1、 江苏省郑梁梅高级中学江苏省郑梁梅高级中学 李万荣李万荣两个基本计数原理两个基本计数原理先看下面日常生活中的几个问题：先看下面日常生活中的几个问题：从从3 3个不同颜色的小球中抽取两个个不同颜色的小球中抽取两个, , 共有多少种取法？共有多少种取法？ 把我们高二（把我们高二（2 2）班的学号为）班的学号为1,2,31,2,3号的三名同学排成号的三名同学排成一排，共有多少种不同的排法？一排，共有多少种不同的排法？创设情境一创设情境一从从100100个不同颜色的小球中抽取两个个不同颜色的小球中抽取两个, , 共有多少种取共有多少种取法？法？ 把我们高二（把我们高二（2 2）班的）班的5353名同学
2、排成一排，共有多少名同学排成一排，共有多少种不同的排法？种不同的排法？问题问题 1.从甲地到乙地，有从甲地到乙地，有3条公路条公路,2条铁路条铁路,那么那么从甲地到乙地共有多少种不同的方法从甲地到乙地共有多少种不同的方法?上海甲甲乙乙创设情境二创设情境二问题问题2、 从甲地到乙地有从甲地到乙地有3条道路条道路,从乙地到丙地有从乙地到丙地有2条道条道路路,那么从甲地经乙地到丙地共有多少种不同的方法那么从甲地经乙地到丙地共有多少种不同的方法?上海宁波甲甲乙乙丙丙（1）（2）（3）（a）（b）分类计数原理（加法原理）：分类计数原理（加法原理）：如果完成一件事情，如果完成一件事情，有有n n类方式类方
3、式, ,在第在第1 1类方类方式中有式中有m m1 1种不同的方法种不同的方法, ,在第在第2 2类方式中有类方式中有m m2 2种不同的方法，种不同的方法，在第，在第n n类方式中有类方式中有m mn n种不同的方法，那么完成这件事共有种不同的方法，那么完成这件事共有N=mN=m1 1+m+m2 2+ + +m mn n种不同的方法种不同的方法. .两个基本计数原理两个基本计数原理注：注：（1 1）分类；）分类； （2 2）相互独立；）相互独立；（3 3） N=mN=m1 1+m+m2 2+ + +m mn n（各类方法之和）（各类方法之和）分步计数原理（乘法原理）分步计数原理（乘法原理）：
4、如果完成一件事，需要分成如果完成一件事，需要分成n n个步骤个步骤，做第，做第1 1步有步有m m1 1种不同的方法，做第种不同的方法，做第2 2步有步有m m2 2种不同的种不同的方法，方法，做第，做第n n步有步有m mn n种不同的方法，那么种不同的方法，那么完成这件事共有完成这件事共有N N = = m m1 1m m2 2m mn n种不同的种不同的方法方法. . 注：注：（1 1）分步；）分步；（2 2）相互依存；）相互依存；（3 3） N = m1m2mn （各步方法之积）（各步方法之积）例例1、某班共有男生、某班共有男生28名名,女生女生20名名,从从该班选出学生代表参加校学代
5、会该班选出学生代表参加校学代会.(1)若学校分配给该班若学校分配给该班1名代表名代表,有多少有多少种不同的选法种不同的选法?(2)若学校分配给该班若学校分配给该班2名代表名代表,且男女且男女生代表各生代表各1名名,有多少种不同的选法有多少种不同的选法?练习：现有高一年级的学生练习：现有高一年级的学生3名，高二年级的名，高二年级的学生学生4名，高三年级的学生名，高三年级的学生5名，名，（1）从中任选一人参加夏令营，有多少种不）从中任选一人参加夏令营，有多少种不同的选法？同的选法？（2）从每个年级的学生中各选）从每个年级的学生中各选1人参加夏令人参加夏令营，有多少种不同的选法？营，有多少种不同的选
6、法？（3）从不同年级中选两名学生参加夏令营，）从不同年级中选两名学生参加夏令营，一共有多少种不同的选法？一共有多少种不同的选法？ 例例2、 (1) 在图在图 (1)的电路中的电路中,仅合上仅合上一只开关以接通电路一只开关以接通电路,有多少种不同的有多少种不同的方法方法? (2) 在图在图(2)的电路中的电路中,合上两只合上两只开关以接通电路开关以接通电路,有多少种不同的方法有多少种不同的方法?（1）（2）变：如图如图,该电该电路路,从从A到到B共有共有多少条不同的多少条不同的线路可通电（线路可通电（每条线路仅含每条线路仅含一条通路）？一条通路）？AB(1)(2)2、有些较复杂的问题往往不是单纯
7、的、有些较复杂的问题往往不是单纯的“分类分类”“”“分步分步”可以解决的，而要将可以解决的，而要将“分类分类”“”“分步分步”结合起来运用结合起来运用一般一般是先是先“分类分类”，然后再在每一类中，然后再在每一类中“分分步步”， 综合应用分类计数原理和分步计综合应用分类计数原理和分步计数原理数原理.1、用两个计数原理解决计数问题时，、用两个计数原理解决计数问题时，最重要的是开始计算之前要仔细分析最重要的是开始计算之前要仔细分析需要需要分类还是分步，分类要做到分类还是分步，分类要做到“不不重不漏重不漏”，分步要做到，分步要做到“步骤完整步骤完整”规律总结：规律总结： 例例3、有、有1、2、3、4
8、、5五个数字五个数字. （1）可以组成多少个数字允许重复的三位数？）可以组成多少个数字允许重复的三位数？ （2）可以组成多少个无重复数字的三位数？）可以组成多少个无重复数字的三位数？变式：有变式：有0、1、2、3、4、5六个数字六个数字. （1）可以组成多少个数字允许重复的三位数？）可以组成多少个数字允许重复的三位数？ （2）可以组成多少个无重复数字的三位数？）可以组成多少个无重复数字的三位数？课堂小结课堂小结1. 分类计数与分步计数原理是两个最基本，也是分类计数与分步计数原理是两个最基本，也是最重要的原理，是解答排列、组合问题，尤其是最重要的原理，是解答排列、组合问题，尤其是较复杂的排列、组
9、合问题的基础较复杂的排列、组合问题的基础.2.辨别运用分类计数原理还是分步计数原理的关辨别运用分类计数原理还是分步计数原理的关键是键是“分类分类”还是还是“分步分步”，也就是说，也就是说“分类分类”时，各类办法中的每一种方法都是独立的，都能时，各类办法中的每一种方法都是独立的，都能直接完成这件事，而直接完成这件事，而“分步分步”时，各步中的方法时，各步中的方法是相关的，缺一不可，当且仅当做完每个步骤时，是相关的，缺一不可，当且仅当做完每个步骤时，才能完成这件事才能完成这件事.课堂小结：课堂小结：3 3、两个原理的联系、区别：、两个原理的联系、区别：分类计数原理分类计数原理分步分步计数原理计数原理联系联系区别区别1 1区别区别2 2完成一件事，共有完成一件事，共有n n类类办法，关键词办法，关键词“分类分类”完成一件事，共分完成一件事，共分n n个个步骤，关键词步骤，关键词“分步分步”每类办法相互独立，每类办法相互独立，每类方法都能独立地每类方法都能独立地完成这件事情完成这件事情各步骤中的方法相互依各步骤中的方法相互依存，存，只有各个步骤都完只有各个步骤都完成才算完成这件事成才算完成这件事都是研究完成一件事的不同方法的种数的问题都是研究完成一件事的不同方法的种数的问题
