1、第十篇计数原理、概率、随机变量及其分布第十篇计数原理、概率、随机变量及其分布( (必修必修3 3、选修、选修2-3)2-3)六年新课标全国卷试题分析六年新课标全国卷试题分析高考考点、示例分布图高考考点、示例分布图命题特点命题特点1.1.本篇在高考中一般考查本篇在高考中一般考查1 1个小题和个小题和1 1个解个解答题答题, ,占占12121717分分. .2.2.从考查内容来看从考查内容来看(1)(1)利用计数原理解决实际问题利用计数原理解决实际问题, ,有时与古有时与古典概型综合考查典概型综合考查. .(2)(2)几何概型较少考查几何概型较少考查. .(3)(3)对二项式定理的考查主要是利用通
2、项公对二项式定理的考查主要是利用通项公式求特定项式求特定项. .(4)(4)对正态分布的考查对正态分布的考查, ,可能单独考查也可可能单独考查也可能在解答题中出现能在解答题中出现. .(5)(5)以实际问题为背景以实际问题为背景, ,考查分布列、期望考查分布列、期望等是高考的热点题型等是高考的热点题型. .第第1 1节分类加法计数原理与分步乘法计数原理节分类加法计数原理与分步乘法计数原理 考纲展示考纲展示 1.1.理解分类加法计数原理和分步乘法计理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理数原理. .2.2.能正确区别能正确区别“类类”和和“步步”, ,并并能利用两个原理解决一些简单的实能利用两个原
3、理解决一些简单的实际问题际问题. .知识链条完善知识链条完善考点专项突破考点专项突破知识链条完善知识链条完善 把散落的知识连起来把散落的知识连起来知识梳理知识梳理两个计数原理两个计数原理两类不同方案两类不同方案原理原理分类加法计数原理分类加法计数原理分步乘法计数原理分步乘法计数原理条件条件完成一件事有完成一件事有 . .在第在第1 1类方案中有类方案中有m m种不同的方法种不同的方法, ,在第在第2 2类方案中有类方案中有n n种不同的方法种不同的方法完成一件事需要完成一件事需要 , ,做第做第1 1步有步有m m种不同的方法种不同的方法, ,做第做第2 2步有步有n n种不同的方法种不同的方
4、法结论结论完成这件事共有完成这件事共有N=N= 种不同的方法种不同的方法完成这件事共有完成这件事共有N=N= 种种不同的方法不同的方法依据依据能否能否 完成整个事件完成整个事件能否能否 完成整个事件完成整个事件两个步骤两个步骤m+nm+nm mn n独立独立逐步逐步【重要结论重要结论】1.1.完成一件事有完成一件事有n n类不同方案类不同方案, ,在第在第1 1类方案中有类方案中有m m1 1种不同的方法种不同的方法, ,在第在第2 2类方案中类方案中有有m m2 2种不同的方法种不同的方法,在第在第n n类方案中有类方案中有m mn n种不同的方法种不同的方法. .那么完成这件事共有那么完成
5、这件事共有N=mN=m1 1+m+m2 2+m+mn n种不同的方法种不同的方法. .2.2.完成一件事需要分成完成一件事需要分成n n个步骤个步骤, ,做第做第1 1步有步有m m1 1种不同的方法种不同的方法, ,做第做第2 2步有步有m m2 2种不同种不同的方法的方法, ,做第做第n n步有步有m mn n种不同的方法种不同的方法. .那么完成这件事共有那么完成这件事共有N=mN=m1 1m m2 2m mn n种不同的方法种不同的方法. .对点自测对点自测1.1.某日某日, ,从甲城市到乙城市的火车共有从甲城市到乙城市的火车共有1010个车次个车次, ,飞机共有飞机共有2 2个航班个
6、航班, ,长途汽车长途汽车共有共有1212个班次个班次, ,若该日小张只选择这若该日小张只选择这3 3种交通工具中的一种种交通工具中的一种, ,则他从甲城市到乙则他从甲城市到乙城市共有城市共有( ( ) )(A)12(A)12种选法种选法(B)14(B)14种选法种选法(C)24(C)24种选法种选法(D)22(D)22种选法种选法C C解析解析: :由加法原理知有由加法原理知有10+2+12=2410+2+12=24种选法种选法. .故选故选C.C.2.2.将乘积将乘积(a(a1 1+a+a2 2+a+a3 3+a+a4 4)(b)(b1 1+b+b2 2)(c)(c1 1+c+c2 2+c
7、+c3 3) ) 展开成多项式后的项数是展开成多项式后的项数是( ( ) )(A)4+2+3(A)4+2+3(B)4(B)42 23 3(C)5+3+4(C)5+3+4(D)5(D)53 34 4解析解析: :由分步乘法计数原理可得由分步乘法计数原理可得n=4n=42 23.3.故选故选B.B.B B3 3.(2019.(2019北京石景山区一模北京石景山区一模) )现有现有4 4种不同颜色对如图所示的四个部分进行涂种不同颜色对如图所示的四个部分进行涂色色, ,要求有公共边界的两块不能用同一种颜色要求有公共边界的两块不能用同一种颜色, ,则不同的涂色方法共有则不同的涂色方法共有( ( ) )(
8、A)24(A)24种种(B)30(B)30种种(C)36(C)36种种(D)48(D)48种种解析解析: :如图如图, ,设需要涂色的四个部分依次分设需要涂色的四个部分依次分, , , ,. .对于区域对于区域, ,有有4 4种种颜色可选颜色可选, ,有有4 4种涂色方法种涂色方法; ;对于区域对于区域, ,与区域相邻与区域相邻, ,有有3 3种颜色可选种颜色可选, ,有有3 3种涂色方法种涂色方法; ;对于区域对于区域, ,与区域相邻与区域相邻, ,有有2 2种颜色可选种颜色可选, ,有有2 2种涂色方法种涂色方法; ;对于区域对于区域, ,与区域相邻与区域相邻, ,有有2 2种颜色可选种颜
9、色可选, ,有有2 2种涂色方法种涂色方法, ,不同的涂色不同的涂色方法有方法有4 43 32 22=482=48种种. .故选故选D.D.D D4.4.现有现有4 4名同学去听同时进行的名同学去听同时进行的3 3个课外知识讲座个课外知识讲座, ,每名同学可自由选择其中的每名同学可自由选择其中的一个讲座一个讲座, ,不同选法的种数是不同选法的种数是 .解析解析: :每个同学都有每个同学都有3 3种选择种选择, ,所以不同选法共有所以不同选法共有3 34 4=81(=81(种种).).答案答案: :81815 5.(.(人教人教A A版教材例题改编版教材例题改编) )若给程序模块命名若给程序模块
10、命名, ,需要用需要用3 3个字符个字符, ,其中首字符要求其中首字符要求用字母用字母A AG G或或U UZ,Z,后两个要求用数字后两个要求用数字1 19.9.则最多可以给则最多可以给个程序个程序命名命名.答案答案: :1 0531 0536.6.将下面结论正确的序号填在横线上将下面结论正确的序号填在横线上. .在分类加法计数原理中在分类加法计数原理中, ,每类方案中的方法都能直接完成这件事每类方案中的方法都能直接完成这件事. .在分步乘法计数原理中在分步乘法计数原理中, ,事情是分步完成的事情是分步完成的, ,其中任何一个单独的步骤都不能其中任何一个单独的步骤都不能完成这件事完成这件事,
11、,只有每个步骤都完成后只有每个步骤都完成后, ,这件事情才算完成这件事情才算完成. .如果完成一件事情有如果完成一件事情有n n个不同步骤个不同步骤, ,在每一步中都有若干种不同的方法在每一步中都有若干种不同的方法m mi i(i=1,(i=1,2,3,2,3,n),n),那么完成这件事共有那么完成这件事共有m m1 1m m2 2m m3 3m mn n种方法种方法. .在分步乘法计数原理中在分步乘法计数原理中, ,每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的. .答案答案: :考点专项突破考点专项突破 在讲练中理解知识在讲练中理解知识考点一分类加法计数原
12、理考点一分类加法计数原理【例例1 1】 (1) (1)从集合从集合0,1,2,3,4,50,1,2,3,4,5中任取两个互不相等的数中任取两个互不相等的数a,ba,b组成复数组成复数a+bi,a+bi,其中虚其中虚数有数有( () )(A)36(A)36个个(B)30(B)30个个(C)25(C)25个个(D)20(D)20个个(2)a,b,c,d,e(2)a,b,c,d,e共共5 5个人个人, ,从中选从中选1 1名组长名组长1 1名副组长名副组长, ,但但a a不能当副组长不能当副组长, ,不同选法的种数不同选法的种数是是( () )(A)20 (A)20 (B)16 (B)16 (C)1
13、0 (C)10 (D)6(D)6解析解析: :(1)(1)对于复数对于复数a+bi,a+bi,只要只要b0b0即为虚数即为虚数. .第一类第一类: :当当a=0a=0时时,b,b有有5 5种选择种选择; ;第二类第二类: :当当a0a0时时,a,a有有5 5种选择种选择,b,b有有4 4种选择种选择; ;不同的虚数共有不同的虚数共有5+55+54=25(4=25(个个).).故选故选C.C.(2)(2)当当a a当组长时当组长时, ,共有共有1 14=44=4种选法种选法; ;当当a a不当组长时不当组长时, ,又因为又因为a a也不能当副组长也不能当副组长, ,共有共有4 43=123=12
14、种选法种选法. .因此共有因此共有4+12=164+12=16种选法种选法. .故选故选B.B.本题是分类加法计数原理的直接应用本题是分类加法计数原理的直接应用, ,解题时首先把问题分类解题时首先把问题分类, ,然后确定每类然后确定每类中的方法数中的方法数, ,最后按照分类加法计数原理得出结果最后按照分类加法计数原理得出结果. .反思归纳反思归纳【跟踪训练跟踪训练1 1】 (1) (1)(2018(2018陕西延安模拟陕西延安模拟) )设集合设集合A=-1,0,1,B=(x,y)|xA,A=-1,0,1,B=(x,y)|xA,yA,yA,则则B B中所含元素的个数为中所含元素的个数为( ()
15、)(A)3 (A)3 (B)6 (B)6 (C)9 (C)9 (D)12(D)12(2)(2)用数字用数字2,32,3组成四位数组成四位数, ,且数字且数字2,32,3至少都出现一次至少都出现一次, ,这样的四位数共有这样的四位数共有个个( (用数字作答用数字作答).).解析解析: :(1)(1)因为集合因为集合A=-1,0,1,B=(x,y)|xA,yA,A=-1,0,1,B=(x,y)|xA,yA,所以所以B B中中x x有有3 3种取法种取法,y,y有有3 3种取法种取法, ,则则B B中所含元素的个数为中所含元素的个数为3 33=9.3=9.故选故选C.C.(2)(2)用用2,32,3
16、组成四位数共有组成四位数共有2 22 22 22=16(2=16(个个),),其中不出现其中不出现2 2或不出现或不出现3 3的共的共2 2个个, ,因此满足条件的四位数共有因此满足条件的四位数共有16-2=14(16-2=14(个个).).答案答案: :(1)C(1)C(2)14(2)14考点二分步乘法计数原理考点二分步乘法计数原理【例例2 2】 (1) (1)若自然数若自然数n n使得作竖式加法使得作竖式加法n+(n+1)+(n+2)n+(n+1)+(n+2)均不产生进位现象均不产生进位现象, ,则则称称n n为为“开心数开心数”. .例如例如:32:32是是“开心数开心数”. .因因32
17、+33+3432+33+34不产生进位现象不产生进位现象;23;23不是不是“开心数开心数”. .因因23+24+2523+24+25产生进位现象产生进位现象, ,那么那么, ,小于小于100100的的“开心数开心数”的个数为的个数为( () )(A)9 (A)9 (B)10 (B)10 (C)11 (C)11 (D)12(D)12解析解析: :(1)(1)由题意得小于由题意得小于100100的的“开心数开心数”的个位数字为的个位数字为0,1,2,0,1,2,十位数字为十位数字为0,1,0,1,2,3,2,3,所以小于所以小于100100的的“开心数开心数”的个数为的个数为3 34=12.4=
18、12.故选故选D.D.(2)(2)(2017(2017陕西咸阳三模陕西咸阳三模) )在中国文字语言中有回文句在中国文字语言中有回文句, ,如如:“:“中国出人才人中国出人才人出国中出国中.”.”其实其实, ,在数学中也有回文数在数学中也有回文数. .回文数是指从左到右与从右到左读都回文数是指从左到右与从右到左读都一样的正整数一样的正整数, ,如如:3:3位回文数位回文数:101,111,121,191,202,999.:101,111,121,191,202,999.则则5 5位回文位回文数有数有( () )(A)648(A)648个个(B)720(B)720个个(C)900(C)900个个(
19、D)1 000(D)1 000个个解析解析: :(2)(2)由题设中定义的回文数的概念可知由题设中定义的回文数的概念可知: :先考虑五位回文数的中间的一先考虑五位回文数的中间的一个位置个位置, ,每个数字都能选取每个数字都能选取, ,共有共有1010种可能种可能; ;其次是考虑首位数字应有除了其次是考虑首位数字应有除了0 0之之外的外的9 9个数字个数字, ,共有共有9 9种可能种可能; ;最后考虑第二个位置最后考虑第二个位置, ,十个数字都可选取十个数字都可选取, ,应有应有1010种可能种可能, ,由分步乘法计数原理可得所有五位回文数的个数是由分步乘法计数原理可得所有五位回文数的个数是9
20、9101010=90010=900个个. .故选故选C.C.反思归纳反思归纳如果如果“一件事情一件事情”需要分成若干步骤才能完成需要分成若干步骤才能完成, ,则就需要使用分步乘法计则就需要使用分步乘法计数原理计数完成这件事情的方法总数数原理计数完成这件事情的方法总数, ,如果其中存在某些特殊情况如果其中存在某些特殊情况, ,则从总则从总数中减去特殊情况的数目即可数中减去特殊情况的数目即可, ,这种间接求解的方法是计数问题中经常使这种间接求解的方法是计数问题中经常使用的用的. .【跟踪训练跟踪训练2 2】 (1) (1)(2018(2018石家庄市模拟石家庄市模拟) )教学大楼共有五层教学大楼共
21、有五层, ,每层均有两个每层均有两个楼梯楼梯, ,由一层到五层的走法有由一层到五层的走法有( () )(A)10(A)10种种(B)2(B)25 5种种(C)5(C)52 2种种(D)2(D)24 4种种(2)(2)从从0,1,2,3,40,1,2,3,4这这5 5个数字中任取个数字中任取3 3个组成三位数个组成三位数, ,其中奇数的个数是其中奇数的个数是.解析解析: :(1)(1)每相邻的两层之间各有每相邻的两层之间各有2 2种走法种走法, ,共分共分4 4步步. .由分步乘法计数原理由分步乘法计数原理, ,共有共有2 24 4种不同的走法种不同的走法. .故选故选D.D.(2)(2)从从1
22、,31,3中取一个排个位中取一个排个位, ,故排个位有故排个位有2 2种方法种方法; ;排百位不能是排百位不能是0,0,可以从另外可以从另外3 3个个数中取一个数中取一个, ,有有3 3种方法种方法; ;排十位有排十位有3 3种方法种方法. .故所求奇数的个数为故所求奇数的个数为3 33 32=18.2=18.答案答案: :(1)D(1)D(2)18(2)18考点三两个原理的综合应用考点三两个原理的综合应用( (多维探究多维探究) )考查角度考查角度1:1:涂色问题涂色问题【例例3 3】 (2018(2018成都市诊断成都市诊断) )如图所示如图所示, ,用用4 4种不同的颜色对图中种不同的颜
23、色对图中5 5个区域涂个区域涂色色(4(4种颜色全部使用种颜色全部使用),),要求每个区域涂一种颜色要求每个区域涂一种颜色, ,相邻的区域不能涂相同的相邻的区域不能涂相同的颜色颜色, ,则不同的涂色种数为则不同的涂色种数为( (用数字作答用数字作答).).答案答案: :9696反思归纳反思归纳涂色问题大致有两种解答方案涂色问题大致有两种解答方案: :(1)(1)选择正确的涂色顺序选择正确的涂色顺序, ,按步骤逐一涂色按步骤逐一涂色, ,这时用分步乘法计数原理进行这时用分步乘法计数原理进行计数计数; ;(2)(2)根据涂色时所用颜色数的多少根据涂色时所用颜色数的多少, ,进行分类处理进行分类处理
24、, ,这时用分类加法计数原这时用分类加法计数原理进行计数理进行计数. .【跟踪训练跟踪训练3 3】 (2019(2019天津南开区一模天津南开区一模) )如图所示的几何体是由一个三棱锥如图所示的几何体是由一个三棱锥P-ABCP-ABC与三棱柱与三棱柱ABC-AABC-A1 1B B1 1C C1 1组合而成组合而成, ,现用现用3 3种不同颜色对这个几何体的表面涂种不同颜色对这个几何体的表面涂色色( (底面底面A A1 1B B1 1C C1 1不涂色不涂色),),要求相邻的面均不同色要求相邻的面均不同色, ,则不同的涂色方案共有则不同的涂色方案共有( () )(A)6(A)6种种(B)9(B
25、)9种种(C)12(C)12种种(D)36(D)36种种解析解析: :分类讨论分类讨论: :第第1 1类类, ,对于每一条棱对于每一条棱, ,都可以与两个侧面构成都可以与两个侧面构成“正交线面对正交线面对”, ,这样的这样的“正交线面对正交线面对”有有2 212=2412=24个个; ;第第2 2类类, ,对于每一条面对角线对于每一条面对角线, ,都可以与一都可以与一个对角面构成个对角面构成“正交线面对正交线面对”, ,这样的这样的“正交线面对正交线面对”有有1212个个. .所以正方体中所以正方体中“正交线面对正交线面对”共有共有24+12=3624+12=36个个. .故选故选D.D.考查
26、角度考查角度2:2:几何问题几何问题【例例4 4】 如果一条直线与一个平面垂直如果一条直线与一个平面垂直, ,那么称此直线与平面构成一个那么称此直线与平面构成一个“正交正交线面对线面对”. .在一个正方体中在一个正方体中, ,由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的成的“正交线面对正交线面对”的个数是的个数是( () )(A)48 (A)48 (B)18 (B)18 (C)24 (C)24 (D)36(D)36反思归纳反思归纳求解此类问题可借助于空间几何体求解此类问题可借助于空间几何体, ,仔细分析题意中涉及的点、线、面的仔细分析题意中涉及的点、
27、线、面的位置关系位置关系, ,把握好分类的标准和分步的顺序是求解的关键把握好分类的标准和分步的顺序是求解的关键. .解析解析: :长方体的长方体的6 6个表面构成的个表面构成的“平行线面组平行线面组”有有6 66=36(6=36(个个),6),6个对角面构成个对角面构成的的“平行线面组平行线面组”有有6 62=12(2=12(个个).).故共有故共有36+12=48(36+12=48(个个).).故选故选B.B.【跟踪训练跟踪训练4 4】 如果一条直线与一个平面平行如果一条直线与一个平面平行, ,那么称此直线与平面构成一个那么称此直线与平面构成一个“平行线面组平行线面组”, ,在一个长方体中在
28、一个长方体中, ,由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的平面构成的“平行线面组平行线面组”的个数是的个数是( () )(A)60 (A)60 (B)48 (B)48 (C)36 (C)36 (D)24(D)24备选例题备选例题【例例1 1】 A A与与B B是是I=1,2,3,4I=1,2,3,4的子集的子集, ,若若AB=1,2,AB=1,2,则称则称(A,B)(A,B)为一个理想配集为一个理想配集, ,若将若将(A,B)(A,B)与与(B,A)(B,A)看成不同的看成不同的“理想配集理想配集”, ,则符合此条件的则符合此条件的“理想配集理想配集”
29、的的个数是个数是( () )(A)4 (A)4 (B)8 (B)8 (C)9(C)9 (D)16 (D)16解析解析: :对子集对子集A A分类讨论分类讨论. .当当A A是二元集是二元集1,2,B1,2,B可以为可以为1,2,3,4,1,2,4,1,2,3,4,1,2,4,1,2,3,1,21,2,3,1,2共共4 4种情况种情况; ;当当A A是三元集是三元集1,2,3,B1,2,3,B可以取可以取1,2,4,1,21,2,4,1,2共共有有2 2种情况种情况; ;当当A A是三元集是三元集1,2,4,B1,2,4,B可以取可以取1,2,3,1,2,1,2,3,1,2,共有共有2 2种情况
30、种情况; ;当当A A是四元集是四元集1,2,3,4,1,2,3,4,此时此时B B取取1,21,2有有1 1种情况种情况, ,根据分类加法计数原理得根据分类加法计数原理得4+2+2+1=94+2+2+1=9种种, ,故符合此条件的故符合此条件的“理想配集理想配集”有有9 9个个. .故选故选C.C.【例例2 2】 我国古代数学名著我国古代数学名著续古摘奇算法续古摘奇算法( (杨辉杨辉) )一书中有关于三阶幻方一书中有关于三阶幻方的问题的问题: :将将1,2,3,4,5,6,7,8,91,2,3,4,5,6,7,8,9分别填入分别填入3 33 3的方格中的方格中, ,使得每一行使得每一行, ,每一列及每一列及对角线上的三个数的和都相等对角线上的三个数的和都相等, ,我们规定我们规定: :只要两个幻方的对应位置只要两个幻方的对应位置( (如每行第如每行第一列的方格一列的方格) )中的数字不全相同中的数字不全相同, ,就称为不同的幻方就称为不同的幻方, ,那么所有不同的三阶幻方那么所有不同的三阶幻方的个数是的个数是( () )8 83 34 41 15 59 96 67 72 2(A)9 (A)9 (B)8 (B)8 (C)6 (C)6 (D)4(D)4
