1、10.3抛物线及其性质高考数学高考数学 (北京专用)A A组自主命题组自主命题北京卷题组北京卷题组五年高考1.(2018北京文,10,5分)已知直线l过点(1,0)且垂直于x轴.若l被抛物线y2=4ax截得的线段长为4,则抛物线的焦点坐标为.答案答案(1,0)解析解析本题主要考查抛物线的性质,弦长的计算.由题意得a0,设直线l与抛物线的两交点分别为A,B,不妨令A在B的上方,则A(1,2),B(1,-2),故|AB|=4=4,得a=1,故抛物线方程为y2=4x,其焦点坐标为(1,0).aaa2.(2013北京,9,5分)若抛物线y2=2px的焦点坐标为(1,0),则p=;准线方程为.答案答案2
2、;x=-1解析解析=1,即p=2;准线方程为x=-=-1.2p2p3.(2012北京,12,5分)在直角坐标系xOy中,直线l过抛物线y2=4x的焦点F,且与该抛物线相交于A,B两点,其中点A在x轴上方.若直线l的倾斜角为60,则OAF的面积为.答案答案3解析解析如图,由题意得kAB=tan60=,焦点F的坐标为(1,0),直线AB的方程为y-0=(x-1),将y=(x-1)与抛物线y2=4x联立,解得xA=3.由抛物线定义知|AF|=|AM|=3+1=4.又|OF|=1,AFO=120,SOAF=|AF|OF|sin120=41=.3331212323评析评析本题考查抛物线的定义及三角形面积
3、公式,求|AF|时也可以利用两点间距离公式.B B组统一命题组统一命题省省( (区、市区、市) )卷题组卷题组考点抛物线的定义、标准方程和几何性质考点抛物线的定义、标准方程和几何性质1.(2019天津理,5,5分)已知抛物线y2=4x的焦点为F,准线为l.若l与双曲线-=1(a0,b0)的两条渐近线分别交于点A和点B,且|AB|=4|OF|(O为原点),则双曲线的离心率为()A.B.C.2D.22xa22yb235答案答案D本题主要考查双曲线的离心率,抛物线焦点坐标与准线方程,通过圆锥曲线的性质考查学生的运算求解能力,渗透了数学运算的核心素养.如图,由题意可知抛物线的焦点为F(1,0),准线方
4、程为x=-1,|AB|=4|OF|=4,A(-1,2),又点A在直线y=-x上,2=-(-1),=2,双曲线的离心率e=.故选D.bababa221ba1452.(2017课标,10,5分)已知F为抛物线C:y2=4x的焦点,过F作两条互相垂直的直线l1,l2,直线l1与C交于A,B两点,直线l2与C交于D,E两点,则|AB|+|DE|的最小值为()A.16B.14C.12D.10答案答案A本题考查抛物线的方程与几何性质以及最值的求解,考查学生的逻辑思维能力和运算求解能力以及数形结合思想的应用.解法一:由抛物线的方程可知焦点F的坐标为(1,0),设A(x1,y1),B(x2,y2),D(x3,
5、y3),E(x4,y4),过点F的直线l1的方程为x=my+1(m0),由得y2-4my-4=0,所以y1+y2=4m,y1y2=-4,所以|y1-y2|=4,所以|AB|=|y1-y2|=4(1+m2);同理可得|DE|=4,因此|AB|+|DE|=4(1+m2)+416,当且仅当m=1时,等号成立.所以|AB|+|DE|的最小值为16,故选A.解法二:由题意知焦点F的坐标为(1,0),直线l1,l2的斜率不存在时,不合题意.设A(x1,y1),B(x2,y2),D(x3,y3),E(x4,y4),过F的直线l1的方程为y=k1(x-1),直线l2的方程为y=k2(x-1),则k1k2=-1
6、,联立直线l1的方程与抛物线方程,得消去y,得x2-2x-4x+=0,所以x1+x2=.21,4xmyyx21212()4yyy y21m 21m211m211m214 ,(1),yxyk x21k21k21k212124kk同理,直线l2与抛物线的交点满足x3+x4=.由抛物线定义可知|AB|+|DE|=x1+x2+x3+x4+2p=+4=+82+8=16,当且仅当k1=-k2=1或-1时,取得等号.所以|AB|+|DE|的最小值为16,故选A.212124kk222224kk214k224k221216k k222224kk方法总结方法总结利用几何方法求抛物线的焦半径.如图,在抛物线y2=
7、2px(p0)中,AB为焦点弦,若AF与抛物线对称轴的夹角为,则在FEA中,cos=cosEAF=,则可得到焦半径|AF|=,同理,|BF|=,熟悉这种求抛物线焦半径的方法,对于求抛物线的焦点弦长,焦点弦中的定值,如:+=等的帮助很大.|AEAF|AFpAF1cosp1cosp1|AF1|BF2p3.(2016课标,10,5分)以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A,B两点,交C的准线于D,E两点.已知|AB|=4,|DE|=2,则C的焦点到准线的距离为()A.2B.4C.6D.825答案答案B不妨设C:y2=2px(p0),A(x1,2),则x1=,由题意可知|OA|=|OD|,得+8=+5,解
8、得p=4.故选B.22(2 2)2p4p24p22p4.(2016课标,5,5分)设F为抛物线C:y2=4x的焦点,曲线y=(k0)与C交于点P,PFx轴,则k=()A.B.1C.D.2kx1232答案答案D由题意得点P的坐标为(1,2).把点P的坐标代入y=(k0)得k=12=2,故选D.kx评析评析利用垂直得到点P的坐标是求解的关键.5.(2016四川,3,5分)抛物线y2=4x的焦点坐标是()A.(0,2)B.(0,1)C.(2,0)D.(1,0)答案答案D抛物线y2=2px(p0)的焦点坐标为,抛物线y2=4x的焦点坐标为(1,0),故选D.,02p6.(2015陕西,3,5分)已知抛
9、物线y2=2px(p0)的准线经过点(-1,1),则该抛物线焦点坐标为()A.(-1,0)B.(1,0)C.(0,-1)D.(0,1)答案答案B抛物线y2=2px(p0)的准线方程为x=-,由题设知-=-1,即=1,所以焦点坐标为(1,0).故选B.2p2p2p7.(2018课标全国,16,5分)已知点M(-1,1)和抛物线C:y2=4x,过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A,B两点.若AMB=90,则k=.答案答案2解析解析本题考查抛物线的几何性质及应用.解法一:由题意可知C的焦点坐标为(1,0),所以过焦点(1,0),斜率为k的直线方程为x=+1,设A,B,将直线方程与抛物线方程联立得整理
10、得y2-y-4=0,从而得y1+y2=,y1y2=-4.M(-1,1),AMB=90,=0,即+(y1-1)(y2-1)=0,即k2-4k+4=0,解得k=2.解法二:设A(x1,y1),B(x2,y2),则-得-=4(x2-x1),从而k=.yk111,yyk221,yyk21,4 ,yxkyx4k4kMAMB12yk22yk2112224 ,4,yxyx22y21y2121yyxx124yy设AB的中点为M,连接MM.直线AB过抛物线y2=4x的焦点,以线段AB为直径的M与准线l:x=-1相切.M(-1,1),AMB=90,点M在准线l:x=-1上,同时在M上,准线l是M的切线,切点为M,
11、且MMl,即MM与x轴平行,点M的纵坐标为1,即=1y1+y2=2,故k=2.122yy124yy42疑难突破疑难突破运用转化思想,采用“设而不求”“点差法”的方法来解决直线与抛物线的相交问题.8.(2017课标全国,16,5分)已知F是抛物线C:y2=8x的焦点,M是C上一点,FM的延长线交y轴于点N.若M为FN的中点,则|FN|=.答案答案6解析解析如图,过M、N分别作抛物线准线的垂线,垂足分别为M1、N1,设抛物线的准线与x轴的交点为F1,则|NN1|=|OF1|=2,|FF1|=4.因为M为FN的中点,所以|MM1|=3,由抛物线的定义知|FM|=|MM1|=3,从而|FN|=2|FM
12、|=6.思路分析思路分析过M、N作准线的垂线,利用抛物线的定义和梯形的中位线求解.方法总结方法总结当直线过抛物线的焦点时,应充分利用抛物线的定义,同时也体现了抛物线的定义在解题中的重要作用.9.(2016浙江,9,4分)若抛物线y2=4x上的点M到焦点的距离为10,则M到y轴的距离是.答案答案9解析解析设M(x0,y0),由抛物线方程知焦点F(1,0).根据抛物线的定义得|MF|=x0+1=10,x0=9,即点M到y轴的距离为9.评析评析本题主要考查抛物线的定义以及几何性质,解决本题的关键在于抛物线定义的应用.10.(2016天津,14,5分)设抛物线(t为参数,p0)的焦点为F,准线为l.过
13、抛物线上一点A作l的垂线,垂足为B.设C,AF与BC相交于点E.若|CF|=2|AF|,且ACE的面积为3,则p的值为.22,2xptypt 7,02p2答案答案6解析解析由已知得抛物线的方程为y2=2px(p0),则|FC|=3p,|AF|=|AB|=p,A(p,p)(不妨设A在第一象限).易证EFCEAB,所以=2,所以=,所以SACE=SAFC=pp=p2=3,所以p=.322|EFAE|FCAB|FCAF|AEAF1313133222226思路分析思路分析利用已知条件及抛物线的定义得|AF|=|AB|=p,从而可取A(p,p),问题即可迎刃而解.32211.(2019浙江,21,15分
14、)如图,已知点F(1,0)为抛物线y2=2px(p0)的焦点.过点F的直线交抛物线于A,B两点,点C在抛物线上,使得ABC的重心G在x轴上,直线AC交x轴于点Q,且Q在点F的右侧.记AFG,CQG的面积分别为S1,S2.(1)求p的值及抛物线的准线方程;(2)求的最小值及此时点G的坐标.12SS解析解析本题主要考查抛物线的几何性质,直线与抛物线的位置关系等基础知识,同时考查运算求解能力和综合应用能力.体现了数学抽象的核心素养和转化与化归的思想方法.(1)由题意得=1,即p=2.所以,抛物线的准线方程为x=-1.(2)设A(xA,yA),B(xB,yB),C(xC,yC),重心G(xG,yG).
15、令yA=2t,t0,则xA=t2.由于直线AB过F,故直线AB方程为x=y+1,代入y2=4x,得y2-y-4=0,故2tyB=-4,即yB=-,所以B.又由于xG=(xA+xB+xC),yG=(yA+yB+yC)及重心G在x轴上,故2t-+yC=0,得C,G.所以,直线AC方程为y-2t=2t(x-t2),得Q(t2-1,0).由于Q在焦点F的右侧,故t22.从而=2p212tt22(1)tt2t212,tt13132t211,2tttt422222,03ttt12SS1| |21| |2ACFGyQGy=2-.令m=t2-2,则m0,=2-=2-2-=1+.当m=时,取得最小值1+,此时G
16、(2,0).42242222221 |2 |32222123tttttttttt 42421ttt2421tt12SS243mmm134mm1324mm32312SS32思路分析思路分析(1)根据抛物线定义知=1,得到准线方程x=-1.(2)要求的最小值,需要将用基本量表示出来,从点的关系出发,设A(xA,yA),合理选择参数t表示A(t2,2t),t0,由直线AB过F得到AB方程,求出B点坐标,再由ABC的重心G在x轴上,求出C点和G点坐标,进而求出Q点坐标,然后就可以表示出,进而求出其最小值.2p12SS12SS12SSC C组教师专用题组组教师专用题组1.(2015四川,10,5分)设直
17、线l与抛物线y2=4x相交于A,B两点,与圆(x-5)2+y2=r2(r0)相切于点M,且M为线段AB的中点.若这样的直线l恰有4条,则r的取值范围是()A.(1,3)B.(1,4)C.(2,3)D.(2,4)答案答案D显然0r0、k4(y00),即r2.另一方面,由AB的中点为M,知B(6-x1,2y0-y1),(2y0-y1)2=4(6-x1),又=4x1,-2y0y1+2-12=0.005yx 20y21y21y20y=4-4(2-12)0,即12.r2=(3-5)2+=4+16,r0,则圆C的方程为(x+1)2+(y-t)2=1,因为FAC=120,CAy轴,所以OAF=30,在AOF
18、中,OF=1,所以OA=,即t=,故圆C的方程为(x+1)2+(y-)2=1.333方法总结方法总结求圆的方程常用的方法为待定系数法,根据题意列出关于三个独立参数a,b,r(或D,E,F)的方程组,从而得到参数的值,写出圆的方程.若题中涉及直线与圆的位置关系或弦长,常把圆的方程设为标准形式,同时应考虑数形结合思想的运用.6.(2016课标全国,20,12分)已知抛物线C:y2=2x的焦点为F,平行于x轴的两条直线l1,l2分别交C于A,B两点,交C的准线于P,Q两点.(1)若F在线段AB上,R是PQ的中点,证明ARFQ;(2)若PQF的面积是ABF的面积的两倍,求AB中点的轨迹方程.解析解析由
19、题设知F.设l1:y=a,l2:y=b,则ab0,且A,B,P,Q,R.记过A,B两点的直线为l,则l的方程为2x-(a+b)y+ab=0.(3分)(1)由于F在线段AB上,故1+ab=0.记AR的斜率为k1,FQ的斜率为k2,则k1=-b=k2.所以ARFQ.(5分)1,022,2aa2,2bb1,2a1,2b1,22ab21aba2abaab1aaba(2)设l与x轴的交点为D(x1,0),则SABF=|b-a|FD|=|b-a|,SPQF=.由题设可得2|b-a|=,所以x1=0(舍去),或x1=1.(8分)设满足条件的AB的中点为E(x,y).当AB与x轴不垂直时,由kAB=kDE可得
20、=(x1).而=y,所以y2=x-1(x1).当AB与x轴垂直时,E与D重合.所以,所求轨迹方程为y2=x-1.(12分)1212112x |2ab12112x |2ab2ab1yx 2ab疑难突破疑难突破第(1)问求解关键是把ARFQ的证明转化为kAR=kFQ的证明;第(2)问需找到AB中点所满足的几何条件,从而将其转化为等量关系.在利用斜率表示几何等量关系时应注意分类讨论思想的应用.评析评析本题主要考查抛物线的性质,直线的斜率及其应用,轨迹方程的求法等知识,考查分类讨论思想的应用,考查考生对基础知识和基本技能的应用能力.7.(2016浙江,19,15分)如图,设抛物线y2=2px(p0)的
21、焦点为F,抛物线上的点A到y轴的距离等于|AF|-1.(1)求p的值;(2)若直线AF交抛物线于另一点B,过B与x轴平行的直线和过F与AB垂直的直线交于点N,AN与x轴交于点M.求M的横坐标的取值范围.解析解析(1)由题意可得,抛物线上点A到焦点F的距离等于点A到直线x=-1的距离,由抛物线的定义得=1,即p=2.(2)由(1)得,抛物线方程为y2=4x,F(1,0),可设A(t2,2t),t0,t1.因为AF不垂直于y轴,可设直线AF:x=sy+1(s0),由消去x得y2-4sy-4=0,故y1y2=-4,所以,B.又直线AB的斜率为,故直线FN的斜率为-.从而得直线FN:y=-(x-1),
22、直线BN:y=-.所以N.设M(m,0),由A,M,N三点共线得=,2p24 ,1yxxsy212,tt221tt 212tt212tt2t2232,1ttt22ttm2222231ttttt于是m=.所以m2.经检验,m2满足题意.综上,点M的横坐标的取值范围是(-,0)(2,+).2221tt 思路分析思路分析(1)利用抛物线的定义来解题;(2)由(1)知抛物线的方程,可设A点坐标及直线AF的方程,与抛物线方程联立可得B点坐标,进而得直线FN的方程与直线BN的方程,联立可得N点坐标,最后利用A,M,N三点共线可得kAN=kAM,最终求出结果.评析评析本题主要考查抛物线的几何性质、直线与抛物
23、线的位置关系等基础知识,同时考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力.8.(2015浙江,19,15分)如图,已知抛物线C1:y=x2,圆C2:x2+(y-1)2=1,过点P(t,0)(t0)作不过原点O的直线PA,PB分别与抛物线C1和圆C2相切,A,B为切点.(1)求点A,B的坐标;(2)求PAB的面积.注:直线与抛物线有且只有一个公共点,且与抛物线的对称轴不平行,则称该直线与抛物线相切,称该公共点为切点.14解析解析(1)由题意知直线PA的斜率存在,故可设直线PA的方程为y=k(x-t),由消去y,整理得:x2-4kx+4kt=0,由于直线PA与抛物线相切,得k=t.因此,点A的坐标为(
24、2t,t2).设圆C2的圆心为D(0,1),点B的坐标为(x0,y0),由题意知:点B,O关于直线PD对称,故解得因此,点B的坐标为.(2)由(1)知|AP|=t,和直线PA的方程tx-y-t2=0.2(),14yk xtyx00001,220,yxtx ty 022022,12.1txttyt22222,11tttt21 t点B到直线PA的距离是d=,设PAB的面积为S(t),所以S(t)=|AP|d=.221tt1232t评析评析本题主要考查抛物线的几何性质,直线与圆的位置关系,直线与抛物线的位置关系等基础知识.考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力.9.(2014浙江,22,14分)已
25、知ABP的三个顶点都在抛物线C:x2=4y上,F为抛物线C的焦点,点M为AB的中点,=3.(1)若|=3,求点M的坐标;(2)求ABP面积的最大值.PFFMPF解析解析(1)由题意知焦点F(0,1),准线方程为y=-1.设P(x0,y0),由抛物线定义知|PF|=y0+1,得到y0=2,所以P(2,2)或P(-2,2).由=3,分别得M或M.(2)设直线AB的方程为y=kx+m,点A(x1,y1),B(x2,y2),P(x0,y0).由得x2-4kx-4m=0,于是=16k2+16m0,x1+x2=4k,x1x2=-4m,所以AB中点M的坐标为(2k,2k2+m).由=3,得(-x0,1-y0
26、)=3(2k,2k2+m-1),所以由=4y0得k2=-m+.由0,k20,得-f,所以,当m=时,f(m)取到最大值,此时k=.所以,ABP面积的最大值为.21 k2km2|1|1mk2km161532351mmm1433m191 1,3 91,1941,31925624343192562435515256 5135评析评析本题主要考查抛物线的几何性质、直线与抛物线的位置关系、三角形面积公式、平面向量等基础知识,同时考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力.三年模拟A A组组 20172019 20172019年高考模拟年高考模拟考点基础题组考点基础题组考点抛物线的定义、标准方程和几何性质1
27、.(2019北京海淀二模文,3)已知双曲线-=1(a0)的右顶点和抛物线y2=8x的焦点重合,则a的值为()A.1B.2C.3D.422xa23y答案答案B因为双曲线的右顶点(a,0)与抛物线的焦点(2,0)重合,所以a=2,故选B.2.(2017北京西城二模,4)若抛物线y2=ax的焦点到其准线的距离是2,则a=()A.1B.2C.4D.8答案答案Cy2=ax,2p=|a|,又焦点到准线的距离为2,p=2,|a|=4.a=4,故选C.3.(2018北京东城一模,5)设抛物线y2=4x上一点P到y轴的距离是2,则点P到抛物线焦点的距离是()A.1B.2C.3D.4答案答案C抛物线y2=4x上的
28、点P到焦点的距离等于点P到准线x=-1的距离,因为点P到y轴的距离是2,所以点P到抛物线焦点的距离是2+1=3.4.(2018北京门头沟一模,4)抛物线y2=8x的焦点F到双曲线C:x2-=1的一条渐近线的距离是()A.1B.C.3D.23y23答案答案D抛物线y2=8x的焦点为F(2,0),双曲线C:x2-=1的渐近线为y=x,由点到直线的距离公式可得所求距离为,故选D.23y335.(2017北京朝阳一模,5)设抛物线y2=8x的焦点为F,准线为l,P为抛物线上一点,PAl,A为垂足.若直线AF的斜率为-,则|PF|=()A.4B.6C.8D.1633答案答案C因为y2=8x,所以p=4,
29、故F(2,0),准线l:x=-2,设P(x0,y0),则A(-2,y0),kAF=-,因为直线AF的斜率为-,所以-=-,故y0=4,则x0=6,故P(6,4),所以|PF|=8.04y304y33208y322(62)(4 3)6.(2018北京朝阳一模,5)已知F为抛物线C:y2=4x的焦点,过点F的直线l交抛物线C于A,B两点,若|AB|=8,则线段AB的中点M到直线x+1=0的距离为()A.2B.4C.8D.16答案答案B如图,抛物线y2=4x的焦点坐标为F(1,0),准线为x=-1,即x+1=0,分别过A,B作准线的垂线,垂足分别为G,D,则有|AB|=|AF|+|BF|=|AG|+
30、|BD|=8,过AB的中点M作准线的垂线,垂足为N,则MN为直角梯形ABDG的中位线,则|MN|=(|AG|+|BD|)=4,即M到直线x+1=0的距离为4.故选B.127.(2019北京海淀期末文,9)抛物线y2=4x的准线方程为.答案答案x=-1解析解析由抛物线的标准方程和几何意义可得答案.8.(2019北京昌平期末文,10)已知抛物线y2=4x上一点M到其焦点的距离为5,则点M到y轴的距离为.答案答案4解析解析由抛物线的定义知点M到准线x=-1的距离为5,故点M到y轴的距离为4.9.(2019北京东城一模文,10)抛物线C:y2=2px上一点(1,y0)与焦点的距离为3,则抛物线C的方程
31、为.答案答案y2=8x解析解析抛物线C的准线方程为x=-,1+=3,解得p=4,所以抛物线C的方程为y2=8x.2p2p10.(2019北京怀柔一模文,10)已知抛物线y2=2px的准线方程为x=-1,则p=.答案答案2解析解析抛物线y2=2px的准线方程为x=-=-1,p=2.2p11.(2019北京海淀期末,9)以抛物线y2=4x的焦点F为圆心,且与其准线相切的圆的方程为.答案答案(x-1)2+y2=4解析解析抛物线y2=4x的焦点坐标为F(1,0),所以圆心坐标为(1,0),因为所求圆与抛物线的准线x=-1相切,所以所求圆的半径为2,所以圆的方程为(x-1)2+y2=4.12.(2019
32、北京朝阳期末,12)过抛物线y2=4x的焦点F的直线交抛物线于A,B两点,分别过A,B作准线l的垂线,垂足分别为C,D.若|AF|=4|BF|,则|CD|=.答案答案5解析解析设直线AB的倾斜角为(00)的准线为l,l与双曲线-y2=1的渐近线分别交于A,B两点.若|AB|=4,则p=.24x答案答案8解析解析双曲线-y2=1的渐近线为y=,抛物线y2=2px(p0)的准线为l:x=-,将x=-代入y=,得y=,|AB|=-=4,解得p=8.24x2x2p2p2x4p4p4p4.(2017北京东城二模,13)在平面直角坐标系xOy中,直线l过抛物线y2=4x的焦点F,且与抛物线交于A,B两点,
33、其中点A在x轴上方.若直线l的倾斜角为60,则|OA|=.答案答案21解析解析抛物线y2=4x的焦点F(1,0),准线方程为x=-1,设点A(x0,y0)(y00),因为直线l的倾斜角为60,所以x0+1=2(x0-1),解得x0=3,y0=2,|OA|=.32200 xy21三、解答题(共65分)5.(2019北京东城二模,18)已知点P(1,2)到抛物线C:y2=2px(p0)准线的距离为2.(1)求C的方程及焦点F的坐标;(2)设点P关于原点O的对称点为点Q,过点Q作不经过点O的直线与C交于两点A,B,直线PA,PB分别交x轴于M,N两点.求|MF|NF|的值.解析解析(1)由已知得1+
34、=2,所以p=2.所以抛物线C的方程为y2=4x,焦点F的坐标为(1,0).(4分)(2)设点A(x1,y1),B(x2,y2),由已知得Q(-1,-2),由题意知直线AB的斜率存在且不为0.设直线AB的方程为y=k(x+1)-2(k0).由得ky2-4y+4k-8=0,则y1+y2=,y1y2=4-.2p24 ,(1)2yxyk x4k8kkPA=,kPB=.因为PFx轴,所以|MF|NF|=1121yx121214yy142y 2221yx242y |PAPFk|PBPFk4|PAPBkk12|(2)(2)|4yy1212|2()4|4y yyy=2.所以|MF|NF|的值为2.(13分)
35、88444kk6.(2018北京朝阳二模,19)已知抛物线C:y2=2x.(1)写出抛物线C的准线方程,并求抛物线C的焦点到准线的距离;(2)过点(2,0)且斜率存在的直线l与抛物线C交于A,B两点,且点B关于x轴的对称点为D,直线AD与x轴交于点M.(i)求点M的坐标;(ii)求OAM与OAB面积之和的最小值.解析解析(1)由题意可知,抛物线的准线方程为x=-.抛物线C的焦点到准线的距离为1.(2)由已知设直线l:y=k(x-2),显然k0.设A(x1,y1),B(x2,y2),x1x2.由得ky2-2y-4k=0.所以y1+y2=,y1y2=-4.(i)因为点B,D关于x轴对称,所以D(x
36、2,-y2).所以直线AD的方程为y-y1=(x-x1).令y=0,得x=y1y2=-2.所以M(-2,0).(ii)记OAM与OAB的面积分别为SOAM,SOAB,设P(2,0),1222 ,(2),yxyk x2k1212yyxx11211212()()x yyy xxyy122112x yx yyy221221122()y yy yyy12则SOAM+SOAB=|OM|y1|+|OP|(|y1|+|y2|)=2|y1|+|y2|2=2=4.当且仅当|y2|=2|y1|,即y1=,y2= 2时,OAM与OAB面积之和取得最小值4.1212122| |yy122|y y2222思路分析思路分
37、析(1)由抛物线的几何性质求解;(2)由动直线AD的方程求M的坐标;(3)利用函数和基本不等式求解.解题技巧解题技巧利用根与系数的关系对y1+y2,y1y2进行整体运算是重要的解题技巧,在求解直线与圆锥曲线的位置关系的问题时应注意利用.7.(2019北京丰台一模,19)已知抛物线C:y2=2px过点M(2,2),A,B是抛物线C上不同的两点,且ABOM(其中O是坐标原点),直线AO与BM交于点P,线段AB的中点为Q.(1)求抛物线C的准线方程;(2)求证:直线PQ与x轴平行.解析解析(1)由题意得22=4p,解得p=1.所以抛物线C的准线方程为x=-=-.(2)证明:设A,B,由ABOM得kA
38、B=kOM=1,即=1,所以y2+y1=2.所以线段AB中点Q的纵坐标yQ=1.2p12211,2yy222,2yy21222122yyyy212yy所以线段AB中点Q的纵坐标yQ=1.直线AO的方程为y=x=x.直线BM的方程为y-2=(x-2)=(x-2).联立解得即点P的纵坐标yP=1.1212yy12y222222yy222y 1,21,yxy如果直线BM斜率不存在,结论也显然成立.所以直线PQ与x轴平行.8.(2018北京西城二模,19)已知抛物线C:y2=2px经过点P(2,2),A,B是抛物线C上异于点O的不同的两点,其中O为原点.(1)求抛物线C的方程,并求其焦点坐标和准线方程
39、;(2)若OAOB,求AOB面积的最小值.解析解析(1)由抛物线C:y2=2px经过点P(2,2)知4p=4,解得p=1,则抛物线C的方程为y2=2x.所以抛物线C的焦点坐标为,准线方程为x=-.(2)由题意知,直线AB不与y轴垂直,设直线AB:x=ty+a,由消去x,得y2-2ty-2a=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=2t,y1y2=-2a.1,02122,2xtyayx因为OAOB,所以x1x2+y1y2=0,即+y1y2=0,解得y1y2=0(舍)或y1y2=-4.所以-2a=-4.解得a=2.所以直线AB:x=ty+2.所以直线AB过定点(2,0).所以SAO
40、B=2|y1-y2|=22124y y122212122yyy y22128yy=4,当且仅当y1=2,y2=-2或y1=-2,y2=2时,等号成立.所以AOB面积的最小值为4.122| 8y y9.(2017北京海淀二模,18)已知动点M到点N(1,0)和直线l:x=-1的距离相等.(1)求动点M的轨迹E的方程;(2)已知不与l垂直的直线l与曲线E有唯一的公共点A,且与直线l的交点为P,以AP为直径作圆C.判断点N和圆C的位置关系,并证明你的结论.解析解析(1)由抛物线的定义可知动点M的轨迹E是以N(1,0)为焦点,直线l:x=-1为准线的抛物线,所以=1,即p=2.所以轨迹E的方程为y2=
41、4x.(2)点N在以PA为直径的圆C上.证法一:由题意可设直线l:x=my+n(m0),令x=-1,得P.由可得y2-4my-4n=0,(*)2p11,nm 2,4xmynyx因为直线l与曲线E有唯一的公共点A,所以=16m2+16n=0,即n=-m2.所以(*)可化简为y2-4my+4m2=0,所以A(m2,2m),因为n=-m2,所以=(m2-1,2m)=-2m2+2-2-2n=0,所以NANP,所以点N在以AP为直径的圆C上.证法二:依题意可设直线l:y=kx+b(k0),令x=-1,得P(-1,b-k),NANP12,nm由可得k2x2+2(bk-2)x+b2=0,(*)因为直线l与曲
42、线E有唯一的公共点A,所以即所以(*)可化简为k2x2-2x+=0,所以A,由bk=1及p(-1,b-k)得p,所以=+2+-2=0,所以NANP,所以点N在以AP为直径的圆C上.2,4ykxbyx0,0,k0,1,kbk21k212,kk11,kkNANP2121,kk12,kk22k22k思路分析思路分析(1)利用抛物线的定义求动点M的轨迹方程;(2)设直线l的方程,与抛物线的方程联立,利用判别式等于0得出参数之间的关系,然后利用点N和点A、P构造向量,研究点N和圆C的位置关系.C C组组2017201920172019年高考模拟年高考模拟应用创新题组应用创新题组1.(2019北京海淀新高
43、考调研卷,8)点P在y轴上,若存在过P的直线与抛物线y=x2交于不同的两点M,N,且|PM|=2|PN|,则称点P为“点”,那么下列结论中正确的是()A.y轴上所有点都是“点”B.y轴上只有一个点不是“点”C.y轴上只有有限个点是“点”D.y轴上所有点都不是“点”答案答案B如图,设M(x1,y1),N(x2,y2).|PM|=2|PN|,=.=,x1=-2x2.根据题意y轴上只有一个点不是“点”,故选B.|PMMN23112xxx232.(2019北京顺义期末,14)过抛物线y2=8x的焦点F的直线交抛物线于A,B两点,交抛物线的准线于点C,满足:=(0).若|AF|=6,则=;若|AF|6,
44、则的取值范围为.BCFB答案答案4;(1,3)解析解析由题意作出如下图象.当|AF|=6时,设准线与x轴的交点为D,作BBDF交DF于B,|AF|=xA+2,xA=4.直线AB过焦点F,xAxB=4,xB=1,|DB|=2+xB=3,|BF|=2-xB=1,24p=3,=3.当|AF|6时,得xA4,由xAxB=4,得0 xB0)的焦点是椭圆+=1的一个顶点.(1)求E的方程;(2)已知点P(2,4),斜率为-1的直线l与E交于异于点P的两个不同的点M,N,若直线PM,PN分别与x轴交于A,B两点,求证:PAB为等腰三角形.24x23y解析解析(1)由y2=2px(p0)可知E的焦点为,又椭圆+=1的右顶点为(2,0),=2,p=4,E的方程为y2=8x.(2)证明:设l:y=-x+m,M(x1,y1),N(x2,y2).由消去y可得x2-2(m+4)x+m2=0.则x1+x2=2(m+4),x1x2=m2.,02p24x23y2p2,8yxmyx
