1、2- -4刚体定轴转动的角动量和角动量守恒定律刚体定轴转动的角动量和角动量守恒定律第四章第四章 刚体的定轴转动刚体的定轴转动物理学物理学第五版第五版1 力力的时间累积效应：的时间累积效应： 冲量、动量、动量定理冲量、动量、动量定理 力矩力矩的时间累积效应：的时间累积效应： 冲量矩、角动量、角动量定理冲量矩、角动量、角动量定理 mtFId00dttFtmm2- -4刚体定轴转动的角动量和角动量守恒定律刚体定轴转动的角动量和角动量守恒定律第四章第四章 刚体的定轴转动刚体的定轴转动物理学物理学第五版第五版21 1绕定轴作圆周运动质点的角动量绕定轴作圆周运动质点的角动量Lrprmv 质量为质量为 的质
2、点以的质点以速度速度 绕定轴作圆周运绕定轴作圆周运动，到轴动，到轴 O 的位矢为的位矢为 ，质点对轴的角动量，质点对轴的角动量mrvsinvrmL 大小大小 的方向符合右手法则的方向符合右手法则L角动量单位：角动量单位：kgm2s-1Lrpmo一一 刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律律2- -4刚体定轴转动的角动量和角动量守恒定律刚体定轴转动的角动量和角动量守恒定律第四章第四章 刚体的定轴转动刚体的定轴转动物理学物理学第五版第五版3Lrtr emo 质点以质点以 作半径为作半径为 的圆周运动，相对圆心的圆周运动，相对圆心r2LmrJFrM 对对转轴转
3、轴 z 的力矩定义的力矩定义 F注意：注意：绕轴作圆周运动质点的绕轴作圆周运动质点的角动量定理角动量定理,ddddddr m CL mrmrLMrFrmttt2- -4刚体定轴转动的角动量和角动量守恒定律刚体定轴转动的角动量和角动量守恒定律第四章第四章 刚体的定轴转动刚体的定轴转动物理学物理学第五版第五版42 2刚体定轴转动的角动量刚体定轴转动的角动量2ii iiiLLm rOirimivJL z2()i iim r 把刚体分割成许多质点，把刚体分割成许多质点，每一个质点作半径为每一个质点作半径为ri和角速和角速度为度为圆周运动，它的圆周运动，它的角动量角动量为为Li i。刚体：刚体：2ii
4、iLm r2- -4刚体定轴转动的角动量和角动量守恒定律刚体定轴转动的角动量和角动量守恒定律第四章第四章 刚体的定轴转动刚体的定轴转动物理学物理学第五版第五版5对对定轴转的刚体定轴转的刚体 ，exiMM3 3 刚体定轴转动的角动量定理刚体定轴转动的角动量定理质点质点mi受合力矩受合力矩Mi( (包括包括Miex、 Miin ) )(ddd)(ddd2iiiirmttJtLMin0iMtLtJMddd)(dtJrmtiid)(d)(dd2合外力矩合外力矩刚体定轴转动刚体定轴转动的角动量定理的角动量定理2- -4刚体定轴转动的角动量和角动量守恒定律刚体定轴转动的角动量和角动量守恒定律第四章第四章
5、刚体的定轴转动刚体的定轴转动物理学物理学第五版第五版6 刚体定轴转动的角动量定理刚体定轴转动的角动量定理112221dJJtMtt1221dJJtMtt4 4 刚体定轴转动的角动量守恒定律刚体定轴转动的角动量守恒定律0MJL ，则，则若若=常量常量 对定轴转的刚体，受合外力矩对定轴转的刚体，受合外力矩M，从，从 到到 内，角速度从内，角速度从 变为变为 ，积分可得：，积分可得：212t1ttLtJMddd)(d冲量矩冲量矩2- -4刚体定轴转动的角动量和角动量守恒定律刚体定轴转动的角动量和角动量守恒定律第四章第四章 刚体的定轴转动刚体的定轴转动物理学物理学第五版第五版7 角动量守恒定律是自然界
6、的一个基本定律角动量守恒定律是自然界的一个基本定律. 内力矩不改变系统的角动量内力矩不改变系统的角动量. 守恒条件守恒条件0M若若 不变，不变， 不变；不变；若若 变，变， 也变，但也变，但 不变不变.JJLJ讨论讨论exinMM 在在冲击冲击等问题中等问题中 L常量常量2- -4刚体定轴转动的角动量和角动量守恒定律刚体定轴转动的角动量和角动量守恒定律第四章第四章 刚体的定轴转动刚体的定轴转动物理学物理学第五版第五版8 许多现象都可许多现象都可以用角动量守恒来以用角动量守恒来说明说明.花样滑冰花样滑冰茹可夫斯基凳茹可夫斯基凳mm1r2r2- -4刚体定轴转动的角动量和角动量守恒定律刚体定轴转动
7、的角动量和角动量守恒定律第四章第四章 刚体的定轴转动刚体的定轴转动物理学物理学第五版第五版9l尾桨的设置：尾桨的设置：直升机发动后机身要在旋翼旋转相反方向旋直升机发动后机身要在旋翼旋转相反方向旋转，产生一个向下的角动量。为了不让机身作这样的反向转，产生一个向下的角动量。为了不让机身作这样的反向旋转，在机身尾部安装一个尾桨，尾桨的旋转在水平面内旋转，在机身尾部安装一个尾桨，尾桨的旋转在水平面内产生了一个推力，以平衡单旋翼所产生的机身扭转作用。产生了一个推力，以平衡单旋翼所产生的机身扭转作用。l对转螺旋桨的设置：对转螺旋桨的设置：双旋翼直升机则无需尾桨，它在直立双旋翼直升机则无需尾桨，它在直立轴上
8、安装了一对对转螺旋桨，即在同轴心的内外两轴上安轴上安装了一对对转螺旋桨，即在同轴心的内外两轴上安装了一对转向相反的螺旋桨。工作时它们转向相反，保持装了一对转向相反的螺旋桨。工作时它们转向相反，保持系统的总角动量仍然为零。系统的总角动量仍然为零。 2- -4刚体定轴转动的角动量和角动量守恒定律刚体定轴转动的角动量和角动量守恒定律第四章第四章 刚体的定轴转动刚体的定轴转动物理学物理学第五版第五版10 例例1 一个物体正在绕固定光滑轴自由转动，一个物体正在绕固定光滑轴自由转动， (A)它受热膨胀或遇冷收缩时，角速度不变它受热膨胀或遇冷收缩时，角速度不变 (B)它受热膨胀时角速度变大，遇冷收缩时它受热
9、膨胀时角速度变大，遇冷收缩时 角速度变小角速度变小 (C)它受热膨胀或遇冷收缩时，角速度均变大它受热膨胀或遇冷收缩时，角速度均变大 (D)它受热膨胀时角速度变小，遇冷收缩时它受热膨胀时角速度变小，遇冷收缩时 角速度变大角速度变大解解: JmrJConstJ2.2- -4刚体定轴转动的角动量和角动量守恒定律刚体定轴转动的角动量和角动量守恒定律第四章第四章 刚体的定轴转动刚体的定轴转动物理学物理学第五版第五版11 例例2 一圆柱体质量为一圆柱体质量为M，半径为，半径为R,可绕可绕通过其中心轴线的光滑轴转动通过其中心轴线的光滑轴转动,原来处于静止原来处于静止状态状态,现有一质量为现有一质量为m,速度
10、为速度为v的子弹的子弹,沿圆周沿圆周切线方向射入圆柱体边缘并嵌入其中切线方向射入圆柱体边缘并嵌入其中,求此时求此时圆柱体与子弹一起转动的角速度圆柱体与子弹一起转动的角速度.解解:)21(22mRMRRmv m vMRRmMm)2(2v2- -4刚体定轴转动的角动量和角动量守恒定律刚体定轴转动的角动量和角动量守恒定律第四章第四章 刚体的定轴转动刚体的定轴转动物理学物理学第五版第五版12 例例3 一质量为一质量为M、半径为、半径为R的转台，的转台，以角速度以角速度 a 转动，转轴的摩擦不计。转动，转轴的摩擦不计。 （1）有一质量为有一质量为m的蜘蛛垂直地落在转的蜘蛛垂直地落在转台边缘上，台边缘上，
11、 求此时转台的角速度求此时转台的角速度 b （2）如果蜘蛛随后慢慢地爬向转台中心，如果蜘蛛随后慢慢地爬向转台中心，当它离转台中心距离为当它离转台中心距离为r时时,转台的转台的角速度角速度 c 为多少？为多少？设蜘蛛下落前距转台很近。设蜘蛛下落前距转台很近。2- -4刚体定轴转动的角动量和角动量守恒定律刚体定轴转动的角动量和角动量守恒定律第四章第四章 刚体的定轴转动刚体的定轴转动物理学物理学第五版第五版13解解:aabbamMMJJJmRJMRJJJJ 221)(11002120100 ）aaCcamrMRMRJJJmrJMRJJJJ 2222002220200221)(2 ）2- -4刚体定轴
12、转动的角动量和角动量守恒定律刚体定轴转动的角动量和角动量守恒定律第四章第四章 刚体的定轴转动刚体的定轴转动物理学物理学第五版第五版14 例例4轻绳一端轻绳一端系着质量为系着质量为m的质的质点，另一端穿过光点，另一端穿过光滑水平桌面上的小滑水平桌面上的小孔孔O用力拉着，质用力拉着，质点原来以等速率作半径为点原来以等速率作半径为r 的圆周运动，问的圆周运动，问当拉动绳子向正下方移动到半径为当拉动绳子向正下方移动到半径为r/2时，质时，质点的角速度多大？点的角速度多大？mrr/2FvO2- -4刚体定轴转动的角动量和角动量守恒定律刚体定轴转动的角动量和角动量守恒定律第四章第四章 刚体的定轴转动刚体的
13、定轴转动物理学物理学第五版第五版15解解 m转动中，转动中，所所受力矩受力矩M=02222)(rmrmrvr/42v得得2211JJ L常矢量常矢量mrr/2FvO2- -4刚体定轴转动的角动量和角动量守恒定律刚体定轴转动的角动量和角动量守恒定律第四章第四章 刚体的定轴转动刚体的定轴转动物理学物理学第五版第五版16 例例3 质量很小长度为质量很小长度为l 的均匀细杆，可的均匀细杆，可绕过其中心绕过其中心 O并与纸面垂直的轴在竖直平面并与纸面垂直的轴在竖直平面内转动内转动当细杆静止于水平位置时，有一只当细杆静止于水平位置时，有一只小虫以速率小虫以速率 垂直落在距点垂直落在距点O为 l/4 处，并
14、背处，并背离点离点O 向细杆的端点向细杆的端点A 爬行设小虫与细杆爬行设小虫与细杆的质量均为的质量均为m问：欲使细杆以恒定的角速问：欲使细杆以恒定的角速度转动，小虫应以多大速率向细杆端点爬行度转动，小虫应以多大速率向细杆端点爬行?0vl/4O2- -4刚体定轴转动的角动量和角动量守恒定律刚体定轴转动的角动量和角动量守恒定律第四章第四章 刚体的定轴转动刚体的定轴转动物理学物理学第五版第五版17220)4(1214lmmllmvl0712 v解解虫与杆的虫与杆的碰撞前后，系统角碰撞前后，系统角动量守恒动量守恒2- -4刚体定轴转动的角动量和角动量守恒定律刚体定轴转动的角动量和角动量守恒定律第四章第
15、四章 刚体的定轴转动刚体的定轴转动物理学物理学第五版第五版18l0712 v由角动量定理由角动量定理tJtJtLMddd)(dddtrmrmrmltmgrdd2)121(ddcos22考虑到考虑到t)712cos(247cos2dd00tltgtrvvlg2- -4刚体定轴转动的角动量和角动量守恒定律刚体定轴转动的角动量和角动量守恒定律第四章第四章 刚体的定轴转动刚体的定轴转动物理学物理学第五版第五版19 例例4一杂技演员一杂技演员M由距水平跷板高为由距水平跷板高为h 处自由下落到跷板的一端处自由下落到跷板的一端A，并把跷板另一，并把跷板另一端的演员端的演员N弹了起来问演员弹了起来问演员N可弹
16、起多高可弹起多高? ?ll/2CABMNh2- -4刚体定轴转动的角动量和角动量守恒定律刚体定轴转动的角动量和角动量守恒定律第四章第四章 刚体的定轴转动刚体的定轴转动物理学物理学第五版第五版20设跷板是匀质的，长度为设跷板是匀质的，长度为l，质量为质量为 ，跷板可绕中部支撑点跷板可绕中部支撑点C 在竖直平面内转动，在竖直平面内转动，演员的质量均为演员的质量均为m假定演员假定演员M落在跷板上，落在跷板上，与跷板的碰撞是与跷板的碰撞是完全非弹性完全非弹性碰撞碰撞m解解碰撞前碰撞前M落在落在 A点的速度点的速度21M)2( ghv碰撞后的瞬间，碰撞后的瞬间，M、N具有相同的线速度具有相同的线速度2l
17、u 2- -4刚体定轴转动的角动量和角动量守恒定律刚体定轴转动的角动量和角动量守恒定律第四章第四章 刚体的定轴转动刚体的定轴转动物理学物理学第五版第五版21M、N和跷板组成的系统，角动量守恒和跷板组成的系统，角动量守恒22M21121222mllmlmuJlmvll/2CABMNh2- -4刚体定轴转动的角动量和角动量守恒定律刚体定轴转动的角动量和角动量守恒定律第四章第四章 刚体的定轴转动刚体的定轴转动物理学物理学第五版第五版22lmmghmmllmlm)6()2(621222122Mv解得解得演员演员N以以u起跳，达到的高度：起跳，达到的高度：hmmmglguh2222)63(8222M21121222mllmlmuJlmv
