1、三角形全等的判定三角形全等的判定一、边角边一、边角边 （SAS）二、角边角二、角边角 (ASA)三、角角边三、角角边 (AAS)四、边边边四、边边边 (SSS)五、综合练习五、综合练习制作人：王一豹互相重合的顶点叫做 。互相重合的角叫做 。互相重合的边叫做 。其中2. 叫做全等三角形。 1.能够重合的两个图形叫做 。全等形全等形4.全等三角形的 和 相等对应边对应边对应角对应角对应顶点对应顶点复习提问复习提问 能够重合的两个三角形3.“全等”用符号“ ”来表示，读作“ ”对应边对应边对应角对应角5.书写全等式时要求把对应字母放在对应 的位置上全等于全等于全等三角形的判定（一）全等三角形的判定（
2、一）SAS（边角边定理（边角边定理)画画ABC,使使AB=3cm，AC=4cm。画法：画法：2. 在射线在射线AM上截取上截取AB= 3cm3. 在射线在射线AN上截取上截取AC=4cm 这样画出来的三角形与同桌所画的三角形进行比这样画出来的三角形与同桌所画的三角形进行比较，它们互相重合吗？较，它们互相重合吗？若再加一个条件，使若再加一个条件，使A=45，画出，画出ABC1. 画画MAN= 454.连接连接BC则则ABC就是所求的三角形就是所求的三角形把你们所画的三角形剪下来与同桌所画的三角形进行把你们所画的三角形剪下来与同桌所画的三角形进行比较，它们能互相重合吗？比较，它们能互相重合吗？再任
3、意画一个再任意画一个ABC和和DEF，使，使AB=DE , AC=DF , A=D , 把画好的把画好的ABC和和DEF比比较，它们全等吗？较，它们全等吗？ABCDEFABC DEF由前边的作图比较过程，我们可以得出什么结论？由前边的作图比较过程，我们可以得出什么结论？用符号语言表达为：用符号语言表达为：在在ABC与与DEF中中AB=DEA=DAC=DFABC DEF（SAS）ABCDEF 两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。等。简写成简写成“边角边边角边”或或图 1已知：如图1，AC=AD，CAB=DAB求证：ACBADBAC=AD（已知）CAB=
4、DAB（已知）AB=AB（公共边）ACBADB（SAS） 例1证明：在ACB和ADB中例例 题题 讲讲 解解A B C D 图2已知：如图2，ADBC，AD=CB求证：ADC CBA分析分析：观察图形，结合已知条件，知，AD=CB，AC=CA，但没有给出两组对应边的夹角（1，2）相等。所以，应设法先证明1=2，才能使全等条件充足。AD=CB（已知）1=2（已知）AC=CA （公共边）ADC CBA（SAS）例2证明：ADBC 1=2（两直线平行，内错角相等） 在DAC和BCA中DC1AB2BB2DC1A动动 态态 演演 示示图3已知：如图3 ，ADBC，AD=CB，AE=CF求证：AFD CE
5、B 证明：ADBC（已知） A=C（两直线平行，内错角相等） 又 AE=CF AE+EF=CF+EF（等式性质） 即AF=CE 在AFD 和CEB 中AD=CB（已知）A=C（已证）AF=CE（已证）AFD CEB（SAS）若求证D=B ，如何证明？分析分析：本题已知中的前两个条件，与例2相同，但是没有另一组夹边对应相等的条件，不难发现图3是由图2平移而得。利用AE=CF，可得：AF=CE变式训练变式训练1问问：ADBEFCB2DC1A动动 态态 演演 示示练习练习：已知：如图4，点A、B、C、D在同一条直线上，AC=DB，AE=DF，EAAD，BCAC，垂足分别为A、D图4求证：（1）EAB
6、 FDC、（2）DF= AEBECDFA解解 题题 小小 结：结：解题思路解题思路1、根据“边角边（SAS）”条件，可证明两个三角形全等；2、再由“全等”作为过渡的条件，得到对应边等或对应角等； A D B E C 12图5变式训练变式训练2 已知：如图5：AB=AC，AD=AE，1=2 求证：ABD ACE证明：1=2（已知） 1+BAE = 2+BAE（等式性质） 即 CAE= BAD在CAE和BAD 中 AC=AB（已知）CAE=BAD（已证）AE=AD ABD ACE（SAS）分析分析：两组对应夹边已知，缺少对应夹角相等的条件。 由BAE 是两个三角形的公共部分，可得：CAE=BAD。
7、变式训练变式训练2：拓拓 展展（1）求证：E=D（2）若ACE绕点A逆时针旋转，使1=900时，直线EC，BD的位置关系如何？给出证明。当EAD 为平角时呢？图5DBAECMF已知：如图5：AB=AC，AD=AE，1=2 A D B E C 12解解 题题 小小 结：结：解题思路解题思路1、根据“边角边（SAS）”条件，可证明两个三角形全等；2、再由“全等”作为过渡的条件，得到对应边等或对应角等；3、由“边”等，再根据等式性质得到其它线段相等；由“角”等，再证明两直线平行、两直线垂直或延伸的外角和等变换。1在证明三角形全等时，要善于观察图形，运用已学知识挖出隐含条件。 总结概括，知识拓宽总结概
8、括，知识拓宽 2明确全等三角形“边角边”公理的运用方法。 全等三角形的判定（二）全等三角形的判定（二）ASA（角边角定理）（角边角定理）创设情景,实例引入一张教学用的三角形硬纸板不小心一张教学用的三角形硬纸板不小心被撕坏了，如图，你能制作一张与原来被撕坏了，如图，你能制作一张与原来同样大小的新教具？能恢复原来三角形同样大小的新教具？能恢复原来三角形的原貌吗？的原貌吗？怎么办？可以帮帮我吗？CBEAD 先任意画出一个ABC，再画一个A/B/C/，使A/B/=AB， A/ =A， B/ =B 。把画好的A/B/C/剪下，放到ABC上，它们全等吗？探究1:已知：任意 ABC，画一个 A/B/C/，使
9、A/B/AB， A/ =A， B/ =B ：画法：2、在 A/B/的同旁画DA/ B/ =A ， EB/A/ =B， A/ D，B/E交于点C/。1、画A/B/AB； A/B/C/就是所要画的三角形。问：通过实验可以发现什么事实？引入新课： 作图：已知：ABC，(让同学们自己画）再画一个三角形A/B/C/,使B/C/=BC, B/= B, C/= C.1、画线段A/B/=AB2、在A/B/的同旁，分别以A/、B/为顶点画D A/B/=A, E B/A/=B , A/D 、B/E交于点C/,得 A/B/C/现在同学们把我们所画的两个三角形重合在一起，你发现了什么？完全重合角边角公理：有两角和它们
10、的夹边对应相等的两个三角形全等（简写为“ASA”)讲解新课：例1、已知：如图，DAB=CAB，C=D求证：AC=AD证明： DAB=CAB，C=DABD=ACD (三角形内角和定理）在ACB和ADB中 DAB=CAB AB=AB （共用边） ABD=ACD ACBADB （ASA)AC=AD讲解新课: 例2、已知：点D在AB上，点E在AC上，BE和CD交于O点，AB=AC，B=C. 求证：BD=CE证明：在ABE和ACD中 A= A AB=AC B=C ABE ACD （ASA)AD=AE AB=AC BD=CE讲解新课如图，要证明如图，要证明ACE BDF,根据给定的条件根据给定的条件和指明
11、的依据，将应当添设的条件填在横线上。和指明的依据，将应当添设的条件填在横线上。（1）ACBD，CE=DF， (SAS) ( 2) AC=BD， ACBD (ASA) ( 3) CE=DF， (ASA) ( 4) C= D， (ASA)C BAEFDAC=BDA=B C=DAC=BDA=BAEC=BFD课堂练习课堂练习1、如右图：已知，ABE=CBD, BCE=DBA,EC=AD求证：AB=BE,BC=DB2、如右图：已知，AD, EF,BC交于O，且AO=OD，BO=OC，EO=OF求证：AEB DFC变式练习：全等三角形的判定（三）全等三角形的判定（三）AAS（角角边定理）（角角边定理）定理
12、的引入:如图在ABC和DEF中，A=D， B=E ，BC=EF，ABC与DEF全等吗？ABCDEF证明：证明：A+B+C=180 D+E+F=180又又A=D B=E C=F C=FBC=EFB=EABCABCDEF (ASA)DEF (ASA)ABCDEF如图所示，如图所示，ABC DEF,那么那么角角边定理得证。角角边定理得证。三角形的判定定理三三角形的判定定理三 在两个三角形中，在两个三角形中，如果有二个角和任意一如果有二个角和任意一条边相等，那么这两个条边相等，那么这两个三角形全等。三角形全等。A=DB=EBC=EFABC DEF (AAS)例题讲解：例题讲解：例例1.已知：点已知：点
13、D在在AB上，点上，点E在在AC上，上，BE和和CD相交于相交于 点点O，AD=AE，B=C。 求证：求证：BD=CE 证明证明 ：在：在ADC和和AEB中中A=A（公共角）（公共角）AD=AE（已知）（已知）C=B（已知）（已知）ACD ABE（AAS） AB=AC （全等三角形的对应边相等）（全等三角形的对应边相等）又又 AD=AE （ 已知）已知） BD=CEDBEAOC巩固练习巩固练习如图，如图，1=2，D=C 求证：求证：AC=AD证明：在证明：在_和和_中中_ （ ）_ （ ） _ （公共边）（公共边） _ _（ ） _（全等三角形对应边相等（全等三角形对应边相等） CADB12A
14、BDABC1=2 D=CAB=ABABDABCAC=AD 已知已知 已知已知AAS全等三角形的判定（四）SSS（边边边定理）定理的引入:ABCD已知：AC=DE AB=DF BC=FE求证：ABC DFEE思考F定理的引入:ABCD已知：AC=DC AB=DB 求证：ABC DBC证明：连接AD， AC=DC CAD= CDA同理， BAD= BDA BAC= BDC AC=DC A= D AB=DB ABC DBC（SAS）ACDB如图所示， ABC DBC ，那么边边边定理得证。 在两个三角形中，在两个三角形中，如果有三条边相等，如果有三条边相等，那么这两个三角形全那么这两个三角形全等。等
15、。三角形的判定定理四三角形的判定定理四AC=DC AB=DBBC=BCABC DBC（SSS） 例1：如图，已知AB=CD，BC=DA。说出下列判断成立的理由：（1）ABC CDA（2）B=DABCD解（1）在ABC和CDA中 AB=CD（已知） BC=DA（已知） AC=CA（公共边）ABC CDA（SSS）（2） ABC CDAB=D（全等三角形的对应角相等）练习1 如图，已知点B、E、C、F在同一条直线上，ABDE，ACDF，BECF。求证：AD。证明：BECF（已知）即 BCEF在ABC和DEF中ABDE（已知）ACBF（已知）BCEF（已证）ABC DEF（SSS）AD(全等三角形对
16、应角相等）FABECD小结：欲证角相等，转化为证三角形全等。 BE+EC=CF+EC例2，如图，已知ABCD，ADCB，求证：BD证明：连结连结AC,ABCD（已知）ACAC（公共边）BCAD（已知） ABC CDA（SSS） BD（全等三角形对应角相等）ABCD在ABC和 ADC中问：此题添加辅助线，若连结BD行吗？在原有条件下，还能推出什么结论？答：ABCADC，ABCD，ADBCABCD小结：四边形问题转化为三角形小结：四边形问题转化为三角形问题解决。问题解决。对应对应相等相等的元的元素素两边一角两边一角两角一边两角一边 三角三角 三边三边两边及其两边及其夹角夹角两边及其两边及其中一边的
17、中一边的对角对角两角及其两角及其夹边夹边 两角及其两角及其中一角的中一角的对边对边 三角形三角形是否全是否全等等 一定一定（SAS）不一定不一定一定一定(ASA)一定一定(AAS)不一定不一定一定一定(SSS)归纳：二个三角形全等的判定方法五、综合练习题五、综合练习题全等三角形的应用全等三角形的应用：利用全等三角形证明线段（或角）相等利用全等三角形证明线段（或角）相等例1：如图，直线AC、 BD交于点O，OA=OC OB=OD 直线EF过点O且分别交AB、 CD于E、F O F E D C B A求证：OE=OF在AOB和COD中OB=OD AOB=CODOA=OC AOB COD （SAS）
18、 B=D （全等三角形的对应角相等）在BOE和DOF中B=DOB=OD BOE=COF BOE DOF （ASA） OE=OF （全等三角形的对应边相等） 证明AB=DCAC=DBBC=CB证明证明：在在ABC和和DCB中中如图：如图：AB=DC，AC=DB 求证：求证：ABO=DCO ABCDCB （SSS） A=D (全等三角形的对应角相等全等三角形的对应角相等)在在AOB和和DOC中中 A=DAOB=DOCAB=CD AOB DOC （AAS） ABO=DCO （全等三角形的对应角相等）（全等三角形的对应角相等）OCDBA巩固练习：巩固练习：如图：如图：ACBC ADBD ，AD=BC
19、CEAB DFAB，垂足分别为，垂足分别为E、F，求证：，求证：CE=DFFEDCBA分析：分析： 由已知可推出由已知可推出ABC BAD 要证要证CE=DF，需证，需证ACE ADF，所缺条件可由，所缺条件可由ABC BAD推出推出二：利用全等三角形证明线的垂直关系二：利用全等三角形证明线的垂直关系4321GEFDCBA证明：证明： 例：如图：例：如图：BF是是RtABC的角平分线，的角平分线，ACB=90，CD是高，是高，BF与与CD交于点交于点E，EGAC交交AB于于G求证：求证：FGABBF平分平分ABC12CDAB 3+ABC=90 又又ACB90 A+ABC=903A又又EGACA
20、434在在BEG与与BEC中中1234BEBEBEG BEC （AAS） BG=BC （全等三角形的对应边相等）（全等三角形的对应边相等） 在在BFG与与BFC中中BG=BC12BF=BFBFG BFC （SAS）FGB=FCB=90FGAB巩固练习：巩固练习：如图：如图：ABC中，中，AD平分平分BAC，DE、DF分别垂分别垂直于直于AB、AC，垂足为，垂足为E、F，AD、EF交于点交于点H求证：求证：ADEF21HFEDCBA三、利用全等三角形证明线段的和差问题三、利用全等三角形证明线段的和差问题321NEDCBA例：在例：在RtABC中，中，AB=AC，BAC=90，过点，过点A的任意直线的任意直线AN，BDAN于于D，CEAN于于E求证：求证：DE=BDCE证明：证明： BAC=901290BDAN 239013又又CEAN ADBAEC90在在ADB和和ACE中中13ADBACEABACADB ACE （AAS） ADCE BDAE （全等三角形的对应边相等）（全等三角形的对应边相等）DEAEADDEBDCE
