1、2018 年全国高中数学联赛(四川预赛) 第 1 页 (共 4 页) 学校： 年级： 姓名： 性别： 准考证号： 密封线 2012018 8 年全国高中数学联合竞赛年全国高中数学联合竞赛（四川四川预赛预赛） （5 5 月月 2020 日日下下午午 1414：3 30 01 16 6：3 30 0） 考生注意考生注意：1 1本试卷共本试卷共有有三大题三大题（1616 个小题个小题） ，） ，全卷满分全卷满分 140140 分分. . 2 2用用黑黑（蓝蓝）色色圆珠笔或钢笔作答圆珠笔或钢笔作答. . 3 3计算器计算器、通讯工具不准带入考场通讯工具不准带入考场. . 4 4解题书写不要超过密封线解
2、题书写不要超过密封线. . 一一、单项单项选择题选择题（本大题本大题共共 6 6 个小题个小题，每小题每小题 5 5 分分，共共 3030 分分） 1. 设nS、nT分别是等差数列na与 nb的前n项和，对任意的正整数n，都有261nnSnTn. 若mmab为质数，则正整数m的值为 【 】 A、2 B、3 C、5 D、7 2. 设1F、2F分别是椭圆22221xyab(0)ab的左、 右焦点，P为该椭圆上一点， 满足1290F PF. 若12PF F的面积为 2， 则b的值为【 】A、1 B、2 C、3 D、2 3. 函数(sin1)(cos1)2sin2xxyxxR（的最大值为 【 】 A、
3、22 B、1 C、1222 D、2 4. 设多项式126( )1f xxx除以21x的商式为( )q x，余式( )r xaxb，其中a，b为实数，则b的值为【 】 A、0 B、1 C、2 D、3 题题 目目 一一 二二 三三 总成绩总成绩 1313 1414 1515 1616 得得 分分 评卷人评卷人 复核人复核人 得得 分分 评卷人评卷人 2018 年全国高中数学联赛(四川预赛) 第 2 页 (共 4 页) 5. 已知方程2342018102342018xxxxx的所有实数根都在区间 , a b内（其中a，bZ，且ab） ，则ba的最小值为 【 】 A、1 B、2 C、3 D、4 6.
4、对任意正整数 n，定义 Z(n)为使得12m是n的倍数的最小的正整数m关于下列三个命题： 若p为奇质数，则( )1Z pp； 对任意正整数a，都有(2 )2aaZ； 对任意正整数a，都有(3 )31aaZ. 其中所有真命题的序号为 【 】 A、 B、 C、 D、 二二、填空题填空题（本大题共本大题共 6 6 个小题个小题，每小题每小题 5 5 分分，共共 3 30 0 分分） 7. 设函数9( )f xxx在1, 4的最大值为M，最小值为m，则Mm的值为 . 8. 在ABC中，1cos4B ，则11tantanAC的最小值为 . 9. 61015610101515612log 5 log 3
5、log2log 5 log 3log3 log2log2 log 5的值为 . 10. 在三棱锥PABC中，三条棱PA、PB、PC两两垂直，且1PA，2PB ，2PC ，若点Q为三棱锥PABC外接球的球面上任一点，则 Q 到面 ABC 距离的最大值为 . 11. 设直线ykxb与曲线3yxx有三个不同的交点A、B、C， 且| |2ABBC，则k的值为 . 12. 设集合1,2,3,4,5,6,7,8I， 若I的非空子集A、B满足AB,就称有序集合对( ,)A B为I的“隔离集合对” ，则集合I的“隔离集合对”的个数为 . （用具体数字作答） 得得 分分 评卷人评卷人 2018 年全国高中数学联
6、赛(四川预赛) 第 3 页 (共 4 页) 三三、解答题解答题（本本大题大题共共 4 4 个小题个小题，每小题每小题 2020 分分，共共 8080 分分） 13. 已知双曲线22143xy，设其实轴端点为1A、2A，点P是双曲线上不同于1A、2A的一个动点，直线1PA、2PA分别与直线1x 交于1M、2M两点. 证明：以线段12M M为直径的圆必经过定点. 14. 设x，y，z为正实数，求111(2)(2)(2)xyzyzx的最小值. 得得 分分 评卷人评卷人 2018 年全国高中数学联赛(四川预赛) 第 4 页 (共 4 页) 15. 已知数列na满足：11a ，2*11()8nnaam n N，若对任意正整数n，都有4na，求实数m的最大值. 16. 设函数( )2lnpf xpxxx. （1）若( )f x在其定义域内为单调递增函数，求实数p的取值范围； （2）设2( )eg xx，且0p，若在1, e上至少存在一点0 x，使得00()()f xg x成立， 求实数p的取值范围； （3）求证：对任意的正整数n，都有212ln (1)3nkk成立.
