1、8.4函数实际应用问题中考数学中考数学 (河北专用)一、一次函数的实际应用一、一次函数的实际应用好题精练1.(2018保定竞秀一模,24)从2017年1月1日起,我国驾驶证考试正式实施新的驾考培训模式,新规规定C2驾驶证的培训学时为60学时.驾校的学费标准分不同时段,普通时段a元/学时,高峰时段和节假日时段都为b元/学时.(1)小明和小华都在此驾校参加了C2驾驶证的培训,下表是小明和小华的培训结算表(培训学时均为40).请你根据提供的信息,计算出a,b的值;学员培训时段培训学时培训总费用小明普通时段206 000元高峰时段5节假日时段15小华普通时段305 400元高峰时段2节假日时段8(2)
2、小陈报名参加了C2驾驶证的培训,并且计划学够全部基本学时,但为了不耽误工作,普通时段的培训学时不会超过其他两个时段总学时的,若小陈普通时段培训了x学时,培训总费用为y元.求y与x之间的函数关系式,并确定自变量x的取值范围;小陈如何选择培训时段,才能使得本次培训的总费用最低?12解析解析(1)由题意得解得(2)y=120 x+180(60-x)=-60 x+10 800.由题意得,x(60-x),且x0,解得0 x20.因为在y=-60 x+10 800(0 x20)中,-603.75,6-3.75=2.25,客车先到达C城,再过2.25小时出租车到达C城.(2)两车相距100千米,分两种情况:
3、y2-y1=100,即900-100t-80t=100,解得t=;y1-y2=100,即80t-(900-100t)=100,解得t=.综上可知:两车相距100千米时,时间t为或小时.4504t 1313409509409509决策:两车相遇,即80t+100t=900,解得t=5,此时AD=805=400(千米),BD=900-400=500(千米).方案一:t1=(2CD+BD)100=7(小时);方案二:t2=BD80=6.25(小时).t1t2,方案二更快.思路分析思路分析 探究:根据路程=速度时间,即可得出y1、y2关于t的函数关系式,根据关系式算出y1=200时的时间t,将t代入y
4、2的解析式中即可得出结论.发现:(1)根据探究中得出的函数关系式,令y=300即可分别算出时间t1 和t2,二者作差得解;(2)两车相距100千米,分两种情况考虑,解关于t的一元一次方程即可.决策:先算出到达点D的时间,据此求出AD,BD的长,然后求出两种方案各需的时间,两者进行比较即可得出结论.4.(2018河南,21,10分)某公司推出一款产品,经市场调查发现,该产品的日销售量y(个)与销售单价x(元)之间满足一次函数关系.关于销售单价,日销售量,日销售利润的几组对应值如下表:(注:日销售利润=日销售量(销售单价-成本单价)(1)求y关于x的函数解析式(不要求写出x的取值范围)及m的值;(
5、2)根据以上信息,填空:该产品的成本单价是 元.当销售单价x= 元时,日销售利润w最大,最大值是 元;(3)公司计划开展科技创新,以降低该产品的成本.预计在今后的销售中,日销售量与销售单价仍存在(1)中的关系.若想实现销售单价为90元时,日销售利润不低于3 750元的销售目标,该产品的成本单价应不超过多少元?销售单价x(元)8595105115日销售量y(个)17512575m日销售利润w(元)8751 8751 875875解析解析(1)设y关于x的函数解析式为y=kx+b,k0,由题意得解得y关于x的函数解析式为y=-5x+600.(3分)当x=115时,m=-5115+600=25.(4
6、分)(2)80;100;2 000.(7分)(3)设该产品的成本单价为a元,由题意得(-590+600)(90-a)3 750.解得a65.答:该产品的成本单价应不超过65元.(10分)85175,95125.kbkb5,600.kb 思路分析思路分析 (1)在表格中任选两对x,y的值,由待定系数法求得y关于x的函数解析式,把x=115代入求得m的值;(2)由85-875175=80,得成本单价,根据题意可求得w关于x的函数解析式,配方得解;(3)列出以a为未知数的一元一次不等式,解不等式即可.易错警示易错警示 解答第(2)问时,容易从表格中选取数值直接填空,造成错解,正确解法为:求出w关于x
7、的解析式w=y(x-80)=-5(x-100)2+2 000,根据实际意义得,当x=100时,得出w的最大值2 000.二、反比例函数的实际应用二、反比例函数的实际应用1.(2017浙江丽水,21,10分)丽水某公司将“丽水山耕”农副产品运往杭州市场进行销售,记汽车行驶时间为t小时,平均速度为v千米/小时(汽车行驶速度不超过100千米/小时).根据经验,v,t的一组对应值如下表:v(千米/小时)7580859095t(小时)4.003.753.533.333.16(1)根据表中的数据,求出平均速度v(千米/小时)关于行驶时间t(小时)的函数表达式;(2)汽车上午7:30从丽水出发,能否在上午1
8、0:00之前到达杭州市场?请说明理由;(3)若汽车到达杭州市场的行驶时间t满足3.5t4,求平均速度v的取值范围.解析解析(1)根据题表数据,可设v=(k0),v=75时,t=4,k=754=300,v=(t3).(2)10-7.5=2.5,t=2.5时,v=120100,汽车上午7:30从丽水出发,不能在上午10:00之前到达杭州市场.(3)3.5t4,75v.答:平均速度v的取值范围是75v.kt300t3002.560076007思路分析思路分析 (1)根据题表中的数据,可知v是t的反比例函数,设v=(k0),利用待定系数法求出k值;(2)根据时间t=2.5,求出速度,进而判断不能在上午
9、10:00之前到达杭州市场;(3)根据自变量的取值范围,求出函数值的取值范围.kt2.(2017唐山路北三模,24)教室内的饮水机接通电源进入自动程序,开机加热时每分钟上升10 ,加热到100 ,停止加热,水温开始下降,此时水温y()与开机后用时x(分钟)成反比例关系.直至水温降至30 ,饮水机关机.饮水机关机后即刻自动开机,重复上述自动程序.水温为30 时,接通电源后,水温y()和时间x(分钟)的关系如图.(1)a= ;(2)直接写出图中y关于x的函数关系式;(3)饮水机有多少时间能使水温保持在70 及以上?(4)若饮水机早上已加满水,开机温度是20 ,为了使8:40下课时水温达到70 ,并
10、节约能源,直接写出当它上午什么时间接通电源比较合适. 解析解析(1)由题意可得a=(100-30)10=7010=7.(2)y=详解:当0 x7时,设y关于x的函数关系式为y=kx+b(k0),解得即当0 x7时,y关于x的函数关系式为y=10 x+30,当x7时,设y=(a0),则有100=,解得a=700,即当x7时,y关于x的函数关系式为y=,当y=30时,x=,y 与x 的函数关系式为y=(3)将y=70代入y=10 x+30,得x=4,将y=70代入y=,得x=10,10-4=6,饮水机有6分钟能使水温保持在70 及以上.1030(07),700707.3xxxx30,7100,bk
11、b10,30,kbax7a700 x7031030(07),700707.3xxxx700 x(4)由题意可得,6+(70-20)10=11(分钟),40-11=29,即8:29开机接通电源比较合适.三、二次函数的实际应用三、二次函数的实际应用1.(2018张家口桥东一模,26)某大学生利用暑假40天社会实践参与了一家网店经营,了解到一种新型商品成本为20元/件,第x天销售量为p件,销售单价为q元/件,经跟踪调查发现,这40天中p与x的关系保持不变.前20天(包含第20天),q与x的关系满足关系式q=30+ax;从第21天到第40天中,q是基础价与浮动价的和,其中基础价保持不变,浮动价与x成反
12、比.且得到了表中的数据.x(天)102135q(元/件)354535(1)请直接写出a的值为 ;(2)从第21天到第40天中,求q与x满足的关系式;(3)若该网店第x天获得的利润为y元,并且已知这40天里前20天中y与x的函数关系式为y=-x2+15x+500.请直接写出这40天中p与x的关系式: ;这40天里该网店第几天获得的利润最大?12解析解析(1)把x=10,q=35代入q=30+ax得a=0.5.(2)设从第21天到第40天中,q与x满足的关系式为q=b+.由题中表格信息得解得q=20+.(3)y=(q-20)p=(30+0.5x-20)p=(x+20)p,y=-x2+15x+500
13、=-(x2-30 x-1 000)=-(x+20)(x-50),(x+20)p=-(x+20)(x-50).p=-x+50.当1x20时,y=-x2+15x+500=-(x-15)2+612.5,当x=15时,y最大=612.5.当21x40时,y=p(q-20)=(50-x)=-525.y随x增大而减小,当x=21时,y最大=725.综上所述,这40天里该网店第21天获得的利润最大.kx45,2135,35kbkb20,525,bk525x1212121212121212525x26 250 x2.(2017四川成都,26,8分)随着地铁和共享单车的发展,“地铁+单车”已成为很多市民出行的选
14、择,李华从文化宫站出发,先乘坐地铁,准备在离家较近的A,B,C,D,E中的某一站出地铁,再骑共享单车回家,设他出地铁的站点与文化宫距离为x(单位:千米),乘坐地铁的时间y1(单位:分钟)是关于x的一次函数,其关系如下表:地铁站ABCDEx(千米)891011.513y1(分钟)1820222528(1)求y1关于x的函数表达式;(2)李华骑单车的时间y2(单位:分钟)也受x的影响,其关系可以用y2=x2-11x+78来描述,请问:李华应选择在哪一站出地铁,才能使他从文化宫站回家所需的时间最短?并求出最短时间.12解析解析(1)设y1与x之间的函数关系式为y1=kx+b(k0),把(8,18),
15、(9,20)代入得解得y1=2x+2.(2)设李华从文化宫站回家所花的时间为y分钟,则y=y1+y2,即y=2x+2+x2-11x+78,即y=x2-9x+80=(x-9)2+,当x=9时,y取最小值,李华应在B站出地铁,可使得他回家所需时间最短,最短时间为分钟.188,209,kbkb2,2.kb1212127927927923.(2017唐山路南二模,25)某公司开发了一种新产品,现要在甲地或者乙地进行销售,设年销售量为x(件),其中x0.若在甲地销售,每件售价y(元)与x之间的函数关系式为y=-x+100,每件成本为20元,设此时的年销售利润为w甲(元)(利润=销售额-成本).若在乙地销
16、售,受各种不确定因素的影响,每件成本为a元(a为常数,18a25),每件售价为98元,销售x(件)每年还需缴纳x2元的附加费.设此时的年销售利润为w乙(元)(利润=销售额-成本-附加费).(1)当a=18,且x=100时,w乙= 元;(2)求w甲与x之间的函数关系式(不必写出x的取值范围),当w甲=15 000时,若使销售量最大,求x的值;(3)为完成x件的年销售任务,请你通过分析帮助公司决策,应选择在甲地还是在乙地销售才能使该公司所获年利润最大.110110解析解析(1)当a=18,且x=100时,w乙=(98-18)100-1002=7 000(元).(2)w甲=x(y-20)=x=-x2
17、+80 x,当w甲=15 000时,-x2+80 x=15 000,解得x1=300,x2=500,由于要使销售量最大,故x=500.(3)w乙=-x2+(98-a)x,w甲-w乙=-x2+80 x-=(a-18)x,18a25,且x0,当180,即w甲w乙,应选择在甲地销售;当a=18时,w甲=w乙,在甲地、乙地销售均可.11011002010 x11011011011021(98)10 xa x思路分析思路分析 (1)根据“乙地销售利润=每件利润销售量-附加费用”列式计算得解;(2)先求w甲与x之间的函数关系式,根据“销售总利润=每件利润销售量”列方程得出结论;(3)先列出w乙与x之间的函
18、数关系式,再作差得出w甲-w乙=(a-18)x,结合a的取值范围即可判断.一、一次函数的实际应用一、一次函数的实际应用教师专用题组教师专用题组1.(2018陕西,21,7分)经过一年多的精准帮扶,小明家的网络商店(简称网店)将红枣、小米等优质土特产迅速销往全国.小明家网店中红枣和小米这两种商品的相关信息如下表:根据上表提供的信息,解答下列问题:(1)已知今年前五个月,小明家网店销售上表中规格的红枣和小米共3 000 kg,获得利润4.2万元,求这前五个月小明家网店销售这种规格的红枣多少袋;(2)根据之前的销售情况,估计今年6月到10月这后五个月,小明家网店还能销售上表中规格的红枣和小米共2 0
19、00 kg,其中,这种规格的红枣的销售量不低于600 kg.假设这后五个月,销售这种规格的红枣为x(kg),销售这种规格的红枣和小米获得的总利润为y(元),求出y与x之间的函数关系式,并求这后五个月,小明家网店销售这种规格的红枣和小米至少获得总利润多少元.商品红枣小米规格1 kg/袋2 kg/袋成本(元/袋)4038售价(元/袋)6054解析解析(1)设这前五个月小明家网店销售这种规格的红枣m袋,则销售这种规格的小米 袋,根据题意,得(60-40)m+(54-38)=42 000,解得m=1 500.这前五个月小明家网店销售这种规格的红枣1 500袋.(3分)(2)根据题意,得y=(60-40
20、)x+(54-38)=12x+16 000.y与x之间的函数关系式为y=12x+16 000.(5分)120,y的值随x值的增大而增大.x600,当x=600时,y最小,为12600+16 000=23 200.这后五个月,小明家网店销售这种规格的红枣和小米至少获得总利润为23 200元.(7分)3 0002m3 0002m2 0002x思路分析思路分析 (1)设这前五个月小明家网店销售这种规格的红枣m袋,根据“销售题表中规格的红枣和小米共3 000 kg,获得利润4.2万元”列出方程求解即可;(2)这后五个月,销售这种规格的红枣为x(kg),列出y与x之间的函数关系式,利用一次函数的增减性及
21、x的取值范围求出最值.解题关键解题关键 本题考查了一次函数的应用,读懂题目信息,确定自变量的取值范围,列出函数关系式是解题的关键.2.(2015保定一模,25)小明妈妈每天需赶头班公交车驶往终点站,离他家最近的公交站点离终点站15 km,一天他妈妈从家步行到公交站点,恰好赶上头班公交车,上车后才发现有重要物品落在家中,急忙通知小明将物品送到终点站,这时妈妈已上车5 min,小明马上取了东西,用时6 min赶到妈妈上车的公交站点,乘坐刚好路过的出租车,沿公交车的线路驶往公交车的终点站,结果比公交车早4 min到达,出租车司机与小明一起等侯公交车,若公交车、出租车均视为全程匀速行驶,出租车的速度为
22、60 km/h(即1 km/min),设妈妈所乘公交车离开她上车的站点的时间为t(min),小明上车后,小明所乘出租车距妈妈上车的公交站点的路程为s1(km),妈妈所乘的公交车与小明所乘出租车之间相距的路程为s(km).(1)求s1与t之间的函数关系式,并写出t的取值范围;(2)写出11t30时s与t之间的函数关系式;(3)公交车到达终点之前,经多长时间两车相距500 m?解析解析(1)当11t26时,s1=t-11;当26t30时,s1=15.(2)当11t22时,s=t-(t-11)=-t+11;当22t26时,s=t-11-t=t-11;当26t30时,s=15-t.(3)当11t22时
23、,令s=-t+11=0.5,解得t=21;当22t26时,令s=t-11=0.5,解得t=23;当260).当y=3时,x=1,由函数图象可知当y3时,x的取值范围是0 x1.(2)圆圆的说法不对,方方的说法对,理由如下:设矩形的周长为l,相邻两边长分别为x,l-x,则x=3,即2x2-lx+6=0,则=l2-48,当l=6时,=-120,此时,矩形的相邻两边长分别为,.3x3x1212lx51325132所以存在面积为3,周长为10的矩形,所以方方的说法对.三、二次函数的实际应用三、二次函数的实际应用1.(2018湖北黄冈,23,9分)我市某乡镇在“精准扶贫”活动中销售一农产品,经分析发现月
24、销售量y(万件)与月份x(月)的关系式为y=每件产品的利润z(元)与月份x(月)的关系如下表:4(18,),20(912,),xxxxxx 为整数为整数x123456789101112z191817161514131211101010(1)请你根据表格求出每件产品利润z(元)与月份x(月)的关系式;(2)若月利润w(万元)=当月销售量y(元件)当月每件产品的利润z(元),求月利润w(万元)与月份x(月)的关系式;(3)当x为何值时,月利润w有最大值?最大值为多少?解析解析(1)根据表格可知,当1x10且x为整数时,z=-x+20;当11x12且x为整数时,z=10.z与x的关系式为z=或z=(
25、2)当1x8且x为整数时,w=(-x+20)(x+4)=-x2+16x+80;当9x10且x为整数时,w=(-x+20)(-x+20)=x2-40 x+400;当11x12且x为整数时,w=10(-x+20)=-10 x+200,w与x的关系式为w=或w=(3)当1x8且x为整数时,w=-x2+16x+80=-(x-8)2+144,20(110,),10(1112,).xxxxx 为整数为整数20(19,),10(1012,)xxxxx 为整数为整数221680(18,),40400(910,),10200(1112,).xxxxxxxxxxx为整数为整数为整数221680(18,),4040
26、0121(9),10200(1012,)xxxxxxxxxx为整数为整数当x=8时,w有最大值,为144;当9x10且x为整数时,w=x2-40 x+400=(x-20)2,当x=9时,w有最大值,为121;当11x12且x为整数时,w=-10 x+200,当x=11时,w有最大值,为90.90121144,x=8时,w有最大值,为144.(或当1x8且x为整数时,w有最大值144;当x=9时,w=121;当x=10时,w=100;当x=11时,w=90;当x=12时,w=80)2.(2017湖北随州,23,10分)某水果店在两周内,将标价为10元/斤的某种水果,经过两次降价后的价格为8.1元
27、/斤,并且两次降价的百分率相同.(1)求该种水果每次降价的百分率;(2)从第一次降价的第1天算起,第x天(x为整数)的售价、销量及储存和损耗费用的相关信息如下表所示.已知该种水果的进价为4.1元/斤,设销售该水果第x(天)的利润为y(元),求y与x(1x15)之间的函数关系式,并求出第几天时销售利润最大.时间x(天)1x99x15x15售价(元/斤)第1次降价后的价格第2次降价后的价格 销量(斤)80-3x120-x储存和损耗费用(元)40+3x3x2-64x+400(3)在(2)的条件下,若要使第15天的利润比(2)中最大利润最多少127.5元,则第15天在第14天的价格基础上最多可降多少元
28、?解析解析(1)设该种水果每次降价的百分率是x,由题意得10(1-x)2=8.1,解得x=10%或x=190%(舍去).答:该种水果每次降价的百分率是10%.(2)当1x9时,第1次降价后的价格为10(1-10%)=9元/斤,y=(9-4.1)(80-3x)-(40+3x)=-17.7x+352,-17.70,y 随x的增大而减小,当x=1时,y有最大值,ymax=-17.71+352=334.3(元),当9x15时,第2次降价后的价格为8.1 元/斤,y=(8.1-4.1)(120-x)-(3x2-64x+400)=-3x2+60 x+80=-3(x-10)2+380,-30,当9x10 时
29、,y随x的增大而增大,当10 x15时,y随x的增大而减小,当x=10时,y有最大值,ymax=380(元),综上所述,y 与x(1x15)之间的函数关系式为y=第10天时销售利润最大.217.7352(19),36080(915),xxxxx(3)设第15天在第14天的价格基础上可降a元,由题意得380-127.5(8.1-4.1-a)(120-15)-(3152-6415+400),即252.5105(4-a)-115,解得a0.5.答:第15天在第14天的价格基础上最多可降0.5元.思路分析思路分析 (1)设百分率是x,根据某商品原价为10元,由于各种原因连续两次降价,降价后的价格为8.
30、1元,可列方程求解;(2)根据两个取值先计算:当1x9时和9x15时的销售单价,由“利润=(售价-进价)销量-费用”列函数关系式,并根据增减性求最大值,作对比得解;(3)设第15天在第14天的价格基础上可降a元,根据第15天的利润比(2)中最大利润最多少127.5元,列不等式可得结论.3.(2017保定二模,25)进入夏季后某款空调供不应求,厂家加班生产并销售,在第一个产销期的12天中,为提高产量,从第5天开始增加了工时生产成本,每台空调的成本P(元)与时间x(天)的关系如下表:时间x(天)每台空调的成本P(元)0 x5P=4005x12P=40 x+200已知每天生产的空调数量y(台)与时间
31、x(天)近似满足函数关系y=2x+16,每台空调的出售价格为1 400元.请解答下列问题:(1)设厂家的日销售利润为W元,求W(元)与时间x(天)的函数关系式;(2)该厂哪一天获得最大利润?最大利润是多少?(3)设厂家在第一个产销期,获得最大利润时的成本为P1,日生产量为y1.现计划从第13天开始,按每台成本P1元,每天生产y1台进行生产并完全售出,但由于机器损耗等原因,实际平均每台空调的成本比统计增加了a%,使得厂家10天的销售利润与原计划的8天的销售利润持平,求a的值.解析解析(1)当0 x5时,W=y(1 400-P)=(2x+16)(1 400-400)=2 000 x+16 000;
32、当5x12时,W=y(1 400-P)=(2x+16)1 400-(40 x+200)=-80 x2+1 760 x+19 200.(2)当00,W随x的增大而增大,当x=5时,W有最大值26 000;当5x12时,W=-80 x2+1 760 x+19 200=-80(x-11)2+28 880,当x=11时,W有最大值28 880.综上,第11天的利润最大,最大利润是28 880元.(3)y1=211+16=38,P1=4011+200=640,由题意得1 400-640(1+a%)3810=28 8808,解得a=23.75,a的值为23.75.思路分析思路分析 (1)分0 x5、5x12,根据“总利润=单件利润销售量”列出函数解析式;(2)结合x的范围,分别根据一次函数和二次函数的增减性求解可得最大利润;(3)先根据题意求得y1、P1,再由“厂家10天的销售利润与原计划的8天的销售利润持平”列方程得解.
