1、第三章第三章 X X射线衍射理论射线衍射理论 当当X X射线光子投射到试样上，对于被原子核束射线光子投射到试样上，对于被原子核束缚得较紧的电子而言，将在入射波的电磁场作用缚得较紧的电子而言，将在入射波的电磁场作用下作受迫振动，并成为新的电磁波源，向四周发下作受迫振动，并成为新的电磁波源，向四周发射出与入射线相同频率的电磁波，而且这些电磁射出与入射线相同频率的电磁波，而且这些电磁波互相干涉，被称之为波互相干涉，被称之为相干散射波相干散射波。 晶体中每个原子都是这样的相干散射波波源。晶体中每个原子都是这样的相干散射波波源。这些相干波相互干涉的结果，在空间的某些方向这些相干波相互干涉的结果，在空间的
2、某些方向上各波始终是互相加强的，而在另一些方向上各上各波始终是互相加强的，而在另一些方向上各波互相抵消。这样，一束波互相抵消。这样，一束X X射线照射到试样上，不射线照射到试样上，不仅在直射方向有仅在直射方向有X X射线，而射线，而在某些特定方向在某些特定方向（始终（始终加强的方向）也可能有加强的方向）也可能有X X射线，把这种现象称为射线，把这种现象称为X X射线在晶体上的射线在晶体上的衍射现象衍射现象，特定方向的，特定方向的X X射线称为射线称为衍射衍射X X射线射线，简称为，简称为衍射线衍射线。3-1 3-1 布拉格定律布拉格定律一、基本假设一、基本假设1 1、晶体是理想完整的，即不考虑
3、晶体中存在的缺陷、晶体是理想完整的，即不考虑晶体中存在的缺陷和畸变，忽略原子的热运动，即认为和畸变，忽略原子的热运动，即认为原子是固定不原子是固定不动的动的；2 2、把晶体看成是由许多平行的原子平面堆积而成的，、把晶体看成是由许多平行的原子平面堆积而成的，衍射线看成是原子平面对入射线的反射衍射线看成是原子平面对入射线的反射。3 3、认为、认为X X射线在晶体中射线在晶体中不发生折射不发生折射，即折射率为，即折射率为1 1；入射线和反射线之间没有相互作用，反射线在晶体入射线和反射线之间没有相互作用，反射线在晶体中不被其它原子再散射（这样的理论被称为中不被其它原子再散射（这样的理论被称为运动学运动
4、学理论理论）。）。4 4、认为光源和记录系统距离晶体无限远，入射线和、认为光源和记录系统距离晶体无限远，入射线和反射线都是反射线都是平行光平行光，也都是，也都是单色光单色光。二、布拉格公式的推导二、布拉格公式的推导1 1、单一原子平面的散射、单一原子平面的散射 当一束平行的当一束平行的X X射线以射线以角投射到原子平面上角投射到原子平面上时，其中任意两个原子的散射线在原子平面反射时，其中任意两个原子的散射线在原子平面反射方向的光程差为方向的光程差为 A A、B B两个原子的散射波在原子平面的反射方向两个原子的散射波在原子平面的反射方向的光程差为零，说明它们的周相相同，是干涉加的光程差为零，说明
5、它们的周相相同，是干涉加强的。强的。 由于由于A A、B B是任意的，所以可以认为此原子平面是任意的，所以可以认为此原子平面上所有原子的散上所有原子的散 射波在该方向都射波在该方向都 是干涉加强的。是干涉加强的。ADCB0sinsinABAB2 2、上下原子平面间的散射、上下原子平面间的散射 因为因为X X射线的波长很短，穿透能力强，它不仅使射线的波长很短，穿透能力强，它不仅使表面的原子成为散射波源，而且能够使晶体内部表面的原子成为散射波源，而且能够使晶体内部的原子成为散射波源。在这种情况下衍射线是由的原子成为散射波源。在这种情况下衍射线是由许多平行的原子平面反射的反射线迭加的结果。许多平行的
6、原子平面反射的反射线迭加的结果。 如图，一束波长为如图，一束波长为的的X X射线以射线以角投射到晶面角投射到晶面间距为间距为d d的一组原子平面上，其中任意两个相邻原的一组原子平面上，其中任意两个相邻原子平面为子平面为P1P1、P2P2。其。其 反射的反射波的光程反射的反射波的光程 差为差为 已知，干涉加强的条件是光程差等于波长的整已知，干涉加强的条件是光程差等于波长的整数倍，即数倍，即 式中，式中，n n为整数，称为为整数，称为反射级数反射级数或或衍射级数衍射级数。 当当 n=1n=1时，相邻原子平面的反射称为时，相邻原子平面的反射称为1 1级反射，级反射，光程差为光程差为，2 2级反射的光
7、程差为级反射的光程差为22。 为入射线或反射线与反射原子平面之间的夹为入射线或反射线与反射原子平面之间的夹角，称为角，称为掠射角掠射角或或半衍射角半衍射角，而把，而把22称为称为衍射角衍射角，其其为入射线与衍射线之间的夹角为入射线与衍射线之间的夹角。 上式是产生衍射的上式是产生衍射的必须满足的基本条件必须满足的基本条件，它反，它反映了反射线方向与晶体结构的关系，称为映了反射线方向与晶体结构的关系，称为布拉格布拉格方程方程（布拉格公式、布拉格定律布拉格公式、布拉格定律）。）。sin2sinsindddBFEBndsin2三、讨论三、讨论1 1、X X射线被晶体的反射实质上是晶体中各原子散射射线被
8、晶体的反射实质上是晶体中各原子散射波之间干涉的结果，只是衍射线方向恰好相当于波之间干涉的结果，只是衍射线方向恰好相当于原子平面对原子平面对X X射线的反射。射线的反射。 原子平面对原子平面对X X射线的反射，只有在满足布拉格射线的反射，只有在满足布拉格公式的方向才能发生，所以公式的方向才能发生，所以X X射线的这种反射是射线的这种反射是选选择反射择反射。以后所说的反射或衍射，其实质都是说。以后所说的反射或衍射，其实质都是说的衍射问题。的衍射问题。2 2、产生衍射的极限条件、产生衍射的极限条件 1 1）能够在晶体中产生衍射的波长是有限的能够在晶体中产生衍射的波长是有限的 在能够被观察的条件下，能
9、够被衍射的在能够被观察的条件下，能够被衍射的X X射线射线波长必须波长必须小于小于至多至多等于等于参加反射的最大晶面间距参加反射的最大晶面间距的两倍的两倍。否则不能产生衍射现象。否则不能产生衍射现象。 2 2）当入射线一定时，晶体中）当入射线一定时，晶体中能够参加反射的晶面能够参加反射的晶面族是有限的，即只有那些晶面间距大于入射线波族是有限的，即只有那些晶面间距大于入射线波长一半的晶面才能产生衍射长一半的晶面才能产生衍射。3 3、干涉面和干涉指数、干涉面和干涉指数 对布拉格公式，除了对布拉格公式，除了d d、是可以变化的量是可以变化的量以为，还有变量以为，还有变量n n的存在，这在应用上很不方
10、便。的存在，这在应用上很不方便。如果将如果将n n隐含到隐含到d d中，使布拉格公式简化。即中，使布拉格公式简化。即 令令 则则 晶面间距晶面间距d dHKLHKL的晶面并不一定是晶体中的真正原的晶面并不一定是晶体中的真正原子面，而是为了简化布拉格公式而引入的反射面，子面，而是为了简化布拉格公式而引入的反射面，把这样的反射面称为把这样的反射面称为干涉面干涉面（衍射面衍射面），干涉面），干涉面的指数称为的指数称为干涉指数干涉指数（衍射指数衍射指数），通常用），通常用HKLHKL表表示，示，H=nhH=nh，K=nkK=nk，L=nlL=nl。sin2ndnddhklHKLsin2HKLd 从布拉
11、格方程可以看出，在波长一定的情况下，从布拉格方程可以看出，在波长一定的情况下，衍射线的方向是晶面间距衍射线的方向是晶面间距d d的函数，如果将各晶系的函数，如果将各晶系的的d d值代入布拉格方程，就能得到各晶系衍射花样值代入布拉格方程，就能得到各晶系衍射花样与晶体结构的关系。例如，立方晶系与晶体结构的关系。例如，立方晶系 而四方晶系为而四方晶系为 可见。对不同晶系，或同一晶系而晶胞大小不同可见。对不同晶系，或同一晶系而晶胞大小不同的晶体，其衍射花样是不同的，所以说，的晶体，其衍射花样是不同的，所以说，布拉格方布拉格方程可以反映出晶体结构中晶胞大小及形状的变化程可以反映出晶体结构中晶胞大小及形状
12、的变化。2222224sinLKHa22222224sincLaKH3-2 3-2 衍射矢量方程和厄瓦尔德图解衍射矢量方程和厄瓦尔德图解一、衍射矢量方程一、衍射矢量方程 当一束当一束X X射线照射到原子平面上，射线照射到原子平面上， 为该平面为该平面的法线方向，如果把入射线和衍射线方向的单位的法线方向，如果把入射线和衍射线方向的单位 矢量记为矢量记为 和和 , ,则则 称为称为衍射矢量衍射矢量，其，其方向与衍射面垂直，即平行于方向与衍射面垂直，即平行于 ，而且，而且N0ss0ssONsin2sin20sss 因为因为 垂直于原子平面，且等于垂直于原子平面，且等于 ，所以该矢量也为所以该矢量也为
13、倒易矢量倒易矢量 。HKLHKLHKLHKLdssdssdd1sin2sin2sin2000ssHKLgHKLd1 上式称为上式称为衍射矢量方程衍射矢量方程。 衍射矢量方程是布拉格公式的矢量式，这样，衍射矢量方程是布拉格公式的矢量式，这样，布拉格定律可以描述为：布拉格定律可以描述为： 当满足衍射条件时，衍射矢量的方向就是衍射当满足衍射条件时，衍射矢量的方向就是衍射面的法线方向，衍射矢量的长度与衍射晶面族的面的法线方向，衍射矢量的长度与衍射晶面族的晶面间距的倒数成比例，晶面间距的倒数成比例，为比例系数为比例系数。 *0cLbKaHgssHKL 二、厄瓦尔德图解二、厄瓦尔德图解1 1、衍射矢量三角
14、形、衍射矢量三角形 衍射矢量方程的图解表达形式是衍射矢量方程的图解表达形式是 由由 、 和和 三三 个矢量构成的等腰矢量三角形，个矢量构成的等腰矢量三角形， 它表明了它表明了入射线方向、衍射线方入射线方向、衍射线方 向和倒易矢量之间的几何关系向和倒易矢量之间的几何关系。 s0sgss02 2、厄瓦尔德图解法的依据、厄瓦尔德图解法的依据 当一束当一束X X射线以一定的角度投射到晶体上时，可射线以一定的角度投射到晶体上时，可能会有若干个晶面族满足衍射条件，在若干个方能会有若干个晶面族满足衍射条件，在若干个方向产生衍射线，即在一个公共边向产生衍射线，即在一个公共边 上构成若干个矢量三角形，上构成若干
15、个矢量三角形， 其中公有矢量其中公有矢量 的起点为各的起点为各 等腰三角形的公共顶点，末端等腰三角形的公共顶点，末端 为该公共底角的顶点，即倒易为该公共底角的顶点，即倒易 矢量的原点，另一个底角的顶矢量的原点，另一个底角的顶 点是满足衍射条件的结点。点是满足衍射条件的结点。0s0s3 3、厄瓦尔德作图法、厄瓦尔德作图法 在入射线方向作一个矢量在入射线方向作一个矢量 ，使这个矢量的长，使这个矢量的长度等于度等于 ，这个矢量的端点落在倒易原点，以这，这个矢量的端点落在倒易原点，以这个矢量的起点为球心，这个矢量的长度个矢量的起点为球心，这个矢量的长度 为半径为半径作球，称为作球，称为反射球反射球。这
16、个反射球一定经过这个反射球一定经过倒易原点倒易原点。凡是凡是位于位于反射球上的倒易点反射球上的倒易点所对应的晶面都满足衍所对应的晶面都满足衍射条件产生衍射射条件产生衍射，衍射线衍射线 的方向是由反射球的的方向是由反射球的球心到这个倒易结点的连线方向球心到这个倒易结点的连线方向。 从以上的分析可以看出，并不是将一个晶体随便从以上的分析可以看出，并不是将一个晶体随便置于置于X X射线的辐照下都能产生衍射现象，而必须设射线的辐照下都能产生衍射现象，而必须设计各种条件以使倒易结点有可能位于反射球上。计各种条件以使倒易结点有可能位于反射球上。0ss113-3 3-3 电子对电子对X X射线的散射射线的散
17、射 假设一束假设一束X X射线沿射线沿oxox入射，入射，在在o o处碰到电子处碰到电子e e，为了研，为了研究问题的方便，在引入坐究问题的方便，在引入坐标系时，假设标系时，假设z z方向为垂直方向为垂直方向，所以方向，所以E E0 0在在yozyoz平面内。平面内。现在讨论在现在讨论在xozxoz平面内距离平面内距离o o点处的电子点处的电子R R远的一点远的一点p p处处的散射强度。的散射强度。 根据电磁波理论，根据电磁波理论，p p点的电磁波场强为点的电磁波场强为 式中：式中：ee电子的电量；电子的电量；mm电子的质量；电子的质量；cc光光的转播速度；的转播速度；散射线方向与散射线方向与
18、E E0 0的夹角。的夹角。 由于辐射的强度与振幅的平方成正比。所以由于辐射的强度与振幅的平方成正比。所以p p点处的辐射强度点处的辐射强度I Ie e与入射强度与入射强度I I0 0的比值为的比值为 上式结果是假定入射上式结果是假定入射X X射线为平面偏振波，但在射线为平面偏振波，但在一般情况下并没有经过偏振化一般情况下并没有经过偏振化, ,其电场矢量其电场矢量E E0 0可以可以在垂直于在垂直于oxox的的yozyoz平面上的任意方向。平面上的任意方向。sin220mRceEEe242240sincRmeIIe 不管矢量不管矢量E E0 0的方向如何，都可以将其分解为沿的方向如何，都可以将
19、其分解为沿y y方向的分量和沿方向的分量和沿z z方向的分量。即方向的分量。即 由于由于E E0 0在各个方向的几率相等，因此在各个方向的几率相等，因此 则则 如果如果E E0 0平行于平行于z z轴，这时轴，这时=90=90-2-2， 所以所以 zyIII000zyEE000002020202121IIIEEEzyzy20202000zyzoyEEEEEE2cos21290sin4224242240cRmecRmeIIozez2020zyEE 如果如果E E0 0平行于平行于y y轴，这时轴，这时=90=90所以所以 这个公式即为一个未被偏振的射线，经电子散射这个公式即为一个未被偏振的射线，
20、经电子散射后在距电子后在距电子R R处一点的散射强度公式，称为处一点的散射强度公式，称为汤姆逊汤姆逊 公式公式。 称为称为偏振因子偏振因子。422402422402190sincRmecRmeIIyey 22cos12cos212422404224042240cRmeIcRmeIcRmeIIIIeyez22cos123-4 3-4 原子对原子对X X射线的散射射线的散射一、原子散射因子一、原子散射因子 如果入射如果入射X X射线的波长比原子直径大得很多时，射线的波长比原子直径大得很多时，可以近似地认为原子中的所有电子都集中在一点可以近似地认为原子中的所有电子都集中在一点同时振动，在这种情况下，
21、所有电子散射波的位同时振动，在这种情况下，所有电子散射波的位相都是相同的，因此受这个原子散射的散射线在相都是相同的，因此受这个原子散射的散射线在距原子中心距原子中心R R远处的强度为：远处的强度为： eaIzczmRzeI2242422cos1 但通常衍射用的但通常衍射用的X X射线波长与原子直径处于同射线波长与原子直径处于同一数量级，不能再认为原子中的所有电子都集中一数量级，不能再认为原子中的所有电子都集中于一点，这样散射波不是同周期的，而是存在着于一点，这样散射波不是同周期的，而是存在着一定的周相差，散射强度由于受干涉作用的影响一定的周相差，散射强度由于受干涉作用的影响而被减弱，因此而被减
22、弱，因此 则则 式中，式中，EeEe：一个电子散射的相干波振幅；：一个电子散射的相干波振幅； EaEa：一个原子散射的相干波振幅。：一个原子散射的相干波振幅。 f f称为称为原子散射因子原子散射因子（原子振幅原子振幅），），它表达一它表达一个原子的散射和一个电子的散射之间对应关系个原子的散射和一个电子的散射之间对应关系。eaEEf eaIfI2二、影响原子散射因子的因素二、影响原子散射因子的因素 假设原子内含有假设原子内含有z z个电个电 子，它们在空间的瞬时位子，它们在空间的瞬时位 置用置用 表示，如果取原表示，如果取原 子中某个电子为坐标原点，子中某个电子为坐标原点， 则第则第j j个电子
23、与原点处的电子的散射波的光程差为个电子与原点处的电子的散射波的光程差为jr0sOAsOAOnAmjjrssOAss00cossin2cos0jjrssr 周相差周相差 令令 所以所以 则则 根据波的迭加原理，如果根据波的迭加原理，如果n n个波在某一方向上传播，个波在某一方向上传播，则所观察到的振幅是各个波振幅之和，因此沿则所观察到的振幅是各个波振幅之和，因此沿 方向方向传播到观察点的原子散射波振幅为传播到观察点的原子散射波振幅为cossin42jjsin4kcosjjkrcosjikreiejeEeEEziiieaeeeEE21zjikrejeE1cosziikrjef1coss 在实际工作
24、中，所测的在实际工作中，所测的并不是散射强度的瞬时值，并不是散射强度的瞬时值，而是它的平均值，所以必而是它的平均值，所以必须描述原子散射的平均状须描述原子散射的平均状态。态。 如果将原子中的电子看如果将原子中的电子看成为一个连续分布的电子成为一个连续分布的电子云，电子云的密度为云，电子云的密度为，则在则在dVdV体积内的电子数体积内的电子数dn= dVdn= dV，在，在dVdV体积内所体积内所有电子的散射波振幅为有电子的散射波振幅为cosjikreadVeEdE 假设电子云是球对称的，其径向分布函数为假设电子云是球对称的，其径向分布函数为 在球坐标中在球坐标中dVeEEVikreajcos
25、rrru24 24 rrurdrddrdVsin2 drddrerruEEikreasin42cos02002 0sindrkrkrruEe f f是是k k的函数，而的函数，而 ，所以是，所以是 的函数的函数 右图是右图是f f与与 的的 关系曲线，各元素的原关系曲线，各元素的原 子散射因子可从书后附子散射因子可从书后附 录中查出。录中查出。 drkrkrruEEfeasin0sinsin4ksin3-5 3-5 晶胞对晶胞对X X射线的散射射线的散射一、系统消光一、系统消光 假设一束单色假设一束单色X X射线以射线以 角投射到简单立方晶胞的角投射到简单立方晶胞的 (001)(001)面上产
26、生衍射时，面上产生衍射时，1111 和和2222之间的光程差为一个之间的光程差为一个 波长的整数倍（假设为波长的整数倍（假设为1 1倍），倍）， 所以所以11和和22是同位相的，是同位相的， 为干涉加强，如图（为干涉加强，如图（a a）。）。 图（图（b b）为体心立方结构的）为体心立方结构的 (001)(001)面，面，1111和和2222显然也显然也 是同位相的，但由于在两个是同位相的，但由于在两个 (001)(001)面之间还有一个原子平面之间还有一个原子平 面，它的入射线和反射线为面，它的入射线和反射线为 3333，这时，这时3333和和1111的光程的光程 差差DEFDEF恰好是恰好
27、是ABCABC的一半，即为半波长，因此反射的一半，即为半波长，因此反射线线11和和33的位相相反，互相抵消，这样体心立的位相相反，互相抵消，这样体心立方结构的方结构的(001)(001)面不会产生衍射。面不会产生衍射。 这个事实说明，在复杂结构晶体中，并不是符这个事实说明，在复杂结构晶体中，并不是符合布拉格公式的方向都有衍射线出现，可以说合布拉格公式的方向都有衍射线出现，可以说布布拉格公式是产生衍射的必要条件，而不是充要条拉格公式是产生衍射的必要条件，而不是充要条件件。这种由于晶体结构的原因而导致某些衍射线。这种由于晶体结构的原因而导致某些衍射线不能出现的现象称为不能出现的现象称为系统消光系统
28、消光。二、结构因子二、结构因子F F的引入的引入 当当X X射线投射到一个晶胞上时，由于晶胞内各个射线投射到一个晶胞上时，由于晶胞内各个原子所散射的波具有不同的周相和振幅，所以晶原子所散射的波具有不同的周相和振幅，所以晶胞中所有原子散射的合成振幅不可能等于各原子胞中所有原子散射的合成振幅不可能等于各原子散射振幅的简单相加，为此引入一个称为散射振幅的简单相加，为此引入一个称为结构因结构因子子的参量来表征晶胞的相干散射，记为的参量来表征晶胞的相干散射，记为F FHKLHKL（简写（简写为为F F）。）。 E Eb b：一个晶胞内所有原子散射波振幅；：一个晶胞内所有原子散射波振幅； E Ee e：一
29、个电子散射波振幅。：一个电子散射波振幅。ebEEF 三、结构因子表达式的导出三、结构因子表达式的导出 设一个晶胞内有设一个晶胞内有n n个个原子，其中第原子，其中第j j个原子个原子的坐标为的坐标为x xj jy yj jz zj j，晶胞，晶胞基矢为基矢为a a、b b、c c，f fj j为为第第j j个原子的散射因子，个原子的散射因子，O O为晶胞顶点，并作为为晶胞顶点，并作为坐标原点，坐标原点，A A为第为第j j个个原子的位置，则原子的位置，则czbyaxrOAjjjj A A、O O两个原子散射波的光程差为两个原子散射波的光程差为 周相差周相差0ssrj02ssrj*2cLbKaH
30、czbyaxjjjjjjjLzKyHx2*0cLbKaHgssHKL 根据波的迭加原理，如果晶胞内各原子的原子散根据波的迭加原理，如果晶胞内各原子的原子散射因子分别为射因子分别为f f1 1，f f2 2. f. fn n，则晶胞内各原子相干，则晶胞内各原子相干散射复合振幅为散射复合振幅为 injjebefEE1jjjLzKyHxinjjeefE21或或jjjLzKyHxinjjebHKLefEEF21njjjjjHKLLzKyHxfF12cosjjjLzKyHxi2sin3-6 3-6 晶体对晶体对X X射线的散射射线的散射 假设晶体是完整晶体假设晶体是完整晶体( (实际为一晶粒实际为一晶粒
31、),),其单位晶其单位晶胞都是等同的胞都是等同的, ,结构因子都为结构因子都为F,F,从衍射的角度从衍射的角度, ,可把可把单位晶胞看作为分布在晶格上的结点单位晶胞看作为分布在晶格上的结点. . 为了讨论问题的方便为了讨论问题的方便, , 假设晶体的外形为平行假设晶体的外形为平行 六面体六面体, ,各棱相应地平行各棱相应地平行 于晶胞的基矢于晶胞的基矢, ,每个棱分每个棱分 别包含有别包含有N Na a、N Nb b、N Nc c个晶个晶 胞，则晶胞总数胞，则晶胞总数为为 ： N=NaNbNc 由于把一个晶胞看成了一个整体，则晶胞间的由于把一个晶胞看成了一个整体，则晶胞间的相干散射和原子间的相
32、干散射类似，其周相差为相干散射和原子间的相干散射类似，其周相差为 其中其中 整个晶体发出的衍射波是整个晶体发出的衍射波是N N个单位晶胞的衍射波个单位晶胞的衍射波的迭加的迭加jjrk2*cbakcwbvaurjwburkjwvuinjrkinjceFeFEj2121101021022acbNuNwwiNvviuieeeF 整个晶体的衍射强度为整个晶体的衍射强度为： 令：令： G G称为称为干涉函数干涉函数，它是一个方向函数，它是一个方向函数，表明离一表明离一个周期排列的晶体很远处的衍射强度的分布情况个周期排列的晶体很远处的衍射强度的分布情况。 210102102222acbNuNwwiNvvi
33、uieecceeeIFIEI21010210222acbNuNwwiNvviuieeeG22GIFIe二、对干涉函数的讨论二、对干涉函数的讨论 为了求出干涉函数，从为了求出干涉函数，从G G表达式中取出一项加有讨表达式中取出一项加有讨论。令：论。令：1 1、求的三角函数表达形式、求的三角函数表达形式 实际上是一个等比级数，根据等比级数实际上是一个等比级数，根据等比级数求和公式，得求和公式，得:1021aNuuieG102aNuuie1021aNuuieG2211iNieea221211iiNieeea2222222sinsinsinsinsinsincbaNNNG 2222211111iNii
34、NieeeeGaa22sinsinaN2 2、讨论极大值的条件、讨论极大值的条件 应用罗必达法则，可以求出极大值（仍以应用罗必达法则，可以求出极大值（仍以G1G1为例）为例）2sin2sinsinsin22aaaNNddNdd22, 1 , 022cos2cos2sin2sinaHaaaaNNNddNddN 最大值所对应的坐标为最大值所对应的坐标为=H=H，即，即=0=0，1 1，2 2， N Na a。同样可求。同样可求 、 的极大值。所以的极大值。所以整个干涉函数的极大值为：整个干涉函数的极大值为： 上式表明，当倒易空间中的坐标上式表明，当倒易空间中的坐标为整数为整数H H、K K、L L
35、时，即时，即 为倒易矢量（为倒易矢量（ ）时，干）时，干涉函数出现极大。即在倒易点上时涉函数出现极大。即在倒易点上时 的值是相同的值是相同的为的为 。2max21aNG22222maxNNNNGcba2bG2cG2GkHKLgk2N3 3、画干涉函数的关系曲线、画干涉函数的关系曲线 当当、为整数，为整数，为变数时，干涉函数为为变数时，干涉函数为 假设假设N Na a=5=5，干涉函数的关，干涉函数的关系曲线如右图。系曲线如右图。 从图中可以看出，有两种从图中可以看出，有两种不同的峰：主峰和次峰，主峰不同的峰：主峰和次峰，主峰出现在倒易点上，所有主峰都出现在倒易点上，所有主峰都具有相同的高度。次
36、峰为具有相同的高度。次峰为N Na a-2-2个。个。222221sinsincbaNNNG4 4、干涉函数的取值范围、干涉函数的取值范围 当当 ， ，即这个主峰在，即这个主峰在 范围内均有强度值，即主峰宽度为范围内均有强度值，即主峰宽度为 ，NaNa越大，越大，主峰越窄、越高。主峰越窄、越高。 对于三维情况下的对于三维情况下的 ，其主峰取值范围为，其主峰取值范围为 主峰的最大强度值与主峰的最大强度值与 成正比，主峰的强度成正比，主峰的强度（主峰下的体积）与（主峰下的体积）与N N成正比。成正比。021GcNL1bNK1aNH12NNH1aN2aN12G 当当 Na1Na1，Nb 1 Nb 1
37、 ，Nc 1 Nc 1 时，所有付峰可以时，所有付峰可以忽略，主峰的宽度也很窄强度几乎全部集中到主峰忽略，主峰的宽度也很窄强度几乎全部集中到主峰上。上。 从上面的分析可以看出，从上面的分析可以看出， 每个方向的衍射线束本身每个方向的衍射线束本身 都具有一定的角宽度，都具有一定的角宽度，干干 涉函数正是表达了衍射线涉函数正是表达了衍射线 的强度分布情况的强度分布情况。即。即 取非零的区域为每一个倒取非零的区域为每一个倒 易点易点HKLHKL附近的一个区域，附近的一个区域， 我们把这个区域称为我们把这个区域称为倒格倒格 点域点域（选择反射区选择反射区）。）。反射反射 球与选择反射区的任何部位球与选
38、择反射区的任何部位 相交都能产生衍射相交都能产生衍射。2G2G5 5、选择反射区与晶体的关系、选择反射区与晶体的关系 根据选择反射区的取值范围根据选择反射区的取值范围1 1）当）当N Na a， N Nb b， N Nc c的三的三维大尺寸的完整晶体，维大尺寸的完整晶体， 所以所以=H=H， =K=K，=L=L， 就是严格满足布拉格定律的情就是严格满足布拉格定律的情况，选择反射区为一个况，选择反射区为一个倒易点倒易点。01aN01bN01cN22222NNNNGcba2 2）当）当NaNa， NbNb， Nc0Nc0的二维晶体，的二维晶体，所以所以=H=H，=K=K， ，选择反射区为杆状，称为
39、选择反射区为杆状，称为倒易杆倒易杆。01aN01bNcN122222sinsincbaNNNGcNL13 3）当）当N Na a， N Nb b00， N Nc c00的杆状晶体，的杆状晶体，所以所以=H=H，选择反射区为板状，称为选择反射区为板状，称为倒易片倒易片。01aNbN1cNL1222222sinsinsinsincbaNNNGcN1bNK14 4）当）当N Na a00， N Nb b00， N Nc c00的很小晶体，的很小晶体，所以所以 选择反射区为应该很大球体，称为选择反射区为应该很大球体，称为倒易体元倒易体元。aN1bN1cN1bNK1cNL12222222sinsinsi
40、nsinsinsincbaNNNGaNH13-7 3-7 结构因子的计算结构因子的计算一、晶体结构与布拉维格子相同的结构一、晶体结构与布拉维格子相同的结构 1 1、简单结构、简单结构 2 2、底心结构、底心结构 3 3、体心结构、体心结构 4 4、面心结构、面心结构 这四种结构对应的倒易点阵如下图所示这四种结构对应的倒易点阵如下图所示二、复杂结构二、复杂结构 1 1、金刚石结构、金刚石结构 2 2、密排六方结构、密排六方结构 3 3、氯化钠结构、氯化钠结构3-8 3-8 晶体衍射的积分强度晶体衍射的积分强度 晶体衍射强度为：晶体衍射强度为： 现在要求的是单位时间内现在要求的是单位时间内 的总能
41、量，即求主峰下的体的总能量，即求主峰下的体 积所代表的积所代表的积分强度积分强度（累积累积 强度强度）。在数学处理上就是）。在数学处理上就是 对整个倒易点域积分。如图，当倒易点域与反射球对整个倒易点域积分。如图，当倒易点域与反射球相交时，在相交时，在角范围内都是强度有值区域，其强度角范围内都是强度有值区域，其强度为：为：22GIFIedGFIdIIec22 当晶体绕当晶体绕O O转动，即（转动，即（hklhkl）晶面绕）晶面绕O O转动，就意转动，就意味着倒格矢量绕味着倒格矢量绕O O转动，当整个倒易点域扫过反射转动，当整个倒易点域扫过反射球面时，球面时，g g 的角度变化范围为的角度变化范围
42、为，整个倒易点域，整个倒易点域都参加衍射时的积分强度为：都参加衍射时的积分强度为： 下面，将对下面，将对、的积分改为对选择反射区的的积分改为对选择反射区的流动坐标流动坐标、的积分。的积分。在反射球面上所在反射球面上所截取的面积为截取的面积为 当晶体转动时，当晶体转动时，ds ds 也移动一个相应的距离，也移动一个相应的距离，dsds移动的轨迹形成一个体积元移动的轨迹形成一个体积元ddGFIIeji 222dds*dv 实际上，当晶体转动实际上，当晶体转动dd角度时，角度时，dsds沿沿CPCP方向移方向移动为动为NP=PQcosNP=PQcos，而，而所以所以而而dOPddOPPQsin2si
43、ndddsdNPdsdv3*2sincossin2*32sindvdddcdbdadv*dddvdddv1* 于是于是 得得 在倒易空间中，选择反射区的最大变化范围在在倒易空间中，选择反射区的最大变化范围在 之间，所以积分限取之间，所以积分限取 ，则，则dddvdd2sin3dddGvFIIeji2322sin21aaNdN212122sinsin21因此因此而而所以所以得得dddG 2121212121212dddNNNcba 212121212121222222sinsinsinsinsinsinNNNNcbavVNKKejiVFvII2232sin1KjiVvcmeII23242402s
44、in22cos13-73-7消光效应消光效应一、初级消光一、初级消光 当当X X射线穿过一个完整晶体时，如果不在布拉射线穿过一个完整晶体时，如果不在布拉格反射位置，则格反射位置，则X X射线穿过时受较小吸收。如果射线穿过时受较小吸收。如果满足布拉格反射条件时，每一个反射面都要将入满足布拉格反射条件时，每一个反射面都要将入射线的能量反射掉一部分，而反射线又可能经历射线的能量反射掉一部分，而反射线又可能经历二次反射。二次反射方向与入射二次反射。二次反射方向与入射 线一致，但位相不同，互相线一致，但位相不同，互相 干涉，使穿过物质的干涉，使穿过物质的X X射线射线 强度大大减弱，这种非正常强度大大减弱，这种非正常 吸收现象称为吸收现象称为初级消光初级消光。
