1、福建省三明市福建省三明市 20222022 届高三高中毕业班质量检测（届高三高中毕业班质量检测（D D 卷）卷） 数学试题数学试题 一、选择题本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1已知集合2|8120Ax xx，|14BxZx，则AB I（ ） A1，2 B2,4 C3 D 2已知复数 z满足13ii1 i z，则 z的虚部为（ ） A1i2 B32 C12 D2 3已知双曲线221:10yCxmm与222:122xyC共焦点，则1C的渐近线方程为（ ） A0 xy B20 xy C30 xy D30 xy 4 如图所示的建
2、筑物是号称“神州第一圆楼”的福建土楼二宜楼， 其外形是圆柱形， 圆楼直径为 73.4m，忽略二宜楼顶部的屋檐， 若二宜楼的外层圆柱墙面的侧面积略小于底面直径为 40m，高为 1077m 的圆锥的侧面积的23，则二宜楼外层圆柱墙面的高度可能为（ ） A16m B17m C18m D19m 5已知5cos313 ，则72sin2cos63（ ） A513 B513 C1513 D1513 6我国某科研机构新研制了一种治疗新冠肺炎的注射性新药，并已进入二期临床试验阶段已知这种新药在注射停止后的血药含量 c（t） （单位：mg/L）随着时间 t（单位：h）的变化用指数模型 0ektcct描述，假定某药
3、物的消除速率常数0.1k （单位：1h） ，刚注射这种新药后的初始血药含量02000mg/Lc ，且这种新药在病人体内的血药含量不低于 1000mg/L 时才会对新冠肺炎起疗效，现给某新冠病人注射了这种新药，则该新药对病人有疗效的时长大约为（ ） （参考数据：ln20.693,ln31.099） A5.32h B6.23h C6.93h D7.52h 7已知等差数列na的前 n项和为nS，且5214aa ，339S ，则10S（ ） A6 B10 C12 D20 8已知正方体1111ABCDABC D的棱长为 4，E，F分别是棱1AA，BC 的中点，则平面1D EF截该正方体所得的截面图形周长
4、为（ ） A6 B102 C132 5 D2 139 5253 二、多选题二、多选题 9某人记录了某市 2022 年 1 月 20 日至 29 日的最低温度，分别为5，6，9，5，3，2，3，3，4，8（单位：） ，则关于该市这 10 天的日最低气温的说法中正确的是（ ） A众数为3 B中位数为5 C平均最低气温为4.8 D极差为 6 10设abc，且0abc ，则（ ） A2abb Bacbc C11ac D1cacb 11已知函数 cos(0,)2f xx的部分图像如图所示，则下列说法正确的是（ ） A4 Bf（x）的最小正周期为 2 C将 f（x）的图像向右平移 1 个单位长度，得到函数
5、5cos()4yx的图像 D若 f（x）在区间2，t上的值域为1，22，则 t的取值范围为114，72 12已知函数 ln1f xxxaxx在区间（1，）内没有零点，则实数 a的取值可以为（ ） A1 B2 C3 D4 三、填空题三、填空题 13已知向量1,1a r，3,b r，若3aabrrr，则 的值为_ 14 已知函数 f （x） 满足 f xf xyfy， 且 22ff， 请写出一个符合上述条件的函数 f （x） _ 15当前新冠肺炎疫情形势依然严峻，防控新冠肺炎疫情需常态化，某校从含甲、乙、丙在内的7名行政人员中选取6人负责每周周一至周六的疫情防控工作（周日学校放假） ，每人各负责1
6、天，其中甲、乙、丙3人必被选中若甲与乙需安排在相邻的两天，乙与丙不安排在相邻的两天，且丙不排周一，则不同的安排方法有_种 四、双空题四、双空题 16已知抛物线 C：24yx的焦点为 F，直线1l，2l均过点 F分别交 C 于 A，B，G，H 四点，若1l，2l斜率的绝对值的倒数和为 4，则当直线1l的斜率为_时，|ABGH的值最小，最小值为_ 五、解答题五、解答题 17设数列 na的前n项和为nS，122nnSna ，210a ，1nnba (1)求证： nb是等比数列； (2)设332,1,loglognnnnb ncnbb为奇数为偶数，求数列 nc的前21n+项和21nT 182021 年
7、，中国新能源汽车销售火爆，A省相关部门调查了该省 2021 年 1 月份至 10 月份的新能源汽车销量情况，得到一组样本数据（ix，iy） （i1，2，10） ，其中ix表示第 i个月，iy表示第 i个月 A省新能源汽车的销量（单位：万辆） ，由样本数据的散点图可知，y与 x具有线性相关关系，并将这 10 个月的数据作了初步处理，得到下面一些统计量的值： y 101iiix y 1021iix 101iiy 1.5 89.1 385 15 (1)建立 y 关于 x的线性回归方程，并估计 A 省 12 月份新能源汽车的销量； (2)为鼓励新能源汽车销售商积极参与调查，A 省汽车行业协会针对新能源
8、汽车销售商开展抽奖活动，所有费用由某新能源汽车厂商赞助奖项共设一、二、三等奖三个奖项，其中一等奖、二等奖、三等奖分别奖励 2 万元、1 万元、5 千元，抽中一等奖、二等奖、三等奖的概率分别为16，13，12现有甲、乙两家汽车销售商参加了抽奖活动， 假设他们是否中奖相互独立， 求这两家汽车销售商所获奖金总额 X （单位： 万元）的分布列及数学期望 附：对于一组数据（1u，1v） ， （2u，2v） ， （nu，nv） ，其回归直线 vu的斜率和截距的最小二乘估计分别为1221,niiiniiu vnuvavuunu 19ABCV中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且cos2cos22sin
9、sinsinBCACA (1)若:1:3A C ，试判断ABCV的形状，并说明理由； (2)若ABCV为锐角三角形，其外接圆半径为3，求ABCV周长的取值范围 20如图，三棱柱111ABCABC中，侧面11ACC A为矩形，且侧面11ACC A侧面11ABB A，D为11BC的中点，2ABAC，112 2AABC (1)证明：1AC/平面1ABD； (2)求直线 BC与平面1ABD所成角的正弦值 21已知函数 1e1xf xaxa (1)讨论 f x的极值； (2)设1a ，若关于x的不等式231f xbxx在区间0,内恒成立，求实数b的取值范围 22已知椭圆 C：22221(0)xyabab
10、的右顶点恰好为圆 A：22430 xyx 的圆心，且圆 A上的点到直线1l：0bxay的距离的最大值为2 515 (1)求 C 的方程； (2)过点（3，0）的直线2l与 C相交于 P，Q两点，点 M 在 C上，且)(OMOPOQuuuu ruuu ruuu r，弦 PQ 的长度不超过3，求实数 的取值范围 1 页 参考答案：参考答案： 1C 2B 3D 4A 5A 6C 7B 8D 9AC 10BC 11BD 12ABC 134 1412x（不唯一） 15624 16 12 70 17 (1) 证明：对任意的Nn，1224nnSan， 当1n 时，则有12228aa，解得14a ， 当2n时
11、，由1224nnSan可得1226nnSan， 上述两个等式作差得122nnnaaa，所以，132nnaa，则1131nnaa ， 所以，13nnbb且1113ba ，所以，数列 nb是等比数列，且首项和公比均为3. (2) 解：由（1）可知13 33nnnb ，所以，3 ,1,2nnncnn n为奇数为偶数， 2 页 所以，1321211113332 44 6222nnTnnL 3211113332 44 6222nnnLL 213 3911111 94 1 22 31nn nL 232333111111331842231841nnnnnnL. 18 (1) 解：由题意得： 1 239 10
12、5.510 x L，1.5y 289.1 10 5.5 1.50.08385 10 5.5 1.50.08 5.51.06 $1.060.08yx 当12x 时，$2.02y 故 A 省 12 月份新能源汽车的销量约为2.02万辆. (2) 这两家汽车销售商所获得的奖金总额 X（单位：万元）的分布列如下： X（单位：万元） 4 3 2.5 2 1.5 1 P 136 19 16 19 13 14 数学期望为： 112211111111()432.521.5136969346nnE Xx px px p L 19 (1) 解：因为 222sinsinsincos2cos21 2sin1 2sin
13、ACABCBC， 即222sinsinsinsinsinACBAC，由正弦定理可得222acbac， 3 页 由余弦定理可得2221cos22acbBac，0,BQ，则3B， 由已知323CAAC，可得6A，2C，此时，ABCV为直角三角形. (2) 解：由正弦定理可得2 3sinsinacAC， 则2 3sin2 3sin2 3sin2 3sin3acACAA 132 3sin2 3sincos3 3sin3cos6sin226AAAAAA， 因为ABCV为锐角三角形，则022AAB，可得62A， 所以，2363A，则3sin126A，且2 3sin33b， 因此，36sin33 3,96a
14、bcA . 20 (1) 证明：如图所示： 连接1AB 与1BA交于点 O，连接OD， 则1/ /ACOD，又1AC 平面1ABD，OD平面1ABD， 所以1/ /AC平面1ABD； (2) 因为侧面11ACC A为矩形，且侧面11ACC A侧面11ABB A， 4 页 所以AC 侧面11ABB A，则1ACAB， 因为12,2 2ACBC，所以22112ABBCAC， 又12,2 2ABBB，则22121ABABBB， 所以1ABAB， 则以 A为原点，以 AB，1AB，AC 为 x，y，z 轴，建立空间直角坐标系， 则12,0,0 ,0,0,2 ,0,2,0 ,BCB， 因为112,2,0
15、AABB uuuruuur， 所以12,2,0A ，12,2,2C ，1,2,1D ， 则13,2,1 ,4,2,0 ,2,0,2 uuu ruuu ruuu rBDBABC， 设平面平面1ABD的一个法向量为, ,nx y zr， 则100BD nBA nuuu vvuuu vv，即320420 xyzxy， 令1x ，则1,2, 1n r， 设直线 BC与平面1ABD所成角为， 所以43sincos,3441 4 1uuu r ruuu r ruuu rrBC nBC nBCn. 21(1)当0a 时，函数 f x无极值，当0a 时，函数 f x有极小值ln1aaa，无极大值； (2)3e
16、5,27 【解析】 【分析】 （1）求导后讨论a的符号，从而求出函数 f x的极值； （2）原不等式变形为，令，讨论函数的单调性得函数的最值，由此求出答案 (1) 解： 1e1xf xaxa， 1exfxa， 5 页 当0a 时， 0fx恒成立，则函数 f x在R上单调递增，此时无极值， 当0a 时，由 0fx得ln1xa，由 0fx得ln1xa， 函数 f x在,ln1a上单调递减，在ln1,a上单调递增， 当ln1xa时，函数 f x有极小值ln1ln11ln1faaaaaaaa ， 当0a 时，函数 f x无极值， 当0a 时，函数 f x在ln1xa处取得极小值ln1ln1faaaa，
17、无极大值； (2) 解：当1a 时， 1e2xf xx，则1e1xf xx， 231f xbxx，即32e1xxbxx ， 0 x ， 23e1xxbxx， 令 23e1xgxxxx，则 4e31xxxgxx， 令 e1xh xx，则 e10 xh x 在0,上恒成立， 00h xh， 由 0gx得3x ，由 0gx得3x ， 函数 g x在0,3上单调递减，在3,上单调递增， 当3x 时，函数 g x有最小值 3mine5327g xg， 3e527b， 实数b的取值范围是3e5,27 【点睛】 方法点睛：本题主要考查利用函数的导数解不等式恒成立的问题，属于中档题解决此类问题的一般方法是：
18、（1）分离参数将原不等式恒成立问题转化为函数的最值问题； （2）构造新函数，利用导数研究函数的单调性与最值； 6 页 （3）得出参数的取值范围 22(1)2214xy； (2)3113,3223 【解析】 【分析】 （1）先把圆A化为标准方程，求出a的值，再利用A上的点到直线1:0lbxay的距离的最大值为2221bdrab，可求出b的值，从而求出椭圆C的方程 （2）由题意可知，直线2l的斜率一定存在，设直线2l的方程为(3)yk x，与椭圆C的方程联立，由0结合0k 可得2105k， 利用弦 PQ 的长度不超过3可求出218k ， 利用韦达定理求出PQ中点N的坐标，进而求出直线ON的方程，与
19、椭圆C的方程联立求出OMuuuu r的坐标，再根据)(OMOPOQuuuu ruuu ruuu r表达出，结合k的范围即可求出的取值范围 (1) 圆A化为标准方程：22(2)1xy，圆心(2,0)A，半径1r ， 椭圆C的右顶点标准为(2,0)，即2a ， Q圆心(2,0)A到直线1:0lbxay的距离222bdab， 圆A上的点到直线1:0lbxay的距离的最大值为2222 5115bdrab ， 222 554bb， 解得1b ， 椭圆C的方程为2214xy (2) 由题意可知，直线2l的斜率一定存在，设直线2l的方程为(3)yk x，1(P x，1)y，2(Q x，2)y， 联立方程22
20、(3)14yk xxy，消去y得2222(1 4)243640k xk xk ， 42225764(1 4)(364)16 800kkkk， 7 页 解得2105k ， 21222414kxxk，21223641 4kx xk， 2121222246661 41 4kkyyk xxkkk， 因为222212122116801431 4kkPQkxxx xk 所以可解得218k ，所以21158k 设PQ中点N，所以2212(14kNk，23)14kk， 22242(1 4kOPOQONkuuu ruuu ruuu r，26)14kk， 222311412414ONkkkkkk ， 直线ON的方
21、程为14yxk ， Q)(OMOPOQuuuu ruuu ruuu r，M为直线ON与椭圆的交点， 联立方程221414yxkxy ，解得22161 4kxk ， 2216(1 4kMk，22116)41 4kkk或2216(1 4kMk，22116)41 4kkk， 2216(14kOMkuuuu r，22116)41 4kkk或2216(1 4kOMk uuuu r，22116)41 4kkk， 222216241 41 4kkkk， 2222221624()1 41 4kkkk， 2222222161 411()1 424369kkkkk， 又Q21185k，2111133694k， 13214，1323或3132 即实数的取值范围为3113,3223 8 页
