1、人工智能及其应用 2 2第四章 模糊计算n4.1 人工智能研究背景n4.2 模糊计算q4.2.1 模糊数学概论 q4.2.2 模糊变换与模糊集合q4.2.3 隶属函数q4.2.4 模糊矩阵与模糊关系q4.2.5 模糊推理q4.2.6 模糊逻辑语言人工智能及应用第4章 计算智能3 34.1 人工智能研究背景n学科交叉是当前研究领域的一个重要特征 q信息科学与生命科学的相互交叉、相互渗透和相互促进是现代科学技术发展的一个显著特点。 n计算智能是学科交叉研究过程中出现的一个重要 研究方向 q计算智能涉及神经网络、模糊逻辑、进化计算和人工生命等领域，它的研究和发展正反映了当代科学技术多学科交叉与集成的
2、重要发展趋势。 第4章 计算智能概述4 4什么是计算智能n神经网络（NN）与人工智能（AI） q把神经网络归类于人工智能可能不大合适，而归类于计算智能 （CI）更能说明问题实质。进化计算、人工生命和模糊逻辑系统的某些课题，也都归类于计算智能。 n计算智能与人工智能 q计算智能取决于制造者（manufacturers）提供的数值数据，不依赖于知识； q人工智能应用知识精品（knowledge tidbits），故此，一种说法是人工神经网络应当称为计算神经网络。 第4章 计算智能概述5 5计算智能与人工智能的区别和关系第4章 计算智能概述6 6第4章 计算智能概述计算智能与人工智能的区别和关系nA
3、Artificial，即人工的（非生物的） nBBiological，即物理的化学的 (？)生物的 nCComputational，表示数学计算机 n计算智能是一种智力方式的低层认知，它与人工智能的区别只是认知层次从中层下降至低层而已。中层系统含有知识（精品），低层系统则没有。 7 7计算智能与人工智能的区别和关系n当一个系统只涉及数值（低层）数据，含有模式识别部分，不应用人工智能意义上的知识，而且能够呈现出： （1）计算适应性； （2）计算容错性； （3）接近人的速度； （4）误差率与人相近， 则该系统就是计算智能系统。 n当一个智能计算系统以非数值方式加上知识（精品）值，即成为人工智能系统
4、。 第4章 计算智能概述84.2 模糊计算n模糊数学是用数学方法研究和处理具有“模糊性模糊性”现象的数学。“模糊性”主要是指客观事物差异的中间过渡的“不分明性”，例如“高与矮”、“干净与脏”、“美与丑”、“冷与热”等等，都难以明确的划定界限。n模糊数学不是让数学变成模糊的概念，其关键在于如关键在于如何寻求适当的数学语言来描述事物的模糊性何寻求适当的数学语言来描述事物的模糊性。n必备知识q集合论q数理逻辑的命题演算q用布尔函数的观点将集合和命题演算统一起来。第4章 计算智能模糊计算94.2 模糊计算n随机性与模糊性q随机性n在事物的出现与否上表现的不确定性n用在0，1上取值的概率分布函数说明随机
5、性，用统计数学研究随机性事件nAI中，研究方法有：q主观贝叶斯法： if EP(E) then (LS,LN)HP(H) 即在E为概率P(E)的条件下，具有一定充分性和必要性条件时推理得到H的概率为P(H)。q可信度法：if E then H(CF(H,E)即由E推理得到H的可信度为CF(H,E)。第4章 计算智能模糊计算104.2 模糊计算q模糊性n被研究事件的概念本身是模糊的，这种由概念的模糊而形成的不确定称为模糊性。n用在0，1上取值的隶属函数说明模糊性。q结论n随机性：对确定性事件作不充分的估计对确定性事件作不充分的估计-概率n模糊性：对不确定性事件作确定性程度的描述对不确定性事件作确
6、定性程度的描述-隶属函数例：明日气温是15的概率为0.1 明日是较暖和气温的可能性为0.1（隶属函数） 电压是220V的概率为0.95 电压是合格的可能性为0.95（隶属函数）第4章 计算智能模糊计算114.2.1 模糊数学概论1. 模糊数学起源q以Zadeh于1965后提出的模糊集合概念为基础。q模糊子集n用经典数学处理模糊性现象的集合，采用0.1闭区间和映射的方法q确定性与模糊性的联系分解定理n任意一个表述模糊现象的模糊子集都可分解为连续数的经典子集的并（或）集，反之，一组满足一定条件的连续数的经典子集，可以表现为一个模糊子集。n具有一定条件的确定性现象可以表现为模糊性现象，或模具有一定条
7、件的确定性现象可以表现为模糊性现象，或模糊性现象可以分解为确定性现象。糊性现象可以分解为确定性现象。第4章 计算智能模糊计算124.2.1 模糊数学概论qZadeh的模糊子集论不是唯一的处理模糊性现象的数学方法，但它开创了应用经典数学处理模糊性问题的先河，并使模糊集合论及应用取得较大成果。它是应用经典数学方法处理一类最基本、简单的模糊性现象的理论和方法。第4章 计算智能模糊计算134.2.1 模糊数学概论2. 模糊性分类q模糊性是人类认识事物的认知过程产生的对事物的客观关系和客观特征，它并不是客观事物固有的内在属性。q这一客观关系和客观特征是人对客观事物认知的思维特征，带有主观性，但反映的事物
8、是客观的。故这种认知特征具有不确定性。第4章 计算智能模糊计算144.2.1 模糊数学概论（1）狭义模糊性q在高维空间是确定性的概念（如X气温、XV电压）降低到低维空间处理时，在低维空间出现模糊性，这种模糊性是确定性概念外延引起的，它代表事物“高维”边界形态在“低维”时的不确定性。q具有以下特征和问题n可处理一类特殊的模糊化的确定性问题，本质上属于经典数学的范畴n需要探讨能否建立统一的数学与逻辑方法统一的狭义模糊数学n一定条件下狭义模糊性问题可变换变换为高层次模糊性问题第4章 计算智能模糊计算154.2.1 模糊数学概论（2）一般模糊性q它反映了一般概念性事物呈现的模糊性（如年轻、年老） ，即
9、反映了具体事物和抽象事物的模糊性。q具体事物的模糊性即概念外延（气温、电压）-狭义模糊性，而抽象事物的模糊性为概念内涵。q在一定条件下，可变换为狭义模糊性问题或更高层次的模糊性问题。第4章 计算智能模糊计算164.2.1 模糊数学概论（3）广义模糊性q“可表达思维”（如小康）中存在的模糊性。q可表达思维存在着概念性思维和非概念性思维，由此而形成相应的知识与信息。故广义模糊性包括一般模糊性。q以文字为例，各类词组、句子都是可表达性思绪的知识和信息的基本内容与方式，其中存在模糊性时，即为广义模糊性。q目前尚无广义模糊数学。第4章 计算智能模糊计算174.2.1 模糊数学概论（4）泛模糊性q意象思维
10、中的模糊性，即抽象思维的模糊性，如和谐、可爱等等。q目前尚无相应的数学方法。第4章 计算智能模糊计算184.2.2 模糊变换与模糊集合1. 模糊变量q事物的模糊性以知识表述，而知识又以数学的变量来说明事物本身的概念。q模糊变量是指清晰变量的模糊化。例如“电压U”是通常意义下的变量，而“较低电压”则为一个模糊变量。q用隶属函数说明其模糊性。第4章 计算智能模糊计算194.2.2 模糊变换与模糊集合2. 模糊集合q普通集合（即清晰集合）指具有某种确定性质，彼此可以区别的事物的总体。q清晰集合中，一个事物只能是属于（是）或不属于（假）某一集合，即XAAxAxxCA01)()(xCA为集合A的特征函数
11、第4章 计算智能模糊计算204.2.2 模糊变换与模糊集合q模糊集合定义：n给定论域X中有子集F， 是X的模糊集合。X到0，1的任一映射为 ，模糊集合F定义为：n物理意义：论域X中的元素 对集合F有隶属函数在0，1闭区间时，这些 组成了模糊集合F，故F也称为模糊子集，由 表征。n如X为年龄，则X可在0150，而F=年轻则是X的一个子集。xF 1 , 0:XFF)(,1 , 0:xxXFF或)(xF为X在0，1区间的映射，称为隶属函数。x)(xFx)(xF第4章 计算智能模糊计算214.2.2 模糊变换与模糊集合3. 模糊集合的表达方式论域X可能有两种形式，其表现模糊集合的形式不一样：qX为离散
12、有限域 时，F的表示方法有nZadeh表示法,21nxxx10, 3 , 2 , 1 XniiiFnnFFFxxxxxxxxF12211)()()()(例：10/09/1 . 08/4 . 07/7 . 06/15/14/7 . 03/3 . 02/1 . 01/0 几个F8/17/16/15/7 . 04/2 . 03/1 . 0 较大F第4章 计算智能模糊计算224.2.2 模糊变换与模糊集合n序偶表示法序偶是清晰集合的概念，表示两个元素的集合，其顺顺序不能改变序不能改变，即用序偶表示模糊集合有：n向量表示法将F视为向量，X的元素均应计入，顺序不能改变顺序不能改变，则),(),(xyyx)
13、(,( ,),(,(),(,(2211nFnFFxxxxxxF)1 . 0 , 9(),4 . 0 , 8(),7 . 0 , 7(),1 , 6(),1 , 5(),7 . 0 , 4(),3 . 0 , 3(),1 . 0 , 2( 几个F0 , 1 . 0 , 4 . 0 , 7 . 0 , 1 , 1 , 7 . 0 , 3 . 0 , 1 . 0 , 0 几个F第4章 计算智能模糊计算234.2.2 模糊变换与模糊集合qX为连续有限域例：年龄*)(xxFF不表示积分，而表示论域X为连续域150, 0X15050/)505(1 500012xxxxF老年15030/)530(1 300
14、112xxxxxF年轻第4章 计算智能模糊计算244.2.2 模糊变换与模糊集合4. 关于模糊集合的几个基本定义n台（support）集合（模糊支集）q子集F中， 的元素称为台q台集合即是这些台元素的集合。q如 的台集合为1)(0 xF几个F9 , 8 , 7 , 6 , 5 , 4 , 3 , 2sup几个第4章 计算智能模糊计算254.2.2 模糊变换与模糊集合n正则（normal）模糊集合q若有 则称为正则模糊集合。q如 、 均为正则模糊集合。几个F第4章 计算智能模糊计算1)(maxxFXx年轻F264.2.2 模糊变换与模糊集合n凸模糊集合q若有 ，则称为凸模糊集合。)()()(),
15、(min()(2121xxxxxFFFFF第4章 计算智能模糊计算274.2.2 模糊变换与模糊集合n单点模糊集合q若X中，F的台集合仅为一个点，且该点的 ，则称F为单点模糊集合。n核q台集合的最大值对应区1)(xF第4章 计算智能模糊计算284.2.2 模糊变换与模糊集合5. 模糊集运算n定义n基本运算q逻辑运算q基本代数运算q模糊集合逻辑运算的基本性质第4章 计算智能模糊计算4.2.2 模糊变换与模糊集合n运算q交集：设A和B是U上的两个模糊集合，则对所有的 ，A和B的交集是定义在U上的一个模糊集合，其隶属函数定义如下：q并集：A和B的并集是定义 在U上的一个模糊集合，其隶属函数定义如下：
16、q补集：A的补集 是定义 在U上的一个模糊集合，其隶属函数定义如下：29U( )min( ),( )A BABuuu( )max( ),( )A BABuuu( )1( )AAuu A第4章 计算智能模糊计算4.2.2 模糊变换与模糊集合q映射 若满足条件，则：30第4章 计算智能模糊计算:0,1 0,10,1t三角模三角模T三角模三角模S(0,0)0, (1,1)1tt,( , )( , )ac bdt a bt c d( , )( , )t a bt b a( ( , ), )( , ( , )t t a b ct a t b c(1, )taa( ( , ), )( , ( , )t t
17、 a b ct a t b c(0,0)0, (1,1)1tt,( , )( , )ac bdt a bt c d( , )( , )t a bt b a(0, )taa4.2.2 模糊变换与模糊集合q常见的三角模T与三角模S31第4章 计算智能模糊计算三角模三角模T三角模三角模S模糊交模糊并代数乘代数和有界乘有界和直积直和min, a babmax 0,1ab,1,10, ,1a bb aa b,0,00, ,0a bb aa bmax, a baba bmin 1,ab324.2.2 模糊变换与模糊集合6. 截（割）集及分解定理（1）截集n定义： 强截集的称为水平集截集的称为则称为水平设A
18、AxxAAAxxAxFAAA)()2)()() 1)( 10)(第4章 计算智能模糊计算334.2.2 模糊变换与模糊集合n性质q q q 第4章 计算智能模糊计算AA 则BABA)(BABA)(344.2.2 模糊变换与模糊集合（2）分解定理（分解原理）n联系模糊集合与清晰集合的一个桥梁n若有模糊集 ， 是A的一个截集，则有下列分解式成立：A第4章 计算智能模糊计算AA)(xFAXA或分解定理：U为组合)(0)()()(, 1)(AxAxxxxAAAA或的也是论域X上的一个模糊子集。A354.2.2 模糊变换与模糊集合例： ，并有,54321xxxxxX 第4章 计算智能模糊计算4326 .
19、 04324326 . 0/6 . 0/6 . 0/6 . 06 . 0/1/1/1,xxxAxxxxxxA,6 . 0;1432131xxx，Ax，A54321/3 . 0/7 . 0/1/6 . 0/4 . 0 xxxxxA则364.2.2 模糊变换与模糊集合利用分解定理，将截集组合还原为模糊集，以上例所得结果为例：第4章 计算智能模糊计算54321543215432143214324333 . 04 . 06 . 07 . 013 . 07 . 016 . 04 . 03 . 07 . 06 . 04 . 03 . 017 . 06 . 04 . 03 . 06 . 04 . 03 .
20、04 . 03 . 0)3 . 03 . 03 . 03 . 03 . 0()4 . 04 . 04 . 04 . 0()6 . 06 . 06 . 0()7 . 07 . 0(13 . 04 . 06 . 07 . 01xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxAAAAAAA374.2.2 模糊变换与模糊集合7. 扩展原理（扩展定理）n设X和Y为两个论域，f是从X到Y的一个映射，对U上的模糊集合A，扩张原理由下式在Y上定义一个模糊集合B：即对 ， 是 的上界，因此， 式中 ，且设 非空。当 对某些 为空集时，设 。 1( )( )( )BAxyyx第4章 计算智能模糊计算( )Byy
21、YxX ( )f xy( )Ax1( )fy1( )fyyY( )0By384.2.2 模糊变换与模糊集合n扩展是一个映射关系，其实质是一个恒等关系。n设f是论域X到Y的一个映射，写成：nA是论域X的一个模糊子集，根据扩展原理有： 表示一个新映射，而前面的f是一个清晰映射。n整个扩展原理为：即X的幂集 映射成Y的幂集:fXY第4章 计算智能模糊计算)();()(:AfAYXfYXf有则)(AfAf)(X)(Y39若 为平方关系，即4.2.2 模糊变换与模糊集合例：543213 . 07 . 016 . 04 . 0 xxxxxAf2)(AAf则由A映射到2)(AAf。作为一般概念，为：),()
22、(AxxfyyAf即由A扩展到)(Af则252423222123 . 07 . 016 . 04 . 0)(xxxxxAAf第4章 计算智能模糊计算404.2.2 模糊变换与模糊集合设则2222253 . 047 . 03126 . 014 . 0)( AAf第4章 计算智能模糊计算54321 ,54321，xxxxxX414.2.3 隶属函数n模糊计算是以模糊集理论为基础的计算q模拟人脑非精确、非线性的信息处理能力q模糊集合模糊集合（Fuzzy Sets）n论域U到0, 1 区间的任一映射 ，即 ，都确定U的一个模糊子集F； 称为F的隶属函数或隶属度。在论域U中，可把模糊子集表示为元素u与其
23、隶属函数 的序偶集合，记为：q模糊支集、交叉点及模糊单点n若模糊集是论域U中所有满足中 的元素u构成的集合，则称该集合为模糊集F的支集。n当u满足 ，称为交叉点。n当模糊支集为U中一个单独点，且u满足 则称模糊集为模糊单点。F 1 , 0FF)(uF0)(uF5 . 0)(uF0 . 1)(uF第4章 计算智能模糊计算)(,( UuuuFF424.2.4 模糊矩阵与模糊关系n模糊关系q是模糊集合进入应用的重要基本概念。q描述模糊集合的元素与元素之间或此集合与彼集合的元素关系。q当论域X为有限域时，用模糊矩阵表示模糊关系。 第4章 计算智能模糊计算43434.2.4.1 模糊矩阵n定义q一般提法
24、一般提法：用矩阵形式来表示两个模糊集合的元素之间或模糊集合中各元素之间的关系，此矩阵即为模糊矩阵。矩阵元素为 ，i为行，j为列。q正规提法正规提法：当有模糊集合 ，有 ，则称 为模糊矩阵。 为 对于关系r的隶属度。第4章 计算智能模糊计算 1 , 0ijr, 1, 1mjjniiyYxX),(jiRijyxr)(ijmnrR),(jiRyxjiyx ,44444.2.4.1 模糊矩阵n模糊矩阵的截矩阵设 ，对于任意 q定义： ，则 称为R的截矩阵。q性质：当 对任意 ，有nmijrR)(ijijijrrr01第4章 计算智能模糊计算 1 , 0mnijrR)(SR 1 , 0SR SRSRSR
25、SR)(;)(45454.2.4.1 模糊矩阵例：18 . 03 . 05 . 0R第4章 计算智能模糊计算则：11113 . 0R11015 . 0R11008 . 0R46464.2.4.2 模糊关系n概念设有集合 ，问：该集合中“小于”，“小得多”两个关系。0000010000110001110011110小于第4章 计算智能模糊计算000000.100000.30.10000.70.40.10010.80.50.20R小得多（清晰）（清晰）（模糊）（模糊）矩阵元素),(jiijijxxr5 , 4 , 3 , 2 , 1A474.2.4.2 模糊关系q模糊关系是普通关系的拓宽。例：身高
26、 与体重的“正常”关系R为：9585756555,45;200190180170160,150，B，A第4章 计算智能模糊计算15 . 01 . 00005 . 015 . 000006 . 013 . 000006 . 012 . 00001 . 06 . 017 . 00001 . 07 . 01YXRcmX)200,150(kgY)95,45(484.2.4.2 模糊关系n定义q模糊关系是两个非空模糊集合X、Y的直积（叉乘）中的一个模糊子集。q设X和Y是两个论域，模糊关系R是积空间 上的一个模糊集合，即当 的隶属函数为 。XY第4章 计算智能模糊计算),(jiRijyxr,xX yYR的
27、元素：表示 ix对 jy这一关系的隶属度。如y比x大得多这一关系：0) 1 ,20(, 1)20, 1 (RR( , )Rx y49)(0)()10(11),(2xyxyxyyxxy4.2.4.2 模糊关系n当用有限连续域表示时，模糊关系qy比x大得多（ ）qx比y大致相同qy比x小得多xy 第4章 计算智能模糊计算YXRYXyxyxR),/(),(2)(),(yxyxeyx)(0)()5(1, 1min(),(2xyxyyxyxxy50n模糊关系的合成与性质q合成关系两个模糊关系的合成构成一个新的模糊关系。如：普通关系合成：叔侄=（兄弟o父子），师生=（教师o学生）。具体地：n定义：设P是
28、上的一个模糊关系，Q是 上的一个模糊关系。R与S是 上的两个模糊关系。4.2.4.2 模糊关系第4章 计算智能模糊计算YX ZY ZX 514.2.4.2 模糊关系有两种定义合成关系：1） 是P与Q的合成：2） 也是P与Q的合成：有：),(),(),(),(zyyxZXZXQPYyQPR第4章 计算智能模糊计算QPRQPS),(),(),(),(zyyxZXZXQPYyQPSQPQP先小后大先小后大先大后小先大后小524.2.4.2 模糊关系以上关系也可表述为：则：kjiklmqpQPR第4章 计算智能模糊计算lmkjmnikqQpP;534.2.4.2 模糊关系q性质n n n 当两个关系不
29、能用模糊矩阵表示，仍可以进行合成，也遵守最小最大原则。n 合成关系的转置RRRRRRXXFRnn12)(，时，当第4章 计算智能模糊计算TTTPQQP)(RRIIR544.2.4.2 模糊关系015 . 01 . 09 . 002 . 04 . 017 . 06 . 03 . 0P8 . 03 . 04 . 06 . 05 . 01 . 0Q5 . 06 . 04 . 06 . 05 . 04 . 07 . 06 . 0) 8 . 00 () 4 . 01 () 5 . 05 . 0 () 3 . 00 () 6 . 01 () 1 . 05 . 0 () 8 . 01 . 0 () 4 .
30、09 . 0 () 5 . 00 () 3 . 01 . 0 () 6 . 09 . 0 () 1 . 00 () 8 . 02 . 0 () 4 . 04 . 0 () 5 . 01 () 3 . 02 . 0 () 6 . 04 . 0 () 1 . 01 () 8 . 07 . 0 () 4 . 06 . 0 () 5 . 03 . 0 () 3 . 07 . 0 () 6 . 06 . 0 () 1 . 03 . 0 (R第4章 计算智能模糊计算5 . 03 . 05 . 01 . 04 . 03 . 05 . 03 . 0QPS554.2.4.2 模糊关系第4章 计算智能模糊计算01
31、 . 02 . 07 . 019 . 04 . 06 . 05 . 0013 . 08 . 04 . 05 . 03 . 06 . 01 . 05 . 04 . 05 . 07 . 06 . 06 . 04 . 06 . 0)(TTTTPQRQP564.2.4.2 模糊关系n特殊性质 自返性一个模糊关系 ，若对于 ，当 X=Y时，都有 ，则称R为自返性的模糊关系。即 表明每个元素x与自身从属关系程度为1，若 ，则称R为反自返性。 )(YXrij第4章 计算智能模糊计算1),(iiRxx)(YXFR1),(xxR0),(iiRxx574.2.4.2 模糊关系当R具有自返性时，有以下性质存在：q当
32、R为自返，P是任意模糊关系， ，有q q 当R，S均为自返，则 也是自返。 PRPPPR;第4章 计算智能模糊计算SRSRSR,)(,YXFPRRRR584.2.4.2 模糊关系 对称性q对于R，若 ，均有 成立，则称R具有对称性。qR具有对称性时， 。qR，S对称时， 也对称q 成立时， 也对称。q若R既有自返性，又有对称性，则称R为模糊相容关系。),(),(xyyxRR第4章 计算智能模糊计算)(),(YXFyxTRR SRSR ,RSSRSR594.2.4.2 模糊关系 传递性q设 ，若 ，均有则称R具有传递性。如“大得多”，“小得多”均具有此特性。q当R，S具有传递性时，且 成立，则也
33、具有传递性。qR，S具有传递性时， 也是传递的，但 不一定是传递的。q若R既有自返性，又有对称性与传递性时，则称R为类似关系。),(),(),(zyyxzxRRR第4章 计算智能模糊计算XXzyx,SRRSSRSR)(XXFRSR604.2.4.2 模糊关系 对比性q若R是 中一个模糊关系，且满足 时， 则称R具有对比性。),(0),(0),(YXyxxyyxRR或第4章 计算智能模糊计算yx YX 61614.2.5 模糊逻辑推理n模糊集合论的应用（控制、辨识等）是基于“专家知识”采用语言规则（模糊逻辑语言）表示的一种人工智能。n模糊逻辑语言是表述模糊知识，而模糊知识的推理是指运用已掌握的（
34、模糊）知识，找出其中蕴含的事实，或归纳出新的事实。这一过程通常就称推理推理，而模糊知识的表述则建立在模糊逻辑概念上。第4章 计算智能模糊计算62624.2.5.1 模糊命题与模糊逻辑1. 模糊命题 q概念模糊的陈述句。如（“”表示模糊命题）n例如： ：他很年轻； ：电压偏高q模糊命题的真值不能用“T”或“F” 来说明。相对于二值逻辑命题，模糊命题有以下特点：n 的真值为 ， 用来说明模糊命题的真假程度。即 是隶属函数，它可以是连续的，也可是多值的。如“电压偏高”= ，对于市电可以是220V240V范围（ ）。第4章 计算智能模糊计算ABA0,1A0163634.2.5.1 模糊命题与模糊逻辑n
35、当一个模糊命题 的 只为1或0，则该命题变为清晰命题。因此可以认为清晰命题A是模糊命题 的特例。n模糊命题的一般形式写为： ，P是对应于模糊命题 所指的这一模糊概念所对应的论域X中的一个模糊子集（ ）。X是 中的元素（只要概念无误，常将模糊集的“”符号省略）。 第4章 计算智能模糊计算A:( )( )AA P xP x或PX0,1AAP64644.2.5.1 模糊命题与模糊逻辑n当有 ，若 有 ，且 ，则称 为 恒真命题；当 ，则为清晰恒真命题（类似于模糊集合的截集概念）。n模糊命题类似于二值逻辑命题，同样可以进行逻辑运算。第4章 计算智能模糊计算:A xP是xX ( )Px0,1A16565
36、4.2.5.1 模糊命题与模糊逻辑2. 模糊逻辑（以下在表述时省略 符号）q 模糊逻辑是建立于模糊集合和二值逻辑概念基础上的一类特殊的多值逻辑。q是二值逻辑的模糊化。n二值逻辑是阈值逻辑n模糊逻辑是0，1的连续值逻辑第4章 计算智能模糊计算664.2.5.1 模糊命题与模糊逻辑（1）摩根代数二值逻辑用布尔函数进行运算，而模糊逻辑用摩根代数软代数进行运算。q布尔代数、格一个集合L，若在其中定义了“ ”(析取）、“ ”（合取）两种运算，且具有以下性质，满足幂等律、结合律、交换律和吸收律，则称L是一个格格，且是完备格完备格，写成 。第4章 计算智能模糊计算 , ; , ;,xyx yxyx yx y
37、L ( , , )L 674.2.5.1 模糊命题与模糊逻辑若有：幂等律：交换律：结合律：吸收律：则有一个 。;xxx xxx第4章 计算智能模糊计算;xyyx xyyx();()xxyx xxyx()()xywxyw( , , )L 68684.2.5.1 模糊命题与模糊逻辑n若L满足分配律，则称L是一个分配格分配格：n若完备格L具有最大元1和最小元0，满足 ，若有 ，则称y为x的一个补元补元，即 。第4章 计算智能模糊计算()()()()()()xywxwywxywxwyw1;00 xx x 1;0 xyxyyx69694.2.5.1 模糊命题与模糊逻辑n具有补元的分配格称为有补分配格有补
38、分配格。在有补分配格中进行的代数运算即为布尔代数，记为 ，又称为布尔格。在布尔格中，补元 是唯一的，且满足以下性质。还原律：互补律：对偶律（摩根定律）：第4章 计算智能模糊计算( , , , )Lc cyxx()( )ccxxx()1;()0ccxxxx;xyxy xyxy70704.2.5.1 模糊命题与模糊逻辑q摩根代数（软代数）n若有补分配格（布尔格）中，不满足互补律，其它逻辑运算不变，同时满足下述条件的称为摩根格。n摩根代数可用于模糊逻辑运算。第4章 计算智能模糊计算1max( ,1)0min( ,1)ccxxxxxxxxxxxxxxxx xL 71714.2.5.1 模糊命题与模糊逻
39、辑（2）模糊逻辑函数q模糊命题中，改变其真值（即 的大小）的变量 ，称为模糊变量模糊变量。q对 施以某种逻辑运算的数学关系则称为模模糊逻辑函数糊逻辑函数，这一运算用逻辑代数式表示，遵循软代数规则。第4章 计算智能模糊计算( )Pxxx72724.2.5.1 模糊命题与模糊逻辑3. 模糊逻辑公式（1）在数学意义上，模糊逻辑公式就是模糊逻辑函数通过代数运算关系的一种映射映射。设模糊变量集合为 ，定义映射F：上述 只表示是n个模糊变量组成的F映射，结果仍在0，1范围内去确定其值为真（T）的程度。第4章 计算智能模糊计算12,0,1nx xxx :0,10,1nF0,1n73734.2.5.1 模糊命
40、题与模糊逻辑为方便，模糊逻辑公式可简写成如下形式 ，全体f的集合为 。每个公式f都有一个运算结果，即真值，记为 。真值函数为： ，即每个公式的结果映射到0，1。第4章 计算智能模糊计算12( ,)nf x xx:0,1T F f( )T f74744.2.5.1 模糊命题与模糊逻辑（2）模糊逻辑公式的特点设 是模糊逻辑公式，则有n 也是模糊逻辑公式n如果 是公式，则 也是公式，且有以下关系成立： 第4章 计算智能模糊计算12( ,)nff x xx0,1,(1,)ix inF121212121212( )1( ); ()max( (), ()()min( (), ()()min(1,1()()
41、T fT fT ffT fT fT ffT fT fT ffT fT f 12,ff121221,ffffff75754.2.5.1 模糊命题与模糊逻辑n若有 ，则称 包含 （ ）n若 对于变量x所有的赋值都有 ，则称f为模糊恒真模糊恒真（相容相容）；反之，对所有赋值都有 ，则称 为模糊恒假模糊恒假（不相不相容容），真实的 可能是既不恒真也不恒假，或可以是恒真或恒假。第4章 计算智能模糊计算( )f x( )0.5T f ( )T f12( )( )f xfx2f1f21ff( )f x( )0.5T f 76764.2.5.2 模糊逻辑函数的范式n合取范式合取范式（CNF：conjuncti
42、on Norms Function）：任一模糊逻辑函数均可通过等价变换，使之成为先析取先析取后合取后合取的表达式。n析取范式析取范式（DNF：Disjunction Norms Function） ：任一模糊逻辑函数均可通过等价变换，使之成为先合先合取后析取取后析取的表达式。n这两种形式都是 的标准形式，在编程、设计线路或简化设计时十分有用。第4章 计算智能模糊计算( )f x77774.2.5.2 模糊逻辑函数的范式设有 ，则有由于模糊变量x不是二值逻辑函数，故在求取范式时，不像二值逻辑函数方便。此时，只能分别令 为1和0时，确定f的值，列出其值表，再根据f为1时对应逻辑变量取“交”，作为析
43、取范式的一项，将全部“交项”求并，即得到析取范式。第4章 计算智能模糊计算1111ppnnijijijjifxfx 对偶(析取)(合取)12( ,)nff x xxix78784.2.5.2 模糊逻辑函数的范式例：模糊变量 有如下函数式，求范式。解：令求析取范式，由软代数性质可得：第4章 计算智能模糊计算123123132123132( ,)()()() ()f x x xxxxxxxxx xxx x123,x x x123123132( ,)()()1f x x xxxxxxx79794.2.5.2 模糊逻辑函数的范式合取范式为：第4章 计算智能模糊计算123131223131223( ,)
44、()()()0()()()f x x xxxxxxxxxxxxx1231231321323122313122323121312231 31 22 3( ,)() ()()() ()()() ()() ()()()()()f x x xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx x80804.2.5.2 模糊逻辑函数的范式第4章 计算智能模糊计算x1x2x3f(x1,x2,x3)00000010010001111000101111011111814.2.5.3 模糊逻辑语言n模糊控制中，知识用模糊逻辑语言表述。n模糊语言q分类n自然语言：具有模糊性n形式语言：二值逻辑
45、语言，如计算机机语言q定义n凡含有模糊概念的语言均为模糊语言n用符号系统符号系统来描述。第4章 计算智能模糊计算824.2.5.3 模糊逻辑语言n语言变量：q可用一个五元组 来表征，其中x为变量名称； 为x的术语集合，即x语言取值名称 的集合，其中x的每一个语言取值对应于一个在U上的模糊集合；U是论域，G为x语言取值的语法规则；M为解释x每个语言取值的语义规则。第4章 计算智能模糊计算( , ( ),)x T x U G M( )T x834.2.5.3 模糊逻辑语言q若一个变量能够用普通语言中的词（如小、大和快、慢等）来取值 ，则该变量就定义为语言变量。所用的词常常是模糊集合的标识词。一个语
46、言变量的取值既可为词也可为数据。第4章 计算智能模糊计算844.2.5.3 模糊逻辑语言q表述形式n仿照集合概念，设“单词”的论域为X，“模糊的单词”只是X上的一个模糊子集A，单词通过“或”、“与”、“非”构成词组，如：q q 红粉笔红色粉笔第4章 计算智能模糊计算非机动车机动车子854.2.5.3 模糊逻辑语言n模糊语言算子q在单词或词组前加上一些前缀词，可构成不同性质的词组，这些前缀称为语言算子，常用的算子有以下三种：n语气算子n模糊算子n判定化算子 第4章 计算智能模糊计算864.2.5.3 模糊逻辑语言q语气算子n表达语言中对某一单词或词组的确定性程度，如“很”、“非常”、“十分”等等
47、。n设A为论域X的一个模糊子集，即 则n 称为语气算子， 为正实数，即相当于前述的“水平”。( ) ( )H A xA xH AA或简写为第4章 计算智能模糊计算H( )( )A xXAF x或874.2.5.3 模糊逻辑语言n 表现为强化（集中）作用， 时起淡化（扩展）作用。n一般设定：nA是说明某事物的语句，加上 ，就可以运算（集中或扩展）。5/43/45/43/421/221/241/441/4HAHAHAHAHAHA为“相当”为“比较”为“很”为“略”为“极”为“微”第4章 计算智能模糊计算1H1884.2.5.3 模糊逻辑语言q模糊算子n使清晰概念的词或词组的词义模糊化，如“大概”、
48、“近似”等等。n对已模糊的概念，加上模糊算子后，改变其模糊程度。n用F表示模糊算子，有( ) ()( )( )FA xR A xRA x 第4章 计算智能模糊计算894.2.5.3 模糊逻辑语言n 为论域X上一个相似关系（大约关系），一般取为正态分布。如下图及关系式：2200() /00( ,)0 x xR x xexxxx第4章 计算智能模糊计算R1904.2.5.3 模糊逻辑语言nA是一个确定子集，如图示，在 时 ，加上模糊算子（实为 ）后，在一个区间内，有“大约” 的模糊程度。 n 越大，则明显地模糊化程度也越大，如果原来已是模糊化的，改变 也改变其模糊程度。0 x第4章 计算智能模糊计
49、算0()1A xR A0 x914.2.5.3 模糊逻辑语言q判定化算子n对一个模糊集A，乘上一个判定算子，求出其“倾向性”。判定算子与模糊算子恰好是对耦形式。使模糊语句清晰化，如“偏向”、“大半是”等等。n表示为：第4章 计算智能模糊计算:( )( ),( ),0,1/ 2PF xF xAP A924.2.5.3 模糊逻辑语言nP为判定算子，是定义于0，1区间上的实函数。当 时， 表示倾向。n 表示在 的作用下，由一个幂集 转到另一个幂集 。1/2P第4章 计算智能模糊计算1/ 20( )( ( )1/2( ) 1(01/2)1( ) 1A xP A xA xA x ( )( )F xF x
50、P( )F x( )F x934.2.5.3 模糊逻辑语言例： 年轻 年轻（ ）=倾向年轻。 表示为电压倾向于（基本）正常。可写成：01/2001xxPxx正常电压第4章 计算智能模糊计算1/ 22100.95exVUP944.2.5.3 模糊逻辑语言n语言值的四则运算q语言用符号表示后，均可以成为实数域R或其子集为论域的一个子集，从而可以计算。q符号表示在论域X=1，2，9，10上，定义以下语言：第4章 计算智能模糊计算1/2:0.2/ 40.4/50.6/60.8/7 1/8 1/9 1/10:1/1 0.8/ 20.6/30.4/ 40.1/5P 1/6 1/7 1/8 1/9 1/10
