1、 1 广州市 2022 届高三年级调研测试 数学试题参考答案及评分标准 评分说明: 1本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则 2对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度， 可视影响的程度决定后继部分的给分， 但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分 3解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数 4只给整数分数选择题不给中间分 一一、选择题：本题共、选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分
2、 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A D B C D C B B 二、选择题：本题共二、选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 9. AB 10. ACD 11. BC 12. AD 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13. 4 14. 34 15. ,02,4 16. 84 3 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分分 17.（10 分） （1）解：由题意nm/，得023sinbBc. 2 分 由正弦定理sinsinbcBC，得0sin23sinsin
3、BBC. 3 分 在ABC中，0sinB，则3sin2C . 4 分 因为ABC为锐角三角形， 所以3C . 5 分 （2）解：由23ABC， 得23BA， 233sinsinsinsinsincos322ABAAAA 6 分 3sin6A. 7 分 2 因为ABC为锐角三角形，则0,220,32AA 解得62A， 则 2,633A. 8 分 所以3sin()(,162A. 9 分 所以3sinsin( , 32AB. 10 分 18. （12 分） (1)解: 由题意，当1n 时，2122SS， 1 分 得12122aaa， 解得23a . 2 分 当2n时，12+1nnSSn, -12nn
4、SSn, -得121nnaa2n , 3 分 因为21321aa, 所以121nnaa1n . 4 分 则1+1222(1)nnnaaa, 5分 所以1na 是以112a 为首项，2为公比的等比数列. 6 分 （2）解：由(1)知1=2 ,=21nnnnaa. 7 分 设插入的所有数构成数列 nc，则2ncn. 8 分 由于1 2 3 4 5 6728 ,28230, 所以数列 nb的前30项中包含了数列 na的前7项及数列 nc的前23项, 9 分 所以301271223Taaaccc 10 分 12723 (246)21 21212 11 分 3 MPFEDCBA 72 (21)75527
5、992 1 . 12 分 19. （12 分） （1）证法 1：由2AB ，1BD ，ADBP，得3AD . 1 分 由3PD ，3AD ，ADBP，得2 3PA ， 2 分 由BC平面PAC，AC，PC 平面ABC， 得BCAC，BCPC. 3 分 所以223ACABBC，2215PCPBBC. 4 分 因为22215ACPAPC， 5 分 所以PAAC. 6 分 证法 2：由2AB ，1BD ，ADBP，得3AD . 1 分 由3PD ，3AD ，ADBP，得2 3PA ， 2 分 因为4PB ，所以222PBABPA，所以PAAB. 3 分 由BC平面PAC，PA平面ABC,得BCPA.
6、 4 分 又BC，AB 平面ABC，BCABB，故PA 平面ABC. 5 分 因为AC 平面ABC，所以PAAC. 6 分 证法 3：由2AB ，1BD ，ADBP，得60ABP. 1 分 过D作DMAB于点M，得cosBMBDABP 12. 2 分 故:BM BABD BP，故DMPA，所以PAAB. 3 分 由BC平面PAC，PA平面ABC得BCPA. 4 分 又BC，AB 平面ABC，BCABB，故PA 平面ABC. 5 分 因为AC 平面ABC，所以PAAC. 6 分 （2）解法 1：过D作DEBC交PC于E， 由BC平面PAC，故DE 平面PAC.7 分 过E作EFAC于F，连接DF
7、，则AC 平面DEF. 由于DF 平面DEF,则AC DF. 则DFE为二面角PACD的平面角. 8 分 由33PDBD，DEBC得DE 34， EFAC，PAAC，且EF，PA平面PAC，得EFPA， 14EFCEBDPACPBP，得32EF . 9 分 4 zyxPDCBA22214DFDEEF. 10 分 所以2 7cos7EFDFEDF. 11 分 所以二面角PACD的余弦值为2 77. 12 分 解法 2： 如图作AQCB，以AQ，AC，AP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系.7 分 2AB ， 1BC ，1BD ，4BP ， 所以3AC ，2 3AP . 故(0,0,0)A， (
8、1, 3,0)B，(0, 3,0)C，(0,0,2 3)P. 由14BDBP ,得3 3 33( ,)442D， 8 分 则3 3 33( ,)442AD ，(0, 3,0)AC . 设平面ACD的法向量为( , , )nx y z, 由0,0,n ACn AD 得30,33 330,442yxyz 令2x ，则3z ，0y ，(2,0,3)n 为平面ACD的一个法向量 9 分 由于BC 平面PAC，故(1,0,0)CB 为平面PAC的一个法向量. 10 分 则cos,CB n 22 777CB nCB n 11 分 所以二面角PACD的余弦值为2 77. 12 分 5 zyxABCDP解法
9、3： 如图作CQAP，以CA，CB，CQ分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系. 7 分 2AB ， 1BC ，1BD ， 4BP ， 所以3AC ，2 3AP . 故(0,0,0)C， (0,1,0)B， ( 3,0,0)A，( 3,0,2 3)P. 由14BDBP 得3 33(,)442D，8 分 则3 33(,)442CD ， ( 3,0,0)CA . 设平面ACD的一个法向量为( , , )nx y z, 由0,0,n CAn CD 得30,3330,442xxyz 令2y ，则3z ，0 x ，(0,2,3)n 为平面ACD的一个法向量 9 分 由于BC 平面PAC，故(0,1,0)C
10、B 为平面PAC的一个法向量. 10 分 则cos,CB n 22 777CB nCB n 11 分 所以二面角PACD的余弦值为2 77. 12 分 20.（12 分） (1)解：设每一位参与答题测试的学生所得分数为随机变量X， 则X的可能取值分别为5,3,0， 1 分 则(5)0.5P X ，(3)(1 0.5) 0.50.25P X ， (0)(1 0.5)(1 0.5)0.25P X . 4分 则每一位参与答题测试的学生所得分数的数学期望为 6 5 0.5 3 0.25 0 0.253.25EX . 5 分 （2）解：由题意得 fp 99312C(1)pp，(01)p， 6 分 则98
11、39212( )C 9(1)3(1) fppppp 7 分 982123C(1) (34 )ppp. 由( )fp0，得0.75p ， 8 分 由( )fp0，得00.75p， 由( )fp0，得0.751p， 所以 fp在0,0.75上是增函数， 在0.75,1上是减函数. 9 分 所以0.75p 是 fp的极大值点， 也是 fp的最大值点. 10 分 由题意得111 0.5pm 0.5 0.5m. 11分 则0.5 0.50.75m，解得0.5m. 所以 fp取得最大值时，0.75p ，0.5m. 12 分 21. (12 分) （1）解: 由已知可得2222242 3,3,2,accaa
12、bc 2 分 解得2a ，1b，3c . 3 分 所以椭圆C的方程为2214xy. 4 分 （2）解: 设),(00yxP，则52020 yx. 5 分 当20 x，则10y，显然PBPA ，则0PBPA. 6 分 当20 x，过点P的切线可设为00)(yxxky， 7 分 由44)(2200yxkxykxy得0 1)(4)(8) 14(2000022kxyxkxykxk，8 分 7 所以0 1)(14(16)(6420022002kxykkxyk. 9 分 整理成关于k的方程012)4(2000220ykyxkx， 10 分 此方程的两个根21,kk就是切线PBPA,的斜率， 所以14)5(
13、1412020202021xxxykk. 11 分 所以PBPA . 所以0PA PB 为定值. 12 分 22. (12 分) （1）解：函数xxaxxfln22)(2的定义域为), 0( . xaxxxxaxxxaxf222222222)(22， 1 分 因为2222axxy开口向下， 所以)(xf只能在), 0( 上单调递减， 2 分 即02222axx在), 0( 上恒成立， 3 分 即xxa1在), 0( 上恒成立 因为21xx，所以2a. 4 分 （2）解：因为)(xf有极大值和极小值，所以)(xf在定义域内必不单调， 由（1）得2a，又因为25a，故252 a. 5 分 由022
14、2)(2xaxxxf，得02222axx. 设21,xx为方程02222axx的两个根， 不妨设21xx ，则1,2121xxaxx. 6 分 当), 0(1xx时，0)( xf，)(xf是减函数， 当),(21xxx时，0)( xf，)(xf是增函数， 当),(2 xx时，0)( xf，)(xf是减函数， 8 所以12111ln22)(xxaxxfn，22222ln22)(xxaxxfm.7 分 )ln22()ln22(12112222xxaxxxaxnm 12212212ln2)()(2xxxxxxa 1221221221ln2)()(2xxxxxxxx 122122ln2)(xxxx 12212122ln2xxxxxx 122112ln2xxxxxx. 8 分 令12xxt ，因为210 xx ，所以1t， 又因为ttxxxxxxxxa122)(1221212212 ，252 a， 所以425124tt，解得41 t. 9 分 故ttttSnmln21)(，41 t. 因为 22211210tS tttt ， 10 分 所以 S t在1,4上单调递增. 由于 10S, 1544ln24S, 11 分 所以m n的取值范围为150,4ln24. 12 分
