1、带电粒子在磁场中运动的多解问题带电粒子在磁场中运动的多解问题 带电粒子在洛仑兹力作用下做匀速圆周运动的问题带电粒子在洛仑兹力作用下做匀速圆周运动的问题一般有多解。形成多解的原因有：一般有多解。形成多解的原因有：磁感应强度是矢量。如果题设只给出磁感应强度的磁感应强度是矢量。如果题设只给出磁感应强度的大小，而未指出其方向，此时要考虑磁感应强度方大小，而未指出其方向，此时要考虑磁感应强度方向不确定而形成多解。向不确定而形成多解。2. 2. 磁场方向不确定磁场方向不确定受洛仑兹力作用的带电粒子，可能带正电，也可能带受洛仑兹力作用的带电粒子，可能带正电，也可能带负电。当具有相同初速度时，正负粒子在磁场中
2、的运负电。当具有相同初速度时，正负粒子在磁场中的运动轨迹不同，导致形成双解。动轨迹不同，导致形成双解。1. 1. 带电粒子电性不确定带电粒子电性不确定3. 3. 临界状态不惟一临界状态不惟一带电粒子在部分是磁场，部分是电场的空间运动带电粒子在部分是磁场，部分是电场的空间运动时，运动往往具有重复性，因而形成多解。时，运动往往具有重复性，因而形成多解。4. 4. 运动的重复性运动的重复性 带电粒子在洛仑兹力作用下飞越有界磁场时，由带电粒子在洛仑兹力作用下飞越有界磁场时，由于粒子运动轨迹是圆弧状，因此穿越磁场的轨迹可于粒子运动轨迹是圆弧状，因此穿越磁场的轨迹可能有多种情况。能有多种情况。1. 带电粒
3、子电性不确定形成多解带电粒子电性不确定形成多解 例例1. 1. 如图所示，第一象限范围内有垂直于如图所示，第一象限范围内有垂直于xOyxOy平面平面的匀强磁场，磁感应强度为的匀强磁场，磁感应强度为B B。质量为。质量为m m，电量大小为，电量大小为q q的带电粒子在的带电粒子在xOyxOy平面里经原点平面里经原点O O射入磁场中，初速度射入磁场中，初速度v v0 0与与x x轴夹角轴夹角= 60= 600 0 ，试分析计算：，试分析计算：（1 1）带电粒子从何处离开磁场？穿越）带电粒子从何处离开磁场？穿越磁场时运动方向发生的偏转角多大？磁场时运动方向发生的偏转角多大？（2 2）带电粒子在磁场中
4、运动时间多长？）带电粒子在磁场中运动时间多长？受洛仑兹力作用的带电粒子，可能带正电，也可能带受洛仑兹力作用的带电粒子，可能带正电，也可能带负电。当具有相同初速度时，正负粒子在磁场中的运负电。当具有相同初速度时，正负粒子在磁场中的运动轨迹不同，导致形成双解。动轨迹不同，导致形成双解。 600v0 xyO 600v0 xyO（1 1）若粒子带负电）若粒子带负电BqmvRx033 BqmvRy0 若粒子带正电，若粒子带正电， （2 2）若粒子带负电，它从）若粒子带负电，它从O O到到A A所用的时间为所用的时间为BqmTt3236011 若粒子带正电，它从若粒子带正电，它从O O到到B B所用的时间
5、为所用的时间为BqmTt336022 2. 2. 磁场方向不确定形成多解磁场方向不确定形成多解 磁感应强度是矢量。如果题设只给出磁感应强度的大磁感应强度是矢量。如果题设只给出磁感应强度的大小，而未指出其方向，此时要考虑磁感应强度方向不小，而未指出其方向，此时要考虑磁感应强度方向不确定而形成多解。确定而形成多解。例例2. 2. 一质量为一质量为m m，电量为，电量为q q的负电荷在磁感应强度为的负电荷在磁感应强度为B B的匀强磁场中绕固定的正电荷沿固定的光滑轨道做匀的匀强磁场中绕固定的正电荷沿固定的光滑轨道做匀速圆周运动，若磁场方向垂直于它的运动平面，且作速圆周运动，若磁场方向垂直于它的运动平面
6、，且作用在负电荷的电场力恰好是磁场力的用在负电荷的电场力恰好是磁场力的3 3倍，则负电荷倍，则负电荷做圆周运动的角速度可能是（做圆周运动的角速度可能是（ ）mqB4mqB3mqB2mqBA. B. C. D.分析：分析： 依题中条件依题中条件“磁场方向垂直于它的运动平面磁场方向垂直于它的运动平面”，磁场方向有两种可能，且这两种可能方向相反。磁场方向有两种可能，且这两种可能方向相反。在方向相反的两个匀强磁场中，由左手定则可知负电荷所受的在方向相反的两个匀强磁场中，由左手定则可知负电荷所受的洛仑兹力的方向也是相反的。洛仑兹力的方向也是相反的。当负电荷所受的洛仑兹力与电场力方向相同时当负电荷所受的洛
7、仑兹力与电场力方向相同时, ,根据牛顿第二定律可知根据牛顿第二定律可知RvmBqv24 得得mBqRv4 此种情况下此种情况下, ,负电荷运动的角速度为负电荷运动的角速度为mBqRv4 当负电荷所受的洛仑兹力与电场力方向相反时，当负电荷所受的洛仑兹力与电场力方向相反时，RvmBqv22 得得mBqRv2 此种情况下此种情况下, ,负电荷运动的角速度为负电荷运动的角速度为mBqRv2 应选应选A A、C C。FffF3. 3. 临界状态不惟一形成多解临界状态不惟一形成多解 例例3. 3. 如图甲所示，如图甲所示，A A、B B为一对平行板，板长为为一对平行板，板长为l l，两板距，两板距离为离为
8、d d，板间区域内充满着匀强磁场，磁感应强度大小为，板间区域内充满着匀强磁场，磁感应强度大小为B B，方，方向垂直纸面向里，一个质量为向垂直纸面向里，一个质量为m m，带电量为，带电量为+q+q的带电粒子以初的带电粒子以初速速v v0 0，从，从A A、B B两板的中间，沿垂直于磁感线的方向射入磁场。两板的中间，沿垂直于磁感线的方向射入磁场。求求v v0 0在什么范围内，粒子能从磁场内射出？在什么范围内，粒子能从磁场内射出？ 带电粒子在洛仑兹力作用下飞越有界磁场时，由于粒带电粒子在洛仑兹力作用下飞越有界磁场时，由于粒子运动轨迹是圆弧状，因此穿越磁场的轨迹可能有多子运动轨迹是圆弧状，因此穿越磁场
9、的轨迹可能有多种情况。种情况。m v0 ABdl+q甲甲mBdqv40 qBmvr0 mrBqv 0由于由于 所以所以 分析：分析：当粒子从左边射出时当粒子从左边射出时, , 若运动轨迹半径最大若运动轨迹半径最大, , 则其圆心为图中则其圆心为图中O O1 1点点, , 半径半径 r r1 1=d/4=d/4。因此粒子从左边射出必须满足因此粒子从左边射出必须满足r rr r1 1。 v0 d/2O1乙乙lr1r2-d/2r2 v0 d/2O2乙乙ldldrldrr222222242 ，）（dmqB)ld(v44220 mqBlvmqBlv44500 或或即即练练1 1一足够长的矩形区域一足够长
10、的矩形区域abcdabcd内充满磁感应强度为内充满磁感应强度为B B，方向垂直纸面向里的匀强磁场，矩形区域的左边界方向垂直纸面向里的匀强磁场，矩形区域的左边界adad宽为宽为L L，现从，现从adad中点中点O O垂直于磁场射入一带电粒子，垂直于磁场射入一带电粒子，速度大小为速度大小为v v0 0 ，方向与，方向与adad边夹角为边夹角为3030，如图所示。，如图所示。已知粒子的电荷量为已知粒子的电荷量为q q，质量为，质量为m m（重力不计）。（重力不计）。 （1 1）若粒子带负电，且恰能从）若粒子带负电，且恰能从d d点射出磁场，点射出磁场，求求v v0 0的大小；的大小； （2 2）若粒
11、子带正电，使粒子能从）若粒子带正电，使粒子能从abab边射出磁场，边射出磁场，求求v v0 0的取值范围以及粒子在的取值范围以及粒子在磁场中运动时间磁场中运动时间t t 的范围。的范围。abcd300v0BO解：解： （1）粒子带负电粒子带负电, 由图可知：由图可知：abcd300v0BOR=L/2据据RmvqvB20 则则mqBLmqBRv20 （2）当）当v0最大时：最大时： 600abcd300v0BO26011LcosRR 得得R1 = L 则则 mqBLmqBRvmax 1当当v0最小时：最小时： 23022LsinRR 得得R2 = L/3 则则 mqBLmqBRvmin32 mq
12、BLvmqBL 03maxv带电粒子从带电粒子从ab边射出磁场，当速度为边射出磁场，当速度为 时，时，运动时间最短运动时间最短,600abcd300v0BOBqmTtmin65360150 速度为速度为vmin时运动时间最长时运动时间最长, BqmTtmax34360240 粒子运动时间粒子运动时间 t 的范围的范围 BqmtBqm3465 练练2 2如图所示，现有一质量为如图所示，现有一质量为m m、电量为、电量为e e的电子从的电子从y y轴上的轴上的P P（0 0，a a）点以初速度）点以初速度v v0 0平行于平行于x x轴射出，为了使电子能够经轴射出，为了使电子能够经过过x x轴上的
13、轴上的Q Q（b b，0 0）点，可在）点，可在y y轴右侧加一垂直于轴右侧加一垂直于xOyxOy平面向平面向里、宽度为里、宽度为L L的匀强磁场，磁感应强度大小为的匀强磁场，磁感应强度大小为B B，该磁场左、，该磁场左、右边界与右边界与y y轴平行轴平行, ,上、下足够宽（图中未画出）上、下足够宽（图中未画出）. .已知，已知， L Lb b。试求磁场的左边界距坐标原点。试求磁场的左边界距坐标原点的可能距离（结果可用反三角函数表示）的可能距离（结果可用反三角函数表示）xy0Qv0PeBmvaeBmv002 解：解：设电子在磁场中作圆周运动的轨道半径为设电子在磁场中作圆周运动的轨道半径为r r
14、, , 则则rvmeBv200 解得解得 eBmvr0 当当rLrL时，磁场区域及电子运动轨迹如图时，磁场区域及电子运动轨迹如图1 1所示，所示，xy0Qv0P图图1由几何关系有由几何关系有 0mveBLrLsin 则磁场左边界距坐标原点的距离为则磁场左边界距坐标原点的距离为 cot)cos( raLbx 11 cot)cos(eBmvaLbx 101（其中（其中 ） 0mveBLarcsin 当当r Lr L时，磁场区域及电子运动轨迹如图时，磁场区域及电子运动轨迹如图2 2所示，所示，xy0Qv0P图图2由几何关系得磁场左边界距坐标原点的距离为由几何关系得磁场左边界距坐标原点的距离为222)
15、(rarbx解得解得 2022aeBamvbx 4. 4. 运动的重复性形成多解运动的重复性形成多解 带电粒子在部分是磁场，部分是电场的空间运动时，运动往带电粒子在部分是磁场，部分是电场的空间运动时，运动往往具有重复性，因而形成多解。往具有重复性，因而形成多解。例题例题1 1例题例题2 2【变式题【变式题1 1】如图如图6 63 32 2所示，在空间中有一坐标系所示，在空间中有一坐标系OxyOxy，其第一象限内充满着两个匀强磁场区域其第一象限内充满着两个匀强磁场区域和和，直线，直线OPOP是它们的边界，区域是它们的边界，区域中的磁感应强度为中的磁感应强度为B B，方向垂，方向垂直纸面向外；区域
16、直纸面向外；区域中的磁感应强度为中的磁感应强度为2B2B，方向垂直，方向垂直纸面向内，边界上的纸面向内，边界上的P P点坐标为点坐标为( (4L,3L4L,3L) )一质量为一质量为m m电电荷量为荷量为q q的带正粒子从的带正粒子从P P点平行于点平行于y y轴负方向射入区域轴负方向射入区域，经过一段时间后，粒子恰好经过原点经过一段时间后，粒子恰好经过原点O(O(忽略粒子重力忽略粒子重力) )，已知已知sin37sin37=0.6=0.6，cos37cos37=0.8.=0.8.求求：图632(1)(1)粒子从粒子从P P点运动到点运动到O O点的时间至点的时间至少为多少？少为多少？(2)(
17、2)粒子运动的周期粒子运动的周期? ?(3)(3)粒子的速度大小可能是多少？粒子的速度大小可能是多少？【解析【解析】(1)设粒子的入射速度为设粒子的入射速度为v，用，用R1，R2，T1，T2分别表示粒子在磁场分别表示粒子在磁场区和区和区中运动的轨道半径和区中运动的轨道半径和周期则周期则qvB= m，qv2B= m T1= = ，T2= = 粒子先在磁场粒子先在磁场区中做顺时针的圆周运动，区中做顺时针的圆周运动，后在磁场后在磁场区中做逆时针的圆周运动，然后从区中做逆时针的圆周运动，然后从O点射出，点射出，这样粒子从这样粒子从P点运动到点运动到O点所用的时间最短点所用的时间最短.21vR22vR1
18、2 Rv2 mqB22 RvmqB粒子运动轨迹如图所示粒子运动轨迹如图所示 tana= =0.75，得，得=37 +=90粒子在磁场粒子在磁场区和区和区中的运动时间分别为区中的运动时间分别为 t1= T1 t2= T2粒子从粒子从P P点运动到点运动到O O点的时间至少为点的时间至少为t=t1+t2由以上各式解得由以上各式解得t=34LL236023605360mqB(2)粒子运动的周期粒子运动的周期5360mqBT=(3)(3)粒子的速度大小满足一定条件时，粒子先在磁场粒子的速度大小满足一定条件时，粒子先在磁场区中运动，后在磁场区中运动，后在磁场区中运动，然后又重复前面的运区中运动，然后又重
19、复前面的运动，直到经过原点动，直到经过原点O.O.这样粒子经过这样粒子经过n个周期性的运动直个周期性的运动直到过到过O O点，每个周期的运动情况相同，点，每个周期的运动情况相同，粒子在一个周期内的位移为粒子在一个周期内的位移为x= = = (n=1,2,3)粒子每次在磁场粒子每次在磁场区中运动的位移为区中运动的位移为x1= x= x由图中几何关系可知：由图中几何关系可知： = =cosa由以上各式解得粒子的速度大小为由以上各式解得粒子的速度大小为v= (n=1,2,3)= (n=1,2,3)OPn2243LLn 5Ln112RRR23112xR2512qBLnm【变式题【变式题2 2】如图如图
20、6 64 42 2所示，直线所示，直线MNMN下方无磁场，上方下方无磁场，上方空间存在两个匀强磁场，其分界线是半径为空间存在两个匀强磁场，其分界线是半径为R R的半圆，的半圆，两侧的磁场方向相反且垂直于纸面，磁感应强度大小两侧的磁场方向相反且垂直于纸面，磁感应强度大小都为都为B.B.现有一质量为现有一质量为m m、电荷量为、电荷量为q q的带负电微粒从的带负电微粒从P P点点沿半径方向向左侧射出，最终打到沿半径方向向左侧射出，最终打到Q Q点，不计微粒的重点，不计微粒的重力求：力求：(1)(1)微粒在磁场中运动的周期微粒在磁场中运动的周期(2)(2)从从P P点到点到Q Q点，微粒的运动速度大
21、小及运动时间点，微粒的运动速度大小及运动时间【解析【解析】(1)(1)洛伦兹力提供向心力洛伦兹力提供向心力Bv0q=m T= ， T=20vr02 rv2 mBq (2)(2)粒子的运动轨迹将磁场粒子的运动轨迹将磁场边界分成边界分成n n等分等分( (n n=2,3,4)=2,3,4)如右图如右图1 1、2 2、3 3所示：所示：由几何知识可得：由几何知识可得： = = ，tantan = = ，BvBv0 0q q = =m m 得得 v v0 0= tan (= tan (n n=2,3,4)=2,3,4)2nrR20vrBqRm2n当n为偶数时，由对称性可得t= T= (n=2,4,6)
22、；当n为奇数时，t为周期的整数倍加上第一段的运动时间，即t= T+ T= (n=3,5,7)2nnmBq12n/2n21nmnBq 【变式题【变式题3】如图所示，空间某平面内有一条折线是磁场的分界如图所示，空间某平面内有一条折线是磁场的分界线，在折线的两侧分布着方向相反、与平面垂直的匀强磁场，线，在折线的两侧分布着方向相反、与平面垂直的匀强磁场，磁感应强度大小都为磁感应强度大小都为B B。折线的顶角。折线的顶角AA9090，P P、Q Q是折线上是折线上的两点，的两点， AP=AQ=AP=AQ=L L。现有一质量为。现有一质量为m m、电荷量为、电荷量为q q的带负电微粒的带负电微粒从从P P
23、点沿点沿PQPQ方向射出，不计微粒的重力。方向射出，不计微粒的重力。求：（求：（1 1）若）若P P、Q Q间外加一与磁场方向垂直的匀强电场，能使速间外加一与磁场方向垂直的匀强电场，能使速度为度为v v0 0射出的微粒沿射出的微粒沿PQPQ直线运动到直线运动到Q Q点，则场强为多大？点，则场强为多大？（2 2）撤去电场，为使微粒从）撤去电场，为使微粒从P P点射点射出后，途经折线的顶点出后，途经折线的顶点A A而到达而到达Q Q点，点，求初速度求初速度v v0 0应满足什么条件？应满足什么条件？（3 3）求第（）求第（2 2）中微粒从）中微粒从P P点到达点到达Q Q点所用的时间。点所用的时间
24、。QvPBBAQvPBBAn取偶数n取奇数由电场力与洛伦兹力平衡得：由电场力与洛伦兹力平衡得：qEqE= =qvqv0 0B B得：得：E E= =v v0 0B B（3 3分）分）根据运动的对称性，微粒能根据运动的对称性，微粒能从从P P点到达点到达Q Q点，应满足点，应满足 Lnx其中其中x x为每次偏转圆弧对为每次偏转圆弧对应的弦长，偏转圆弧对应的弦长，偏转圆弧对应的圆心角为应的圆心角为 或或232设圆弧的半径为设圆弧的半径为R R，则有，则有2 2R R2 2= =x x2 2，可得：，可得： 2LRn2vqvBmR2qBLvm nn=1、2、3、（ 当当n n取奇数时，微粒从取奇数时
25、，微粒从P P到到Q Q过程中圆心角的总和为过程中圆心角的总和为13222nnn122mmtnnqBqB其中n=1、3、5、 当当n n取偶数时，微粒从取偶数时，微粒从P P到到Q Q过程中圆心角的总和为过程中圆心角的总和为222nnn2mmtnnqBqB其中n=2、4、6、 【变式题【变式题4】如图19所示，在直线MN右侧正方形ABCD区域内、外分布着方向相反且与平面垂直的匀强磁场和，磁感应强度的大小都为B. 正方形边长为L, AB边与直线MN方向夹角为450. 现有一质量为m、电荷量为q的带负电的微粒通过小孔O进入PQ与MN间的加速电场区域(进入时可认为初速度为零), 微粒经电场加速后从正方形ABCD区域内的A点进入磁场, 微粒进入磁场的速度垂直MN,也垂直于磁场.不计微粒的重力.(1)若微粒进入磁场的速度为v, 则加速电场的电压为多大?(2)为使微粒从A点进入磁场后,途经B点或D点到达C点,求微粒刚进入磁场时的速度v应满足什么条件?(3)求(2)问中微粒从A点到达C点所用的时间.
