1、北师版六年级第一单元北师版六年级第一单元圆柱与圆锥圆柱与圆锥复习驿站容错展板典型例题分析知识网络圆柱与圆锥面的旋转圆柱的表面积圆柱的体积圆锥的体积“点、线、面、体”之间的联系圆柱、圆锥的特征圆柱的侧面积、表面积的计算方法圆柱表面积的应用圆柱体积的计算公式圆柱体积公式的应用圆锥体积的计算公式圆锥体积公式的应用复习驿站1面的旋转点的运动形成线，线的运动形成面，面的运动形成体。2圆柱和圆锥的认识复习驿站 (1)圆柱：以长方形的一边为轴旋转360，得到的空间几何体叫作圆柱。 圆柱底面：圆柱上下的两个圆面叫作底面。圆柱两个底面都是圆，并且大小相同。 圆柱侧面：圆柱周围的面叫作侧面。圆柱的侧面沿高展开后是
2、长方形，长方形的长等于圆柱底面的周长，宽等于圆柱的高。 圆柱的高：两个底面的距离叫作高。圆柱有无数条高，每条高的长度都相等。 (2)圆柱的特征：两个底面、一个侧面。底面由两个大小完全相同的圆组成。侧面是一个曲面。复习驿站 (3)圆锥：以三角形的一条直角边为轴旋转360，得到的空间几何体叫作圆锥。 (4)圆锥的特征：由一个底面(圆)、一个侧面(曲面)组成。从圆锥的顶点到底面圆心的距离是圆锥的高，圆锥只有一条高。复习驿站3圆柱和圆锥的表面展开图 沿着圆柱的一条高将圆柱的侧面剪开，可以得到一个平面图形，这个平面图形是长方形。在圆柱表面展开图中有两个底面、一个侧面。底面是两个大小完全相同的圆。侧面展开
3、是长方形，特殊情况下是正方形。复习驿站 圆锥的表面展开后，底面是一个圆，侧面是一个扇形。圆锥只有一条高。复习驿站4圆柱的表面积圆柱的表面积圆柱的侧面积两个底面的面积。 (1) 圆柱的侧面积 底面周长高Ch。因Cd ，所以也可以表示为圆柱的侧面积dh2rh。 (2)两个底面的面积 底面积2 2r 。2复习驿站5圆柱表面积的应用 在生活中，我们常常遇到包装圆柱形的饮料、制作通风管等，求包装面积、材料面积等实际问题，解题时，要根据实际情况，理清要计算几个面的面积。例如：制作无盖的圆柱形水桶时，求侧面积加1个底面积(没有上面)；制作通风管、烟囱时，只求侧面积(没有底面)。复习驿站6体积(容积)的意义和
4、体积单位 (1)体积(容积)的意义：任何物体都占据空间，有的物体占据的空间大，有的物体占据的空间小。物体所占空间的大小叫作物体的体积。容器能容纳物体的体积，叫作这个容器的容积。有些物体有容积也有体积，如油桶、瓶子等；有些物体只有体积，如石头等。一个容器容积的大小与它所能盛物体的多少有关，因为容器都有一定的厚度，所以一个容器的体积一定大于它的容积。复习驿站 (2)体积(容积)单位：计算一个物体的体积要用体积单位，棱长是1厘米、1分米、1米的正方体，体积是1立方厘米、1立方分米、1立方米；立方厘米、立方分米、立方米用字母表示是cm 、dm 、m 。计量容积一般用体积单位，但计量液体的体积，如水、油
5、等常用容积单位。容积单位有升和毫升，用字母表示为L和mL。1立方厘米1毫升，1立方分米1升。333复习驿站7圆柱和圆锥的体积计算 (1)圆柱的体积 把圆柱的底面分成许多相等的扇形，沿高把圆柱切开，再把它们拼起来，得到一个近似的长方体。长方体的底面积等于圆柱的底面积，长方体的高等于圆柱的高。长方体的体积底面积高，所以圆柱体积的计算公式为：圆柱的体积底面积高Sh，因为Sr ，所以Vr h。22 (2)圆锥的体积 圆锥体积的计算公式为：圆锥的体积底面积高 Sh因为Sr ，所以Vr h。313122复习驿站 (3)如何区分是求圆柱的体积、容积还是求表面积 求做圆柱形状的物体需要的材料、圆柱形状的墙壁抹
6、水泥面积的多少，或贴墙需要多少瓷砖等，这样的表述是求表面积。还有一个判定方法就是看所求问题的单位，所求问题的单位是平方的，则求表面积；所求问题的单位是立方、升、毫升的，则求体积。求圆柱能装下多少的问题，就是求容积，用体积公式。 例如：一个装满稻谷的粮囤，高0.9 m，上面是圆锥形，下面是圆柱形。量得底面周长是12.56 m，圆柱的高是0.5 m。这个粮囤大约能装稻谷多少立方米？复习驿站 分析：在解答本题时， 0.9 m是圆柱和圆锥高的和。它们两个的底面积也是一样的。3.14r 0.5(r为粮囤的底面半径)计算的是圆柱的体积，还应计算圆锥的体积，粮囤的体积圆柱的体积圆锥的体积。2复习驿站 解答：
7、半径： 12.563.1422(m) 圆柱的体积： 3.142 0.56.28(m ) 圆锥的体积：3.142 (0.90.5)1.67(m ) 1676.287.95(m ) 答：这个粮囤大约能装稻谷7.95立方米。 2332331复习驿站8圆锥、圆柱的体积关系 (1)等底(面积)等高时，圆锥的体积是圆柱体积的 ，即圆锥的体积圆柱的体积 。 (2)等底(面积)等高时， 圆柱的体积是圆锥体积的3倍，即圆柱的体积圆锥的体积3。 (3)等底(面积)等高时， 圆柱的体积与圆锥的体积比是3 1。 (4)等底(面积)等高时， 圆柱的体积比圆锥的体积多200%。 (5)等底(面积)等高时， 圆锥的体积比圆
8、柱的体积少 注意：这些结论的前提都是等底(面积)等高，没有这个前提就不成立。313132典型例题分析 例1：玲玲想用一张长为15.7cm的长方形纸(如图)围成一个圆柱的侧面，你能帮助她从下面的圆中选择一个合适的圆作底吗？ 典型例题分析 分析：根据圆柱的侧面和底面的关系可知：圆柱的底面的周长应该等于长方形的长或宽。因此，只需计算出三个圆的周长，再和长方形的长或宽进行比较，即可选择出合适的底面。典型例题分析解答：圆的周长：3.14412.56(cm) 圆的周长：3.14515.7(cm) 圆的周长：3.14618.84(cm) 比较：圆的周长等于长方形的长。 答：选择圆作底合适。典型例题分析 例题
9、2：一个粮囤，上面是圆锥，下面是圆柱(如下图)。圆柱的底面周长是12.56 m，高是2 m，圆锥的高是0.6 m。求这个粮囤的体积。典型例题分析 分析：按一般的计算方法，先分别求出圆锥、圆柱的体积，再把它们合并在一起求出总体积。但我们仔细想一想，如果把圆锥形的稻谷铺平，把它变成圆柱，这样求出变化后直圆柱的体积就可以了。典型例题分析 解答：将上面圆锥形的稻谷铺成圆柱形后，体积和底面积不变，高变了。根据 Sh Sh ，得h h ，变化后的高是 0.60.2(m)，圆柱的底面积是3.14(12.563.142) 12.56(m )，粮囤的体积是12.56(20.2)27.632(m )。圆柱圆柱圆柱
10、圆柱313131232典型例题分析 例题3：一个圆柱高8 cm，如果它的高增加2 cm，那么表面积增加25.12 cm ，求原来圆柱的表面积。2典型例题分析 分析：由题意可知，增加的表面积就是高2 cm的圆柱的侧面积，用增加的表面积除以2，即可得到原来圆柱的底面周长，由底面周长求出底面半径，进而可求出底面积，底面周长乘高可以得到侧面积，两个底面积加侧面积就是原来圆柱的表面积。典型例题分析 解答：底面周长：25.12212.56(cm) 底面半径：12.563.1422(cm) 两个底面积：3.1422225.12(cm ) 侧面积：12.568100.48(cm ) 表面积：25.12100.
11、48125.6(cm )222典型例题分析 例题4：一个高8 cm的圆柱完全浸没在长10 cm、宽8 cm、高7 cm的装满水的长方体容器内。把这个圆柱拿出来后，发现水面下降了3 cm，你知道这个圆柱的底面积是多少吗？典型例题分析 分析：完全浸没在水中的物体的体积等于水面上升或下降部分的体积，所以圆柱的体积等于水面下降3 cm那部分长方体的体积。根据圆柱的体积底面积高，题中已知圆柱的高，求圆柱的底面积，可以用体积除以高。典型例题分析 解答：1083240(cm )240830(cm ) 答：这个圆柱的底面积是30 cm 。232典型例题分析 例题5：一个圆锥沿底面直径经过顶点切开(如下图)后表
12、面积比原来增加了36 cm ，已知这个圆锥的高是6 cm，这个圆锥的底面半径是多少厘米？2典型例题分析 分析：圆锥沿底面直径经过顶点切开后表面积比原来增加了两个三角形的面积，这两个三角形的底是圆锥的底面直径，高是圆锥的高。先求出每个三角形的面积，已知三角形的高是6 cm，根据三角形的面积公式求出底，继而求出圆锥的底面半径。典型例题分析 解答：36218(cm ) 18266(cm) 623(cm) 答：这个圆锥的底面半径是3 cm。2容错展板错例1.判断：圆柱和圆锥都有无数条高。( )容错展板 错解分析：圆柱有无数条高，圆锥只有1条高，圆锥的高是顶点到底面圆心的距离，圆锥只有1个顶点和1个底面
13、圆心，所以只有1条高。容错展板 正确解答： 温馨提示：出现这类错误的原因是没有正确理解圆锥的高的含义。容错展板错例2.做一个高5 dm、底面半径2 dm的圆柱形无盖水桶，至少需要铁皮多少平方分米？容错展板2222错误解答：侧面积：23.142562.8(dm ) 底面积：3.142212.56(dm ) 表面积：62.812.56287.92(dm ) 答：至少需要铁皮87.92 dm 。 错解分析：根据生活实际计算圆柱形状的物体的表面积，要注意观察需要计算的是圆柱哪些部分的面积。无盖的水桶只有一个底面，在计算需要铁皮多少平方分米时，用侧面积加上一个底面的面积就可以了。容错展板2222 正确解
14、答： 侧面积：23.142562.8(dm ) 底面积：3.142212.56(dm ) 表面积：62.812.5675.36(dm ) 答：至少需要铁皮75.36 dm 。容错展板错例3.大厅里有10根圆柱，圆柱的底面直径是1 m，高是8 m。在这些圆柱的表面涂油漆，平均每平方米用油漆0.8 kg，共需油漆多少千克？222错误解答：每根圆柱涂油漆面积： 3.14183.14(12) 226.69(m ) 10根圆柱涂油漆面积：26.6910266.9(m ) 需要油漆的质量：266.90.8213.52(kg)容错展板错解分析：每根圆柱的涂漆面积只是圆柱的侧面积，而不是圆柱的表面积。容错展板
15、2 正确解答：3.141810251.2(m )251.20.8200.96(kg) 温馨提示：出现这类错误的原因是没有联系生活实际，在解答与圆柱表面积有关的实际问题时，一定要认真审题，弄清要求的是圆柱的哪几个面的面积。(对应训练参见第一周复习第六题第2小题内容)容错展板错例4.有一个圆锥形的煤堆，它的底面半径是2.5 m，高是1.5 m，如果每立方米煤重1.7 t，这堆煤约重多少吨？(得数保留整吨数)23错误解答：3.142.5 1.529.4375(m ) 2943751.750(t) 答：这堆煤约重50 t。容错展板31错解分析：这道题就错在求圆锥形煤堆的体积时没有乘 。容错展板33131正确解答：3.142.521.5 9.8125(m ) 981251.717(t) 答：这堆煤约重17 t。温馨提示：在解答与圆锥体积有关的问题时，往往会出现漏乘 的现象，要避免这种错误的发生，不但要强化圆锥体积公式的记忆，还要理解圆锥体积计算公式的推导过程。
