1、4.8 图形的位似图形的位似观观 察察它们的共同点它们的共同点是什么？是什么？照相机把人物的影照相机把人物的影像缩小到底片上像缩小到底片上相似图形相似图形这种相似有这种相似有什么特征？什么特征？ 这样放大或缩小，没有改变图形形状，经过这样放大或缩小，没有改变图形形状，经过放大或缩小的图形，与原图是相似的。放大或缩小的图形，与原图是相似的。这些图形相似吗？这些图形相似吗？位似图形位似图形如果如果两个图形不仅是相似图形，而且对两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边平行，应顶点的连线相交于一点，对应边平行，像这像这样的两个图形叫样的两个图形叫位似图形位似图形.特征：特征：1 1
2、、位似图形一定是相似形，反之不一定。、位似图形一定是相似形，反之不一定。2 2、判断位似图形时要注意首先它们必须是相似形，、判断位似图形时要注意首先它们必须是相似形，其次每一对对应点所在直线都经过同一点。其次每一对对应点所在直线都经过同一点。这个点叫做这个点叫做位似中心位似中心，这时的相似比又叫这时的相似比又叫位似比位似比。判断下面的正方形是不是位似图形？判断下面的正方形是不是位似图形？（1）不是不是ACDBFEG显然，位似图形是相似图形的特殊情形显然，位似图形是相似图形的特殊情形. .相似图形不相似图形不一定是位似图形，可位似图形一定是相似图形一定是位似图形，可位似图形一定是相似图形 这两个
3、相似图形是位似图形吗？这两个相似图形是位似图形吗？这两个相似图形是位似图形吗？这两个相似图形是位似图形吗？什么联系？相似多边形的相似比有与两个那么若kkkOAAO)0(. 1AOBBOAkOBBOOAAOOABBAO中和在如上图:BAO相等相等2.两个位似多边形的对应边有两个位似多边形的对应边有什么位置关系？为什么？什么位置关系？为什么？平行平行OABOABBAOkOAAOABBA,ABBA 议一议在如图所示的位似多边形中在如图所示的位似多边形中会有共线的情况吗？会有共线的情况吗？ 观察下图中的五个图，观察下图中的五个图，位似图形的位似位似图形的位似中心与这两个图形有什么位置关系？中心与这两个
4、图形有什么位置关系？两个图形两个图形可以在可以在位似中心位似中心的同侧或异侧，位似中心可以的同侧或异侧，位似中心可以在图形内还可以在一个图形的边上或顶点在图形内还可以在一个图形的边上或顶点. 议一议位似多边形是相似多边形。位似多边形是相似多边形。位似图形位似图形 必定是必定是相似图形，而相似图形不一定是位似图形相似图形，而相似图形不一定是位似图形每组对应顶点所在直线都经过同一点，位似多边形每组对应顶点所在直线都经过同一点，位似多边形上任意一对对应点到位似中心的上任意一对对应点到位似中心的距离之比距离之比等于等于相似比相似比. . 位似多边形中的位似多边形中的对应线段平行对应线段平行（或在一条直
5、线上）或在一条直线上）. .两个位似图形的两个位似图形的位似中心只有一个位似中心只有一个，位似中心可以，位似中心可以在两图形的在两图形的同侧同侧或或异侧异侧，位似中心可以在位似中心可以在图形内图形内还可还可以在一个以在一个图形的边上图形的边上或或顶点顶点. 两个位似图形可能位于位似中心的两个位似图形可能位于位似中心的两侧两侧，也可能位，也可能位于位似中心的于位似中心的一侧一侧。注意注意 位似的作用位似的作用 位似可以将一个图形放大或缩小。位似可以将一个图形放大或缩小。ABCABC作位似图形，要用尺规作图：作位似图形，要用尺规作图：1、若、若指定位似中心指定位似中心，一般可作两个，位于位，一般可
6、作两个，位于位 似中心两侧；似中心两侧；2、若、若不指定位似中心不指定位似中心，一般可作无数个。，一般可作无数个。 利用作位似图形的方法，你能将下面利用作位似图形的方法，你能将下面的三角形缩小，使缩小后的三角形与原三的三角形缩小，使缩小后的三角形与原三角形对应线段的比为角形对应线段的比为1 ： 2 吗？试一试。吗？试一试。BAxyBAo在平面直角坐标系中在平面直角坐标系中, ,有两点有两点A(6,3),B(6,0),A(6,3),B(6,0),以以原点原点O O为位似中心为位似中心, ,相似比为相似比为1:3,1:3,把线段把线段ABAB缩小缩小. .A(2,1), B(2,0)观察对应点之间
7、的坐标的变化观察对应点之间的坐标的变化, ,你有什么发现你有什么发现? ?探索探索1:1:xy在平面直角坐标系中在平面直角坐标系中, ,有两点有两点A(6,3),B(6,0),A(6,3),B(6,0),以以原点原点O O为位似中心为位似中心, ,相似比为相似比为1:3,1:3,把线段把线段ABAB缩小缩小. .A(2,1),B(2,0)A(-2,-1), B(-2,0)观察对应点之间的坐标的变化观察对应点之间的坐标的变化, ,你有什么发现你有什么发现? ?BABAoABABCABCABC48122462、如图，、如图，ABC三个顶点坐标分三个顶点坐标分别位别位A（2,3），），B(2,1)，
8、C(6,2)，以点以点O为位似中为位似中心，相似比为心，相似比为2，将将ABC放大，放大，0探索探索2:2:放大后对应放大后对应点的坐标分点的坐标分别是多少别是多少? ?A( 4 ,6 ), B( 4 ,2 ), C( 12 ,4 )A( -4 ,-6 ), B( -4 ,-2 ), C( -12 ,-4 ) 在平面直角坐标系中，如果位似变换在平面直角坐标系中，如果位似变换是是以原点为位似中心以原点为位似中心，相似比为，相似比为k，那么，那么位似图形对应点的位似图形对应点的坐标的比坐标的比等于等于k或或-k，则图像上的对应点的坐标为（则图像上的对应点的坐标为（kx，ky）或）或（kx，ky）。
9、）。位似变换中对应点的坐标变化规律位似变换中对应点的坐标变化规律:xyo例例2.在平面直角坐标系中在平面直角坐标系中, 四边形四边形ABCD的四个顶点的坐标的四个顶点的坐标分别为分别为A(-6,6),B(-8,2),C(-4,0),D(-2,4),画出它的一个以原点画出它的一个以原点O为位似中心为位似中心,相似比为相似比为 的位似图形的位似图形.A( -3,3 ), B( -4,1 ), C( -2,0 ), D( -1,2 )BACDABCD你还有其他办法吗你还有其他办法吗? ?试试看试试看. .A( 3 ,-3), B( 4 ,-1 ), C( 2 ,0 ), D(1,-2)BADC21至
10、此，我们已经学习了四种变换：至此，我们已经学习了四种变换：平移、轴对称、平移、轴对称、旋转和位似旋转和位似，你能说出它们之间的异同吗？在图，你能说出它们之间的异同吗？在图所示的图案中，你能找到这些变换吗？所示的图案中，你能找到这些变换吗？1. 判断下列各对图形哪些是位似图形，哪些不是判断下列各对图形哪些是位似图形，哪些不是. （1）五边形）五边形ABCDE与五边形与五边形ABCDE （2）正方形）正方形ABCD与正方与正方ABCD（3）等边三角形）等边三角形ABC与等边三角形与等边三角形ABC 2. 下面的说法对吗下面的说法对吗?为什么为什么? (1)分别在分别在ABC的边的边AB，AC上取点
11、上取点D、E，使，使DEBC,那那么么ADE是是ABC缩小后的图形。缩小后的图形。 (2)分别在分别在ABC的边的边AB，AC的延长线上取点的延长线上取点D、E，使，使DEBC，那么，那么ADE是是ABC放大后的图形。放大后的图形。 (3)分别在分别在ABC的边的边AB，AC的反向延长线上取点的反向延长线上取点D、E，使使DEBC,那么那么ADE是是ABC缩小后的图形。缩小后的图形。ABCDEADEBCEDCBA 3、如图、如图P，E，F分别是分别是AC，AB，AD的中点，的中点，四边形四边形AEPF与四边形与四边形ABCD是位似图形吗？如果是是位似图形吗？如果是位似图形，说出位似中心和位似比
12、位似图形，说出位似中心和位似比. 是位似图形。是位似图形。位似中心是点位似中心是点A，位似比是位似比是1:2。 4. 哪些图形是位似图形并指出位似图形的位似中心。哪些图形是位似图形并指出位似图形的位似中心。OP(1)(3)(2)位似中心是点位似中心是点O。位似中心是点位似中心是点P。xyoB5.5.如图表示如图表示AOBAOB和把它缩小后得到的和把它缩小后得到的COD,COD,求它们求它们的相似比的相似比ACD24682468-2-4-6-8-2-4-6-8O9101112-9-10-126. 如图，如图，ABC三个顶点三个顶点 坐标分别为坐标分别为A(2，2)， B(4，5)，C(5，2)，
13、 以原点以原点O为位似中心，将为位似中心，将 这个三角形放大为原来这个三角形放大为原来 的的2倍倍ABC解：解：A（ ， ），），B （ ， ），），C （ ， ），），4 4 108410A （ ， ），），B （ ， ），），C （ ， ），），4 4 810104AB C ABC 7. 作出一个新图形，使新图形与原图形对应作出一个新图形，使新图形与原图形对应线段的比是线段的比是1 2。 8. （1）如果在射线）如果在射线OA,OB,OC上分别取上分别取D,E,F,使使OD=2OA, OE=2OB, OF=2OC,那么那么,结果会怎样结果会怎样?DEFAOBC 结果会得到一个放大了的结果会
14、得到一个放大了的DEF,且且DEF的三边是的三边是ABC三边的三边的2倍倍.即它们即它们的位似比是的位似比是2 1。 （2）如果在射线）如果在射线AO,BO,CO上分别取点上分别取点D,E,F使使DO=OA,EO=OB,FO=OC,那么那么,结果又会怎样结果又会怎样? 结果会得到一个与结果会得到一个与ABC全等的全等的DEF,.即它们的位似比是即它们的位似比是1 1。DEFAOBC9. 如图，已知如图，已知ABC和点和点O.以以O为位似中心，求为位似中心，求作作ABC的位似图形，并把的位似图形，并把ABC的边长缩小到原的边长缩小到原来的一半。来的一半。 10. 如图，选取适当的一点为位似中心，
15、适当如图，选取适当的一点为位似中心，适当的比为位似比，作该图的位似图形，使它和原图形的比为位似比，作该图的位似图形，使它和原图形组成一幅轴对称的图形。组成一幅轴对称的图形。1. 位似图形、位似中心、位似比：位似图形、位似中心、位似比： 如果两个图形不仅形状相同如果两个图形不仅形状相同,而且每组而且每组对应顶点所在的直线都经过同一个点对应顶点所在的直线都经过同一个点,那么那么这样的两个图形叫做位似图形。这样的两个图形叫做位似图形。 这个点叫做位似中心。这个点叫做位似中心。 这时的相似比又称为位似比这时的相似比又称为位似比.2. 位似图形的性质：位似图形的性质： 位似图形上的任意一对对应点到位似中
16、心的距位似图形上的任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比。离之比等于位似比。 以坐标原点为位似中心的位似变换有以下性质：以坐标原点为位似中心的位似变换有以下性质：若原图形上点的坐标为（若原图形上点的坐标为（x，y），与原图形的位），与原图形的位似比为似比为k，则像上的对应点的坐标为（，则像上的对应点的坐标为（kx，ky）或（或（kx，ky）。 画出基本图形。画出基本图形。 选取位似中心。选取位似中心。 根据条件确定对应点，并描出对应点。根据条件确定对应点，并描出对应点。 顺次连结各对应点，所成的图形就是所求的图形。顺次连结各对应点，所成的图形就是所求的图形。3. 位似图形的画法：位似图形的画法：w平移平移：平移的方向：平移的方向, ,平移的距离平移的距离. .w旋转旋转：旋转中心：旋转中心, ,旋转方向旋转方向, ,旋转角度旋转角度. .w位似位似：位似比：位似比. .w对称对称( (轴对称与轴对称图形轴对称与轴对称图形, ,中心对称与中心中心对称与中心对称图形对称图形) )：对称轴对称轴, ,对称中心对称中心. .注：图形这些不同的变换是我们学习几何必不可少注：图形这些不同的变换是我们学习几何必不可少的重要工具的重要工具, ,它不但装点了我们的生活它不但装点了我们的生活, ,而且是学习而且是学习后续知识的基础后续知识的基础. .4. 图形的变换：图形的变换：
