1、24.1 圆的有关性质第二十四章第二十四章 圆圆24.1.1 圆【学习目标】【学习目标】1理解圆、弧、等弧、弦、等圆、半圆、直径等理解圆、弧、等弧、弦、等圆、半圆、直径等有关概念有关概念2能初步应用能初步应用“同圆的半径相等同圆的半径相等”及及“圆心是任圆心是任一直径的中点一直径的中点”进行简单的证明和计算进行简单的证明和计算【学习重点】【学习重点】圆、等圆、弧、等弧、弦、半圆、直径等有关概念圆、等圆、弧、等弧、弦、半圆、直径等有关概念的理解的理解【学习难点】【学习难点】圆、等圆、弧、等弧、弦、半圆、直径等有关概念圆、等圆、弧、等弧、弦、半圆、直径等有关概念的区别与联系的区别与联系观察下列生活
2、中的图片，找一找你所熟悉的图形.观察与思考观察与思考骑车运动骑车运动看了此画看了此画, ,你有何想法你有何想法? ?思考：车轮为什么做成圆形?做成三角形、正方形可以吗？情景：一些学生正在做投圈游戏，他们呈“一”字排开这样的队形对每一人都公平吗？你认为他们应当排成什么样的队形？探究圆的概念合作探究合作探究甲甲丙丙乙乙丁丁为了使游戏公平， 在目标周围围成一个圆排队，因为圆上各点到圆心的距离都等于半径.rOAu圆的旋转定义 在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点所形成的图形叫做圆以点O为圆心的圆，记作“ O”，读作“圆O”.u有关概念固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径，一
3、般用r表示 问题 观察画圆的过程，你能说出圆是如何画出来的吗？一是圆心，圆心确定其位置；二是半径，半径确定其大小同心圆 等圆 半径相同，圆心不同圆心相同，半径不同u确定一个圆的要素圆可以看成圆可以看成到定点距离等于定长的到定点距离等于定长的所有点组成的所有点组成的. .满足什么条件的？满足什么条件的？有间隙吗？有间隙吗？圆也可以看成是由多个点组成的到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上吗？（1）圆上各点到定点（圆心O）的距离都等于 （2）到定点的距离等于定长的点都在 圆心为O、半径为r的圆可以看成是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合O ACErrrrrD定长r同一个圆上u圆的集合定义想一想
4、：从画圆的过程可以看出什么呢？圆的基本性质o同圆半径相等.要点归纳要点归纳例1 矩形ABCD的对角线AC、BD相交于O.求证：A、B、C、D在以O为圆心的同一圆上.ABCDO证明：四边形ABCD是矩形， AO=OC，OB=OD. 又AC=BD，OA=OB=OC=OD.A、B、C、D在以O为圆心，以OA为半径的圆上.典例精析典例精析 u弦: COAB连接圆上任意两点的线段（如图中的AC）叫做弦.经过圆心的弦（如图中的AB）叫做直径 1.弦和直径都是线段.2.直径是弦,是经过圆心的特殊弦，是圆中最长的弦，但弦不一定是直径.注意圆的有关概念OABOAB探索：探索：圆中最长的弦是什么？为什么？圆中最长
5、的弦是什么？为什么？OABCCDCDOABCOABCDOABCD【发现发现】直径是最长的弦直径是最长的弦u弧: COAB圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆劣弧与优弧 COAB半圆圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简弧以A、B为端点的弧记作 AB ，读作“圆弧AB”或“弧AB”(小于半圆的弧叫做劣弧.如图中的AC ;(大于半圆的弧叫做优弧.如图中的ABC.(u等圆: COA能够重合的两个圆叫做等圆.CO1A容易看出： 等圆是两个半径相等的圆.u等弧: 在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧.结论：等弧仅仅存在于同圆或者等圆中. 可见这两条弧可见这两条弧不可能不可能完全重合
6、完全重合实际上这两条弧弯曲程度不同实际上这两条弧弯曲程度不同“等弧等弧”要区别于要区别于“长度相长度相等的弧等的弧” 如图，如果AB和CD的拉直长度都是10cm，平移并调整小圆的位置，是否能使这两条弧完全重合？DCAB想一想：长度相等的弧是等弧吗？例2 如图.(1)请写出以点A为端点的优弧及劣弧;(2)请写出以点A为端点的弦及直径. 弦AF,AB,AC.其中弦AB又是直径.（3）请任选一条弦，写出这条弦所对的弧.答案不唯一，如：弦AF,它所对的弧是 .ABCEFDO劣弧：优弧：AF,(AD,(AC,(AE.(AFE,(AFC,(ADE,(ADC.(AF(1.根据圆的定义，“圆”指的是“圆周”，
7、而不是“圆面”2.直径是圆中最长的弦.COAB连接OC,在AOC中，根据三角形三边关系有AO+OCAC,而AB=2OA,AO=OC,所以ABAC.要点归纳要点归纳例3 如图，MN是半圆O的直径，正方形ABCD的顶点A、D在半圆上，顶点B、C在直径MN上，求证：OB=OC.连OA,OD即可，同圆的半径相等.10？x2x22210 x+=即(2x)在RtABO中，222ABBOAO+=算一算：设在例3中， O的半径为10，则正方形ABCD的边长为 .4 5xxxx变式：如图，在扇形MON中， ，半径MO=NO=10，,正方形ABCD的顶点B、C、D在半径上，顶点A在圆弧上，求正方形ABCD的边长.
8、=45MON解：连结OA. ABCD为正方形DC=CO设OC=x,则AB=BC=DC=OC=x又OA=OM=10在RtABO中,222ABBOAO+=222(2 )10 x+=即(x)2 5ABx=1.填空：（1）_是圆中最长的弦，它是_的2倍（2）图中有 条直径， 条非直径的弦， 圆中以A为一个端点的优弧有 条， 劣弧有 条 直径半径一二四四2.一点和O上的最近点距离为4cm,最远的距离为10cm, 则这个圆的半径是 .7cm或3cmABCDOFE当堂练习当堂练习3.判断下列说法的正误，并说明理由或举反例.(1)弦是直径；(2)半圆是弧；(3)过圆心的线段是直径；(4)过圆心的直线是直径；(
9、5)半圆是最长的弧；(6)直径是最长的弦；(7)长度相等的弧是等弧. 4 一根5m长的绳子，一端栓在柱子上，另一端栓着一只羊，请画出羊的活动区域 5m圆定 义旋 转 定 义要画一个确定的圆 ， 关 键 是确定圆心和半径集 合 定 义同圆半径相等有关概念弦（直径）直径是圆中最 长 的 弦弧半圆是特殊的弧劣 弧半 圆优 弧同心圆等圆同圆等弧能够互相重合的两段弧当堂小结当堂小结24.1 圆的有关性质第二十四章 圆24.1.2 垂直于弦的直径【学习目标】【学习目标】1探索并了解圆的对称性和垂径定理探索并了解圆的对称性和垂径定理2能运用垂径定理解决几何证明、计算问题，并能运用垂径定理解决几何证明、计算问
10、题，并会解决一些实际问题会解决一些实际问题【学习重点】【学习重点】垂径定理、推论及其应用垂径定理、推论及其应用【学习难点】【学习难点】发现并证明垂径定理发现并证明垂径定理你能通过折叠的方式找到圆形纸片的对称轴吗？在折的过程中你有何发现？圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴 导入新课导入新课圆的对称轴（1）圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？你能找到多少条对称轴？（2）你是怎么得出结论的？圆的对称性：圆是轴对称图形，任意一条直径所在直线都是圆的对称轴.用折叠的方法O说一说问题：如图,AB是 O的一条弦, 直径CDAB, 垂足为E.你能发现图中有那些相等的线段和劣弧? 为什么
11、?线段: AE=BE弧: AC=BC, AD=BD 理由如下：把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，点A与点B重合，AE与BE重合，AC和BC,AD与BD重合OABDEC垂径定理及其推论u垂径定理OABCDE垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧. CD是直径，CDAB， AE=BE, AC =BC,AD =BD.u推导格式：温馨提示：垂径定理是圆中一个重要的定理,三种语言要相互转化,形成整体,才能运用自如.归纳总结归纳总结想一想：下列图形是否具备垂径定理的条件？如果不是，请说明为什么？是不是，因为没有垂直是不是，因为CD没有过圆心ABOCDEOABCABOEABDCOE垂径定
12、理的几个基本图形：ABOCDEABOEDABO DCABOC归纳总结归纳总结 如果把垂径定理（垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧）结论与题设交换一条，命题是真命题吗？过圆心 ；垂直于弦； 平分弦；平分弦所对的优弧 ； 平分弦所对的劣弧.上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论吗？思考探索思考探索 DOABEC举例证明其中一种组合方法已知:求证： CD CD是直径是直径 CDAB CDAB，垂足为，垂足为E E AE=BE AE=BE AC=BC AC=BC AD=BD AD=BD 证明猜想证明猜想如图，AB是 O的一条弦，作直径CD，使AE=BE.（1）CDAB吗？为什么？
13、（2）OABCDEAC与BC相等吗？ AD与BD相等吗？为什么？（2）由垂径定理可得AC =BC， AD =BD.（1）连接AO,BO,则AO=BO,又AE=BE，AOEBOE（SSS），AEO=BEO=90，CDAB.典例精析典例精析思考：“不是直径”这个条件能去掉吗？如果不能，请举出反例. 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的弧.u垂径定理的推论OABCD特别说明：圆的两条直径是互相平分的.归纳总结归纳总结例1 如图，OEAB于E，若 O的半径为10cm,OE=6cm,则AB= cm.OABE解析：连接OA， OEAB， AB=2AE=16cm.16一垂径定理及其推论的计算2
14、2221068AEOAOEcm.典例精析典例精析例2 如图， O的弦AB8cm ，直径CEAB于D，DC2cm，求半径OC的长.OABECD解：连接OA， CEAB于D，118 4(cm)22ADAB 设OC=xcm，则OD=x-2,根据勾股定理，得解得 x=5，即半径OC的长为5cm.x2=42+(x-2)2，例3：已知： O中弦ABCD,求证：ACBD.MCDABON证明：作直径MNAB.ABCD，MNCD.则AMBM，CMDM（垂直平分弦的直径平分弦所对的弧） AMCMBMDMACBD 解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的弦心距，或作垂直于弦的直径，连结半径等辅助线，为应用垂径定理创造条
15、件.归纳总结归纳总结试一试：根据刚刚所学，你能利用垂径定理求出引入中赵州桥主桥拱半径的问题吗?垂径定理的实际应用解：如图，用AB表示主桥拱，设AB所在圆的圆心为O，半径为R.经过圆心O作弦AB的垂线OC垂足为D，与弧AB交于点C，则D是AB的中点，C是弧AB的中点，CD就是拱高. AB=37m，CD=7.23m.解得R27.3（m）. .即主桥拱半径约为27.3m.=18.52+(R-7.23)2 AD= AB=18.5m，OD=OC-CD=R-7.23.222OAADODQ，练一练：如图a、b,一弓形弦长为 cm，弓形所在的圆的半径为7cm，则弓形的高为_. 64C DCBOADOAB图a图
16、b2cm或12cm 在圆中有关弦长a,半径r, 弦心距d（圆心到弦的距离），弓形高h的计算题时，常常通过连半径或作弦心距构造直角三角形，利用垂径定理和勾股定理求解.涉及垂径定理时辅助线的添加方法弦a，弦心距d，弓形高h，半径r之间有以下关系：弓形中重要数量关系ABC DOhrd2222ard d+h=r OABC归纳总结归纳总结1.已知 O中，弦AB=8cm，圆心到AB的距离为3cm，则此圆的半径为 .5cm2. O的直径AB=20cm, BAC=30则弦AC= . 10 3 cm3.（分类讨论题）已知 O的半径为10cm，弦MNEF,且MN=12cm,EF=16cm,则弦MN和EF之间的距离
17、为 .14cm或2cm当堂练习当堂练习4.如图，在 O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，ODAB于D，OEAC于E，求证四边形ADOE是正方形DOABCE证明：证明：四边形四边形ADOE为矩形，为矩形，又又AC=AB AE=AD 四边形四边形ADOE为正方形为正方形. 5.已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点。你认为AC和BD有什么关系？为什么？证明：过O作OEAB，垂足为E， 则AEBE，CEDE. AECEBEDE 即 ACBD.ACDBOE注意：解决有关弦的问题，常过圆心作弦的弦心距，或作垂直于弦的直径，它是一种常用辅助线的添法6.如图，一条公路的
18、转弯处是一段圆弧(即图中弧CD,点O是弧CD的圆心),其中CD=600m,E为弧CD上的一点,且OECD，垂足为F,EF=90m.求这段弯路的半径.解:连接OC. OCDEF,CDOE 11600300(m).22CFCD222,OCCFOF22230090.RR设这段弯路的半径为Rm,则OF=(R-90)m.根据勾股定理，得解得R=545.这段弯路的半径约为545m.如图， O的直径为10，弦AB=8,P为AB上的一个动点，那么OP长的取值范围 .3cmOP5cmBAOP拓展提升拓展提升垂径定理内 容推 论辅助线一条直线满足:过圆心;垂直于弦; 平分弦（不是直径）; 平分弦所对的优弧;平分弦
19、所对的劣弧.满足其中两个条件就可以推出其它三个结论（“知二推三”）垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧两 条 辅 助 线 ：连半径，作弦心距构造Rt利用勾股定理计算或建立方程.基本图形及变 式 图 形课堂小结课堂小结24.1 圆的有关性质第二十四章 圆24.1.3 24.1.3 弧、弦、圆心角【学习目标】【学习目标】1能识别圆心角能识别圆心角2探索并掌握弧、弦、圆心角的关系，了解圆的中心对称探索并掌握弧、弦、圆心角的关系，了解圆的中心对称性和旋转不变性性和旋转不变性3能用弧、弦、圆心角的关系解决圆中的计算题、证明能用弧、弦、圆心角的关系解决圆中的计算题、证明题题【学习重点】【学习重点】
20、探索圆心角、弧、弦之间关系定理并利用其解决相关问探索圆心角、弧、弦之间关系定理并利用其解决相关问题题【学习难点】【学习难点】圆心角、弧、弦之间关系定理中的圆心角、弧、弦之间关系定理中的“在同圆或等圆在同圆或等圆”条件条件的理解及定理的证明的理解及定理的证明 熊宝宝要过生日了！要把蛋糕平均分成四块，你会分吗？情境引入情境引入 .OAB180观察：1.将圆绕圆心旋转180后，得到的图形与原图形重合吗？由此你得到什么结论呢？圆心角的定义2.把圆绕圆心旋转任意一个角度呢？仍与原来的圆重合吗？O OB A OB A观察在O中，这些角有什么共同特点？ 顶点在圆心上ABO OOABM 1.圆心角：顶点在圆心
21、的角,叫圆心角，如AOB .3.圆心角 AOB所对的弦为AB.任意给圆心角，对应出现三个量：圆心角弧 2.圆心角 AOB 所对的弧为 AB.弦概念学习概念学习判一判：判别下列各图中的角是不是圆心角，并说明理由.圆内角圆外角圆周角（后面会学到）圆心角u在同圆中探究在 O中，如果AOB= COD，那么，AB与CD，弦AB与弦CD有怎样的数量关系？COABD圆心角、弧、弦之间的关系 由圆的旋转不变性，我们发现： 在 O中，如果如果AOB= COD， 那么，那么， ，弦弦AB=弦弦CDABCD OAB 如图，在等圆中，如果AOBCO D，你发现的等量关系是否依然成立？为什么？ O CDu在等圆中探究通
22、过平移和旋转将两个等圆变成同一个圆，我们发现：如果AOB=COD，那么，AB=CD，弦AB=弦CD. 在同一个圆中，如果圆心角相等，那么它们所对的弧相等，所对的弦相等AOB=CODAB=CD AB=CDABODC弧、弦与圆心角的关系定理要点归纳要点归纳想一想：定理“在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等”中，可否把条件“在同圆或等圆中”去掉？为什么？不可以，如图.ABODC如果弧相等那么弧所对的圆心角相等弧所对的弦相等如果弦相等那么弦所对应的圆心角相等弦所对应的优弧相等弦所对应的劣弧相等如果圆心角相等那么圆心角所对的弧相等圆心角所对的弦相等在同圆或等圆中题设结论 在同一个圆中
23、，如果弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等弧、弦与圆心角关系定理的推论 在同一个圆中，如果弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧相等要点归纳要点归纳关系结构图 抢答题1.等弦所对的弧相等. （ ）2.等弧所对的弦相等. （ ）3.圆心角相等，所对的弦相等. ( ） 4. 如图，AB 是 O 的直径， BC = CD = DE ， COD=35，AOE = AOBCDE75 =35BOCCODDOE ，75 .解： 例1 如图，AB是 O 的直径， COD=35，求AOE 的度数AOBCDE关系定理及推论的运用=BC CD DE，=BC CD DE，典例精析典例精析证明： AB=A
24、CABC是等腰三角形.又ACB=60， ABC是等边三角形 , AB=BC=CA. AOBBOCAOC.例2 如图，在 O中， AB=AC ,ACB=60,求证：AOB=BOC=AOC.ABCO 温馨提示：本题告诉我们，弧、圆心角、弦灵活转化是解题的关键.AB=CD， 如图，AB、CD是 O的两条弦（1）如果AB=CD，那么_，_（2）如果 ，那么_，_（3）如果AOB=COD，那么_，_CABDEFOAB= =CDAB=CDAB=CD(AOB= CODAOB= CODAB=CD(AB=CD(填一填填一填（4）如果AB=CD，OEAB于E，OFCD于F，OE与OF相等吗？为什么？CABDEFO
25、,11,.22.,RtRt.OEAB OFCDAEAB CFCDABCDAECFOAOCAOECOFOEOF 又,又 解：OE=OF.理由如下：1如果两个圆心角相等，那么 （ ）A这两个圆心角所对的弦相等B这两个圆心角所对的弧相等C这两个圆心角所对的弦的弦心距相等D以上说法都不对D当堂练习当堂练习60 3.在同圆中，圆心角AOB=2COD,则AB与CD的关系是（ ） AA. AB=2CD B. ABCD C. ABCD,即CD2AB. CDABCEABCDDEABCDEO能力提升能力提升圆心角圆心角相等弧相等弦相等弦、弧、圆心角的 关 系 定 理在同圆或等圆中概念：顶点在圆心的角应用提醒要注意
26、前提条件；要灵活转化.课堂小结课堂小结24.1 圆的有关性质第二十四章 圆24.1.4 圆周角【学习目标】【学习目标】1学习圆周角、圆内接多边形的概念，圆周角定理学习圆周角、圆内接多边形的概念，圆周角定理及推论及推论2掌握圆周角与圆心角、直径的关系，能用分类讨掌握圆周角与圆心角、直径的关系，能用分类讨论的思想证明圆周角定理论的思想证明圆周角定理3会用圆周角定理及推论进行证明和计算会用圆周角定理及推论进行证明和计算【学习重点】【学习重点】圆周角的定理及应用圆周角的定理及应用【学习难点】【学习难点】运用分类讨论的数学思想证明圆周角定理运用分类讨论的数学思想证明圆周角定理 问题1 什么叫圆心角？指出
27、图中的圆心角？ 顶点在圆心的角叫圆心角, BOC.问题2 如图，BAC的顶点和边有哪些特点?A BAC的顶点在O上，角的两边分别交O于B、C两点.复习引入复习引入CAEDB思考： 图中过球门A、C两点画圆，球员射中球门的难易程度与他所处的位置B、D、E有关（张开的角度大小）、仅从数学的角度考虑，球员应选择从哪一点的位置射门更有利？顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角.（两个条件必须同时具备，缺一不可）圆周角的定义COABCOBCOBAACOABCOBCOBAA判一判：下列各图中的BAC是否为圆周角并简述理由.（2）（1）（3）（5）（6）顶点不在圆上顶点不在圆上边AC没有和圆相交如图，
28、连接BO,CO,得圆心角BOC.试猜想BAC与BOC存在怎样的数量关系.12BACBOC圆周角定理及其推论测量与猜测圆心O O 在BACBAC的 内部圆心O在BAC的一边上圆心O在BAC的外部推导与论证n圆心O在BAC的一边上（特殊情形）OA=OCA= CBOC= A+ C12BACBOCOABDOACDOABCDn圆心O在BAC的内部OACDOABDBADBOD12DACDOC12BACBADDACBODDOCBOC11()22 DACDOC12OABDCOADCOABDCOADOABDCOADOABDn圆心O在BAC的外部u圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于该弧它所对的圆心角的一半；圆周角
29、定理要点归纳要点归纳问题1 如图，OB，OC都是 O的半径，点A ,D 是上任意两点，连接AB，AC，BD，CD.BAC与BDC相等吗？请说明理由.DQBACBOC1,21,2BDCBOCBAC=BDC相等互动探究互动探究DABOCEF问题2 如图，若 A与B相等吗？ ，CDEF Q，CDEF 相等.CODEOF Q，ACODBEOF1122.AB 想一想：(1)反过来，若A=B，那么 成立吗？CDEF (2)若CD是直径，你能求出A的度数吗？圆周角定理的推论同弧或等弧所对的圆周角相等.A1A2A3知识归纳知识归纳 试一试：1.如图，点A、B、C、D在O上，点A与点D在点B、C所在直线的同侧，
30、BAC=35.(1)BOC= ，理由是 ;(2)BDC= ，理由是 .7035同弧所对的圆周角相等一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半(1)完成下列填空： 1= . 2= . 3= . 5= .2.如图，点A、B、C、D在同一个圆上，AC、BD为四边形ABCD的对角线.4867ABCDO1(2345678如图，线段AB是O的直径，点C是 O上的任意一点（除点A、B外），那么，ABC就是直径AB所对的圆周角，想一想，ACB会是怎样的角？OACB解：OA=OB=OC，AOC、BOC都是等腰三角形. OAC=OCA，OBC=OCB.又 OAC+OBC+ACB=180. ACB=OCA+OCB=
31、1802=90.想一想想一想圆周角和直径的关系u圆周角和直径的关系： 半圆或直径所对的圆周角都相等，都等于90.知识要点知识要点例1 如图，AB是O的直径，A=80.求ABC的大小.OCAB解：AB是O的直径，ACB=90（直径所对的圆周角等于90.）ABC=180-A-ACB =180-90-80=10.典例精析典例精析例2:如图，分别求出图中x的大小.60 x3020 x解：(1)同弧所对圆周角相等，x=60.ADBEC(2)连接BF，F同弧所对圆周角相等，ABF=D=20，FBC=E=30.x=ABF+FBC=50. 例3：如图， O的直径AC为10cm，弦AD为6cm.（1）求DC的长
32、；（2）若ADC的平分线交 O于B, 求AB、BC的长B解：(1)AC是直径， ADC=90.在RtADC中，22221068;DCACAD在RtABC中，AB2+BC2=AC2，(2) AC是直径, ABC=90. BD平分ADC, ADB=CDB.又ACB=ADB ,BAC=BDC . BAC=ACB, AB=BC.22105 2(cm).22ABBCACB解答圆周角有关问题时，若题中出现“直径”这个条件，则考虑构造直角三角形来求解. 如图，BD是 O的直径，CBD30，则A的度数为()A30 B45 C60 D75解析：BD是 O的直径，BCD90.CBD30，D60，AD60.故选C.
33、方法总结：在圆中，如果有直径，一般要找直径所对的圆周角，构造直角三角形解题C练一练练一练例4:如图,AB是 O的直径,弦CD交AB于点P,ACD=60,ADC=70.求APC的度数. OADCPB解:连接BC,则ACB=90,DCBACBACD9060=30.又BAD=DCB=30,APC=BADADC3070100. 如果一个多边形所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆.圆内接四边形 如图，四边形ABCD为 O的内接四边形， O为四边形ABCD的外接圆. 猜想：A与C, B与D之间的关系为： A+ C=180，B+ D=180想一想：如何证明你的猜想
34、呢？合作探究合作探究 弧BCD和弧BAD所对的圆心角的和是周角，AC180，同理BD180，推论：圆的内接四边形的对角互补.证明猜想证明猜想CODBA 弧BCD和弧BAD所对的圆心角的和是周角，AC180，同理BD180，E延长BC到点E，有BCDDCE180.ADCE.图中A与DCE的大小有何关系？想一想想一想推论：圆的内接四边形的任何一个外角都等于它的内对角.CODBAE归纳总结归纳总结1四边形ABCD是 O的内接四边形，且A=110，B=80，则C= ，D= .2 O的内接四边形ABCD中，A B C=1 2 3 ，则D= . 7010090练一练练一练例5：如图，AB为 O的直径，CF
35、AB于E，交 O于D，AF交 O于G. 求证：FGDADC.证明：四边形ACDG内接于 O，FGDACD.又AB为 O的直径，CFAB于E，AB垂直平分CD，ACAD，ADCACD，FGDADC.方法总结：圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据如图，在 O的内接四边形ABCD中，BOD120，那么BCD是()A120 B100C80 D60解析：BOD120，A60，C18060120，故选A.A练一练练一练解：设A，B，C的度数分别对于2x，3x，6x，例6 ：在圆内接四边形ABCD中， A，B，C的度数之比是236.求这个四边形各角的度数.四边形ABCD内接于圆， A+ C=B+D=
36、180，2x+6x=180， x=22.5. A=45， B=67.5， C =135， D=180-67.5=112.5.1.判断（1）同一个圆中等弧所对的圆周角相等 （ ）（2）相等的弦所对的圆周角也相等 （ ）（3）同弦所对的圆周角相等 （ ）当堂练习当堂练习2.已知ABC的三个顶点在 O上,BAC=50,ABC=47, 则AOB= BACO1663.如图，已知BD是 O的直径， O的弦ACBD于点E，若AOD=60，则DBC的度数为（ ） A.30 B.40 C.50 D.60A【规律方法】解决圆周角和圆心角的计算和证明问题,要准确找出同弧所对的圆周角和圆心角,然后再灵活运用圆周角定理
37、.ABCDO4.如图，四边形ABCD内接于 O,如果BOD=130,则BCD的度数是（ ） A 115 B 130 C 65 D 505.如图，等边三角形ABC内接于 O，P是AB上的一点，则APB= .ABCPC1206.如图，已知圆心角AOB=100,则圆周角ACB= ，ADB= .DAOCB130507.如图，ABC的顶点A、B、C都在 O上，C30 ，AB2，则 O的半径是 .CABO解：连接OA、OBC=30 ，AOB=60 又OA=OB ，AOB是等边三角形OA=OB=AB=2，即半径为2.2AOBCACB=2BAC证明：8. 如图，OA，OB，OC都是 O的半径，AOB=2BOC
38、. 求证：ACB=2BAC.QACBAOB1,21,2BACBOCAOB=2BOC，9.船在航行过程中，船长通过测定角数来确定是否遇到暗礁，如图，A、B表示灯塔，暗礁分布在经过A、B两点的一个圆形区域内，优弧AB上任一点C都是有触礁危险的临界点，ACB就是“危险角”，当船位于安全区域时，与“危险角”有怎样的大小关系？解：当船位于安全区域时，即船位于暗礁区域外（即 O外） ，与两个灯塔的夹角小于“危险角”.如图，在ABC中，AB=AC,以AB为直径的圆交BC于D,交AC于E,(1)BD与CD的大小有什么关系?为什么?(2)求证： . .BDDEABCDEAB是圆的直径，点D在圆上，ADB=90，
39、ADBC，AB=AC， BD=CD.AD平分顶角BAC，即BAD=CAD，（同圆或等圆中相等的圆周角所对弧相等）.解:BD=CD.理由是:连接AD,BDDE拓展提升拓展提升圆心角类比圆周角圆周角定义圆周角定理圆周角定理的推论在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的一半；相等的圆周角所对的弧相等.1.90的圆周角所对的弦是直径；2.圆内接四边形的对角互补.1.顶点在圆上，2.两边都与圆相交的角（二者必须同时具备）圆周角与直线的关系半圆或直径所对的圆周角都相等，都等于90（直角）.课堂小结课堂小结24.2 点和圆、直线和圆的位置关系24.2.1 点和圆的位置关系第二十四
40、章 圆【学习目标】【学习目标】1弄清点和圆的三种位置关系及数量间的关系弄清点和圆的三种位置关系及数量间的关系2探究过点画圆的过程，掌握过不在同一直线上探究过点画圆的过程，掌握过不在同一直线上三点画圆的方法三点画圆的方法3了解运用反证法证明命题的思想方法了解运用反证法证明命题的思想方法【学习重点】【学习重点】过不在同一条直线上的三点作圆过不在同一条直线上的三点作圆【学习难点】【学习难点】探究过三点作圆的过程，明白过同一直线上的三点探究过三点作圆的过程，明白过同一直线上的三点不能作圆的道理不能作圆的道理 你玩过飞镖吗？它的靶子是由一些圆组成的，你知道击中靶子上不同位置的成绩是如何计算的吗？想一想情
41、境引入情境引入问题1：观察下图中点和圆的位置关系有哪几种？. .o o. .C. . . . . B. . .A. .点与圆的位置关系有三种：点在圆内，点在圆上，点在圆外.点和圆的位置关系问题探究问题探究问题2：设点到圆心的距离为d,圆的半径为r，量一量在点和圆三种不同位置关系时，d与r有怎样的数量关系？点P在 O内 点P在 O上 点P在 O外 d d drPdPrd Prd r r = r反过来，由d与r的数量关系，怎样判定点与圆的位置关系呢？1.O的半径为10cm，A、B、C三点到圆心的距离分别为8cm、10cm、12cm，则点A、B、C与 O的位置关系是：点A在 ；点B在 ；点C在 .
42、圆内圆上圆外2.圆心为O的两个同心圆，半径分别为1和2，若OP= ，则点P在（ ）A.大圆内 B.小圆内 C.小圆外 D.大圆内，小圆外3oD练一练练一练点和圆的位置关系rPdPrd PrdRrP点点P在在 O内内 dr 点点P在在圆环圆环内内 rdR 数形结合：数形结合：位置关系位置关系数量关系数量关系要点归纳要点归纳例1：如图，已知矩形ABCD的边AB=3，AD=4.（1）以A为圆心，4为半径作 A，则点B、C、D与 A的位置关系如何？解：AD=4=r，故D点在 A上 AB=3r，故C点在 A外典例精析典例精析（2）若以A点为圆心作 A，使B、C、D三点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆
43、外，求 A的半径r的取值范围？（直接写出答案）3r60,B60,C60A+B+C180三角形的内角和为180度ABC中至少有一个内角小于或等于60.A+B+C60+60+60=1801.如图，请找出图中圆的圆心，并写出你找圆心的方法?ABCO当堂练习当堂练习 2.正方形ABCD的边长为2cm，以A为圆心2cm为半径作 A，则点B在 A ；点C在 A ；点D在 A .上外上3. O的半径r为5，O为原点，点P的坐标为（3,4），则点P与 O的位置关系为 （ ）A.在 O内 B.在 O上 C.在 O外 D.在 O上或 O外 B 4.判断：（1）经过三点一定可以作圆 （ ）（2）三角形的外心就是这个
44、三角形两边垂直平分线的交点 （ ）（3）三角形的外心到三边的距离相等 （ ）（4）等腰三角形的外心一定在这个三角形内 （ ）5.已知：在RtABC中，C=90，AC=6，BC=8，则它的外接圆半径= . 56.如图，ABC内接于 O，若OAB20，则C的度数是_707.如图，在55正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是（ ）MRQABCPA点P B点Q C点R D点MB8.小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图所示，为配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是（ ）A第块 B第块 C第块 D第块D12cm3cm9.画出由所有到已知点
45、的距离大于或等于2cm并且小于或等于3cm的点组成的图形.O10.如图，已知 RtABC 中 ，若 AC=12cm，BC=5cm，求的外接圆半径. 90CCBAO解：设RtABC 的外接圆的外心为O，连接OC，则OA=OB=OC.O是斜边AB 的中点.C=900，AC=12cm，BC=5cm.AB=13cm，OA=6.5cm.故RtABC 的外接圆半径为6.5cm.能力拓展：一个812米的长方形草地，现要安装自动喷水装置,这种装置喷水的半径为5米,你准备安装几个? 怎样安装? 请说明理由.点与圆的位置关系点 在 圆 外点 在 圆 上点 在 圆 内d rd = rd r位 置 关 系 数 量 化
46、作圆过一点可以作无数个圆过两点可以作无数个圆定理：过不在同一直线上的三个点确定一个圆一个三角形的外接圆是唯一的.注意：同一直线上的三个点不能作圆点P在圆环内 rdR RrP课堂小结课堂小结24.2.2 直线和圆的位置关系第1课时 直线和圆的位置关系【学习目标】【学习目标】1通过操作、观察，理解直线和圆有三种位置关系通过操作、观察，理解直线和圆有三种位置关系2根据圆心到直线的距离与半径之间的数量关系判定直线和根据圆心到直线的距离与半径之间的数量关系判定直线和圆的位置关系圆的位置关系3经历探索直线和圆的位置关系的判定和专题训练，体验从经历探索直线和圆的位置关系的判定和专题训练，体验从运动观点以及量
47、变到质变的过程理解直线和圆三种位置关系运动观点以及量变到质变的过程理解直线和圆三种位置关系【学习重点】【学习重点】直线和圆的位置关系的判定直线和圆的位置关系的判定【学习难点】【学习难点】直线和圆的位置关系的判定直线和圆的位置关系的判定点和圆的位置关系有几种？dr用数量关系如何来判断呢？点在圆内rOP点在圆上rOP点在圆外rOP(令令OP=d )知识准备知识准备问题1 如果我们把太阳看成一个圆，地平线看成一条直线，那你能根据直线和圆的公共点个数想象一下，直线和圆有几种位置关系吗？用定义判断直线与圆的位置关系问题2 请同学在纸上画一条直线l，把硬币的边缘看作圆，在纸上移动硬币，你能发现直线和圆的公
48、共点个数的变化情况吗？公共点个数最少时有几个？最多时有几个？l02直线与圆的位置关系 图形 公共点个数 公共点名称 直线名称2个交点1个切点切线0个相离相切相交位置关系公共点个数填一填填一填 直线和圆有唯一的公共点（即直线和圆相切）时，这条直线叫做圆的切线（如图直线l），这个唯一的公共点叫做切点（如图点A）.AlO要点归纳要点归纳1.直线与圆最多有两个公共点.2.若直线与圆相交，则直线上的点都在圆上. 3.若A是 O上一点，则直线AB与 O相切. 4.若C为 O外一点，则过点C的直线与 O相交或相离. 5.直线a 和 O有公共点，则直线a与 O相交.判一判判一判问题1 同学们用直尺在圆上移动的
49、过程中，除了发现公共点的个数发生了变化外，还发现有什么量也在改变？它与圆的半径有什么样的数量关系呢？相关知识： 点到直线的距离是指从直线外一点（A)到直线(l)的垂线段(OA)的长度.lAO用数量关系判断直线与圆的位置关系问题2 怎样用d(圆心与直线的距离)来判别直线与圆的位置关系呢？Od合作探究直线和圆相交d rrdrdrd数形结合：数形结合：位置关系位置关系数量关系数量关系（用圆心O到直线的距离d与圆的半径r的关系来区分）ooo公共点公共点个数个数要点归纳要点归纳1.已知圆的半径为6cm，设直线和圆心的距离为d ：（3）若d=8cm ,则直线与圆_, 直线与圆有_个公共点. （2）若d=6
50、cm ,则直线与圆_, 直线与圆有_个公共点. （1）若d=4cm ,则直线与圆, 直线与圆有_个公共点. (3)若AB和 O相交,则 .2.已知 O的半径为5cm, 圆心O与直线AB的距离为d, 根据条件 填写d的范围: (1)若AB和 O相离, 则 ; (2)若AB和 O相切, 则 ;相交相切相离d 5cmd = 5cm0cmd r,因此 C和AB相离.BCA43Dd记住：斜边上的高等于两直角边的乘积除以斜边.（2）当r=2.4cm时,有d=r.因此 C和AB相切.BCA43Dd（3）当r=3cm时，有dr，因此， C和AB相交.BCA43DdABCAD453 变式题变式题: : 1.Rt
