1.下面四个图形中的角，是圆心角的是() D1新课讲解2. 如图，AB为 O的弦，A40，则AB所对的圆 心角等于() A40 B80 C100 D120C2新课讲解知识点2 圆心角与所对的弧、弦之间的关系 1 如图，将圆心角AOB绕圆心O旋转到A1OB1的位置，你能发现哪些等量关系
19、？为什么？OABA1B1 AOB=A1OB1AB=A1B1 ，AB=A1B1 .例新课讲解 如图， O与 O1是等圆，AOB =A1OB1=60，请问上述结论还成立吗？为什么?OABA1O1B1新课讲解知识点知识点在同一个圆中，如果圆心角相等，那么它们所对的弧相等，所对的弦相等AOB=CODAB=CD AB=CDABODC弧、弦与圆心角的关系定理新课讲解知识点知识点定理“在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等”中，可否把条件“在同圆或等圆中”去掉？为什么？ABODC新课讲解在同一个圆中，如果弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等弧、弦与圆心角关系定理的推论在同一个圆中
20、，如果弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧相等新课讲解如果弧相等那么弧所对的圆心角相等弧所对的弦相等如果弦相等那么弦所对应的圆心角相等弦所对应的优弧相等弦所对应的劣弧相等如果圆心角相等那么圆心角所对的弧相等圆心角所对的弦相等在同圆或等圆中题设结论新课讲解证明： AB=ACABC是等腰三角形.又ACB=60， ABC是等边三角形 , AB=BC=CA. AOBBOCAOC. 2 如图，在 O中， AB=AC ，ACB=60，求证AOB=BOC=AOC.ABCO AB=AC， 例新课讲解练一练 =35BOCCODDOE ，75 .解：AOBCDE课堂小结圆心角弦、弧、圆心角的关系定理在同圆或
21、等圆中顶点在圆心的角应 用 提 醒要注意前提条件；要灵活转化.圆心角相等弧相等弦相等当堂小练1.如图，AB是 O的直径，BC=CD=DE,AOE=72，则COD的度数是( )A36 B72 C108 D482.如图，已知AB是 O的直径，C、D是半圆上两个三等分点，则COD= .A60 当堂小练3.如图，在 O中，AB=AC，C=75，求A的度数.解：AB=AC，AB=AC.B=C=75，A=180-B -C=30.当堂小练4.如图，在 O中，AD=BC，求证：AB=CD.证明：AD=BC.AD=BC.AD+AC=BC+AC,即CD=AB.AB=CD.拓展与延伸如图，在 O中，弦AB与CD相交
22、于点E，AB=CD(1)求证：AEC DEB；(2)点B与点C关于直线OE对称吗？试说明理由拓展与延伸(1)证明：连接AD.AB=CD, AB=CD. AB-AD=CD-AD.即BD=AC. BD=AC.在ADB和DAC中，ADB DAC(SSS).ABDDCA.在AEC和DEB中，DCAABD,AECDEB,AC=BD,AEC DEB(AAS). ,BDACABCDADDA 拓展与延伸(2)解：对称.理由：连接OB、OC.则OB=OC.由(1)知BE=CE，连接BC，则OE垂直平分BC.点B与点C关于直线OE对称.24.1 圆的有关性质24.1.4圆周角第二十四章 圆目 录CONTENTS1
23、 学习目标2 新课导入3 新课讲解4 课堂小结5 当堂小练6 拓展与延伸7 布置作业学习目标1.理解圆周角的概念，会叙述并证明圆周角定理理解圆周角的概念，会叙述并证明圆周角定理. 2.理解圆周角与圆心角的关系并能运用圆周角定理解决理解圆周角与圆心角的关系并能运用圆周角定理解决简单的几何问题简单的几何问题. （重难点）（重难点） 3.理解掌握圆周角定理的推论及其证明过程和运用理解掌握圆周角定理的推论及其证明过程和运用. （难点）（难点） 新课导入知识回顾什么叫圆心角？指出图中的圆心角？ 顶点在圆心的角叫圆心角， AOB.新课导入课时导入如图，ACB的顶点和边有哪些特点? ACB的顶点在O上，角的
24、两边分别交O于B，A两点.新课讲解知识点1 圆周角定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角. .（两个条件必须同时具备，缺一不可）ABCO新课讲解顶点在圆内顶点在圆外圆周角圆心角COABCOBCABABCOABCOBAA想一想：下列各图中的BAC是否为圆周角,并简述理由.（2）（1）（3）（5）（6）C（4）边AC没有与圆相交圆周角O新课讲解知识点2 圆周角定理及其推论想一想：1.图中圆心角BOC与圆周角BAC存在怎样的数量关系.12BACBOC2.是不是所有的圆心角和圆周角都符合这个数量关系呢？需要满足什么样的条件呢？ABCO新课讲
25、解（1）当圆心O在BAC的一边上时（特殊情形）OA=OCA= CBOC= A+ C12BACBOCABCO新课讲解OABDOAC（2）圆心O在BAC的内部时新课讲解CODO（3）当圆心O在BAC的外部时新课讲解圆周角定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.推论1 同弧或等弧所对的圆周角相等.想一想：怎样证明等弧所对的圆周角相等呢？通过一道题目来探讨一下.A1A2A3ABCO新课讲解 如图，点A、B、C、D在同一个圆上，AC、BD为四边形ABCD的对角线. 若AB=AD，则1与2是否相等，为什么？ 解：1=2.新课讲解知识点知识点推论2半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90的圆周角所对
26、的弦是直径.想一想：如图，点A，B，C，D在同一个圆上，AC，BD为四边形ABCD的对角线.若AC是半圆，ADC = ，ABC = .9090若AC是直径，新课讲解 1 如图， O的直径AC为10cm，弦AD为6cm.（1）求DC的长；（2）若ADC的平分线交 O于B, 求AB、BC的长B解：(1)AC是直径， ADC=90.在Rt ADC 中，22221068;DCACAD例新课讲解在RtABC中，AB2+BC2=AC2，(2) AC是直径, ABC=90. BD平分ADC,ADB=CDB. 又ACB=ADB ,BAC=BDC . BAC=ACB, AB=BC.22105 2(cm).22A
27、BBCACB新课讲解知识点3 圆内接四边形及其性质 如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆.圆内接多边形新课讲解 2 如图，四边形ABCD为 O的内接四边形， O为四边形ABCD的外接圆. 猜想：A与C, B与D之间的关为 . A+ C=180，B+ D=180圆圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补.证明：连接OB，OD.A所对的弧为 ，C所对的弧为 ，又 和 所对的圆周角的和是周角，A+C=3602=180.同理B+D=180.圆内接四边形的性质例新课讲解知识点知识点CODBAADCB18
28、0，EDCBDCE180.ADCE. 3 如图，DCE是圆内接四边形ABCD的一个外角，A与DCE的大小有何关系？例新课讲解 4 如图，AB为 O的直径，CFAB于E，交 O于D，AF交 O于G. 求证：FGDADC.证明：四边形ACDG内接于 O，FGDACD.又AB为 O的直径，CFAB于E，AB垂直平分CD，ACAD，ADCACD，FGDADC.例课堂小结圆周角圆周角定义圆周角定理圆周角定理的推论在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的一半；相等的圆周角所对的弧相等.90的圆周角所对的弦是直径.1.顶点在圆上，2.两边都与圆相交的角（二者必须同时具备）.圆周角
29、与直径的关系半圆或直径所对的圆周角都相等，都等于90（直角）课堂小结圆内接四边形的角的“三种关系”：1.对角互补，若四边形ABCD为 O的内接四边形，则AC180，BD180.2.四个内角的和是360，若四边形ABCD为 O 的内接四边形，则ABCD360.3.任一外角与其相邻的内角的对角相等，简称圆内接四边形的外角等于其内对角当堂小练1.下列四个图中，x是圆周角的是( )C当堂小练2.如图， O中，弦AD平行于弦BC，AOC=78，求DAB的度数解：ADBC， DAB=B. 又B= AOC=39. DAB=39.12当堂小练3.如图， O的半径为1，A,B,C是 O上的三个点，且ACB=45
30、，求弦AB的长.解：连接OA、OB.ACB=45,BOA=2ACB=90.又OA=OB, AOB是等腰直角三角形.222222.ABOAOBOAOA当堂小练4.如图，已知EF是 O的直径，把A为60的直角三角板ABC的一条直角边BC放在直线EF上，斜边AB与 O交于点P，点B与点O重合；将三角形ABC沿OE方向平移，使得点B与点E重合为止设POF=x，则x的取值范围是 30 x60拓展与延伸 如图，BC为半圆O的直径，点F是BC上一动点(点F不与B、C重合)，A是BF上的中点，设FBC=，ACB=(1)当=50时，求的度数;(2)猜想与之间的关系，并给予证明.C拓展与延伸解：(1)连接OA，交
31、BF于点M.A是BF上的中点，OA垂直平分BF.BOM=90-B=90-=40.C= AOB= 40=20,即=20.(2)=45- .证明：由(1)知BOM90-.又C AOB, (90-)45- .1212121212CM1224.2 点和圆、直线和圆的位置关系24.2.1点和圆的位置关系第二十四章 圆目 录CONTENTS1 学习目标2 新课导入3 新课讲解4 课堂小结5 当堂小练6 拓展与延伸7 布置作业1.理解并掌握点和圆的三种位置关系理解并掌握点和圆的三种位置关系. （难点）（难点）2.理解不在同一直线上的三个点确定一个圆及其运用理解不在同一直线上的三个点确定一个圆及其运用. （重
32、点）（重点） 3.了解三角形的外接圆和三角形外心的概念了解三角形的外接圆和三角形外心的概念.4.了解反证法的证明思想了解反证法的证明思想. 学习目标新课导入知识回顾圆心为O、半径为r的圆可以看成是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合圆的集合定义新课导入课时导入问题： 观察下列图片.是一个小朋友玩飞镖游戏时在靶子上留下的小孔，这些小孔和这些同心圆是什么关系呢？新课讲解知识点1 点和圆的位置关系问题1：观察下图中点和圆的位置关系有哪几种？. .o o. .C. . . . B. .A. .点与圆的位置关系有三种：点在圆内（如点B），点在圆上（如点C），点在圆外（如点A）.新课讲解dr问题2：如何
33、用数量关系来表示点和圆的位置关系呢？点在圆内rOP点在圆上rOP点在圆外rOPddd注：“ ”读作“等价于”，它表示从符号的左边可以推出 ，从右边可以推出 .右边左边新课讲解知识点知识点 1 画出由所有到已知点O的距离大于或等于2cm并且小于或等于3cm的点组成的图形.O2cm3cm解：如图所示阴影部分就是所求图形.例新课讲解练一练 (湘西州) O的半径为5 cm，点A到圆心O的距 离OA3 cm，则点A与圆O的位置关系为() A点A在圆上 B点A在圆内 C点A在圆外 D无法确定B新课讲解知识点2 确定圆的条件如何过一个点A作一个圆？过点A可以作多少个圆？ 答：任取一点为圆心，以圆心到点A的距
34、离为半径，画圆，可作无数个圆.A新课讲解如何过两点A、B作一个圆？过两点可以作多少个圆？ AB分析：作线段AB的垂直平分线，以其上任意一点为圆心，以这点到点A或点B的距离为半径画圆即.答：可作无数个圆.新课讲解知识点知识点过不在同一直线上的三点能不能确定一个圆？ABCDEGFo 经过B,C两点的圆的圆心在线段BC的垂直平分线上. 经过A,B,C三点的圆的圆心应该在这两条垂直平分线的交点O的位置. 经过A,B两点的圆的圆心在线段AB的垂直平分线上.不在同一直线上的三个点确定一个圆不在同一直线上的三个点确定一个圆. .新课讲解知识点知识点活学巧记活学巧记过一点可作无数圆；过一点可作无数圆；过两点可
35、作圆无数，过两点可作圆无数，圆心全在一直线；圆心全在一直线；过三点能作一个圆，过三点能作一个圆，前提是三点不共线前提是三点不共线. .新课讲解练一练如图，点A，B，C在同一条直线上，点D在直线AB外，过这4个点中的任意3个点画圆，能画圆的个数是( )A.1B.2C.3D.4C新课讲解知识点3 三角形的外接圆已知ABC，用直尺与圆规作出过A、B、C三点的圆.ABCO新课讲解1. 外接圆与内接三角形 O叫做ABC的外接圆， ABC叫做 O的内接三角形.到三角形三个顶点的距离相等.2.三角形的外心OABC三角形外接圆的圆心叫做三角形的外心.作图： 三角形三边垂直平分线的交点.性质：一个圆可以有无数个
36、内接三角形，但是一个三角形只有一个外接圆.定义：新课讲解三角形外接圆的作法：1.作三角形任意两边的垂直平分线，确定其交点；2.以该交点为圆心，交点到三个顶点中任意一点的距离为半径作圆即可.新课讲解分别画一个锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，再画出它们的外接圆，观察并叙述各三角形与它的外心的位置关系. 锐角三角形的外心位于三角形内；直角三角形的外心位于直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心位于三角形外.ABCOABCCABOO新课讲解练一练如图， O是ABC的外接圆，B=60， O的半径为4.求AC的长.新课讲解知识点4 反证法经过同一条直线上的三个点能作出一个圆吗？l1l2ABCP如图，假设
37、过同一条直线l上三点A，B，C可以作一个圆，设这个圆的圆心为P，那么点P既在线段AB的垂直平分线l1上，又在线段BC的垂直平分线l2上，即点P为l1与l2的交点，而l1l，l2l 这与我们以前学过的“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”相矛盾，所以过同一条直线上的三点不能作圆l新课讲解反证法的定义先假设命题的结论不成立，然后经过推理得出矛盾(常与公理、定理、定义或已知条件相矛盾)，由矛盾判定假设不正确，从而得到原命题成立，这种方法叫做反证法反证法的一般步骤 假设命题的结论不成立， 从这个假设出发，经过推理，得出矛盾， 由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确.新课讲解反证法适用情形：命
38、题的结论的表述为“肯定”或“否定”，且用直接法证较困难；证明一个定理的逆命题，用直接法证较困难使用反证法的前提条件是“结论”的反面可列举出来新课讲解练一练如图，我们要证明：如果ABCD,那么1=2.假设12，过点O作直线AB，使EOB=2.根据“同位角相等，两直线平行”，可得ABCD.这样，过点O就有两条直线AB，AB都平行于CD，这与平行公理“过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线平行”矛盾.这说明假设12不正确，从而1=2.用反证法证明平行线的性质“两直线平行，同位角相等”. 证明：课堂小结作圆过一点可以作无数个圆过两点可以作无数个圆定理：过不在同一直线上的三个点确定一个圆一个三角形的外接
39、圆是唯一的反证法的证明思想：反设、归谬、结论当堂小练1.判断下列说法是否正确：(1) 任意的一个三角形一定有一个外接圆.( )(2) 任意一个圆有且只有一个内接三角形.( )(3) 经过三点一定可以确定一个圆.( )(4) 三角形的外心到三角形各顶点的距离相等.( )当堂小练2. O的半径为10cm，A、B、C三点到圆心的距离分别为8cm、10cm、12cm，则点A、B、C与 O的位置关系是：点A在 ；点B在 ；点C在 3.若一个三角形的外心在一边上，则此三角形的形状为( )A锐角三角形 B直角三角形 C钝角三角形 D等腰三角形圆内圆上圆外B当堂小练4.爆破时，导火索燃烧的速度是每秒0.9cm
40、，点导火索的人需要跑到离爆破点120m以外的安全区域，已知这个导火索的长度为18cm，点导火索的人以每秒6.5m的速度撤离是否安全？为什么？解：由题意可知，导火索燃烧完需180.9=20(S).又点导火索的人以每秒6.5m的速度撤离，则导火索燃烧完时撤离的最大距离为6.520=130(m).130120，安全.拓展与延伸 某地出土一明代残破圆形瓷盘，如图所示为复制该瓷盘要确定其圆心和半径,请在图中用直尺和圆规画出瓷盘的圆心解：(1)在圆形瓷盘的边缘选 A、B、C三点；(2)连接AB、BC；(3)分别作出AB、BC的垂直平分线；(4)两垂直平分线的交点就是瓷盘的圆心.ABC第二十四章 圆24.2
41、 点和圆、直线和圆的位置关系24.2.2直线和圆的位置关系课时1 直线和圆的位置关系目 录CONTENTS1 学习目标2 新课导入3 新课讲解4 课堂小结5 当堂小练6 拓展与延伸7 布置作业1.理解直线和圆的三种位置关系时圆心到直线的距离理解直线和圆的三种位置关系时圆心到直线的距离d和圆的半径和圆的半径r之间的数量关系之间的数量关系. （难点）（难点）2.会运用直线和圆的三种位置关系的性质与判定会运用直线和圆的三种位置关系的性质与判定进行有关计算进行有关计算. （重点）（重点） 学习目标新课导入知识回顾作圆过一点可以作无数个圆过两点可以作无数个圆定理：过不在同一直线上的三个点确定一个圆一个三
42、角形的外接圆是唯一的反证法的证明思想：反设、归谬、结论新课导入课时导入如果我们把太阳看成一个圆，地平线看成一条直线，那你能根据直线和圆的公共点个数想象一下，直线和圆有几种位置关系吗？新课讲解知识点1 直线与圆的位置关系的判定如图，在纸上画一条直线 l，把钥匙环看作一个圆.在纸上移动钥匙环，你能发现在移动钥匙环的过程中，它与直线 l 的公共点个数的变化情况吗？新课讲解可以发现，直线和圆有三种位置关系，如图：新课讲解知识点知识点如图(1)，直线和圆有两个公共点，这时我们说这条直线和圆相交，这条直线叫做圆的割线.如图(2)，直线和圆只有一个公共点，这时我们说这条直线和圆相切，这条直线叫做圆的切线，这
43、个点叫做切点.如图(3)，直线和圆没有公共点，这时我们说这条直线和圆相离.新课讲解知识点知识点直线与圆的位置关系 图形 公共点个数 公共点名称 直线名称2交点1切点切线0相离相切相交位置关系公共点个数ABC割线新课讲解知识点知识点怎样用d (圆心与直线的距离)来判别直线与圆的位置关系呢？Od新课讲解知识点知识点直线和圆相交d r位置关系数量关系用圆心O到直线的距离d与圆的半径r的关系来区分直线与圆的位置关系：rdo公共点个数rdoABrdoC新课讲解知识点知识点1.判断直线和圆的位置关系有两种方法: 将圆心到直线的距离与圆的半径相比较； 根据直线与圆的交点的个数判定.2.直线与圆相切是一种特殊
44、的位置关系，此时直线与圆只有一个交点.一个圆有无数条切线，每一条切线与圆都只有一个切点.新课讲解 1 已知圆的直径为13 cm，设直线和圆心的距离为d.(1) 若d =4.5 cm，则直线与圆 ，直线与圆有 个公共点；(2) 若d =6.5 cm，则直线与圆 ，直线与圆有 个公共点；(3) 若d = 8 cm，则直线与圆 ，直线与圆有 个公共点.相交2相切1 相离0例新课讲解练一练1. 已知 O的半径为5 cm，圆心O到直线 l 的距离为5cm，则直线 l 与 O的位置关系为( )BA.相交B.相切C.相离D.无法确定1新课讲解 2. 如图，RtABC中，C=90，AC=3 cm，BC=4 c
45、m，判断以点C为圆心，下列 r 为半径的 C与AB的位置关系：(1) r =2 cm； (2) r=2.4 cm； (3) r =3 cm.BCAD2课堂小结直线与圆的位置关系定义性质判定相离相切相交公共点的个数d与r的数量关系定义法性 质 法相离：dr相切：d=r相交：d r ： 相 离d = r ： 相 切d r相切：d=r相交：d r ： 相 离d = r ： 相 切d r ： 相 交相离：0个相切：1个相交：2个新课导入课时导入转动雨伞时飞出的雨滴，用砂轮磨刀时擦出的火花，都是沿着什么方向飞出的？新课讲解知识点1 切线的判定ABC已知圆O上一点A，怎样根据圆的切线定义过点A作圆O的切线
46、？(1) 圆心O到直线AB的距离和圆的半径有什么数量关系?(2) 二者位置有什么关系？为什么？O新课讲解经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.OA为 O的半径BC OA于ABC为 O的切线ABC切线的判定定理应用格式O应用应用该定理时，两个条件缺一不可：该定理时，两个条件缺一不可：一是经过半径的外端；二是垂直于这条半径一是经过半径的外端；二是垂直于这条半径. .新课讲解知识点知识点O.lAO.lABAOl(1)(2)(3) 1 判断下面的直线是不是圆的切线：例新课讲解知识点知识点判断一条直线是一个圆的切线有三个方法：1.定义法：与圆有唯一公共点的直线是圆的切线；2.数量关系法：圆心
47、到这条直线的距离等于半径，即d=r；3.判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.AlOlrdAOlAO新课讲解知识点知识点(1) 有交点，连半径，证垂直；(2) 无交点，作垂直，证半径.证切线时辅助线的添加方法：新课讲解知识点知识点 2 如图，点D在 O的直径AB的延长线上，点C在 O上，AC=CD，D = 30.求证：CD是 O的切线.解：如图，连接OC.因为AC=CD，D=30,所以A= D = 30.因为OA=OC，所以ACO=A = 30，所以COD=60，所以OCD=90，即OCCD.所以CD是 O的切线.例新课讲解练一练下列命题中，真命题是() A垂直于半径的直线
48、是圆的切线 B经过半径外端的直线是圆的切线 C经过切点的直线是圆的切线 D圆心到某直线的距离等于半径，那么这条直线是圆的切线D新课讲解知识点2 切线的性质如图，如果直线l是 O 的切线，点A为切点，那么OA与l垂直吗？AlO直线 l 是 O 的切线，A是切点，直线 l OA.应用格式切线的性质定理圆的切线垂直于过切点的半径.新课讲解(1) 假设AB与CD不垂直，过点O作一条直线垂直于CD,垂足为M.(2) 则OMOA，即圆心到直线CD的距离小于 O的半径，因此，CD与 O相交.这与已知条件“直线与 O相切”相矛盾.CDBOA(3) 所以AB与CD垂直.M证法1：反证法. 性质定理的证明新课讲解
49、知识点知识点CDOA证法2：构造法.作出小 O的同心圆大 O，CD切小 O于点A，且A点为CD的中点，连接OA，根据垂径定理，则CD OA，即圆的切线垂直于经过切点的半径新课讲解知识点知识点切线的性质定理的推论(1) 经过圆心且垂直于切线的直线必过切点；(2) 经过切点且垂直于切线的直线必过圆心.新课讲解知识点知识点 3 如图，AB是 O的直径，MN是 O的切线，切点为N，如果MNB =52，那么NOA的度数为( ) AA.76B.56C.54D.52分析：MN是 O的切线，ONNM，ONM=90，ONB=90-MNB=90-52=38，ON=OB，B=ONB=38 NOA=2B=76例新课讲
50、解练一练1. 如图，AB是 O的直径，AC是 O的切线，连接OC交 O于点D，连接BD，C=40，则ABD的度数是( )BA.30B.25C.20D.15分析：AC是 O的切线，OAC=90，C=40，AOC=50，OB=OD，ABD=BDO，ABD+BDO=AOC，ABD=25.1新课讲解2. 如图，在RtABC中，ABC=90 ，BAC的平分线交BC于点D.以D为圆心，DB为半径作 D.求证：AC与 D相切.解：过点D作DEAC于点E，如图所示.因为ABC=90，所以ABBC，又AD平分BAC，DEAC，所以DE=DB，所以AC与 D相切.E2课堂小结切 线 的判定方法定义法数量关系法判定
